含参数不等式的解法(含答案)
含参数不等式的解法
典题探究
例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
例3：在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )2
4
(
sin sin 4)(2
<-++
=m B f B B
B B f 且π
恒成立，求实数m 的范围。
例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2
,0(4,cos sin π
π
∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
演练方阵
A 档（巩固专练）
1．设函数f (x )=????
???
≥-<<-+-≤+)1(11
)11(22)1()1(2x x
x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(－21
，+∞) B.(－21，2
1) C.(－∞，－2)∪(－2
1
，1)
D.(－2，－2
1
)∪(1，+∞)
2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2
，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2
b
)，则f (x )·g (x )
＞0的解集是__________.
3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________.
4． 解不等式)0( 01)1
(2
≠<++
-a x a
a x 5. 解不等式0652
2>+-a ax x ，0≠a
6．已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式；(2)求p 的取值范围；
(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.
7．解不等式log a (1－
x
1
)＞1
8．设函数f (x )=a x 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.
9.设124()lg
,3
x x
a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
10.已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。
B 档（提升精练）
1.定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )
①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b ) ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
2.下列四个命题中：①a +b ≥2ab ； ②sin 2x +x 2sin 4
≥4 ； ③设x ，y 都是正数，若y x 91+=1，
则x +y 的最小值是12 ； ④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是
__________.
3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.
4.已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )=x 的两实数根为x 1，x 2.
(1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|=2，求b 的取值范围.
5.某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即
10
x
，0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 z 倍.
(1)设y =ax ，其中a 是满足3
1
≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)若y =
3
2
x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围.
6.设函数f (x )定义在R 上，对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1. (1)求证：f (0)=1，且当x ＜0时，f (x )＞1；(2)求证：f (x )在R 上单调递减； (3)设集合A ={ (x ，y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}，集合B ={(x ，y )|f (ax －g +2)=1，a ∈R}，若A ∩B =?，求a 的取值范围.
7.已知函数f (x )=
1
222+++x c bx x (b ＜0)的值域是［1，3］，
(1)求b 、c 的值；(2)判断函数F (x )=lg f (x )，当x ∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论； (3)若t ∈R ，求证：lg
57≤F (|t －61|－|t +6
1|)≤lg 513
.
8.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2
+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
9.设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2
(1)(2)f ax x f a --<-对于任意
[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
10.若对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++222
2log 21log log 恒成立，求实数x 的
取值范围。
C 档（跨越导练）
1． 设z y x a z ab y b x b a b a b
b
a a 、、，则，，，且，1)
11(log log log 10====+>>+之间的大小关系为( )
A 、z x y <<
B 、x y z <<
C 、x z y <<
D 、z y x <<
2．已知422=+y x ，那么582-+y x 的最大值是（ ）
（A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）15
3．若0αsin 2βsin αsin 222＝-+，则βcos αcos 22+的取值范围是（ ）
（A ）[1,5] （B ）[1,2] （C ）]4
9,1[ （D ）[－1，2] 4．数列{}n a 中，0>n a ，且{}1+n n a a 是公比为)0q (q >的等比数列，满足
)(32211N n a a a a a a n n n n n n ∈>++++++，则公比q 的取值范围是（ ）
（A ）2210+<
5 10+-< |b a x b x +<<}，N={a x ab x <<|}，则M N =（ ） （A ）{ab x b x ≤<|} （B ）{2 |b a x a b x +<<} （C ）{2|b a x b x +< <} （D ）{2 |b a x x +<，或x a ≥} 6．定义在R 上的奇函数f x ()是减函数，设0≤+ b a ，给出下列不等式： （A ）0)()(≤-a f a f ； （B ）0)()(≥-b f a f ； （C ）)()()()(b f a f b f a f -+-≤+ （D ）)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 其成立的是 （ ） （A ）①与③ （B ）②与③ （C ）①与④ （D ）②与④ 7．若实数x ,y 满足xy >0，且x y z 2=，则xy x +2的最小值为 。 8.如图，假设河的一条岸边为直线MN ，又AC ⊥MN 于C ，点B 、D 在MN 上。先需将货物从A 处运往B 处，经陆路AD 与水路DB.已知AC=10公里，BC=30公里，又陆路单位距离的运费是水路运费的两倍，为使运费最少，D 点应选在距离C 点多远处? 9．若奇函数f （x ）在定义域（-1，1）上是减函数 ⑴求满足M a f a f 的集合0)1()1(2<-+- ⑵对⑴中的a ，求函数[]x x a a x F -?? ? ??-=2 11log )(的定义域。 10．已知某飞机飞行中每小时的耗油量与其速度的立方成正比。当该机以a 公里/小时的速度飞行时，其耗油费用为m 元（油的价格为定值）。又设此机每飞行1小时，除耗油费用外的其他费用为n 元。试求此机飞行l 公里时的最经济时速及总费用。 含参不等式的解法参考答案 典题探究 例1【解析】：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时， 0)( )12()1(20 )12()1(22 2 x x x x ，所以x 的范围是)2 3 1,271( ++-∈x 。 例2【解析】：保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1 是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需?? ?<---=?>-0 )1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 例3【解析】：由]1,0(s i n ,0,1s i n 22c o s )2 4( s i n s i n 4)(2 ∈∴<<+=++=B B B B B B B f ππ ]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即? ? ?+<->2)(2 )(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m 例4【解析】(1)：由于函]4 3,4[4),4sin(2cos sin π πππ -∈-- = ->x x x x a ，显然 函数有最大值2，2>∴a 。 (2) ：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥ a 。 演练方阵 A 档（巩固专练） 1. 【答案】C 【解析】：由f (x )及f (a )＞1可得： ?????>+-≤1)1(12a a ① 或???>+<<-12211a a ② 或?? ? ??>-≥1111a a ③ 解①得a ＜－2，解②得－ 2 1 ＜a ＜1，解③得x ∈? ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－ 2 1 ，1） 2. 【解析】：由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0 的解集是(－2 ,22a b -).由f (x )·g (x )＞0可得： ??? ??- <<--<<-?????<<<>2222 ,0)(0)(0)(0)(22 22a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2， 2b )∪(－2b ，－a 2) 答案：(a 2， 2b )∪(－2 b ，－a 2) 3. 【答案】：［－2，2］【解析】：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得?? ?≤≥-0 )1(0 )1(f f 解得a ∈［－2，2］. 4. 【解析】：分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：()0)1 (<--a x a x ，令a a 1=，可得：1±=a ∴当1- ，故原不等式的解集为? ?? ??? < a 1 = ,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1> ,解集为? ?????< >=--=?a a a ，又不等式可分解为 ，故只需比较两根a 2与a 3的大小. 解 原不等式可化为：，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0 即23a a ，解集为{}|23x x a x a ><或 ()0)1 (<--a x a x ()0)3(2>--a x a x ()0)3(2>--a x a x 6. 【解析】：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p ) (2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0 (3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3. 此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－4 25 ，显然此函数在［－1，1］上递增. ∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6. 7. 【解析】：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组??? ? ?? ? >->-a x x 1101 1 由此得1－a ＞ x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a -11 ＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：??? ? ?? ?<->-a x x 11011 由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a -11 ＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜ a -11}. 8. 【解析】：由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立. ?????+<-+-+<-?211132 2 m x mx x mx mx 在x ∈(0，1]恒成立. 整理，当x ∈(0，1)时，?????+<--<1 )1(122 2 x x m x x 恒成立， 即当x ∈(0，1]时，??? ????-+>-<112122x x m x x m 恒成立，且x =1时，?????+<--<1 )1(122 2x x m x mx 恒成立， ∵211222x x x x -=-在x ∈(0，1]上为增函数，∴2 102x x ->，∴m ＜ x x 212-恒成立?m ＜0. ① ② 又∵212(1)211 x x x x +=-++--，在x ∈(0，1]上是减函数， ∴1 1 2-+x x ＜－1. ∴m ＞112-+x x 恒成立?m ＞－1当x ∈(0，1)时，??? ????-+>-<112122x x m x x m 恒成立?m ∈(－1，0)① 当x =1时，?????+<--<1 )1(122 2x x m x mx ，即是???<<100m ∴m ＜0 ② ∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0) 9.【解析】 ：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义1240x x a ?++>，对(,1)x ∈-∞恒 成立.212(22)4 x x x x a --+?>-=-+(.1)x ∈-∞恒成立。 令2x t -=，2()()g t t t =-+又(.1)x ∈-∞则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1 (,)2 t ∈+∞恒 成立，又()g t 在1[,)2t ∈+∞上为减函数，max 13()()24t g ==-g ，3 4 a ∴≥-。 10.方法一:解：原不等式4sinx+cos2x<-a+5? 当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max -a+5>(4sinx+cos2x)? 设f(x)=4sinx+cos2x 则 22 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3≤ ∴-a+5>3a<2∴ 方法二:题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2 x,故若采用换元法把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。 解：不等式a+cos2x<5-4sinx 可化为a+1-2sin 2 x<5-4sinx,令sinx=t,则t ∈[-1,1], ∴不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立?2t 2-4t+4-a>0,t ∈[-1,1]恒成立。 设f(t)= 2t 2 -4t+4-a ，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min =f(1)=2-a,∴2-a>0∴a<2 B 档（提升精练） 1.【答案】：A 【解析】 ：由题意f (a )=g (a )＞0，f (b )=g (b )＞0，且f (a )＞f (b )，g (a )＞g (b ) ∴f (b )－f (－a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b ) 而g (a )－g (－b )=g (a )－g (b )∴g (a )+g (b )－［g (a )－g (b )］ =2g (b )＞0，∴f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) 同理可证：f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) 2. 【答案】：④ 【解析】 ：①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式：|x －y |=|(x －2)－(y －2)|≤|(x －2)－(y －2)|≤|x －2|+|y －2|＜ε+ε=2ε. 3. 【答案】：5公里处 解析：由已知y 1= x 20 ；y 2=0.8x (x 为仓库与车站距离)费用之和 y =y 1+y 2=0.8x + x 20 ≥2x x 208.0?=8 当且仅当0.8x = x 20 即x =5时“=”成立 4.证明：(1)设g (x )=f (x )－x =ax 2+(b －1)x +1，且x ＞0. ∵x 1＜2＜x 2＜4，∴(x 1－2)(x 2－2)＜0，即x 1x 2＜2(x 1+x 2)－4， 1 2)42(2 1 2)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---?=- =x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得 (2)解：由方程g (x )=ax 2+(b －1)x +1=0可知x 1·x 2= a 1 ＞0，所以x 1，x 2同号 1°若0＜x 1＜2，则x 2－x 1=2，∴x 2=x 1+2＞2，∴g (2)＜0，即4a +2b －1＜0 ① 又(x 2－x 1)2 = 44 )1(2 2=- -a a b ∴2a +1=1)1(2+-b (∵a ＞0)代入①式得，21)1(2+-b ＜3－2b ② 解②得b ＜4 1 2°若 －2＜x 1＜0，则x 2=－2+x 1＜－2∴g (－2)＜0，即4a －2b +3＜0 ③ 又2a +1=1)1(2+-b ，代入③式得21)1(2+-b ＜2b －1 ④ 解④得b ＞ 4 7 . 综上，当0＜x 1＜2时，b ＜ 4 1，当－2＜x 1＜0时，b ＞47. 5.【解析】 ：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p (1+10x )元、n (1－10 y )元、npz 元，因而 )10)(10(100 1 ),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-?+ =， 在y =ax 的条件下，z =1001［－a ［x －a a )1(5-］2 +100+a a 2 )1(25-］.由于3 1≤a ＜1，则0＜a a )1(5-≤10.要使售货金额最大，即使z 值最大， 此时x =a a ) 1(5-. (2)由z = 100 1 (10+x )(10－32 x )＞1，解得0＜x ＜5. 6.(1)证明：令m ＞0，n =0得：f (m )=f (m )·f (0).∵f (m )≠0，∴f (0)=1 取m =m ，n =－m ，(m ＜0)，得f (0)=f (m )f (－m ) ∴f (m )= ) (1 m f -，∵m ＜0，∴－m ＞0，∴0＜f (－m )＜1，∴f (m )＞1 (2)证明：任取x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)－f ［(x 2－x 1)+x 1］ =f (x 1)－f (x 2－x 1)·f (x 1)=f (x 1)［1－f (x 2－x 1)］， ∵f (x 1)＞0，1－f (x 2－x 1)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在R 上为单调减函数. (3)由?? ???=+-<+?????==+->+021 )(1)2()1()(2222y ax y x f y ax f f y x f 得θ，由题意此不等式组无解，数形结合得： 1 |2|2+a ≥1，解得a 2≤3 ∴a ∈［－3，3］ 7.(1)【解析】 ：设y = 1 222+++x c bx x ，则(y －2)x 2－bx +y －c =0 ① ∵x ∈R ，∴①的判别式Δ≥0，即 b 2－4(y －2)(y －c )≥0，即4y 2－4(2+c )y +8c +b 2≤0 ② 由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y 2－4(2+c )y +8c +b 2=0的两根 ?? ???+= ?+=+48312312b c c ∴c =2，b =－2，b =2(舍） (2)任取x 1，x 2∈［－1，1］，且x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，且 (x 2－x 1)(1－x 1x 2)＞0，∴f (x 2)－f (x 1)=－ ) 1)(1()1)((2)12(12222121122 1 2 22x x x x x x x x x x ++--=+- -+＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1)，lg f (x 2)＞lg f (x 1)，即F (x 2)＞F (x 1) ∴F (x )为增函数. ,31|)61()61(||||,61||61|)3(=+--≤+-- =t t u t t u 记即－31≤u ≤3 1 ，根据F (x )的单调性知 F (－31)≤F (u )≤F (31 )，∴lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 5 13对任意实数t 成立. 8【解析】 ：原不等式可化为 (x-1)p+x 2 -2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则原 问题等价于f(p)>0在p ∈[-2,2]上恒成立，故有： 方法一：10(2)0x f -?或10 (2)0 x f ->??->?∴x<-1或x>3. 方法二：(2)0(2)0f f ->??>?即?????>->+-0 10 3422 x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 9【解析】 ：()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立 212ax x a ?--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立 210x ax a ?++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，令2()1g x x ax a =++-， [0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ?>，又m i n (0) ,0()(),20 22,2g a a g x g a a >??? =--≤≤ ?? <-??即2min 1,0 ()1,2042,2 a a a g x a a a - >???=--+-≤≤?? <-?? 易求得1a <。 10【解析】 原不等式变形为 ()()01log 2log 1log 22 22>+-+-x x x p ， 现在考虑p 的一次函数： ()()()1l o g 2l o g 1l o g 22 22+-+-=x x x p p f ∴ ()0>p f 在(]2,2-∈p 上恒成立 ()()()01log 2log 1log 2222 22>+-+--=-x x x f ()()()01log 2log 1log 2222 22>+-+-=x x x f 解得： 8>x 或210< ? ??,821,0 C 档（跨越导练） 1.【答案】 C 【解析】： a b +=1 ∴ x z y b z ab b a ab y x a b b a a a a <<∴->-=-=+=>∴=>∴<<<<∴1log 1 1lg lg 1 1log log 1010，，， 2.【答案】B 【解析】：由220442222≤≤-?≥-=?=+y y x y x . 由)4(5822y y x u -=-+=222)4('·)4(151)8(58-=--=---=-+y u y y y y 在[－2,2]上单调递减，∴当y =2时，11)42(152max =--=u . 选B. （利用圆的参数方程也可很快求解） 3.【答案】B 【解析】：βαβα2222sin sin 2cos cos --=+，而ααβsin 2sin 2sin 22-=-， 故1)1(sin 2sin 2sin 2sin 2cos cos 22222+-=+-+-=+ααααβα. 又∵0sin sin 2sin 222≤-=-βαα,∴1sin 0≤α≤,∴2cos cos 122≤+≤βα。选B. 4.【答案】 B 【解析】解一：设1211)(-+=n n n q a a a a ，不等式可化为 .)()()(12121121+->+n n n q a a q a a q a a ∵,0q ,0a n >> ∴.012<--q q .2 5 10+< ∵0a a 21>，∴2 q q 1>+，解之2 5 10+< 7.【解析】提示：3241341321213232422=?=≥++= +y x x xy xy x xy ，当且仅当22 1 x xy =即x y 2=时，上式等号成立，又22=y x 故此时2,1==y x 8. 解：设CD ＝x 公里，设水路运价每公里为a 元， 则陆路运价为每公里2a 元，运费 )30())100((22x a x x a y -+-+= (0≤x ≤30) 令x x z -+=)100(22, 则10022+=+x x z , 平方得3x 2 -2z x +(400-z 2 )=0 由x ∈R, 得△=4z 2-4×3(400-z 2 )≥0 由z≥0 解得z≥310,当且仅当3 3 10=x 时 310=z 因此当3310= x 时y 有最小值，故当3 3 10=CD 公里时，运费最少。 注：对于x x z -+=10022，也可以设x =10tgθ(0≤θ＜ 2 π ＝去解。 9.【解析】： ⑴ ∵f (x )是奇函数,又f (1-a )+f (1-a 2)<0,∴f (1-a ) ⑵ 为使F （X ）=log a [1-(a 1)x 2-x ]有意义，必须1)1(,0)1(12 2<>---x x x x a a 即 ) 1 (,1.1,1a u a a o =>∴<< x x -2是增函数 ,02<-∴x x 解得0 10. 解：设最经济的时速为x 公里/小时；依题意，设1小时耗油费用为y 1（元）， 由已知，耗油量与其速度的立方成正比，则耗油费用也与速度的立方成正比， 因此可设3 1kx y =；又由已知，当x a y m ==时，1，代入上式可求出3 a m k =∴3 31a mx y = 由题意，飞行1小时的总费用为 n a mx +3 3 设飞行l 公里的总费用为y ，则 3 23232334322mn a l x n x n a mx l x n a mx l x l n a mx y ≥??? ? ??++=???? ??+=???? ??+=· 当且仅当 33 222m n a x x n a mx ==，即时，32 min 4 3mn a l y = 答：最经济的时速为32m n a 公里/小时，总费用为324 3mn a l 元。 一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念： 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集： 一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表： 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式组的概念 1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①???<->32x x ，②???>+>420 x x ，③???>+<+4 2122x x x ， ④???-<>+703x x ，⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 题型2：考察一元一次不等式组的解法 2.（2018春天心区校级期末）不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集： ! （1）?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）?????≥-+->-154245 3312x x x x （3）?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x — （5）?????-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ！ 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \ 含字母参数的一元一次不等式（组） 1、关于x 的不等式3x >m 的解集为x >6 ，则m 的值为 . 2、关于x 的不等式－2x +a ≥2的解集如图所示，则a 的值为 . 3、关于x 的不等式组24x a x b +? 的解集是－3 一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不为0的不等式，称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项： ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。 ②系数化为1时，注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式的概念 1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx ；④ 32≠+x x ； ⑤x x 333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2：考察一元一次不等式的解法 4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2 2531-->+ x x 5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3 《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计 万福中心学校余达恒 教材分析：本章内容是苏科版八年级数学（下）第七章，是在学习了《一元一次方程》和《一次函数》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键，通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 （3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2 >--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422 --=? （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212 +<<-<--=? ()()3 2432404222 +=-==--=? a a a a 或时当 （i ）13324-≠ -=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得： 当 ()()时 或即当32432404232 +>-<>--=? a a a a 两根为()2 42)2(2 1 a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2 a a a x --- -= . ()()2 42)2(2 42)2(2 2 a a a x a a a x --+ -> --- -< 或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当3 2 4324+<<-a 时，解 R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?( +∞ -,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞ -- ,13)； （4）当3 24-a 时， 解集为(2 48)2(, 2 +---∞-a a a )?( +∞ +-+ -,2 4 8)2(2 a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0 =a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0 >a ，原不等式.0)1)(1(<-- ? x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ ； （2）当1>a 时，式)(*11< 含参数的一元一次不等式专题 1、由x 常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结： 如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞? 含参不等式题型 一、给出不等式解的情况，求参数取值范围： 总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。记住：“大小小大有解；大大小小无解。”注：端点值格外考虑。 1：已知关于x 的不等式组3x x a >-???????+>-??的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。 4、已知关于x 的不等式组2113x x m -?>???>?的解集为2x >，则( ) .2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤ 5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >?? >?的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a b C a b D a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-??? p f 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m ?，有解，则m 的取值范围是__ ___。 8、若关于x 的不等式组?? ?->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 。 二、给出不等式解集，求参数的值 总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。 1：若关于x 的不等式组2123x a x b -? 的解集为11x -<<，求()()11a b +-的值。 2：已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<，求a 的值。 3、若关于x 的不等式组 的解集为 ，求a,b 的值 {a b x b a x 22>+<+3 3<<-x 常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞U ； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123 x x x -<---（答：()()1,12,3-U ）； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞U ）. 三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞U ） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围 含参数一元一次不等式（组）的解法 1、若关于x 的不等式2)1(≥-x a ，可化为a x -≤12，则a 的取值范围是多少？ 2 、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是？ 3、关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，则m 的整数值是多少？ 4、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是多少？ 5、己知不等式 )2(211)5(21+≥--ax x 的解集是2 1≥x ，试求a 的值？ 6、关于x 的不等式2x －a ≤0的正整数解恰好是1、2、3、4，则m 的取值是多少？ 7、已知关于x ，y 的方程组?? ?-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 8、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 对应练习1、不等式组???+>+<+1 ,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是 ． 对应练习2、若不等式组? ??>≤ 对应练习：若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,3215只有4个整数解，求a 的取值范围． 10、k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10? 二、 应用题 1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2、某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 含参数一元一次不等式文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 含参数一元一次不等式（组）的解法 1、若关于x 的不等式2)1(≥-x a ，可化为a x -≤12，则a 的取值范围是多少 2 、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3、关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，则m 的整数值是多少 4、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是多少 5、己知不等式)2(211)5(21 +≥--ax x 的解集是21≥x 6、关于x 的不等式2x －a ≤0的正整数解恰好是1、2、3、4，则m 的取值是多少 7、已知关于x ，y 的方程组? ??-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 8、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 对应练习1、不等式组?? ?+>+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是 ． 对应练习2、若不等式组???>≤ 第40讲 含参数的不等式 【考点解读】 解含参数的不等式的基本途径——分类讨论思想的应用；（应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论）。 【知识扫描】 含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏． 【考计点拔】 牛刀小试： 1.设0 含参数的一元一次方程 复习： 解方程：（1）211352x x -+- = （2）2%60%40)4(=+-x x （3） 14.01.05.06.01.02.0=+--x x （4）()()13 212121-=??????--x x x 含参数的一元一次方程专题讲解 一、 含参数的一元一次方程解法（分类讨论思想） 1、讨论关于x 的方程ax b =的解的情况． 2、已知a 是有理数，在下面5个命题： （1）方程0ax =的解是0x =．（2）方程ax a =的解是1x =．（3）方程1ax =的解是1x a = ． （4）方程a x a =的解是1x =±．（5）方程(1)1a x a +=+的解是1x =． 中，结论正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 *解关于x 的方程：3x a b x b c x c a c a b ------++= 二、含参数的一元一次方程中参数的确定 ①根据方程解的具体数值来确定 例：已知关于x 的方程332ax a x += +的解为4x = 变式训练： 1、已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足方程102x - =，则m = ． 2、已知方程 24(1)2 x a x +=-的解为3x =，则a = 3、如果方程()()21310x x +--=的解为a +2，求方程：[]22(3)3()3x x a a +--=的解。 ②根据方程解的个数情况来确定 例：关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m ，n 为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无 数多解；（3）无解． 变式训练： 1、 若关于x 的方程(2)125a x b x +=+有无穷多个解，求a ，b 值． 2、 已知关于x 的方程1(12)326 x x m x +=--有无数多个解，试求m 的值． 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 含参数不等式的解法 典题探究 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 例3：在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 ( sin sin 4)(2 <-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．设函数f (x )=???? ??? ≥-<<-+-≤+)1(11 )11(22)1()1(2x x x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(－21 ，+∞) B.(－21，2 1) C.(－∞，－2)∪(－2 1 ，1) D.(－2，－2 1 )∪(1，+∞) 2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2 ，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2 b )，则f (x )·g (x ) ＞0的解集是__________. 3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 4． 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 5. 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a 高中数学知识专项系列讲座 含参数不等式的解法 一、含参数不等式存在解的问题 如果不等式()0f x >（或()0f x <）的解集是D ，x 的某个取值范围是E ，且D E ≠?， 则称不等式在E 内存在解（或称有解，有意义）. 例1.（1）不等式13x x a +--<的解集非空，求a 的取值范围； （2）不等式13x x a ++-<的解集为空集，求a 的取值范围. （分析：解集非空即指有解，有意义，解集为?即指无解（恒不成立），否定之后为恒成立，本题实质上是成立与恒成立问题） 解：（1）设41()13221343x f x x x x x x -<-?? =+--=--??>? ≤≤， 易求得()[4,4]f x ∈-， ()f x a <有解min ()f x a ?<， ∴4a >-为所求 （2）设22 1()134 13223x x g x x x x x x -+<-?? =++-=-??->? ≤≤， 易求得()[4,)g x ∈∞， ()g x a <无解()g x a ?≥恒成立min ()g x a ?≥ ∴4a ≤为所求 （注：①13x x +±-可理解为数轴上点x 到两定点1-和3的距离之和（或差），由几何意义，易得()f x 与()g x 的值域； ②不等式()a f x >有解（有意义或成立）min ()a f x ?>；不等式()a f x <成立（有 解或有意义）max ()a f x ?<；） 例2.关于x 的不等式组22202(25)50 x x x k x k ?-->?+++的解集(,1)(2,)A =-∞-+∞， 设不等式2 2(25)50()(25)0x k x k x k x +++-25->),2 5 (k B --=∴ 要使{|,}{2}x x A B x Z ∈∈=-如图， 易知3k -≤，∴3k -≥ 又2k ->-，得2k < ∴[3,2)k ∈-为所求 -52 关于含参数（单参）的一元二次不等式的解法探究 高二数学组 盛耀建 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是学生不清楚该如何对参数进行讨论，笔者认为这层“纸”捅破了，问题自然得到了很好的解决，在教学的过程中本人发现参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类有一个非常好的方法，下面我们通过三个例子找出其中的奥妙！ 一．二次项系数为常数 例1解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x 解：0)2(2>+-+a x a x )(* ()3243240422 +≥-≤?≥--=?a a a a 或， 此时两根为()2 42)2(2 1a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2a a a x --- -= . （1）当324-?， )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a )； （2）当324-=a 时，0=?，)(*解集为(13,-∞-)?(+∞-,13)； （3）当324324+<<-a 时，0a 时，0>?， )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a ). 二．二次项系数含参数 例2解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<-- ?x a x )(* 高二数学（含参数不等式解法） 一、选择题 1、如果不等式x 2 – log m x < 0在 x ∈( 0， 12 )上恒成立，则实数m 的取值范围是 A 、116≤m < 1 B 、0 < m ≤116 C 、0 < m < 14 D 、m ≥116 2、已知a > 0，b > 0，不等式 – a < 1x < b 的解集是 A 、( - 1a ，0)∪(0，1b ) B 、( - 1b ，1a ) C 、( - 1b ，0)∪(0，1a ) D 、( - ∞，1a )∪(1b ，+ ∞) 3、设集合M = {x | > a 且a 2 – 12a + 20 < 0}，N = {x | x < 10}，则M ∩N 是 A 、{x | a < x < 10} B 、{x | x > a} C 、{x | 2 < x < 10} D 、N 4、若函数 f(x) = 228x x --的定义域为M ，g(x) = 11|| x a --的定义域为N ， 则使M ∩N = ?的实数a 的取值范围是 A 、( - 1,3) B 、(- 3，1) C 、［- 1，3］ D 、［- 3，1］ 5、若关于x 的方程x 2 + ( a – 3)x + a = 0的两根均为正数，则实数a 的取值范围是 A 、0 < a ≤3 B 、a ≥9 C 、a ≥9或a ≤ 1 D 、0 < a ≤ 1 6、已知函数f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如右图，则 A 、b ∈( - ∞，0) B 、b ∈( 0，1) C 、b ∈( 1，2) D 、b ∈(2，+ ∞) 7、不等式ax 2 + bx + 2 > 0的解集是( - 11,23) ，则a – b 等于 A 、- 4 B 、14 C 、- 10 D 、10 8、命题甲：ax 2 + 2ax + 1 > 0的解集是R ，命题乙：0 < a < 1，则命题甲是乙成立的 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件 9、若|x – a| < h ，| y – a| < h ，则下列不等式一定成立的是 A 、| x – y| < h B 、| x – y | < 2h C 、| x – y| > h D 、| x – y | > 2h 10、命题p ： 若a 、b ∈R ，则| a | + | b | >1是 | a + b| > 1的充分而不必要条件。 含参数不等式总结 一、通过讨论解带参数不等式 例1：2(1)0x x a a ---> 例2:关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 二、已知解集的参数不等式 例3：已知集合 {}2540A x x x =-+|≤，{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ?，求实数a 的取值范围． 三、使用变量分离方法解带参数不等式 例4：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1 (0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例5：设()()()?? ????+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数 且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。 例6： 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实 数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。 思考：对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范 围。如何求解？ 分离参数法适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 四、主参换位法解带参数不等式 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。 一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。 例7：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442 -+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 分析：此题若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路 受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。 例8：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】?解下列不等式： 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式： 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． （2） 【例3】?解下列不等式 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③>b a ，全集I=R ·M={2
+，··2212121q a a q a a a a >+
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