解析式求法换元法
解析式求法（一般出在选择填空题）
①换元法（本节讲）②知道一半，求另一半的解析式，直接对换。（讲完奇偶性后讲）
例4 已知1(21)f x x
+=
，求()f x 的解析式。 解：令21t x =+，则12t x -=，于是2()1f t t =-，故2()1f x x =-
详细解释：
令21t x =+ …………………声明用t 换掉21x + 则12
t x -=
…………………用t 来表示x ，即通过移项，把上一行式子所有的x 都写在左边，所有的t 都写在右边 于是2()1
f t t =- …………把题目中所给的解析式用t 写一遍。 故2()1f x x =- ……………把上一行式子所有的t 换成x 再写一遍。
例5 已知2(21)2f x x x -=+，则f = _________
解：令21t x =-，则12
t x +=， 于是2211135()()222424
t t f t t t ++=+?=++
故135724244
f =?+= 7、设函数1(
)1x f x x -=+，则)(x f 的表达式为（ ） A 、x x -+11 B 、11-+x x C 、x x +-11 D 、1
2+x x 8、已知2
211()11x x f x x
--=++，则()f x 的解析式为（ ） A 、
21x x + B 、212x x +- C 、212x x + D 、21x
x +- 9、已知3311()f x x x x +=+，则()f x ＝
10、已知x x x f 2)12(2
-=+，则)3(f ＝
11、设函数1(
)1x f x x
+=-，则)(x f 的表达式为____________________
12、已知2(1)f x x +=，则()f x ＝
13、设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）
A 、21x +
B 、21x -
C 、23x -
D 、27x +
14、已知一次函数b ax x f +=)(满足0)1(=f ，2
1)2(-=f ，则)(x f 解析式是（ ） A 、)1(21--x B 、)1(21-x C 、)3(21--x D 、)3(2
1-x
15、若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = _______________
16、已知二次函数22()2(1)2f x x m x m m =-+-+-
（1）如果它的图像经过原点，求m 的值；
（2）如果它的图像关于y 轴对称，写出该函数的解析式.
7、法一：令11x t x
-=+，则(1)1t x x +=- 1t tx x +=-
(1)1t x t +=- 11t x t -=
+ 故1()1t f t t -=+ 从而1()1x f x x -=+ 法二：由(1)0f =排除A （无意义） B （无意义） D （(1)0f ≠）
故选C 。
法三：由(0)1f =排除B D
由(3)2f -=-排除A ，
故选C
8、法一：令11x t x -=+，则11t x t -=+ 故2211()1()11()1t t f t t t --+=-++2222(1)(1)(1)(1)t t t t +--=++- 22422(1)1t t t t =
=++ 从而22()1
x f x x =+ 法二：由(1)1f =排除A B D ，选C 法三：由3(3)5f -=-排除A B D ，选C
9、3311()f x x x x +=+
2211()(1)x x x x =+++211()[()1]x x x x =++- 令1t x x
=+，则2()(1)f t t t =-，故3()f x x x =-
10、法一：令21t x =+，则12t x -=，故211()()222
t t f t --=-? 于是(3)121f =-=-
法二：令1x =，得(3)121f =-=-
11、令11x t x +=-，则11t x t -=+ 故1()1
t f t t -=+ 于是1()1x f x x -=+ 12、令21t x =+，则21x t =-，故2()1f t t =-，于是2()1
f x x =- 13、(2)23
g x x +=+，令2t x =+，则2x t =-，故()2(2)321g t t t =-+=-，
于是()21g x x =-
14、法一：由0122a b a b +=???+=-?? 得 121
2
a b ?=-????=?? 故 111()(1)222f x x x =-+=-- ，选A 法二：由0)1(=f 排除C D ；由2
1)2(-=f ，排除B ，选A 。 15、设()f x ax b =+，则2[()]()41f f x a ax b b a x ab b x =++=++=-，
故24(1)1a a b ?=?+=-?解得213a b =???=-?? 或 21
a b =-??=? 16、（1）由(0)(2)0f m m =-=得0m =或2m =
（2）由(1)(1)f f -=得22
12(1)212(1)2m m m m m m ---+-=-+-+-， 故1m =，2
()1f x x =-+ 解析式求法：知道一半求另外一半的解析式 (直接对换)
例1：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+. 求函数()f x 的解析式。 解：(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --.
由于()f x 是奇函数，当0x ≥时，(1)y x x =+.
故当0x <时，(1)y x x -=-- 即(1)y x x =-
所以(1), 0()(1), 0
x x x f x x x x +≥?=?-
→--
(1)(1)y x x y x x =+???→-=--
即(1)y x x =-
例2：已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数。判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断。
证明：由于()f x 是偶函数
故对定义域中的任意一个x ，有()()f x f x -=
由于()f x 在(0,)+∞上是减函数
故1212,(0,),x x x x ?∈+∞<，有12()()0f x f x ->
令1221, t x t x =-=-，则1212,(,0), t t t t ∈-∞<
故1212,(,0), t t t t ?∈-∞<，有21()()0f t f t --->
即21()()0f t f t ->
即12()()0f t f t -<
所以()f x 在(,0)-∞上是增函数
例3：已知函数()f x 是奇函数，而且在(0,)+∞上是减函数。判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断。
证明：由于()f x 是奇函数,故对定义域中的任意一个x ，有()()f x f x -=-
由于()f x 在(0,)+∞上是减函数,故1212,(0,),x x x x ?∈+∞<，有12()()0f x f x ->
令1221, t x t x =-=-，则1212,(,0), t t t t ∈-∞<
故1212,(,0), t t t t ?∈-∞<，有21()()0f t f t --->
即21()()0f t f t -+>
即12()()0f t f t ->
所以()f x 在(,0)-∞上是减函数
换元法求函数值
换元法求函数值 函数求值问题涉及很多方面： 1．分段函数求值问题，关键在于准确确定与自变量对应的函数解析式。 2．利用函数性质求值的关键在于利用函数的奇偶性、周期性或对称性等将自变量转化到已知区间内求解。 3．对于自变量之间存在某种特殊关系的函数求值问题，要注意与自变量对应的函数值之间关系的建立。 这里我们重点研究换元法求函数值，请看下面例子： 【典例】 设x ∈R ，若函数f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln2)的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 因为f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1，所以f (x )－e x 必然是一个常数，设f (x )－e x ＝t (t 为常数)，则f (x )＝e x ＋t ，故f (t )＝e t ＋t 。由已知可得f (t )＝e ＋1，所以e t ＋t ＝e ＋1。又函数y ＝e x ＋x 在R 上是单调递增的，显然t ＝1，所以f (x )＝e x ＋1，故f (ln2)＝e ln2＋1＝3。故选C 。 【答案】 C 先利用换元法，根据已知求出函数f (x )的解析式，然后代入 求值。 【变式训练】 设定义在R 上的函数f (x )满足f (tan 2x )＝1cos2x ， 则f ? ????12 017＋f ? ????12 016＋…＋f ? ????13＋f ? ?? ??12＋f (0)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝________。 解析 设t ＝tan 2x ，则1cos2x ＝1cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan 2x 1－tan 2x ＝1＋t 1－t ，所以f (t )＝1＋t 1－t 。故f (t )＋f ? ????1t ＝1＋t 1－t ＋1＋1t 1－1t ＝1＋t 1－ t
函数值域的求法(精选例题)
函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43
3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-
4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2
6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-
中职数学第三章函数-求解析式的其他方法介绍：换元法、配凑法
第8课时 求解析式的其他方法介绍：换元法、配凑法 【目标导航】 1.初步体验这二种方法在求解析式中的作用，会利用换元法与配凑法求一些简单函数的解析式。 2.琢磨式子结构，从结构来作为解决问题的出发点，有利于问题得到解决。 3.理解利用这二种方法转换的等价性，对定义域的书写正确的作用。 【知识链接】 1.完全平方公式： 。 2.配方法的基本步骤： 。 【自主学习】 1.用换元法解方程： 2(1)5(1)60x x ---+= 换元：令 = 。代入原式子得： 。 则方程变形为： 。解得： 。 还原式子得：○1 ，解得： ； ○ 2 ，解得： ； 所以原方程的解为： 。 2.利用配方法填空： （1）22x x ++ =（ 2)；（2）212 x x -+ =（ 2) （3）221x x +-=（ 2)+（ ）；（4）222x x ++=（ 2)+（ ）； （5）利用配方法解方程224315x x +-= 【例题精讲】 例1：（1）已知()21f x x =+求()2f x +（2）已知()225f x x +=+，求()f x 评注：已知()f g x ????， 求()f x 的解析式，一般可用换元法，具体为：令()t g x =，再求出()f t 可得()f x 的解析式，特别注意换元后新元t 的范围要加以确定,以作为所求解析式的定义域。
例2：已知()212f x x -=+，求()f x 的解析式。 评注：1.形如()f g x ????内的()g x 当作一个整体，在解析式的右端整理成只含()g x 的形式，再把()g x 用x 代替，从而求出()f x 的解析式。在此过程中完全平方公式的应用是关键。 2.实际上配凑法也蕴含了换元思想，值是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成题目当中的那种结构，在进行其整体换元。 例3：（选讲）已知) 1f x =+，求()f x （用换元法和拼凑法解） 评注：一般换元法与配凑法都可以通用，若一题用换元法求解析式，则也可以用配凑法。这二种方法一定要注意定义域的限制。 【及时训练】1.选用换元法或配凑法求下列函数解析式。 （1） 已知()13f x x +=- 求()f x （2） 已知()2122f x x x +=++，求()f x ；()3f ；()3f x +。 【反思总结】 1.无论是换元还是配凑，一定要注意自变量变换的等价性，就是在变化过程中，“元”的范围受到的限制要弄清楚。 2.换元法与配凑法的本质就是由函数的定义可知，在函数的定义域和法则f 不变的情况下，自变量变换字母，以至于变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响，这二种方法主要是体现了函数的这一性质求解。 （3）换元思想在数学中应用广泛，它一化难为易，化烦为简的功能而著称，从而快速从未知向已知转化，局部换元，整体换元是我们常见的类型，应用及其广泛，同学们一定要加强练习，经常体会，理解其这种数学思想。
换元法解复合函数零点问题(6lw)
换元法解复合函数零点问题 1、设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由 3个不同的解123,,x x x ，则222 123x x x ++=______ 2、关于x 的方程( ) 2 2 21 3120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 3、已知函数 11()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2 ()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 4、已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,02 12,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方程 ()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5、已知函数()2 43f x x x =-+，若方程()()2 0f x bf x c ++=????恰有七个不相同的实 根，则实数b 的取值范围是（ ） A. ()2,0- B. ()2,1-- C. ()0,1 D. ()0,2 6、已知函数()2 1,0 log ,0ax x f x x x +≤?=?>?，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正 确的是（ ） A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点 B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点 C. 无论a 为何值，均有2个零点 D. 无论a 为何值，均有4个零点
值域经典题型
值域简单练习题 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 2.求函数132)(++= x x x f 的值域 3. 求函数1 33)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域 5.1321 3)(x x +?-=x f 6.1)(22 +--=x x x x x f 7.x -1x 3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f 10.y =11.2256y x x =-++ 12.2cos 1 3cos 2x y x +=- 13. 求函数()1y x =≥的值域。
值域的求法加强练习题 解答题（共10小题） 1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）． 2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）． （1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合； （2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域． 3．求函数的值域：． 4．求下列函数的值域： （1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）； （4）；（5）（6）； 5．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）x∈[0，3]且x≠1；
（4）． 6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|． 7．求下列函数的值域． （1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域． 9．已知f（x）的值域为，求y=的值域． 10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．
函数求值域方法之值域换元法
函数求值域方法之值域换元法
函数求值域方法之值域换元法 求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。 五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法（难度较大）；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法 类型一：一般换元法 形如：y=ax+b ±d cx + 方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t=d cx +，用t 表示x ，带入原函数得到一个关于t 的二次函数，求解值域即可。 例1：求函数1)(--=x x x f 的值域 分析：本题),1[+∞∈x ，在取值区间内，x 单调增，1-x 单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。 解：另1-=x t （0≥t ），则12+=t x ， 代入)(x f 得1)(2+-=t t x f （0≥t ） 本题实求二次函数在指定区间内的范围
③巧用万能公式：2 tan 12tan 2sin 2θ θ θ+= 2 tan 12tan 1cos 2 2 θ θθ+-= 三角换元时，尤其注意确定好θ的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明。 例2：求21)(x x x f -+=的值域 分析：本题若使用一般换元法，则只能得到2x 与2t 之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为2x 前面的系数是-1，所以使用公式①换元 解：令θsin =x ， 012≥-x ，∴]1,1[-∈x ，]1,1[sin -∈∴θ 另]2 ,2[π πθ- ∈（原因：方便后面化出来的θcos ，不用讨论正负性了） 代入)(x f ，得θθ2sin 1sin )(-+=x f =|cos |sin θθ+ ]2 ,2[π πθ- ∈，θθcos sin )(+=∴x f 辅助角公式，合一变形得：)4sin(2)(πθ+=x f （]2 ,2[π πθ-∈） ]4 3,4[4 π ππ θ- ∈+ ，∴]2,1[)(-∈x f 变式：求22)(x x x f -+=的值域 分析：另θsin 2=x 即可
函数值域的求法及例题
函数值域的求法 在函数概念的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应法则所确定，因此，研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法. [例1]：求下列函数的值域 (1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2} (3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1） (4)y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜ (5)y ＝2x －3＋134-x (6)y ＝2 224)1(5 +++x x x (7)y ＝5 21+-x x (8)y ＝1223222++--x x x x (9)y ＝3－2x －x 2 x ∈[－3，1] (10)y ＝2 1322+-x x 分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域. 对于(7)可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析，即利用“判别式”法求得其值域. 对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域. 解：(1)y ∈R (2)y ∈{1，0，－1} (3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1] 时，得y ∈[－1，8] (4)对于y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的理解，从几何意义入 手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x ＋1｜表示在数轴上表示x 的点到点－1的距离，｜x －2｜表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点x A ≤－1，－1＜x B ＜2，x C ≥c ，如图所示，可以看出｜x A ＋1｜－｜x A －2｜＝－3 －3＜｜x B ＋1｜－｜x B －2｜＜3，｜x C ＋1｜－｜x C －2｜＝3，由此可知，对于任意实数x ，都有－3≤｜x ＋1｜－｜x －2｜≤3所以函数y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的值域为y ∈[－3，3] (5)对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域. ∵4x －13≥0 ∴x ∈[4 13 ，＋∞)令t ＝134-x 则得：x ＝4132+t
高中数学3(换元法)
第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进
行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立，
求值域的方法,带例题
1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 44|2 -≤}. 练习1．求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y 2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。 练习2.求函数1 1)(+-= x x e e x f 的值域。 3．有解判别法： 有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例1．求函数y=1 1 22+++-x x x x 值域 解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题?≥0，
即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得33 1 ≤≤y 且 y ≠1. 综上：值域{y|33 1 ≤≤y }. 例2．求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？） 解：把已知函数化为(2)(3)36 1(2)(3)33 x x x y x x x x ---===- -+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1 ∵ x=2时 51-=y ∴ 5 1 -≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5 1 -} 练习3（1）31 (1)2 x y x x +=≤- （2）22 1x x y x x -=-+ 4．二次函数在给定区间上的值域。 例3． 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142 ∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 注：对于二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值 321-1-2-3 654321-1-2x O y
解析式求法换元法
解析式求法(一般出在选择填空题) ①换元法(本节讲)②知道一半，求另一半的解析式，直接对换。(讲完奇偶性后讲) 例4已知解：令t 1 f (2x 1) ，求f(x)的解析式。 x 则x j 2 2x 2 是f(t)厂，故f(x) 详细解释: 令t 2x t 2 声明用t换掉2x 1 用t来表示x，即通过移项, 把上一行式子所有的x 都写在左边，所有的t都写在右边 f(t) 故f (x) 2 t 1 2 x 1 把题目中所给的解析式用t写一遍。 把上一行式子所有的t换成x再写一遍。 例5已知 f (2x 1) x22x，fC.2) = 解：令t2x 1，则 f(t) )2t 1 2 2 t 2 7、 9、 故f( 12 4 1 设函数f (2 1 1 x x) x x，则 f (x)的表达式为( A 、 B 、 2x 已知 A 、 f(1 1 xS) x X 1 x2 已知f (x 1 -) x 10、已知f (2x 1 ) 1 x 11、设函数f (^) 1 x 2 x ~~2 x 则f (x)的解析式为( 2x 1 x2 2x 1 x2 x 1 x2 1 -，则f(x)= x 2 x 2x，贝y f(3)= x，则f(x)的表达式为
9、 1] x 2 12、已知 f( 1) x ， x 则 f (x)= 13、设函数f (x) 2x 3,g(x 2) f (x)，则g(x)的表达式是( A 、2x 1 2x 1 C 、2x 3 、2x 14、已知一次函数 f (x) ax b 满足 f(1) 0，f (2) f (x)解析式是( 1 A 、 一(X 1) B 2 1 2(x 3) 1 尹 3) 15、若f(x)是一次函数, f[f(x)] 4x 1 且，则 f(x) = 16、已知二次函数 f (x) 2 x 2(m 1)x c 2 2m m (1) 如果它的图像经过原点，求 m 的值; (2) 如果它的图像关于 7、 法一：令 (t 故 f (t) 从而f (x) 法一：令 1 f(t)- 1 (1 t(1 x) 1 x 法二: 由 f(1) 0排除A (无意义) 1 x B (无意义) :1 t D ( f (1) 0) 1 t 故选C 。 1 t 法 三： 由 f(0) 1排除BD 1 t 1 t 由 f ( 3) 2排除A ， 1 x 1 x 故选C 1 t x 法二: 由 f (1) 1排除AB D ，选C 1 t 2 2 法三： 由 f ( 3) -排除A B D ，选 t) (1 t) 5 y 轴对称，写出该函数的解析式 tx 1)x x ，则 则 C 2 (1 t) 2 (1 t) 4t 2(t 2 1) 2t 2x x 2 1 f (x 丄)x 3 x 人 1 令t x —，则 x 从而f (x) f(t) (x -)(x 2 x (x ^)[(x 丄)2 x x 2 t(t 1)，故 f (x)
高一数学《函数的定义域值域》练习题
函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。
例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；
换元法求函数值域
换元法求函数值域 Prepared on 24 November 2020
换元法求函数值域 某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。形如y ax b cx d =+±+ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，可以令t cx d + ≥0),则有2 t cx d =+ ∴2t d x c -= ∴2t d y a b t c -=?+± ； 从而就把原函数化成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数t 的取值范围。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。 例1、求函数313y x x =+- 分析：函数313y x x =-形如y ax b cx d =++ (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)，因此，可以考虑用换元法。 解：令13(0)t x t =-≥，则213t x =- ∴2 13 t x -= ∴原函数可化为2133t y t -=?+=21t t -++=215()24 t --+ ∴ 其函数图像如图1所示 ∴当12t = 时，即14 x =时 y 取得最大值max y =54,无最小值。 ∴函数313y x x =-的值域为（- ∞，54 ]。 例2、求函数4123y x x =-+- 解：[换元法] 令23t x =- (0)t ≥，则232 t x += ∴原函数可化为222313941252()248 t y t t t t +=?-+=++=++
∵0t ≥ ∴当0t =时，即32 x =时，y 取得最小值min y =5，无最大值。 ∴函数4123y x x =--的值域为[5 ，+∞）。 例3、求函数21y x x =-[4] 分析：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1] ，我们注意到1sin 1t -≤≤ ()22t π π -≤≤,因此,对于定义域为[-1，1]的函数,我们可以考虑用sin ()22x t t π π=-≤≤进行三角换元。 解：函数 21y x x =-的定义域为[-1，1]， 设sin ()22x t t π π =-≤≤， 则原函数21y x x =-可化为sin cos y t t =+2)4 t π+ ∵22t ππ-≤≤ ∴3444t πππ-≤+≤ 看图像（图2）可知2sin()124 t π-≤+≤ ∴12)24 t π-≤+≤∴12y -≤≤即原函数的值域为[-12]。
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
函数专题之值域与最值问题 一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域. 例1:求函数) + =的值域. y- 3x 3 2( 点拨：根据算术平方根的性质，先求出) -的值域. 3 2(x 解：由算术平方根的性质，知) 2(x -≥3。∴函数的值域为) 3 -≥0，故3+) 2(x 3 ,3[+∞ . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算 术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域. 例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域. 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。 此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4:求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域. 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
换元法
换元法
运用换元法解题时，要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”，不同的问题有不同的方法和技巧。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元的种类有：等参量换元、非等量换元。 局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如：解不等式：4x +2x －2≥0，先变形为设2x =t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式：2t +t-2≥0求解得：t ≥1,t ≤-2指数函数的单调性求解2x ≥1, 2x ≤-2的问题。 x ≥0,x ≤ 1 4 三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=21x -的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α ，sin α∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量x 、y 适合条件222x y r +=时(r>0)，则可作三角代换x=rcos θ、y=rsin θ化为三角问题。 均值换元:如遇到x+y=2S 形式时，设x= S+t ，y= S －t 等等。 例1. 分解因式 分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。 解：法一：对和换元，用换元法解 设 则原式 法二：用换元法来解
设，则 原式 法三：将原式整理成关于x的二次三项式 原式 在函数中的应用 1、求函数的定义域 例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x2)的定义域。 解：设x2=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x2≦3,所以 -√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3] 2、求函数的解析式 例3、已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)的解析式 解：设x+1=t,则x=t-1, 所以 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x2-4x-1。 例4、已知f(x+1/x)=x2+1/x2, 求f(x)的解析式 解：设x+1/x =t，则x2+1/x2=(x+1/x)2-2，即x2+1/x2=t2-2 故f(t)=t2-2, 因此f(x)=x2-2 化简求值：
用换元法求函数值域
1 用换元法求函数值域 【自我诊断】 1. 函数f (x )＝1 x ＋1＋1 的值域为_________． 【答案】(0，1]． 2．函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为_________． 【答案】[72，＋∞)． 【解析】方法一、2x －3，4x －13在定义域[134 ，＋∞)上都是增函数，所以f (x )≥f (2)． 方法二、f (x )的定义域是[134，＋∞)， 令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)， 则y ＝2×14(t 2＋13)－3＋t ＝12(t ＋1)2＋3，在t ∈[0，＋∞)单调递增， y ∈[72，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为[72 ，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为_________． 【答案】[3，＋∞)． 【解析】f (x )的定义域是[134 ，＋∞)， 令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)， 则y ＝2×14(t 2＋13)－3－t ＝12(t －1)2＋3，在[0，1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增， y ∈[3，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为[3，＋∞)． 4.函数y ＝e x 3＋e x 的值域为___________． 【答案】(0，1)． 【解析】f (x )的定义域是R ， 令3＋e x ＝t ，x ∈R ，则e x ＝t －3，t ∈(3，＋∞)， 则y ＝t －3t ＝1－3t ， 由t ∈(3，＋∞)，得3t ∈(0，1)，－3t ∈(－1，0)，1－3t ∈(0，1)． 函数y ＝e x 3＋e x 的值域为(0，1)． 5. 函数y ＝ln e x 3＋e x 的值域为___________． 【答案】(－∞，0)． 6.函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是___________．
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 求函数最值常用的方法及经典例题讲解 知识点： 一、函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥． 二、求函数最大（小）值常用的方法． 案例分析： 例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈- 类型一、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例 1、求函数 1 ,[1,2] y x x =∈ 的值域 A、单调递减，无最小值 B、单调递减，有最小值 B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值小试牛刀： 1、求函数 2 1 y x = - 在区间[2，6] 上的最大值和最小值． 2 ()5522++=x x x f 类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例： 求函数3456x y x +=+值域。 实战训练场： 1) 求函数2 13-+= x x y 的值域； 2) 函数.11的值域是x x y +-= 类型三、倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例1 、求函数 y = 的值域。 例2、求函数 的值域。 从换元法，整体思想到函数的解析式 【基础内容与方法】 题目常见形式“已知()[]x g f 的解析式，求)(x f 的解析式．” 1.“整体代入法”是把)(x g 视为一个整体，将()[]x g f 的解析式转化为含)(x g 的表达式，然后直接整体代换)(x g ，即可求出解析式，此种方法不必求出x ，可以减少运算量． 2.“换元法”是通过引入参数t 进行式子的变形，从而得到)(x f 的表达式，这是解此类型题的通法． 类型一：已知f (x )的解析式，求f [g (x )]的解析式 例1：已知f (x )＝2x 2＋1，求f (x ＋1)的解析式． 类型二：已知f [g (x )] 的解析式，求f (x )的解析式 方法：通过引入参数t ，进行换元，分离相应的变量x,从而得到f (x )的解析式． 例2：已知函数f (1＋x x )＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x ) ． 考点练习 1．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 2．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________ 3．设f (x )＝11－x ，则f [f (x )]＝________. 4．已知函数f (x )＝x 21＋x 2 ． (1)求f (2)＋f (12)，f (3)＋f (13)的值； (2)求证：f (x )＋f (1x )是定值； (3)求f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋…＋f (2 012)＋f (12 012)的值． [来求函数最值常用的方法及经典例题讲解
从换元法,整体思想到函数的解析式00