矩阵对角化方法
矩阵对角化方法
摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。
关键词：矩阵 特征根 特征向量 对角化
The Methods of the Diagonalization of the Matrix
g
Abstract: In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.
Key words: Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization
1、引言
对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解0||=-A E λ得特征根i λ，然后对每一个i λ，解方程组0)(=-X A E i λ得特征向量，即寻找一个可逆矩阵T ，使得Λ=-AT T 1,其中Λ为对角阵，于是可得1-Λ=T T A ，从而1-Λ=T T A n n , 在这个对角化过程中，Λ中的元素即为矩阵A 的特征根，T 中每个列向量即为矩阵A 的属于每个特征根的特征向量。本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵对角化方法，即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量，同时判断矩阵是否可对角化。
2、讨论对于有n 个特征单根的n 阶方阵
1.2 基本原理
引理1：设A 是秩为r 的n m ?阶矩阵，且
()n T E A ???→?行初等变换???? ??*
--n r n m r n rm P D )()(0 其中D 是秩为r 的行满秩矩阵，则齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系即为矩阵P 所含的r n -个行向量),,2,1(r n i i -= ξ。 证明：对矩阵()
n T E A 左乘一个n n ?阶可逆矩阵C 得 ???? ??=-m r n rm T
D CA )(0 )1( ???
? ??*=-n r n n P CE )( )2(
将)2(代入)1(得，
???
? ??=???? ??*--m r n rm T n n r n D A E P )()(0 即有m r n T n r n A P )()(0--=两边同时取转置得0=T AP ，则P 的行向量是方程组0=AX 的解，证毕。
引理2：矩阵A 的特征矩阵)(λA 经过一系列行初等变换可化为上三角形的λ－矩阵)(λB ,且)(λB 的主对角线上元素乘积的λ多项式的解为矩阵A 的全部特征根。
证明：
=)(λA ??????? ??---nn n n n n
a a a a a a a a a λλλ 212222111211 显然n A r =))((λ )1先看)(λA 的第一列，假设),,3,2(1n i a i =不全为零，任取其中一个，记为
)(1λd ，经过行初等变换，)(λA 可化为： ???? ?
?*)(0)(1λλG d 若),,3,2(,01n i a i ==,则)(λA 本身即具有这种形式
)2再看)(λG 的第一列，假设不全为零（若全为零，则n A r <))((λ）,选择λ的幂
最低的元素，记作)(1λf ,对)(λG 施行行变换，使该列全部元素的幂都少于)(1λf ,选择幂最小的元素，记作)(2λf ,如此施行一系列行变换，一直循环下去，)(λG 最终可
化为 ???? ?
?*)(0)(2λλH d 接着再对)(λH 施行上述变换，最后可将)(λA 化成
??????
? ??*=)(0)()()(21λλλλn d d d B 由此可知：)(λA 和)(λB 等价，可知结论成立，证毕。
引理3：对于数域P 上的n 阶方阵A ，若A 的特征多项式在P 内有n 个单根，则
由特征向量构成的n 阶可逆矩阵T ，使得??????
? ??=-n AT T λλλ 211 定理1：若数域P 上的n 阶方阵A 的特征多项式)(λf 在P 内有n 个单根，则A 可通过如下方法对角化： 设()())()()(,)(λλλλλQ B E A A E A n T T T ???→?-=行初等变换且
)()1λB 为上三角形矩阵，则有方阵A 的特征根i λ即为)(λB 中主对角线上各个元素乘积的解；
)2对于方阵A 的每一个特征根i λ，总有)(i B λ中零行向量所对应的)(i Q λ中的行向量i ξ与之对应。
证明：由上述引理可知此定理结论成立。
2.2举例说明
例1：设????
? ??=210131012A ，问方阵A 是否可以化为对角形，若可以，求出其对角化
后的方阵。
解：()
????? ??-------=100210010131001012)(λλλλE A T
??????→?第一行与第二行互换????
? ??-------10021000101
2010131λλλ?????????→?-行上乘以第一行再加到第二)2(λ????
? ??---+-+----10021002125500101312λλλλλλ
??????→?第二行与第三行互换????
? ??-+-+------0212550100210
0101312λλλλλλ??????????→?+-行上乘以第二行再加到第三)55(2
λλ????
? ??+----------5521)4)(2)(1(001002100101312λλλλλλλλ=())()(λλQ B
由题意知)4)(2)(1(---λλλ=0?11=λ,22=λ,43=λ ,此时方阵A 有3个特征单根，故方阵A 可以化为对角形;
将11=λ代入)()(λλQ B 和中知)(λB 的第三行为零，由定理1知)(λQ 的第三行向量)1,1,1(-即为属于1λ的特征向量，同理可知)1,2,1(),1,0,1(-分别为属于32λλ和的特征向量。
于是可得????? ??--=111201111T 使得????
? ??=-4211AT T
3、讨论对于有特征重根的n 阶方阵
对于有特征重根的方阵，可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵，接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵，这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形。
1.3基本定理
定理2：设T T A E A -=λλ)(,则()
())()()(λλλP D E A T ???→?初等变换且)(λD 为对角形
矩阵，则有
)1对于A 的每个特征根i λ，)(i P λ中与)(i D λ的零行对应的行向量即为属于i λ的特征向量；
)2设s λλλ ,,21为A 的所有不同的特征根，重数分别为s r r r ,,21,则A 可以化成对角形?)(i D λ中的零行数目等于i λ的重数),,2,1(s i r i =。
证明：)1因为)(λA 和)(λT A 的秩为n ,总有可逆的λ－矩阵)(),(λλQ P 使得
)())(,),(),(()()()(21λλλλλλλD d d d diag Q A P n T == ，
其中)(λD 为对角形矩阵。我们有
()())()()()()(λλλλλP D E Q A P T ???→?初等变换 )3(
因为 )()()()(λλλλD Q A P T =
所以 )()())()()(λλλλλD D P A Q T T T ==
于是有))(,),(),(()()()(21i n i i i T i i T d d d diag P A Q λλλλλλ =，设)(i D λ中有i m 个零行，对应着i m 个对角元素0)()()(21====i im i i i i i d d d λλλ ，)1(n m i ≤≤,选取)(i P λT 中的列向量T T T i im i i P P P ,,21，则有0),,)()((21=-T T T T i im i i i i P P P A E Q λλ
因为)(i Q λT 可逆 ，所以0),,)((21=-T T T i im i i i P P P A E λ )4(
又因为)(i P λT 可逆 ，所以由)4(知T T T i im i i P P P ,,,21 是A 属于i λ的i m 个线性无关的特征向量,由)3(知，)(i D λ中i m n -个非零行是行满秩的, 故A 属于i λ的线性无关的特征向量即为)(i D λ中零行所对应的)(i P λ中的行向量。
A )2可对角化?i i r n A E r -=-)(λ,又由)1证明知：i m n D r A E r i i -==-))(()(λλ 故A 可对角化?i i m n r n -=-，即i i r m =,),,2,1(s i =，证毕。
由此我们不难得到对于有特征重根的方阵化为对角形方阵的简单步骤如下： )1作()
()())()()()()(λλλλλP D Q B E A T ???→????→?初等变换行初等变换 其中))(),(),(()(21λλλλn d d d diag D =,则A 的特征根恰为0)()()(21=λλλn d d d 的
根；
)2若A 的特征根全在P 内，且每个i λ有)(i D λ中零行数目等于i λ的重数，则A 可以化为对角形方阵，否则A 不可以化为对角形方阵；
)3对于每个特征根i λ，在)(i P λ中取出与)(i D λ中零行对应的行向量
),,,(21im i i P P P 得A 属于i λ的特征向量且都是线性无关的。
2.3 举例说明
例2： ????? ??-=110111110)1A ????
?
??
--=100112001
)2B
问方阵A 和B 是否可以化为对角形，若可以，试求出其对角化后的方阵。 解：()????
?
??------=10011101011100101)()1λλλ
λE A T
??????→?第一行与第三行互换????
?
??
------00101010111100111λλλ
????????→?-行上乘以第一行再加到第二)1(???
?
?
??------0010111020100111
λλλλ
???????→?行上乘以第一行再加到第三λ???
?
?
??-------λλλλλλλ0110110201001112
????????→?-二行上）乘以第三行再加到第（1??
?
?
?
??---------λλλλλλλ01101111010011122?????????→
?-三行上）乘以第二行再加到第（1λ??
?
?
?
??++------------112)1(0011110100111222λλλλλλλλλ?????????→
?-列上乘以第二列再加到第三)(2λ
????
? ??++----------+--112)1(00111010100111222λλλλλλλλλ??????????→?-+-列上
乘以第一列再加到第三)1(2λλ ????? ??++----------112)1(0011101
01
0001122λλλλλλλ
??????→?第二行加到第一行上????? ??++------------112)1(0011101
01100122λλλλλλλλ
())()(λλP D =
由题意知0)1(2=-λλ?01=λ，)(12二重=λ，因为)(2λD 中零行数目≠1等于2λ的重数，故A 不可以化为对角形方阵。
)2 ()
????? ??--+-=100110010010
001021)(λλλλE A T ??????→?第二行与第三行互换????
? ??+---010*********
001021λλλ?????????→?+行上乘以第二行再加到第三)1(λ????
? ??+----1101001001100010212λλλλ?????????→?-列上乘以第二列再加到第三)1(λ????
? ??+----110100100010001)1(2212λλλλ????????→?-列上乘以第一列再加上第三)2(????
? ??+---1101001000100010212λλλ???????→?行上乘以第二行再加到第一2????
? ??+---110100100010
2010012λλλ
())()(λλP D =
由题意知0)1)(1(2=--λλ?)(11二重=λ，12-=λ，此时)(1λD 中零行数等于=21λ的重数，故B 可以化为对角形方阵;
将11=λ代人)()(λλP D 和中知)(λD 的第一行和第三行为零，由定理2知)(λP 的第一行向量)2,0,1(和第三行向量)2,1,0(即为属于1λ的特征向量，同理可知)0,1,0(为属于2λ的特征向量。
由此可知????? ??=022110001T 使得????
? ??-=-1111BT T
4. 结语
上述方法与传统方法相比显然更具优越性，传统的求矩阵A 的特征根与特征向量，判断A 是否可对角化以及当A 可对角化时，求出相应的可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形矩阵，对于求得的每个特征根都要逐一求出它的特征向量，矩阵的阶数越高求起来就越困难。而上述方法只须通过对矩阵A 的特征矩阵进行适当的初等变换就可同时求出矩阵A 的特征根与特征向量。 参考文献：
[1]高吉全.矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨【J 】.数学通报，1991，12:34-37
[2]李廷民.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题【J 】.大学数学，2004，20（4）：92-95
[3]赵立新，曾文才.利用矩阵的初等变换求方阵的特征值【J 】.大学数学，2004，20（3）：61-64
[4]向大晶.矩阵对角化方法的再探讨【J 】.数学通报，2000，（10）：37-38
[5]彭明海.对“矩阵的特征根与特征向量的同步求解方法探讨”的改进意见【J 】.数学通报，1993，
（2）：45-46
[6]陈汉藻.矩阵可对角化的一个充要条件【J 】.数学通报，1990，（2）：30-31
[7]刘国琪，王保智.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解【J 】.数学通报，1996，（2）：40-42
[8]张禾瑞，郝鈵新.高等代数【M 】.（第三版）.北京：高等教育出版社，1983：287-289
[9]耿翊翔.矩阵对角化方法探讨【J 】.数学通报，2000，19（3）：29-31
[10]王新民，孙霞，张景晓.矩阵的特征根与特征向量及其相似对角形的统一求法【J 】.数学通
报，2007，23（3）：140-143
[11]Piet Brouwer and Pieter M.Kroonenberg.Journal Article,Some notes on the diagonalization of extended three-mode core matrix.1991
矩阵的可对角化及其应用
附件： 分类号O15 商洛学院学士学位论文 矩阵的可对角化及其应用 作者单位数学与计算科学系 指导老师刘晓民 作者姓名陈毕 专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班 提交时间二0一一年五月
矩阵的可对角化及其应用 陈毕 （数学与计算科学系2007级1班） 指导老师刘晓民 摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 Matrix diagonolization and its application Chen Bi (Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao Min Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix
04 矩阵的对角化
第四讲 矩阵的对角化 对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程Ax b =时，将矩阵A 对角化后很容易得到方程的解。以前我们学习过相似变换对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变换将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？ 一、特征征值与特征向量 1. 定义：对n 阶方阵A ，若存在数λ，及非零向量（列向量）x ，使得Ax x λ=,则称λ为A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量。 ☆ 特征向量不唯一； ☆ 特征向量为非零向量； ☆ ()0I A x λ-=有非零解，则det()0I A λ-=，称
det()I A λ-为A 的特征多项式。 例1 12 22122 2 1A ????=?????? ，求其特征值和特征向量。 【解】1 22 det()2 122 21 I A λλλλ----=------ 2 (1)(5)λλ=+-， 特征值为 121λλ==-，35λ=， 对于特征值1λ=-，由 ()0I A x --=， 1232222220222ξξξ?? ??????=???????????? ， 1230ξξξ++= ， 312ξξξ=-- ，
可取基础解系为 1101x ?? ??=?? ??-?? ，2011x ????=????-??， 所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 1122k x k x + ，其中12,k k 为不全为零的数. 对于特征值5λ=，由 (5)0I A x -=， 1234222420224ξξξ--?? ??????--=????????--???? ， 123ξξξ== ， 可取基础解系为 3111x ?? ??=?????? ， 所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 33k x ，其中3k 为非零的数. 2. 矩阵的迹与行列式
矩阵可对角化的判定条件开题报告
矩阵可对角化的判定条件开题报告 开题报告 矩阵可对角化的判定条件 选题的背景、意义 矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。 矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。 矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论
进行应用和举例,给出算法。特别给出了解题时方法的选择。 矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。 矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论. 文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。 文献[3]总结了利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件。任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵, 形式最简单的矩阵是对角阵。矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,但不是任何一个阶矩阵都可以对角化。 文献[4]总结了对矩阵的计算中用到了对角化的性质。该文详细地分析了Doolittle LU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI(Message-Passing interface)并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法。实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度。 文献[5]?[7] 阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化,
矩阵对角化及应用论文
矩阵对角化及应用 理学院 数学082 缪仁东 指导师：陈巧云 摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征. 关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量. 矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择. 1．矩阵对角化概念及其判定 所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵. 定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使 1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化. 矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关. 定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组 AX X λ= (1) 存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量． （1）式也可写成, ()0E A X λ-= (2) 这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 =0E A λ-, (3)
即 11 121212221 2 0n n n n nn a a a a a a a a a λλλ------=--- 上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程． 其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵 的特征多项式． 11 1212122 21 2 ()||n n A n n nn a a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-= --- 111n n n n a a a λλλ--=++ ++ 显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值． 设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 （ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=++ +; （ⅱ）12 n A λλλ=. 若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程 =0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都 是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式E A λ-； 第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值； 第三步：对于 的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组： ()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数） ． 设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为 A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;
矩阵可对角化的总结
矩阵可对角化的总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-
矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生 21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。 ［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵 说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。 引言 所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。 定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～ B。矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4 2
3 定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[]1[]2[]3[]4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[]2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[]1[]2[]3 一、 首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可 对角化的相关条件。 定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[]1[]2[]3[]4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 121n P AP λλλ-??????=??????即12n AP P λλλ??????=?????? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,, ,n P P P 即
最新对角化矩阵的应用本科
对角化矩阵的应用本 科
XXX学校 毕业论文（设计） 对角化矩阵的应用 学生姓名 学院 专业 班级 学号 指导教师 2015年 4 月 25 日
毕业论文（设计）承诺书 本人郑重承诺： 1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的. 2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的. 3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果. 4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负. 学生（签名）： 2015 年4月25日
对角化矩阵的应用 摘要 矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值. 【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换
Application of diagonalization matrix Abstract Matrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value. [Key words] The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation
可对角化矩阵的应用
可对角化矩阵的应用 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。 1.求方阵的高次幂 例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110?? ?-?? ，试计算k A 。 解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里 ()()121211,,12-?? ηη=εε ? -?? ， 且 σ 在 12 ,ηη下的矩阵为 1 112 1112 12 11111121012111 01 2 1 ----?????????? ?? ??== ? ??? ????? ?----- ????????? ?????显然 1 10 10 1k k ??? ? = ? ? ?? ?? ，再利用上面得到的关系1 1121111112101201---???????? = ? ??? ?---???????? 我们可以得到 1 21111111111211 101201121201111k k k k k k k ----+????????????????=== ? ??? ? ????? ? ------+???????????????? 2.利用特征值求行列式的值。 例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。 解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因
为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20X λ-λ=，因为X ≠0， 所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使 1 00 0r E P AP -??= ??? =B ，其中 r E 是r 阶单位矩阵，从而 1102220 2r n r n r E E A PP PBP E B E -----=-=-= =2 3由特征值与特征向量反求矩阵。 若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则 例 设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。 解：因为A 是实对称矩阵，所以A 可以对角化，即A 由三个线性无关的特征向量，设对应于231λ=λ=的特征向量为 () 123,,T P X X X =，它应与特征向量 1 P 正交，即 []1123,00P P X X X =++=，该齐次方程组的基础解系为 ()() 231,0,0,0,1,1T T P P ==-，它们即是对应于231λ=λ=的特征向量。 取 ()123010100,,101,010101001P P P P B -???? ? ? === ? ? ? ?-???? ，则 1P A P B -=， 于是1110 010******* 210101010 0011010011 1010022A PBP -? ? ?-?????? ? ??? ?===- ? ??? ? ??? ? ?--??????- ??? 4判断矩阵是否相似
矩阵可对角化的总结
矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。 ［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵 说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。 引言 所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。 定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A 到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4
定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[] 1[]2[]3[] 4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式 ()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[] 2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[] 1[]2[] 3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的 相关条件。 定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[] 1[]2[]3[] 4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 1 2 1 n P AP λλλ-????? ?=??????即12n AP P λλλ?? ????=????? ? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即 12[,,,]n P P P P = 于是有
矩阵可对角化的条件.
第二节矩阵可对角化的条件 定义1 如果矩阵能与对角矩阵相似，则称可对角化。 例1设，则有：，即。从而 可对角化。 定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。 证明：必要性如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得 将按列分块得，从而有
因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。 充分性设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为 ，则有。令，则是一个可逆矩阵且有： 因此有，即，也就是矩阵可对角化。 注若，则，对按列分块得 ，于是有 ，即 ，从而。可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。 定理2 矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
证明：设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。 当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。 假设的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设 是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量。又设 (1) 成立。则有，又将(1)式两边同乘得： 从而有,由归纳假设得 ，再由两两互不相同可得 ,将其代入(1)式得，因此有，从而 线性无关。 推论1 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且 。 定理3 设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征 向量为，则由所有这些特征向量（共个）构成的向量组是线性无关的。
证明：设，记， ，则有，且或是的属于特征值的特征向量。若存在某个，，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知 ，矛盾。因此有，,又由已知得 ,,因此向量组 线性无关。 定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则，即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数不超过特征值的重数。 证明：用反证法。由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的基础解系所含向量个数相等。设是齐次线性方程组的一个基础解系,且假设,则有。现将扩充为一个维线性无关向量组,其中 未必是的特征向量，但有是一个维向量，从而 可由向量组线性表示，即： 因而有：
矩阵可对角化的充分必要条件论文
学号 20080501050116 密级 兰州城市学院本科毕业论文 矩阵可对角化的充分必要条件 学院名称：数学学院 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：练利锋 指导教师：李旭东 二○一二年五月
BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Matrix diagonalization of the necessary and sufficient condition College : Mathematics Subject : Mathematics and Applied Mathematics Name : Lian Lifeng Directed by : Li Xudong May 2012
郑重说明 本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 本人签名 : 日期 :
摘要 矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。 关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化
ABSTRACT Matrix diagonalization is a very important nature of matrix．Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra．In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given． Key words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization
矩阵的对角化的应用
矩阵的对角化的应用 摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对 象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似 一、概念 所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似 定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为 =diag(,,,) 定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。 定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。 定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和 P都有，则称为V的一个线性变换
定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数 和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。 定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B=AX，则称A相似于B，记为A B，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。 二〃矩阵对角化条件 常用的充要条件 （1）可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量； （2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为； （3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的； （4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。[2-5] 三. 实对称矩阵对角化的一种简化方法 设是实对称矩阵，求正交矩阵使的问题，一般方法可简述为： （1）求特征值； （2）求对应的特征向量； （3）将特征向量正交标准化； （4）写出及.
矩阵对角化的步骤例题
矩阵对角化的步骤例题 1. 【将矩阵A=(12 先求特征值：|λE-A|=|（λ-1 -2 3）(1 λ-4 3) (-1 2 λ-5)|=（λ-2）^2（λ-6）=0所以特征值λ1=λ2=2，λ3=6求特征向量：当λ=2时：λE-A=(1 -2 3) (1 -2 3) (-1 2 -3)解得特征向量分别为：ξ1=(-3 0 1) ξ2=(2 1 0)当λ=6时，λE-A=(5 -2 3) (1 2 3) (-1 2 1)特征向量为ξ3=(1 1 -1)所以P=(-3 2 1) (0 1 1) (1 0 -1)矩阵对角化：P的逆AP=(2 0 0)(0 2 0)(0 0 6)对角矩阵为（2 0 0）(0 2 0)(0 0 6)。 2. 矩阵对角化问题,题目和答案都在这,麻烦写一遍过程,结果是怎么搞 设矩阵A的特征值为λ那么 |A-λE|= 3-λ6 6 0 2-λ0 -3 -12 -6-λ =(2-λ) [（3-λ）（-6-λ）+18] =(2-λ)（3+λ）λ=0 解得λ=0,2,-3
λ=0时，A-0E= 3 6 6 0 2 0 -3 -12 -6 r2/2,r3+r1,r1/3 ~ 1 2 2 0 1 0 0 -6 0 r1-2r2,r3+6r2 ~ 1 0 2 0 1 0 0 0 0 得到特征向量（-2,0,1）^T λ=2时，A-2E= 1 6 6 0 0 0 -3 -12 -8 r3+3r1
~ 1 6 6 0 0 0 0 6 10 r1-r3,r3/6，交换r2r3 ~ 1 0 -4 0 1 5/3 0 0 0 得到特征向量（4,-5/3,1）^T λ=-3时，A+3E= 6 6 6 0 5 0 -3 -12 -3 r2/5,r1/6,r3+3r1,r3+9r2,r1-r2 ~ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 得到特征向量（-1,0,1）^T
2017考研数学线性代数之矩阵相似对角化解题方法
2017考研数学线性代数之矩阵相似对角 化解题方法 矩阵的相似对角化是考研的重要考点，该部分内容既可以出大题，也可以出小题。所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化，现把该部分的知识点总结如下: 一般方阵的相似对角化理论 这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。 1、判断方阵是否可相似对角化的条件： (1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量; (2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足1.jpg (3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化; (4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。 【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。 2、求方阵的特征值： (1)具体矩阵的特征值： 这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算; (2)抽象矩阵的特征值： 抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。 实对称矩阵的相似对角化理论 其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。 这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。 最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。 1、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 (1)不同特征值的特征向量一定正交 (2)k重特征值一定满足1.jpg 【注】由性质(2)可知，实对称矩阵一定可以相似对角化;且有(1)可知，实对称矩阵一定可以正交相似对角化。 2、会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵 【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是：只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化，不同特征值对应的特征向量一定正交(当然除非你计算出错了会发现不
矩阵的对角化
矩阵的对角化 （李体政 徐宗辉） ● 教学目标与要求 通过学习，使学生明白为什么要进行矩阵的对角化, 并且熟练掌握一般方阵对角化的方法, 特别是实对称矩阵的对角化方法. ● 教学重点与难点 教学重点： 一般方阵可以对角化的条件及其对角化; 实对称矩阵的对角化. 教学难点： 求正交矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵. ● 教学方法与建议 先引入相似矩阵的概念, 通过分析相似矩阵的性质, 让学生看到: 讨论方阵与一个对角矩阵相似(在本节中我们称为矩阵的对角化)的问题是非常有意义的, 从而提出矩阵对角化的两个核心问题: (1) 对于任何一个方阵,是否一定可以对角化(即存在性问题); (2) 对于一个方阵,若可以对角化,那么如何进行对角化. 围绕这两个问题,完成本节课的教学任务. ● 教学过程设计 1. 问题的提出 我们先引入相似矩阵的概念: 定义1: 对于阶数相同的方阵A 和B , 若存在可逆方阵P , 使得 1 P AP B -= 则称矩阵A 与B 相似, 记为A B , 而对A 进行的运算1 P AP -称为对A 进行的相似变换, 可逆方阵P 称为把A 变为B 的相似变换矩阵. 利用相似矩阵的定义及前面的知识不难得出如下结论: 性质1: 设 A B , 则有 1) A B =; 2) ()()r A r B =; 3) I A I B λλ-=-, 从而具有相同的特征值. 说明: 性质1表明, 假如矩阵A 与B 相似, 则A 与B 具有相同的行列式、相同的秩以及相同的特征值. 而且很自然地推出, 若A 与一个对角矩阵Λ相似, 那么Λ的主对角线元素恰好就是A 的n 个特征值. 考虑到对角矩阵是一类性质优良的矩阵, 我们进一步会
矩阵的对角化及其应用教学文稿
矩阵的对角化及其应 用
湖北民族学院理学院2016届 本科毕业论文(设计) 矩阵的对角化及其应用 学生姓名：赵远安学号： 021241015 专业：数学与应用数学指导老师：刘先平 答辩时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.25
A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Diagonalization of the Matrix and its Applications Student Name: ZHAO Yuanan Student No.: 021241015 Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25
摘要 矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用. 关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式
矩阵可对角化的判定条件及推广
矩阵可对角化的判定条件及推广 数学与计算机科学学院 数学与应用数学（S ） 学号：2011031103 姓名：方守强 指导教师：梁俊平 摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。 关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化 引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。 而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。 在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。 一、矩阵可对角化的概念 1 特征值、特征向量的概念 定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而 ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。 求方阵A 的特征值与特征向量的步骤： (1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。
矩阵对角化方法的研究
目录 摘要 ........................................................................................................................................... I Abstract. ................................................................................................................................. II 第一章绪论 (1) 1.1 引言 (1) 1.2 预备知识 (1) 1.2.1 可对角化概念及判断是否可对角化相关知识： (1) 1.2.2 相关结论知识： (2) 第二章矩阵对角化方法探究 (5) 2.1 矩阵对角化的方法 (5) 2.1.1 一般矩阵的3种对角化方法 (5) 2.1.2 实对称矩阵的对角化 (10) 第三章运用 (14) 3.1 已知特征值和特征向量，求原矩阵 (14) 3.2 计算方阵的高次幂 (14) 参考文献: (17) 致谢 (18) .
矩阵对角化方法的研究 学生：胡邦群指导教师：何聪教师 摘要对角矩阵是矩阵中形式最为简单但其地位却十分重要，因此对矩阵对角化问题的研究很有价值。本文主要介绍了对于一般矩阵的3种对角化方法并对实对称矩阵的对角化方法以及对角矩阵的运用做了相关补充，同时配例题加以阐述。 关键词: 特征值；特征向量；可对角化；矩阵初等变化；正交变换；线性无关
矩阵的对角化
摘要 矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。 关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化
Abstract Matrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix diagonalization problem is very practical value. Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix diagonalization diagonalization of everything. In summarizing the basis of their predecessors, with the first given diagonalization related concepts, followed by discussion of the matrix diagonalization of several equivalent conditions and, finally, the application of some of the matrix diagonalization. Keywords: square; characteristic value; eigenvectors; diagonalization