三重积分习题1
93
1 化三重积分???Ω
=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分
其中积分区
域分别是
(1)由双曲抛物面xy z 及平面x y 10 z 0所围成的闭区域
解 积分区域可表示为
{(x y z )| 0z xy 0y 1x
0x 1}
于是 ???-=xy
x
dz z y x f dy dx I 0101
0),,(
(2)由曲面z x 2
y 2及平面z 1所围成的闭区域
解 积分区域可表示为
}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x
于是 ???+---
-=1
111
12
2
22
),,(y x x x
dz
z y x f dy dx I
(3)由曲面z x 2
2y 2及z 2x 2所围成的闭区域
解 曲积分区域可表示为
}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x
于是 ???-+---
-=2
2
2
22
22111
1),,(x y x x x dz
z y x f dy dx I
提示 曲面z x 22y 2与z 2x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1
(4)由曲面cz xy (c 0) 1
2222=+b
y a x z 0所围成的在第一
卦限内的闭区域
解 曲积分区域可表示为
}
0 ,0 ,0|),,{(22a x x a a
b y c
xy z z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω
于是 ?
??-=c xy x a a b a
dz
z y x f dy dx I 0
00),,(2
2
提示
区域
的上边界曲面为曲面c z xy 下边界曲面为
平面z 0
2 设有一物体
占有空间闭区域
{(x y
z )|0x 1 0y 1 0z 1} 在点(x y z )处的密度为
(x y z )x y z 计算该物体的质量 解 ??????++==Ω
1
01
01
0)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ??++=1
10)2
1(dy y x dx
??+=++=10
10102)1(]2121[dx x dx y y xy 2
3)1(21102=+=x
3 如果三重积分???Ω
dxdydz z y x f ),,(的被积函数f (x y z )是
三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积 即f (x y z )
f 1(x )f 2(y )f 3(z ) 积分区域{(x y z )|a x b
c y
d l z m } 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积
即
??????=Ω
m
l d
c b
a dz
z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321
证明 ???Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f b a d c m
l ]))()()(([321???=
dx dy dz z f y f x f b
a d
c m
l
]))()()(([321???=???=m
l
d
c
b
a
dx dy y f dz z f x f )])()()()([(231
dx x f dy y f dz z f b
a
m l
d c
)]())()()([(123???=???=d c
b
a
m l
dx x f dy y f dz z f )())()()((123
???=d c m
l b a dz z f dy y f dx x f )()()(321
4 计算???Ω
dxdydz
z xy 32 其中
是由曲面z xy
与平面
y x x 1和z 0所围成的闭区域
解 积分区域可表示为
{(x y z )| 0z xy 0y x 0x 1}
于是 ???Ω
dxdydz z xy 32???=xy
x
dz z dy y xdx 03021
0??=x
xy
dy z y xdx 0
04
21
0]4
[
??=x dy y dx x 0510541364
1
2811012==?dx x
5 计算???
Ω
+++3
)1(z y x dxdydz 其中为平面x 0 y 0 z 0
x y z 1所围成的四面体
解 积分区域可表示为
{(x y z )| 0z 1x y 0y 1x
0x 1}
于是 ???
Ω
+++3)1(z y x dxdydz ???---+++=y x x dz z y x dy dx 10310
10)1(1
?
?--++=x
dy y x dx 10
210
]8
1)1(21[
dx x x ?+-+=10]8183)1(21[ )
8
52(ln 2
1-=
提示
???Ω
+++3)1(z y x dxdydz ???---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ?
?---+++-=x
y
x dy z y x dx 10
10
210
])1(21[??--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x
-?-++-=101
]8
1)1(21[
dx x x ?+-+=10]8183)1(21[ 10
2]16
183)1ln(21[x x x +-+= )8
5
2(ln 21-=
6 计算???Ω
xyzdxdydz
其中为球面x 2y 2z 21及三个坐
标面所围成的在第一卦限内的闭区域 解 积分区域可表示为
}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x
于是 ???Ω
xyzdxdydz ??
?---=2
2
210
10
10x y x xyzdz dy dx
??---=2
10
2210)1(21x dy y x xy dx ?-=1022)1(81dx x x 48
1
=
7 计算???Ω
xzdxdydz
其中是由平面z 0 z y y 1以及抛物柱面y x 2所围成的闭区域
解 积分区域可表示为
{(x y z )| 0z y x 2y 1 1x 1}
于是 ???Ω
xzdxdydz ???-=y
x zdz dy xdx 01
1
12
??-=1
21
122
1x
dy y xdx 0
)1(6
11
1
6=-=?-dx x x
8 计算
???Ω
zdxdydz
其中
是由锥面22y x R
h z +=与平面
z h (R 0 h 0)所围成的闭区域
解 当0z h 时
过(0 0 z )作平行于xOy 面的平面
截
得立体的截面为圆D z 2
22)(z h
R y x =+ 故D z 的半径为z
h
R 面积
为2
2
2
z h R π 于是
???Ω
zdxdydz
???z
D
h
dxdy zdz 0?==h
h R dz z h R 02
23
224
ππ
9 利用柱面坐标计算下列三重积分
(1)???Ω
zdv
其中是由曲面222y x z --=及z x 2y 2所围成的
闭区域
解 在柱面坐标下积分区域可表示为 0
2
1 2
22ρρ-≤≤z
于是 ???Ω
zdv ???-=1
02202
2
ρρπ
ρρθzdz d d ?--=1
042)2(2
12ρρρρπd
π
ρρρρπ12
7)2(1
53=--=?d
(2)???Ω
+dv
y x )(22 其中是由曲面x 2y 22z 及平面z 2所围
成的闭区域
解 在柱面坐标下积分区域可表示为 0
2
2
2
22
≤≤z ρ
于是 dv y x )(22+Ω???dz d d θρρρ?=Ω
???2???=2
2
1203202
ρπρρθdz d d
??-=205320)212(ρρρθπd d ?==π
π
θ20
3
1638d
10 利用球面坐标计算下列三重积分 (1)???Ω
++dv
z y x )(222 其中是由球面x 2y 2z 21所围成的
闭区域
解 在球面坐标下积分区域可表示为 0
2
0r 1
于是 ???Ω
++dv z y x )(222???Ω
?=θ??d drd r sin 4
???=1
04020sin dr r d d ππ??θπ
5
4=
(2)???Ω
zdv
其中闭区域由不等式x 2
y 2(z a )2a 2
x 2y 2z 2 所确定
解 在球面坐标下积分区域
可表示为
?
π?πθcos 20 ,4
0 ,20a r ≤≤≤≤≤≤
于是
??????Ω
Ω
?=θ???d drd r r zdv sin cos 2
??=404)cos 2(4
1cos sin 2π
????πd a
440546
7cos sin 8a d a π???ππ
==?
11 选用适当的坐标计算下列三重积分
(1)???Ω
xydv
其中为柱面x 2y 21及平面z 1 z 0
x 0 y 0所围成的在第一卦限内的闭区域
解 在柱面坐标下积分区域可表示为 1
0 ,10 ,2
0≤≤≤≤≤≤z ρπθ
于是 ???Ω
xydv ???Ω
??=dz d d θρρθρθρsin cos
???==1
01
03208
1
cos sin dz d d ρρθθθπ
别解 用直角坐标计算
???Ω
xydv ???-=10
10
102
dz ydy xdx x ?
?-=2
10
10
x ydy xdx ?-=1
03)2
2(dx x x 8
1]84[104
2=-=x x (2)???Ω
++dv
z y x 222 其中
是由球面x 2y 2
z 2z 所围成的
闭区域
解 在球面坐标下积分区域
可表示为
?
π?πθcos 0 ,2
0 ,20≤≤≤≤≤≤r
于是 ???Ω
++dv z y x 2
2
2
????=?
π
π
??θcos 0
22020sin dr r r d d
10
cos 4
1sin 2204π
???ππ
=?=?d
(3)???Ω
+dv
y x )(22 其中是由曲面4z 225(x 2y 2)及平面z 5
所围成的闭区域
解 在柱面坐标下积分区域可表示为 5
2
5 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ
于是 ???Ω
+dv y x )(2
2
?
??=5
2
52
03
20ρπρρθdz d d π
ρρρπ8)2
55(22
3=-=?d
(4)???Ω
+dv
y x )(22 其中闭区域
由不等式A
z y x a ≤++≤<2220
z 0所确定
解 在球面坐标下积分区域可表示为 A
r a ≤≤≤≤≤≤ ,2
0 ,20π?πθ
于是 ???Ω
+dv y x )(22θ??θ???d drd r r r sin )sin sin cos sin (2222222???Ω
+=
)
(15
4sin 55420320a A dr r d d A
a -==???π??θπ
π
12 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积
(1)z 6x 2y 2及22y x z += 解 在柱面坐标下积分区域可表示为 0
2
2
z 6
2
于是 ??????Ω
Ω
==dz d d dv V θρρ???-=2
62020ρρ
πρρθdz d d
?=--=2
323
32)6(2π
ρρρρπd
(2)x 2y 2z 22az (a 0)及x 2y 2z 2(含有z 轴的部分) 解 在球面坐标下积分区域
可表示为
?
π?πθcos 20 ,4
0 ,20a r ≤≤≤≤≤≤
于是 ??????Ω
Ω
==θ??d drd r dv V sin 2
?
??=?
π
π
??θcos 20
240
20
sin a dr r d d
3
4033sin cos 3
82a d a π???ππ
==?
(3)22y x z +=及z x 2y 2 解 在柱面坐标下积分区域可表示为 0
2
1
2
z 于是 6
)(21
0321
0202π
ρρρπρρθρ
ρπ
=-===???????Ω
d dz d d dv V
(4)225y x z --=及x 2y 24z 解 在柱面坐标下积分区域
可表示为
2
254
1 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z
于是 ???-=2
254
12
020ρρπ
ρρθdz d d V
)455(3
2)45(22
02
2
-=-
-=?πρρρρπd
13 球心在原点、半径为R 的球体
在其上任意一点的密度
的大小与这点到球心的距离成正比 求这球体的质量 解 密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ
在球面坐标下积分区域可表示为 0
2
0r R
于是 ???Ω
++=dv z y x k M 2224
00220sin R k dr r kr d d R
π??θπ
π
=?=???
重积分部分练习题
(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v
定积分典型例题11254
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202
三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)
第九章 重积分 一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部， 则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ， 则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?
定积分典型例题56177
定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各 项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π． 例18 计算 2 1 ||x dx -? ． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??． 所以
定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
二重积分练习题
二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ）
定积分典型例题
定积分典型例题 例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3). n _.: ∏ 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限?若对题目中被积函数难以想到， 可采取如下方法：先对区间［O, 1］n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 1 III 1 解 将区间［0, 1］ n 等分，则每个小区间长为.汉=丄，然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n n n n n 各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 n i ?^贰+痢+山+疔)=曲(￡ +￡ +川+晋)=MdX=扌? 例 2 ￡ J 2x 一 X d X __________ . 解法1由定积分的几何意义知， °?2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0) 与X 轴所围成的图形的面积?故 2? 2^x 2dx = _ ? ■° 2 解法2本题也可直接用换元法求解?令 x_1 = sint (—巴 定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+ 三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积 欢迎阅读 题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积 题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ） A ． 2 a a e e -+ B ． 2a a e e -- C ． 12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ 第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则 ?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ? ? ? ? ?????? +----=1 10 221 102 2 101 02210 102210 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 22222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y 精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a 三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定 积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看： Z 2 如果先做定积分f (x, y, z)dz，再做二重积分 F (x, y)d；「，就是“投 Z i D 影法”也即“先一后二”。步骤为：找0及在xoy面投影域D。多D 上一点(x,y) “穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定 积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完 Z 2 成“后二”这一步。III f (x, y, z)dv 二[f (x, y, z)dz]dc Q D z i C2 如果先做一重积分11 f (x, y, z)d；二再做定积分F (z)dz，就是“截面 D z q 法”也即“先二后一”。步骤为：确定。位于平面z = °与z=c2之间， 即z ? [C1,C2]，过z作平行于xoy面的平面截门，截面D z。区域D z的边界曲面都是z的函数。计算区域D z上的二重积分i if(x, y,z)d二，完成 D z C 2 了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分.F(z)dz，完成“后 C i C2 一”这一步。H I f(x,y,z)dv = [ f (x, y,z)d；「]dz Q C i D z 当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且D z的面积二⑵ 容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。 可以按以下几点考虑：将积分区域「投影到xoy面，得投影区域D(平 面) (1) D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当门的边界曲 面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算) (2)D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2?y2),fd)时, x 可选择柱面坐标系计算(当「为圆柱体或圆锥体时，常用 柱面坐标计算) (3)门是球体或球顶锥体， 且被积函数形如f(x2? y2z2)时，可选择球面坐标系计算 以上是一般常见的三重积分的计算方法。对-向其它坐标面投影或门不易作出的情形不赘述。 三重积分的计算方法小结： 1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域「及被积函数 f(x,y,z) 的情况选取。 一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握； 截面法(先二后一)：D z是门在z处的截面，其边界曲线方程易写 错，故较难一些。 特殊地，对D z积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算S D Z。因而门 中只要z?[a,b],且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。 2.对坐标系的选取，当门为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲 面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面 坐标计算。 二重积分习题答案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 第八章二重积分习题答 案 练习题 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。 解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习 题 八 一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×） 二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质 1212(1)()()(). (2)[()()]()(). (3)()()()(). b b a a b b b a a a b c b a a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+????????为常数其中a高中数学定积分计算习题
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