解析式求法换元法
解析式求法(一般出在选择填空题)
①换元法(本节讲)②知道一半，求另一半的解析式，直接对换。(讲完奇偶性后讲)
例4已知解：令t
1
f (2x 1) ，求f(x)的解析式。
x
则x j
2
2x
2
是f(t)厂，故f(x)
详细解释:
令t 2x
t
2
声明用t换掉2x 1
用t来表示x，即通过移项, 把上一行式子所有的x 都写在左边，所有的t都写在右边
f(t) 故f (x)
2
t 1
2
x 1
把题目中所给的解析式用t写一遍。
把上一行式子所有的t换成x再写一遍。
例5已知 f (2x 1) x22x，fC.2) =
解：令t2x 1，则
f(t) )2t 1
2
2 t
2
7、
9、
故f(
12
4
1
设函数f (2
1
1 x
x)
x
x，则 f (x)的表达式为(
A
、
B
、
2x 已知
A
、
f(1
1 xS)
x
X
1 x2
已知f (x
1
-)
x
10、已知f (2x
1 )
1 x 11、设函数f (^)
1 x
2
x
~~2
x
则f (x)的解析式为(
2x
1 x2
2x
1 x2
x
1 x2
1
-，则f(x)=
x
2
x 2x，贝y f(3)=
x，则f(x)的表达式为
9、 1]
x
2 12、已知 f( 1) x ， x 则 f (x)=
13、设函数f (x) 2x 3,g(x 2) f (x)，则g(x)的表达式是(
A 、2x 1 2x 1 C
、2x 3
、2x
14、已知一次函数 f (x) ax b 满足
f(1) 0，f (2)
f (x)解析式是( 1 A 、 一(X 1) B 2 1 2(x 3)
1
尹
3)
15、若f(x)是一次函数, f[f(x)]
4x 1 且，则 f(x) =
16、已知二次函数 f (x) 2
x 2(m
1)x c 2
2m m
(1) 如果它的图像经过原点，求 m 的值;
(2) 如果它的图像关于 7、 法一：令 (t 故 f (t)
从而f (x)
法一：令
1 f(t)- 1
(1 t(1 x) 1 x
法二: 由 f(1)
0排除A (无意义)
1 x
B (无意义)
:1 t
D ( f (1) 0) 1 t
故选C 。
1 t 法
三：
由 f(0)
1排除BD
1 t
1 t
由 f ( 3)
2排除A ，
1 x
1 x
故选C
1 t x
法二: 由 f (1)
1排除AB D ，选C
1 t
2 2
法三：
由 f ( 3)
-排除A B D ，选
t) (1 t)
5
y 轴对称，写出该函数的解析式 tx 1)x x
，则 则 C
2
(1 t) 2 (1 t) 4t 2(t 2 1)
2t
2x
x 2 1 f (x
丄)x 3 x
人
1 令t x —，则
x
从而f (x) f(t)
(x -)(x 2 x (x
^)[(x 丄)2
x x
2 t(t 1)，故 f (x)
于是f(3)
所以 f(x)
x (1x
)，x0
x(1 x), x 0
10、法一:
2x 1，则 x
?，故 f(t)
2
)2 2
11
、
令t 1 x ，则
t 1
x
故
f(t)
t 1
于是f (x)
x 1
1 x
t 1
t 1 x 1 12
、
令t 2 1 ，则
2 x
，故
f(t)
2
于是f(x) 2
x
t 1
t 1
x 1
13、
g(x 2)
2x 3，令t x 2，则 x t
2，故 g(t)
2(t 法二: 令x 得 f(3)
1 1 ,
2) 3 2t 1,
于是g(x)
2x 1
2 1
14、法一：由
2a
f(x)
[(x 1)，选 A
2
法二：由 f (1) 0排除C D ;
f(2)
-，排除 2
B ，选 A 。
b) b ab b 4x 1 ,
2
4
a 2 a 故
a
解得 1或
(a 1)b
1 b
3
b 1
16、 (1)
由 f (0)
m(2 m) 0得m 0或m (2) 由 f ( 1)
f(1)得 1 2(m
1) 2m
2(m 1) 2m m 2，
解析式求法: 知道一半求另外一半的解析式 (直接对换) 例1：已知函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0时,
f(x)
x(1 x).求函数f(x)的解析式。
解：(x, y)关于原点对称的点为
(x, y).
由于f (x)是奇函数，当x 0 时，y x(1
x). 故当x 0时，y x(1 x)即 y x(1 x)
15、设 f(x)
b ，则 f[f (x)]
a(ax ax 2
2 故 m 1,
m 2 f(x)
x 2 1
并证明你的判断。 证明：由于f (x)是偶函数
并证明你的判断。
证明：由于f(x)是奇函数，故对定义域中的任意一个 x ，有
由于 f (x)在(0,)上是减函数，故 x-i , x 2
(0, ), x-i x 2
，有 f(xj
f (x 2
) 0
令
t 1
x 2， t 2
x 1 ，则 t 1， t 2 ( ，0)， t 1 t 2
故 t i ,t 2
(
,0), t i t 2，有 f(
t 2) f( t i ) 0
即 f(t 2)
f(t -) 0
即 f (t i ) f(t 2)
所以 f(x) 在(
,0)上是减函数
本题草稿： (x, y )
( x, y)
y x(1 x)
x(1 x) x (1 x)
例 2 ：已知函数 f ( x) 是偶函数， 而且在 (0,
) 上是减函数。 判断f(x)在(，0)上是增函数还是减函数,
故对定义域中的任意一个 x ，有 f ( x) f(x)
由于 f(x) 在(0,
) 上是减函数 故
x 1 , x 2 (0,
),X i
X 2，有 f(xj
f (x 2) 0
令
t 1 x 2 , t 2 x 1 ，则 t 1, t 2 ( ,0), t 1 t 2
故
t 1,t 2 (
,0), t 1 t 2 ，有 f( t 2)
f ( t 1) 0 即
f (t 2 )
f (t 1 ) 0 即 f (t 1)
f(t 2) 0
所以 f(x) 在(
,0) 上是增函数
例 3：已知函数 f(x) 是奇函数， 而且在 (0,
) 上是减函数。 判断 f(x) 在(
,0) 上是增函数还是减函数，
f( x) f(x)
中职数学第三章函数-求解析式的其他方法介绍：换元法、配凑法
第8课时 求解析式的其他方法介绍：换元法、配凑法 【目标导航】 1.初步体验这二种方法在求解析式中的作用，会利用换元法与配凑法求一些简单函数的解析式。 2.琢磨式子结构，从结构来作为解决问题的出发点，有利于问题得到解决。 3.理解利用这二种方法转换的等价性，对定义域的书写正确的作用。 【知识链接】 1.完全平方公式： 。 2.配方法的基本步骤： 。 【自主学习】 1.用换元法解方程： 2(1)5(1)60x x ---+= 换元：令 = 。代入原式子得： 。 则方程变形为： 。解得： 。 还原式子得：○1 ，解得： ； ○ 2 ，解得： ； 所以原方程的解为： 。 2.利用配方法填空： （1）22x x ++ =（ 2)；（2）212 x x -+ =（ 2) （3）221x x +-=（ 2)+（ ）；（4）222x x ++=（ 2)+（ ）； （5）利用配方法解方程224315x x +-= 【例题精讲】 例1：（1）已知()21f x x =+求()2f x +（2）已知()225f x x +=+，求()f x 评注：已知()f g x ????， 求()f x 的解析式，一般可用换元法，具体为：令()t g x =，再求出()f t 可得()f x 的解析式，特别注意换元后新元t 的范围要加以确定,以作为所求解析式的定义域。
例2：已知()212f x x -=+，求()f x 的解析式。 评注：1.形如()f g x ????内的()g x 当作一个整体，在解析式的右端整理成只含()g x 的形式，再把()g x 用x 代替，从而求出()f x 的解析式。在此过程中完全平方公式的应用是关键。 2.实际上配凑法也蕴含了换元思想，值是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成题目当中的那种结构，在进行其整体换元。 例3：（选讲）已知) 1f x =+，求()f x （用换元法和拼凑法解） 评注：一般换元法与配凑法都可以通用，若一题用换元法求解析式，则也可以用配凑法。这二种方法一定要注意定义域的限制。 【及时训练】1.选用换元法或配凑法求下列函数解析式。 （1） 已知()13f x x +=- 求()f x （2） 已知()2122f x x x +=++，求()f x ；()3f ；()3f x +。 【反思总结】 1.无论是换元还是配凑，一定要注意自变量变换的等价性，就是在变化过程中，“元”的范围受到的限制要弄清楚。 2.换元法与配凑法的本质就是由函数的定义可知，在函数的定义域和法则f 不变的情况下，自变量变换字母，以至于变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响，这二种方法主要是体现了函数的这一性质求解。 （3）换元思想在数学中应用广泛，它一化难为易，化烦为简的功能而著称，从而快速从未知向已知转化，局部换元，整体换元是我们常见的类型，应用及其广泛，同学们一定要加强练习，经常体会，理解其这种数学思想。
高中数学3(换元法)
第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进
行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立，
解析式求法换元法
解析式求法(一般出在选择填空题) ①换元法(本节讲)②知道一半，求另一半的解析式，直接对换。(讲完奇偶性后讲) 例4已知解：令t 1 f (2x 1) ，求f(x)的解析式。 x 则x j 2 2x 2 是f(t)厂，故f(x) 详细解释: 令t 2x t 2 声明用t换掉2x 1 用t来表示x，即通过移项, 把上一行式子所有的x 都写在左边，所有的t都写在右边 f(t) 故f (x) 2 t 1 2 x 1 把题目中所给的解析式用t写一遍。 把上一行式子所有的t换成x再写一遍。 例5已知 f (2x 1) x22x，fC.2) = 解：令t2x 1，则 f(t) )2t 1 2 2 t 2 7、 9、 故f( 12 4 1 设函数f (2 1 1 x x) x x，则 f (x)的表达式为( A 、 B 、 2x 已知 A 、 f(1 1 xS) x X 1 x2 已知f (x 1 -) x 10、已知f (2x 1 ) 1 x 11、设函数f (^) 1 x 2 x ~~2 x 则f (x)的解析式为( 2x 1 x2 2x 1 x2 x 1 x2 1 -，则f(x)= x 2 x 2x，贝y f(3)= x，则f(x)的表达式为
9、 1] x 2 12、已知 f( 1) x ， x 则 f (x)= 13、设函数f (x) 2x 3,g(x 2) f (x)，则g(x)的表达式是( A 、2x 1 2x 1 C 、2x 3 、2x 14、已知一次函数 f (x) ax b 满足 f(1) 0，f (2) f (x)解析式是( 1 A 、 一(X 1) B 2 1 2(x 3) 1 尹 3) 15、若f(x)是一次函数, f[f(x)] 4x 1 且，则 f(x) = 16、已知二次函数 f (x) 2 x 2(m 1)x c 2 2m m (1) 如果它的图像经过原点，求 m 的值; (2) 如果它的图像关于 7、 法一：令 (t 故 f (t) 从而f (x) 法一：令 1 f(t)- 1 (1 t(1 x) 1 x 法二: 由 f(1) 0排除A (无意义) 1 x B (无意义) :1 t D ( f (1) 0) 1 t 故选C 。 1 t 法 三： 由 f(0) 1排除BD 1 t 1 t 由 f ( 3) 2排除A ， 1 x 1 x 故选C 1 t x 法二: 由 f (1) 1排除AB D ，选C 1 t 2 2 法三： 由 f ( 3) -排除A B D ，选 t) (1 t) 5 y 轴对称，写出该函数的解析式 tx 1)x x ，则 则 C 2 (1 t) 2 (1 t) 4t 2(t 2 1) 2t 2x x 2 1 f (x 丄)x 3 x 人 1 令t x —，则 x 从而f (x) f(t) (x -)(x 2 x (x ^)[(x 丄)2 x x 2 t(t 1)，故 f (x)
换元法求函数值
换元法求函数值 函数求值问题涉及很多方面： 1．分段函数求值问题，关键在于准确确定与自变量对应的函数解析式。 2．利用函数性质求值的关键在于利用函数的奇偶性、周期性或对称性等将自变量转化到已知区间内求解。 3．对于自变量之间存在某种特殊关系的函数求值问题，要注意与自变量对应的函数值之间关系的建立。 这里我们重点研究换元法求函数值，请看下面例子： 【典例】 设x ∈R ，若函数f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln2)的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 因为f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1，所以f (x )－e x 必然是一个常数，设f (x )－e x ＝t (t 为常数)，则f (x )＝e x ＋t ，故f (t )＝e t ＋t 。由已知可得f (t )＝e ＋1，所以e t ＋t ＝e ＋1。又函数y ＝e x ＋x 在R 上是单调递增的，显然t ＝1，所以f (x )＝e x ＋1，故f (ln2)＝e ln2＋1＝3。故选C 。 【答案】 C 先利用换元法，根据已知求出函数f (x )的解析式，然后代入 求值。 【变式训练】 设定义在R 上的函数f (x )满足f (tan 2x )＝1cos2x ， 则f ? ????12 017＋f ? ????12 016＋…＋f ? ????13＋f ? ?? ??12＋f (0)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝________。 解析 设t ＝tan 2x ，则1cos2x ＝1cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan 2x 1－tan 2x ＝1＋t 1－t ，所以f (t )＝1＋t 1－t 。故f (t )＋f ? ????1t ＝1＋t 1－t ＋1＋1t 1－1t ＝1＋t 1－ t
换元法
换元法
运用换元法解题时，要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”，不同的问题有不同的方法和技巧。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元的种类有：等参量换元、非等量换元。 局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如：解不等式：4x +2x －2≥0，先变形为设2x =t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式：2t +t-2≥0求解得：t ≥1,t ≤-2指数函数的单调性求解2x ≥1, 2x ≤-2的问题。 x ≥0,x ≤ 1 4 三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=21x -的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α ，sin α∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量x 、y 适合条件222x y r +=时(r>0)，则可作三角代换x=rcos θ、y=rsin θ化为三角问题。 均值换元:如遇到x+y=2S 形式时，设x= S+t ，y= S －t 等等。 例1. 分解因式 分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。 解：法一：对和换元，用换元法解 设 则原式 法二：用换元法来解
设，则 原式 法三：将原式整理成关于x的二次三项式 原式 在函数中的应用 1、求函数的定义域 例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x2)的定义域。 解：设x2=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x2≦3,所以 -√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3] 2、求函数的解析式 例3、已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)的解析式 解：设x+1=t,则x=t-1, 所以 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x2-4x-1。 例4、已知f(x+1/x)=x2+1/x2, 求f(x)的解析式 解：设x+1/x =t，则x2+1/x2=(x+1/x)2-2，即x2+1/x2=t2-2 故f(t)=t2-2, 因此f(x)=x2-2 化简求值：
从换元法,整体思想到函数的解析式00
从换元法，整体思想到函数的解析式 【基础内容与方法】 题目常见形式“已知()[]x g f 的解析式，求)(x f 的解析式．” 1.“整体代入法”是把)(x g 视为一个整体，将()[]x g f 的解析式转化为含)(x g 的表达式，然后直接整体代换)(x g ，即可求出解析式，此种方法不必求出x ，可以减少运算量． 2.“换元法”是通过引入参数t 进行式子的变形，从而得到)(x f 的表达式，这是解此类型题的通法． 类型一：已知f (x )的解析式，求f [g (x )]的解析式 例1：已知f (x )＝2x 2＋1，求f (x ＋1)的解析式． 类型二：已知f [g (x )] 的解析式，求f (x )的解析式 方法：通过引入参数t ，进行换元，分离相应的变量x,从而得到f (x )的解析式． 例2：已知函数f (1＋x x )＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x ) ．
考点练习 1．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 2．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________ 3．设f (x )＝11－x ，则f [f (x )]＝________. 4．已知函数f (x )＝x 21＋x 2 ． (1)求f (2)＋f (12)，f (3)＋f (13)的值； (2)求证：f (x )＋f (1x )是定值； (3)求f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋…＋f (2 012)＋f (12 012)的值． [来
解析式求法换元法之令狐文艳创作
解析式求法（一般出在选择填空题） 令狐文艳 ①换元法（本节讲）②知道一半，求另一半的解析式，直接对换。（讲完奇偶性后讲） 例4 已知1(21)f x x +=，求()f x 的解析式。 解：令21t x =+，则12t x -=，于是2()1f t t =-，故2 ()1f x x =- 详细解释： 令21t x =+…………………声明用t 换掉21x + 则1 2 t x -= …………………用t 来表示x ，即通过移项，把上一行式子所有的x 都写在左边，所有的t 都写在 右边 于是2 ()1 f t t = -…………把题目中所给的解析式用t 写一 遍。 故2 ()1 f x x = -……………把上一行式子所有的t 换成x 再写一遍。 例5 已知 2(21)2f x x x -=+，则f = _________ 解：令21t x =-，则1 2 t x += ， 于是2211135()()222424 t t f t t t ++=+?=++ 故1357 242424 f = ?+=+ 7、设函数1( )1x f x x -=+，则)(x f 的表达式为（）
A 、x x -+11B 、1 1-+x x C 、x x +-11D 、 1 2+x x 8、已知 22 11()11x x f x x --= ++，则()f x 的解析式为（ ） A 、 2 1x x + B 、212x x +- C 、212x x + D 、2 1x x +- 9、已知 3311 ()f x x x x +=+，则()f x ＝ 10、已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f ＝ 11、设函数 1()1x f x x +=-，则 ) (x f 的表达式为 ____________________ 12、已知2 ( 1)f x x +=，则()f x ＝ 13、设函数()23,(2)()f x x g x f x =++= ，则()g x 的表达式是（ ） A 、21x + B 、21x - C 、23x - D 、27x + 14、已知一次函数b ax x f +=)(满足0)1(=f ，2 1 )2(-=f ，则)(x f 解析式是（ ） A 、)1(21-- x B 、)1(21-x C 、)3(21--x D 、)3(21 -x 15、若) (x f 是一次函数， 1 4)]([-=x x f f 且，则 ) (x f = _______________ 16、已知二次函数22()2(1)2f x x m x m m =-+-+- （1）如果它的图像经过原点，求m 的值； （2）如果它的图像关于y 轴对称，写出该函数的解析式. 7、法一：令11x t x -= +，则(1)1t x x +=- 1t tx x +=- (1)1t x t +=- 11t x t -=+ 故1()1t f t t -=+ 法二：由(1)0f =排除A （无意义） B （无意义） D （(1)0f ≠） 故选 C 。 法三：由(0)1f =排除B D 由(3)2f -=-排除A ， 故选C
函数解析式的表示形式及五种确定方式
函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]()???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81 x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出
换元法求函数值域(20200930122252)
2 39 2 8 解：令 t ..^^(t 0)，则 t 2 3x t 2 ???原函数可化为y (t i)2 ???其函数图像如图 1所示 1 ???当t 2时，即 x y 取得最大值y max = 5，无最小 值。 4 ???函数y 3x J 3x 的值域为（- OO 5] 例2、求函数y 4x 3的值域。 ( ，/ 戶（t-g 出計 1 '/ /. 我*7 \ .E1 \ 解：［换元法］令t 2x 3 (t 0)，则 t 2 t 2 ?原函数可化为y 4' 3 1 t 2 1 2 2t t 5 2(t 4) 换元法求函数值域 某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数， 从而 求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。 形 如 y ax b cx d （a 、b 、c 、d 均为常数，且 0），可以令 t = cx — （t t 2 d t 2 d -- ? y a - - b t ；从而就把原函数化 c c 成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要 注意参数t 的取值范围。换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求函数的 值域中同样发挥着重要的作用。 例1求函数y 3x .1 3x 的值域。 且a ^0），因此，可以考虑用换元法 2 0),则有 t cx d ? x 分析：函数y 3x ,1 3x 形如y ax 、、cx d （a 、b 、c 、d 均为常数,
???当t 0时，即x 3时，y 取得最小值y min =5,无最大值。 2 ?函数y 4x 1 飞的值域为［5 , +x)。 例3、求函数y x 的值域。⑷ 分析：函数y x 1 x 2的定义域为［-1，1］，我们注意到1 sint 1 t 八因此，对于定义域为 ［-1 ， 1］ 的函数，我们可以考虑用 x sint( 3 t —)进行三角换元。 解：函数 y x ,1 x 2的定义域为［-1 ，1］， 设x sint(- 则原函数y x sint cost = ,2 si n(t ) 4 看图像(图2) 1 、、2si n(t )2 ? 4 即原函数的值域为［-1 ,、、 2］。 sin(t 1 y
最新解析式求法换元法
解析式求法（一般出在选择填空题） ①换元法（本节讲）②知道一半，求另一半的解析式，直接对换。（讲完奇偶性后讲） 例4 已知1(21)f x x += ，求()f x 的解析式。 解：令21t x =+，则12t x -=，于是2()1f t t =-，故2()1f x x =- 详细解释： 令21t x =+ …………………声明用t 换掉21x + 则12 t x -= …………………用t 来表示x ，即通过移项，把上一行式子所有的x 都写在左边，所有的t 都写在右边 于是2()1 f t t =- …………把题目中所给的解析式用t 写一遍。 故2()1f x x =- ……………把上一行式子所有的t 换成x 再写一遍。 例5 已知2(21)2f x x x -=+，则f = _________ 解：令21t x =-，则12 t x +=， 于是2211135()()222424 t t f t t t ++=+?=++ 故135724244 f =?+= 7、设函数1( )1x f x x -=+，则)(x f 的表达式为（ ） A 、x x -+11 B 、11-+x x C 、x x +-11 D 、1 2+x x 8、已知2 211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A 、 21x x + B 、212x x +- C 、212x x + D 、21x x +- 9、已知3311()f x x x x +=+，则()f x ＝ 10、已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f ＝ 11、设函数1( )1x f x x +=-，则)(x f 的表达式为____________________
换元法
换元法 换元法：又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。使用换元法时要注意“新元”的范围，“新元”所受的限制条件还要注意根据题设条件验证结果。换元的总目的是化繁为简，具体地说是：化超越为代数，化无理为有理，化分式为整式，化高次为低次等等。 例1. 分解因式 分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。
解：法一：对和换元，用换元法解 设 则原式 法二：用换元法来解 设，则 原式 法三：将原式整理成关于x的二次三项式 原式 在函数中的应用 1、求函数的定义域 例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x2)的定义域。 解：设x2=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x2≦3,所以-√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3] 2、求函数的解析式
函数解析式的七种求法(讲解)
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴??????=-===321 2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。 注意：所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 解：2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x Q x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x
四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 Θx x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x 1 ，得： x x f x f 1 )(2)1 (=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 32 3)(--= 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又 ,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 Θ)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴ 又11 )()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11 )()(+-=-+-x x g x f 即11 )()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得 11 )(2-=x x f ， x x x g -=21 )(
高中数学必修一求函数解析式解题方法大全及配套练习
高中数学必修一求函数解析式解题 方法大全及配套练习 一、 定义法： 根据函数的定义求解析式用定义法。 【例1】设23)1(2 +-=+x x x f ，求)(x f . 2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2 ++-+x x 65)(2+-=∴x x x f 【例2】设2 1 )]([++= x x x f f ，求)(x f . 解：设x x x x x x f f ++=+++=++=11111 11 21)]([ x x f += ∴11)( 【例3】设33221 )1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+ ，求)]([x g f . 解：2)(2)1 (1)1(2222-=∴-+=+=+ x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x x x x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([2 4 6 2 3 -+-=--=x x x x x x g f 【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 解：)2 ( 17cos )]2 [cos()(sin x x f x f -=-=π π x x x 17sin )172 cos()1728cos(=-=-+ =π π π.
二、 待定系数法：（主要用于二次函数） 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程， 从而求出函数解析式。 它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴????? ?=-===32 12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2 )1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ?? ?=++=+8 2 2b a b b a 解得 ?? ?==. 7, 1b a 故f （x ）= x 2+7x. 【例3】已知1392)2(2 +-=-x x x f ，求)(x f . 解：显然，)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2 +-=-x x x f 比较系数得：?? ???=+--=-=13 24942c b a a b a 解得：?????=-==312c b a 32)(2 +-=∴x x x f
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。 例1 已知f （x x 1 +）= x x x 112 2++，求f （x ）的解析式. 解： 设 x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1 )11(22-+ -+-t t t = 1+2 )1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2 )1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2 )1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2 )1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ? ? ?=++=+82 2b a b b a 解得 ?? ?==. 7, 1b a 故f （x ）= x 2+7x.
从换元法,整体思想到函数的解析式
从换元法，整体思想到函数的解析式 【基础内容与方法】 题目常见形式“已知() []x g f的解析式，求)(x f的解析式．” 1.“整体代入法”是把)(x g视为一个整体，将() []x g f的解析式转化为含)(x g的表达式，然后直接整体代换)(x g，即可求出解析式，此种方法不必求出x，可以减少运算量． 2.“换元法”是通过引入参数t进行式子的变形，从而得到)(x f的表达式，这是解此类型题的通法． 类型一：已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式 例1：已知f(x)＝2x2＋1，求f(x＋1)的解析式． 方法：解决此类问题的方法为“直接代入法”，直接代入法主要解决已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式的问题，其解法为用g(x)替换f(x)解析式中的所有自变量x. 解析：因为f(x)＝2x2＋1， 所以f(x＋1)＝2(x＋1)2＋1＝2x＋4x＋3. 类型二：已知f[g(x)] 的解析式，求f(x)的解析式
方法：通过引入参数t ，进行换元，分离相应的变量x,从而得到f (x )的解析式． 例2：已知函数f (1＋x x )＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x ) ． 解析：令t ＝1＋x x ＝1x ＋1，得x ＝1t －1 ， 则t ≠1.把x ＝1t －1 代入f (1＋x x )＝1＋x 2x 2＋1x ，得 f (t )＝1＋f(1t －12,f(1,t －1)2)＋11t －1 ＝(t －1)2＋1 ＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 考点练习 1．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 解析：选B ，∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1， 即g (x )＝2x －1，故选B ．
换元法求函数值域
换元法求函数值域 某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。形 如y ax b =+(a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，可以令 ≥0), 则有2 t cx d =+ ∴2t d x c -= ∴2t d y a b t c -=?+± ； 从而就把原函数化成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数t 的取值范围。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。 例1、求函数3y x = 分析：函数3y x =y ax b =+ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，因此，可以考虑用换元法。 解：令0)t t ≥，则213t x =- ∴2 13 t x -= ∴原函数可化为213 3 t y t -=?+=21t t -++=215()24t --+ ∴ 其函数图像如图1所示 ∴当12t =时，即14 x =时 y 取得最大值max y =54,无最小值。 ∴函数3y x =- ∞，54 ]。 例2、求函数41y x =- 解：[换元法] 令t = (0)t ≥，则232 t x += ∴原函数可化为222313941252()248 t y t t t t +=?-+=++=++
∵0t ≥ ∴当0t =时，即32x =时，y 取得最小值min y =5，无最大值。 ∴函数41y x =-[5 ，+∞）。 例3、求函数y x =[4] 分析：函数 y x =的定义域为[-1，1] ，我们注意到1sin 1t -≤≤ ()22t π π -≤≤,因此,对于定义域为[-1，1]的函数,我们可以考虑用sin ()22x t t π π=-≤≤进行三角换元。 解：函数 y x =的定义域为[-1，1]， 设sin ()22x t t π π =-≤≤， 则原函数y x =sin cos y t t =+= )4t π+ ∵22t π π -≤≤ ∴3444 t π π π-≤+≤ 看图像（图2）可知sin()124 t π-≤+≤ ∴1)4 t π-≤+≤1y -≤≤ 即原函数的值域为[-1。
函数解析式求法集锦(1)
求函数的解析式的方法 求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析. 一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。 例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 练习1．若x x x f -=1)1 (,求)(x f . 2.已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。 一般的利用完全平方公式 例题2．已知221)1 (x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 练习3．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . 三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数 例3. （1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图像过点(2,1)-，求()f x ； （2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图像过原点，求()g x ； （3）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； （4）已知二次函数()F x ，其图像的顶点是(1,2)-，且经过原点，求()F x .
练习4．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式. 5. 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 四．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式 例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x f x f 4)1 (2)(3=+,求)(x f 的解析式. 练习6．若x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . 7. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1)()(-= +x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 五．利用给定的特性求解析式;一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f （x ）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x) 例题5设)(x f 是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +?=2)(,求当x ＜0时， )(x f 的表达式. 练习8．对x ∈R, )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时,
解析式求法换元法
解析式求法换元法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
解析式求法（一般出在选择填空题） ①换元法（本节讲）②知道一半，求另一半的解析式，直接对换。（讲完奇偶性后讲） 例4 已知1(21)f x x +=，求()f x 的解析式。 解：令21t x =+，则12t x -=，于是2()1f t t =-，故2()1 f x x =- 详细解释： 令21t x =+ …………………声明用t 换掉21x + 则12 t x -= …………………用t 来表示x ，即通过移项，把上一行式子所有的x 都写在左边，所有的t 都写在右边 于是2()1 f t t =- …………把题目中所给的解析式用t 写一遍。 故2()1 f x x =- ……………把上一行式子所有的t 换成x 再写一遍。 例5 已知2(21)2f x x x -=+，则f = _________ 解：令21t x =-，则12 t x +=， 于是2211135()()222424 t t f t t t ++=+?=++ 故135724244 f =?+=+ 7、设函数1()1x f x x -=+，则)(x f 的表达式为（ ） A 、x x -+11 B 、11-+x x C 、x x +-11 D 、1 2+x x 8、已知2 211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A 、 21x x + B 、212x x +- C 、212x x + D 、21x x +- 9、已知3311()f x x x x +=+，则()f x ＝ 10、已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f ＝ 11、设函数1()1x f x x +=-，则)(x f 的表达式为____________________