N维空间几何体质心的计算方法.

N维空间几何体质心的计算方法

摘要:本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题,通过微积分方面的知识来求解,从平面推广到空间,问题也由易到难。首先提出质心或形心问题,然后给出重心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。

关键字:质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分

一.质心或形心问题:

这类问题的核心是静力矩的计算原理。

1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心:

静力矩的微元关系为

,

dMx yudl dMy xudl

==.

其中形如曲线L(

(,

y f x a x b

=≤≤的形状体对x轴与y轴的静力矩分别

为(

b

a y

f x S

=

?

,

(

b

y a

M u f x

=?

设曲线AB

L

的质心坐标为( ,x y,则,,

y x

M M

x y

M M

==

其

中(

b

a

M u x d x u l

==

?

为AB

L

的质量,L为曲线弧长。若在式

y

M

x

M

=

与式

x

M

y

M

=

两端同乘以2π,则可得

到22(

b

a y

xl f x S

ππ

==

?

,

22(

b

a x

yl f x S

ππ

==

?

,其中x

S 与y

S

分别表示曲线AB

L

绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。

2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心:

设f(x为

[],a b

上的连续非负函数,考虑形如区域

{}

(,,0(

D x y a x b y f x

=≤≤≤≤

的薄板质心,设M为其密度,利用微元法,小曲边梯形MNPQ的形心坐标为1

(,(,

2

y f y x y x x

≤≤+?

,当分割无限细化时,可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点

1

(,(

2

x f x

处的一个质点,将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有

1

((

2

x

dM u f x f x dx

=

,

(

y

dM uxf x dx

=

.两个静力矩为2 1

(

2

b

x a

M u f x dx

=?

?

,

(

b

x a

M u xf x dx

=?.设质心坐标为(, x y,则有(

y b

a

M u

x xf x dx

M M

==?

,

2

1

(

2

y b

a

M u

y f x dx

M M

==?

.其中

(

b

a

M u f x dx MA

==

?

为该

均匀密度薄板的质量,A 为面积。二.平面图形的重心: 给定一个曲线

12(,(,,y f x y f x x a x b ====围成的图形,它是一个物质平面图形,我

们考虑均匀的面密度,即单位面积的质量为常数,它在图形的各部分都等于δ.将所给图形用直线

1,,,n x a x x x x b ==== ,划分成宽为12,,,n x x x ??? 的窄条,每个窄条的

质量等于它的面积和密度δ的乘积。如果每个窄条用以

i x ?为底,高为21((i i f f ξξ-的

矩形来代替,其中

12i i

i x x ξ-+=

,则这窄条的质量将近似等于

[]21(((1,2,,

i i i i m f f x i n δξξ?=-?= ,这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重

心上:

21(((,(2i i i i i c f f x y ξξξ+==

现在把每个窄条用一个质点来代替,它的质量等

于对应窄条的质量,并且集中于该窄条的重心处,我们来求整个图形的重心坐标的近似

值。

[][]2

1

2

1

((((i

i

i

i

c i

i

i

f f x

x f f x

ξδξξδξξ-?≈

-?∑∑,

[][][]1221211

((((2((i i i i i i c i i i

f f f f x y f f x ξξδξξδξξ+-?≈-?∑∑当

max 0

i x ?→时

取

极

限

,

则

得

[][]2

1

2

1

((((b a

c

b a

x f x f x dx x f x f x dx

-=

-??,

[][][]2121211((((2((b

a c b

a f x f x f x f x dx y f x f x dx

+-=-??.这些公式任何均匀的平面图形都适用,可看

出重心的坐标是与密度无关的。例:求抛物线与直线所围成的重心的坐标(如图解:在这种情况下,

21((f x f x ==因此

0520

235

2

5

a c x a x

=

=

= ,

0c y =.

三.重心

1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点,在生产实际中,常常要确定物体的重心。例如:炼钢用钢水包的包轴位置,就与钢水包的重心有关,如果包轴

低于重心,用天平调动钢包时就会翻转,如果包轴高于重心过多,则倒出钢水时翻转困难。因此,我们总是将包轴安装于略高于重心的地方,这时显然需要确定重心的位置。本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置,显然,若于其重心处支持之,则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。

设均匀薄板是由曲线

1(y y x =,2(y y x =和直线x b =围成的平面图形,我们要求此

平面的重心(,G x y ,用u 表示此薄板单位面积的重量,则微面积

s d 的重量为12(u y y dx -,

其重心G 的坐标为

12

(,

2y y x +,显然整个薄板的重量为12(b a u y y dx -?,由力学知,合力对任一轴的力矩,等于各分力对该轴力矩之和,取对y 轴的力矩,得1212((b b a a u y y dx x ux y y dx ??-?=-??

??,取对x 轴的力矩得

121212((2b b

a a y y u y y dx y u y y dx +??-?=-???

??,由此两式,即得确定薄板重心坐标的公式:

1

2

121

2

2222

121212((((111((2

2(b b a a

b a

b b a

a

b

a x y y dx x y y dx

x s y y dx

y y dx y y dx y s y y dx

?--?

==

-?

??--??

==?

-??????

?

其中s 标薄板的面积,由公式(1知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关,而与薄板单位面积的重量无关。

特别,若

2(0y x ≡,则得曲边梯形薄板重心坐标公式:

b a

b a xydx x ydx =??

,

2

12b a

b a y dx y ydx =??.

例:试求半径为R 的半圆形均匀薄板的重心。解:由于

2

2R s π=

,1y =

2y =故知重心G 的坐标(,x y 为:

2

(22

2(40.42332

b R a

R

x y y dx

x s

R R x R

R R πππ

-=

=

-=-?

=

≈??,

22121(20

b a

y y dx y s -=

=?

.

四.利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心

设有非均匀平面薄板D ,其上每点的密度为(,x y ρρ=,设薄板D 的重心坐标为(,x y ,考虑D 中微面积dD ,它的微质量为: (,dm x y dD ρ=,它关于y 轴与x 轴的力矩分别为:

(,xdm x x y dD ρ=与(,ydm y x y dD ρ=

把这些微质量的力矩加起来,即得薄板D 关于y 轴与x 轴的力矩为:

(,(,D

D

D

xdm x x y dD x x y dxdy

ρρ==??????与

(,(,D

D

D

ydm y x y dD y x y dxdy

ρρ==??????

薄板的总质量,于是根据重心的定义,得求重心坐标的公式: (,(,(2

(,(,D

D

D

D D D xdm x x y dxdy x m

x y dxdy ydm y x y dxdy y m x y dxdy ρρρρ??

=

=

?

?

?

???==???????????????

特别,若薄板是均匀的,即(,x y ρ=常数,则得求均匀薄板重心坐标公式: D

xdxdy

x D

=

??,

D

ydxdy

y D

=

??.

对于均匀薄板,我们有

[]21(

(21((y x b

b a

y x a D

xdxdy dx xdy x y x y x dx

==-???

??,

[][]{}

2211(

2

(((22

21

21((2

y x y x b b

a y x a D y x

b a y ydxdy dx ydy dx y x y x dx ???== ???=-??????故

(2

1b a

x y y dx

x D

-=

?,

(2

22112b a