含参数不等式的解法
高中数学知识专项系列讲座
含参数不等式的解法
一、含参数不等式存在解的问题
如果不等式()0f x >(或()0f x <)的解集是D ,x 的某个取值围是E ,且D E ≠?,
则称不等式在E 存在解(或称有解,有意义).
例1.(1)不等式13x x a +--<的解集非空,求a 的取值围;
(2)不等式13x x a ++-<的解集为空集,求a 的取值围.
(分析:解集非空即指有解,有意义,解集为?即指无解(恒不成立),否定之后为恒成立,本题实质上是成立与恒成立问题)
解:(1)设41()13221343x f x x x x x x -<-??
=+--=--??>?
≤≤,
易求得()[4,4]f x ∈-,
()f x a <有解min ()f x a ?<,
∴4a >-为所求
(2)设22
1()134
13223x x g x x x x x x -+<-??
=++-=-??->?
≤≤, 易求得()[4,)g x ∈∞,
()g x a <无解()g x a ?≥恒成立min ()g x a ?≥ ∴4a ≤为所求
(注:①13x x +±-可理解为数轴上点x 到两定点1-和3的距离之和(或差),由几何意义,易得()f x 与()g x 的值域;
②不等式()a f x >有解(有意义或成立)min ()a f x ?>;不等式()a f x <成立(有
解或有意义)max ()a f x ?<;)
例2.关于x 的不等式组22202(25)50
x x x k x k ?-->?+++
解:易知不等式220x x -->的解集(,1)(2,)A =-∞-+∞,
设不等式2
2(25)50()(25)0x k x k x k x +++++<的解集为B ,
∵2B -∈,∴(2)(45)0k -+-+<,∴2k ->-25->),2
5
(k B --=∴
要使{|,}{2}x x A B x Z ∈∈=-如图, 易知3k -≤,∴3k -≥ 又2k ->-,得2k < ∴[3,2)k ∈-为所求
-
2
例3.已知不等式1)lg()520lg(2+->-x a x 的整数解有且只有一个,求a 的取值围. 解:
20lg(记()f x ∴f f f ??
???
∴a ∈另解:易求得()0f x =两根为1211x x ?=??=+??(∵0?>,∴52a <)
则12x x x a x <?>?
只有一个整数解1x =
∴有1a x a ?≥≥,解得2a ≥ 此时有1202x x x <<<<符合条件,∴5
[2,)2
a ∈
例4.若不等式
lg(2)
1lg()
ax a x <+总存在解(1,2]x ∈,数a 的取值围.
解:易知0a >,∴1a x x +>>,∴lg()0a x +>
故
lg(2)
1lg(2)lg()2lg()
ax ax a x ax a x a x <+?<++(0,(1,2]a x >∈) 即不等式(21)a x a -<在(1,2]有解
1°当1
2a =时,不等式显然成立;
2°当102a <<时,不等式max (21){}21a
a x a x a ->-
得2211
02a a a ?>??-??<?,∴102a <<
3°若12a >,则不等式min (21){}21
a
a x a x a -<-
得1211
2
a a a ??-??>??,∴112a <<
综上所述,(0,1)a ∈为所求
二、含参数不等式的求解问题
探求含参数不等式的解集,要以分类讨论的思想为主线,以不等式的基本性质为基础,进行综合演算,有时还需用到换元法、图象法等基本方法.
例5.解关于x 的不等式110x a -+->
解:原不等式11011x a x a -+->?->-
1°若1a >,则10a -<,故原不等式恒成立,∴x ∈R
2°若1a ≤,则10a -≥,原不等式的解为x a <或2x a >- 综上所述,若1a >时,原不等式的解集为R ;
若1a ≤时,原不等式的解集为{|x x a <或2}x a >-.
例6.
x (0a >)的解集为[,]m n ,且2n m a -=,求a 的值.
解法一:
00x x x a ??+?≥或2
0x x a x a x ??
+??+?
≥≥≥
解得:0a x -<≤
或0x ≤
,即a x -≤
即有m a n =-?
??=??
∵2n m a -=
,∴20a a a +=?>?
,解得2a = 解法二:
t =,则2
x t a =-且0t ≥
原不等式化为22
0t t a t t a -?--≥≤
∴10
t +≤≤1
∴a x -≤≤以下同解法一
解法三:
分别作出2
1y =x =易知欲使1y ≥以下同解法一
(注:①无理不等式常见的类型有
1
()0()()0f x f x g x ???≥或2()0
()0()()
f x
g x g x f x ??
???
≥≥≥;
2
2()0()()0()()f x f x g x g x f x ??
????
≥≥≤;
②对根式进行换元转化成有理不等式是处理根式的常见方法; ③数形结合解不等式简洁明了.)
2a x >-(0a <),答案:3
{|}4
x x a >
例7.解不等式1
log ()1a x x ->
解:当1a >时,11
log ()1a x x a x x
->?->
2(12200x x x ax x x
---?>?>
解得02a x <<
或2
a x >
当01a <<时,11
log ()10a x x a x x
->?<-<
(1)(1)0(220
x x x
x x x -+?
>??
????
101022
x x a a x x -<<>?
???<
<?或
易证得当(0,1)a ∈
,有12a --<
∴1x -<<
或1x <<综上所述,当1a >
时,不等式的解集为{|
02a x x <<或}2a x +>; 当01a <<
时,不等式的解集为{|1x x -<<
1x <<
(注:有理不等式通常使用“标根法”(或称穿线法),原则是“奇穿偶切”)
例8.解关于x 的不等式24log (1)log [(2)1]x a x ->-+(1a >). 解:原不等式可化为]1)2([log )1(log 222+->-x a x
故原不等式210(2)10(1)(2)1x a x x a x ->?
?
?-+>??->-+?
由1a >可将上述不等式组化为12()(2)0
x a
x a x ?
>-?
??-->? 易知21(1)(2)0a a a a ----=
<,∴1
2a a
-< 1°若2a >,则122a a -<<,∴不等式组的解为1
22x x a a
-<<>或
2°若2a =,则不等式组解为3
(,2)(2,)2
x ∈+∞
3°若12a <<,则122a a -<<,∴不等式组解为1
22x a x a
-<<>或
综上所述,当12a <<时,原不等式的解为1
(2,)(2,)x a a ∈-+∞;
当2a ≥时,原不等式的解为1
(2,2)(,)x a a
∈-+∞.
(注:解不等式要注意等价性,对数不等式特别注意真数大于零,本题充分体现了分类讨论思想.)
三、含参数不等式恒成立的问题
近年来在各地的模拟试题以及高考试题中屡屡出现含参数的不等式恒成立的问题,解决这类问题的基本方法是分离法、二次函数法、导数法、数形结合法,有时还运用单调性、判别式、均值定理等辅助手段进行综合解题.
例9.若不等式log sin 2a x x >对任意(0,]4
x π
∈都成立,求a 的取值围.
解:分别作出1sin 2y x =与2log a y x =的图象如下
当(0,
]4
x π
∈
易知有0A y a ??
a π
<<
例10.()f x 恒成立,数a 解:依题可得+a
即??
???+
--=++≥-+≤49)21(sin sin cos 1sin 322
22x x a a x a 恒成立 令()3sin u x x =+,易知min ()2u x =
再令219()(sin )24v x x =--+,∴max 9
()4
v x =
故有22
2
94
a a a ??
?-??≤≥
,解得12a ≤ ∴所求a
的取值围是[
例11.设函数()ln()f x x x m =-+其中m 为参数,求()0f x ≥恒成立时,m 的取值围. 解法一:
易知()f x 在定义域(
-由()0f x '=,得1x =-当(,1)x m m ∈--时,f 当(1,)x m ∈-+∞时,f ∴()f x 在定义域(,m -∵()0f x ≥恒成立,∴解法二:
若()0f x ≥,则x ≥易知()f x 定义域为(m -如图作出1x
y e =与2y =易知截距1m ≤故所求m 的取值围是(
立min ()a f x ?<或a f >min ()0f x ?>或()0f x <恒成立max ()0f x ?<;②图象法:将不等式化为()()f x g x >,
作出1()y f x =与2()y g x =的图象,结合参数的几何意义,找出使12y y >在定义域成立的条件.)
例12.设2()f x ax bx c =++,若7
(1)2
f =
,问是否存在,,a b c R ∈,使得不等式2213
()2222
x f x x x +++≤≤对一切实数x 都成立,证明你的结论.
解:由7(1)2f =,得7
2
a b c ++=……①
再令2
213
2222x x x +
=++,可得1x =- 在22
13()2222x f x x x +++≤≤中,令1x =-,得3(1)2
f -=
∴3
2
a b c -+=……②
由①②知1b =,5
2c a =-
∴2
5()2f x ax x a =++-
由2
1()2
f x x +≥恒成立,得2(1)20a x x a -++-≥恒成立
∴1014(1)(2)0a a a ->???=---?≤,得2
10(23)0
a a ->??-?≤,∴32a = ∴2
3()12f x x x =++
易验证22
3312222
x x x x ++++≤对x R ∈恒成立
∴存在实数3
2
a =,1
b =,1
c =满足条件
例13.设函数()x f x a =满足条件:当(,0)x ∈-∞时,()1f x >;当(0,1]x ∈时,不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立,数m 的取值围. 解:由0x <时,()1f x >知01a <<,∴()f x 是R 上的减函数
∴2
(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+
22
31112mx mx x mx x m ?-<+-??+-<+?
对(0,1]x ∈恒成立 2
2
22(1)1
mx x m x x ?<-??-<+?由(0,1]x ∈知,不等式组可化为 22
221
1x m x
x m x ?-??+?>?-?
对(0,1)x ∈恒成立,且1x =时,有12m <① 令2212()()22x u x x x x -==-在(0,1)上是减函数,∴1
()2u x > 令212()(1)211x v x x x x +==-++--,设1t x =-,则(1,0)t ∈-, 22
2)()(++=+=t t t g x v 22
()1g t t
'=-在(1,0)-上有()0g t '<,∴()g t 是减函数,∴()3g t <-
∴()1v x <-
其他不等式的解法
主 题 其他不等式的解法 教学内容 1. 掌握分式不等式的解法; 2. 掌握含绝对值不等式的解法。 一、分式不等式: 解一元二次不等式0)1)(4(<-+x x ,我们还可以用分类讨论的思想来求解 因为满足不等式组???<->+0104x x 或???>-<+0 104x x 的x 都能使原不等式0)1)(4(<-+x x 成立,且反过来也是对的,故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集. 试着用这种方法解下列三个不等式,你发现和我们用图像解的答案一样吗? (1)0)3)(2(>-+x x (2)0)2(<-x x (3))(0))((b a b x a x >>-- 让学生说说是怎么讨论的,最终大家会发现,无论是哪种理解方法,最终的结论是一样的,当二次项系数为正时,小于零是两根之间,大于零是两根之外。 (1) ()()303202 x x x x ->-->-与解集是否相同,为什么? (2)()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同,为什么? 通过转化为一元一次不等式组,进而进行比较。会发现(1)的解集是相同的,(2)的解集是不同的,由于分母不能为零,分式的不等式端点2不能取等。
练习:解不等式 (1) 073<+-x x (2)025152≤+-x x 解:(1)07 3<+-x x 与(3)(7)0x x -+<的解集相同, 解(3)(7)0x x -+<得:73x -<< 所以原不等式解集为:(7,3)- (2)025152≤+-x x 与(215)(52)0520x x x -+≤??+≠? 的解集相同 解(215)(52)0520x x x -+≤?? +≠? 得:51522x -<≤ 二、绝对值不等式: 1. a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式x a >的解集是 {},x x a x a ><-或 不等式a x <的解集是 {}x a x a -<<; 引导学生结合绝对值的几何意义,通过数轴求解 当0的解集是 R 不等式 a x <的解集是 ; φ 用绝对值的非负性很容易理解 2. c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0
常见不等式通用解法
常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<,2210x x -->,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元) 如1392x x +->,令3x t =,原不等式就变为2320t t -+<,再算出t 的范围,进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ,令2t x =,再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结: 如不等式210x ax ++>,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ?? ? ?=∈≠-?? ???>-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->,所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞?
含参不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的,这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答,但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点,此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论,而参数的讨论实际上就是参数的分类,而参数该如何进行分类?下面我们通过几个例子体会一下。 一. 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式:0)1(2 >--+m x m x 解:原不等式可化为:(x-1)(x+m )>0 (两根是1和-m ,谁大?) (1)当1<-m 即m<-1时,解得:x<1或x>-m (2)当1=-m 即m=-1时,不等式化为:0122 >+-x x ∴x ≠1 (3)当1>-m 即m>-1时,解得:x<-m 或x>1 综上,不等式的解集为: (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式:.0)2(2 >+-+a x a x (不能因式分解) 解:()a a 422 --=? (方程有没有根,取决于谁?) ()()R a a a 时,解集为即当32432404212 +<<-<--=? ()()3 2432404222 +=-==--=? a a a a 或时当
(i )13324-≠ -=x a 时,解得:当 (ii )13-324-≠+=x a 时,解得: 当 ()()时 或即当32432404232 +>-<>--=? a a a a 两根为()2 42)2(2 1 a a a x --+ -= ,()2 42)2(2 2 a a a x --- -= . ()()2 42)2(2 42)2(2 2 a a a x a a a x --+ -> --- -< 或此时解得: 综上,不等式的解集为: (1)当3 2 4324+<<-a 时,解 R ; (2)当324-=a 时,解集为(13,-∞-)?( +∞ -,13); (3)当324+=a 时,解集为(13,--∞-)?(+∞ -- ,13); (4)当3 24-a 时, 解集为(2 48)2(, 2 +---∞-a a a )?( +∞ +-+ -,2 4 8)2(2 a a a ); 二.二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式:.01)1(2 <++-x a ax 解:若0 =a ,原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0 >a ,原不等式.0)1)(1(<-- ? x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定,故 (1)当1=a 时,式)(*的解集为φ ; (2)当1>a 时,式)(*11< x a ; (3)当10< 含参不等式专题(淮阳中学) 编写:孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响,其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题,同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解,而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容,也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明,以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法,在具体问题里面,按分类的需要有讨论如下四种情况: (1) 二次项的系数;(2)判别式;(3)不等号方向(4)根的大小。 一、含参数的一元二次不等式的解法: 1.二次项系数为常数(能分解因式先分解因式,不能得先考虑0≥?) 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。 解:0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令 为方程的两个根 (因为a 与1的大小关系不知,所以要分类讨论) (1)当1或 (2)当1>a 时,不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 (3)当1=a 时,不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述: (1)当1或 (2)当1>a 时,不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 (3)当1=a 时,不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ; 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。 含参不等式题型 一、给出不等式解的情况,求参数取值范围: 总结:给出不等式组解集的情况,只能确定参数的取值范围。记住:“大小小大有解;大大小小无解。”注:端点值格外考虑。 1:已知关于x 的不等式组3x x a >-??。 (1)若此不等式组无解,求a 的取值范围,并利用数轴说明。 (2)若此不等式组有解,求a 的取值范围,并利用数轴说明 2:如果关于x 的不等式组x a x b >?????+>-??的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。 4、已知关于x 的不等式组2113x x m -?>???>?的解集为2x >,则( ) .2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤ 5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >?? >?的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a b C a b D a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-??? p f 的解集是x >3,则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m ?>?,有解,则m 的取值范围是__ ___。 8、若关于x 的不等式组?? ?->+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是 。 二、给出不等式解集,求参数的值 总结:给出不等式组确切的解集,可以求出参数的值。方法:先解出含参的不等式组中每个不等式的解集,再利用已知解集与所求解集之间的对应关系,建立方程。 1:若关于x 的不等式组2123x a x b -?->? 的解集为11x -<<,求()()11a b +-的值。 2:已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<,求a 的值。 3、若关于x 的不等式组 的解集为 ,求a,b 的值 {a b x b a x 22>+<+3 3<<-x 4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法:数轴标根法(奇穿偶切) 典型例题 例 1 解下列不等式 x - 3 2 (1) x + 7 <0 (2)3+ x <0 3) x -3 2-x > 3-x -3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式: (1)2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 (1) 2 (2) 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 (-2,3), 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时,不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立? 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式:2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立,求a 的取值范围。 例3:若不等式210x ax ≥++对于一切1(0,)2 x ∈成立,则a 的取值范围. 例4:若对于任意a (]1,1-∈,函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0,求x 的 取值范围。 例5:已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立,求x 的范围。 例 6: 对于∈x (0,3)上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立,求实数m 的 取值范围。 例7:2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x >---34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ,求a 的取值范围 不等式解法举例 ?教学重点:不等式求解. ?教学难点:将已知不等式等价转化成合理变形式子. ?教学方法:创造教学法 为使问题得到解决,关键在于合理地将已知不等式变形,变形的过程也是一个创造的过程,只有这一过程完成好,本节课的难点也就突破. ?教学过程: 一、课题导入 1、由一元一次不等式、一元二次不等式、和简单的绝对值不等式式子,导出其不等式 解法. 2、一元二次不等式的解法. 3、数形结合思想运用. 二、新课讲授 例1:解不等式|x2-5x+5|<1 分析:不等式|x|0)的解集是{x|-a x 2-5x +5>-1 ② 解不等式①由 x 2-5x +5< 1 得 (x -1)(x -4)< 0 解集为{x |1 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【例2】?解下列不等式: 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式: 【例5】?|x 2-4|<x+2. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“区间法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ∴原不等式解集为{x|x <-5或-5<x <-4或x >2}. 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意: ①各一次项中x 的系数必为正; ②但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2). 【例2】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞,-2)∪〔-1,2)∪〔6,+∞). (2) 【例3】?解下列不等式 解:(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为{x|x ≥5}. (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,两边同时平方后不等号方向才不变. 【例4】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 令2x =t(t >0),则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1,2〕∪〔3,6). 【例5】?|x 2-4|<x+2. 解:原不等式等价于-(x+2)<x 2-4<x+2. 故原不等式解集为(1,3). 这是解含绝对值不等式常用方法. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 解:原不等式等价于 (1)当a >1时,①式等价于 ② (2)当0<a <1时,②等价于 ③ 基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 (1)两个正数的和为常数时,它们的积有 ; 若0,0,a b a b M >>+=,M 为常数,则ab ≤ ;当且仅当 ,等号成立.简述为,当0,0,a b a b M >>+= ,M 为常数,max ()ab = . (2)两个正数的积为常数时,它们的和有 ; 若0,0,a b ab P >>=,P 为常数,则a b +≥ ;当且仅当 ,等号成立.简述为,当0,0,a b ab P >>= ,M 为常数,min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈,求最值时应注意以下三个条件: 应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、(1)若0,0,4a b a b >>+=,则下列不等式恒成立的是( ) A .1 1 2ab > B .1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ (2)不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立,则实数x 的取值范围是( ) A .(2,0)? B .(,2)(0,)?∞?+∞ C .(4,2)? D .(,4)(2,)?∞?+∞ (3)设,,1,1x y R a b ∈>>,若3,x y a b a b +,则11 x y +的最大值为 ( ) A .2 B .32 C .1 D .12 方法二:凑项(增减项)与凑系数(利用均值不等式做题时,条件不满足时关键在于构造条件,通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造) 例2、(1)已知54x <,求函数1 445y x x =+?的最大值; (2)已知,则的取值范围是( ) A . B . C . D . 方法三:“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、(1)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是( ) A .245 B .285 C .5 D .6 (2)已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞? 高中数学知识专项系列讲座 含参数不等式的解法 一、含参数不等式存在解的问题 如果不等式()0f x >(或()0f x <)的解集是D ,x 的某个取值范围是E ,且D E ≠?, 则称不等式在E 内存在解(或称有解,有意义). 例1.(1)不等式13x x a +--<的解集非空,求a 的取值范围; (2)不等式13x x a ++-<的解集为空集,求a 的取值范围. (分析:解集非空即指有解,有意义,解集为?即指无解(恒不成立),否定之后为恒成立,本题实质上是成立与恒成立问题) 解:(1)设41()13221343x f x x x x x x -<-?? =+--=--??>? ≤≤, 易求得()[4,4]f x ∈-, ()f x a <有解min ()f x a ?<, ∴4a >-为所求 (2)设22 1()134 13223x x g x x x x x x -+<-?? =++-=-??->? ≤≤, 易求得()[4,)g x ∈∞, ()g x a <无解()g x a ?≥恒成立min ()g x a ?≥ ∴4a ≤为所求 (注:①13x x +±-可理解为数轴上点x 到两定点1-和3的距离之和(或差),由几何意义,易得()f x 与()g x 的值域; ②不等式()a f x >有解(有意义或成立)min ()a f x ?>;不等式()a f x <成立(有 解或有意义)max ()a f x ?<;) 例2.关于x 的不等式组22202(25)50 x x x k x k ?-->?+++的解集(,1)(2,)A =-∞-+∞, 设不等式2 2(25)50()(25)0x k x k x k x +++++<的解集为B , ∵2B -∈,∴(2)(45)0k -+-+<,∴2k ->-25->),2 5 (k B --=∴ 要使{|,}{2}x x A B x Z ∈∈=-如图, 易知3k -≤,∴3k -≥ 又2k ->-,得2k < ∴[3,2)k ∈-为所求 -52 高二数学课件:《不等式的解法举例》 过去的一切会离你越来越远,直到淡出人们的视野,而空白却会越放越大,直至铺成一段苍白的人生。下面为您推荐高二数学课件:《不等式的解法举例》。 (1)能熟练运用不等式的基本性质来解不等式; (2)在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上,掌握分式不等式、高次不等式的解法; (3)能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式(组)来解; (4)通过解不等式,要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想; (5)通过解各种类型的不等式,培养学生的观察、比较及概括能力,培养学生的勇于探索、敢于创新的精神,培养学生的学习兴趣.【教学建议】一、知识结构 本节内容是在高一研究了一元一次不等式,一元二次不等式,简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上,进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则,将这些不等式等价转化为一次不等式(组)或二次不等式的求解,具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号,无理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式一次化.其基本模式为: ; ; ; 二、重点、难点分析 本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集. 三、教学建议 (1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视. (2)在研究不等式的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法,然后提出如何求不等式的解集,启发学生运用换元思想将替换成,从而转化一元二次不等式组的求解. (3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组中的两个不等式的解集间的交并关系,两个不等式的解集间的交并关系. (4)建议表述解不等式的过程中运用符号 . (5)建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法. (6)分式不等式与高次不等式的等价原因,可以认为是不等式两端同乘 含参数不等式的解法 典题探究 例1:若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围。 例2:若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的范围。 例3:在?ABC 中,已知2|)(|,2cos )2 4 ( sin sin 4)(2 <-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立,求实数m 的范围。 例4:(1)求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题: (2)求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 演练方阵 A 档(巩固专练) 1.设函数f (x )=???? ??? ≥-<<-+-≤+)1(11 )11(22)1()1(2x x x x x x ,已知f (a )>1,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(-21 ,+∞) B.(-21,2 1) C.(-∞,-2)∪(-2 1 ,1) D.(-2,-2 1 )∪(1,+∞) 2.已知f (x )、g (x )都是奇函数,f (x )>0的解集是(a 2 ,b ),g (x )>0的解集是(22a ,2 b ),则f (x )·g (x ) >0的解集是__________. 3.已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解,则a 的取值范围是__________. 4. 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 5. 解不等式0652 2>+-a ax x ,0≠a 高中数学常见题型解法归纳 不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时,不等式的解集为b x x a ? ?>????;当0a <时,不等式的解集为b x x a ????? . 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法 1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥(0a >)的解法:最好的方法是图像法,充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀(大于取两边,小于取中间)解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时,可以画图,解不等式,也可以把二次项的系数a 变成正数,再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 (1)不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式,一定邀注意观察分析2x 的系数. (2)对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. (3)如果运用口诀解一元二次不等式,一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. (4)不等式的解集必须用集合或区间,不能用不等式,注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法:如果两边能化为同底的指数或对数,先化为同底,再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式,底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论,并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??>? ②当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>?? 关于含参数(单参)的一元二次不等式的解法探究 高二数学组 盛耀建 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的,这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答,但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点,此现象出现的根本原因是学生不清楚该如何对参数进行讨论,笔者认为这层“纸”捅破了,问题自然得到了很好的解决,在教学的过程中本人发现参数的讨论实际上就是参数的分类,而参数该如何进行分类有一个非常好的方法,下面我们通过三个例子找出其中的奥妙! 一.二次项系数为常数 例1解关于x 的不等式:.0)2(2>+-+a x a x 解:0)2(2>+-+a x a x )(* ()3243240422 +≥-≤?≥--=?a a a a 或, 此时两根为()2 42)2(2 1a a a x --+ -= ,()2 42)2(2 2a a a x --- -= . (1)当324-?, )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a ); (2)当324-=a 时,0=?,)(*解集为(13,-∞-)?(+∞-,13); (3)当324324+<<-a 时,0,)(*解集为R ; (4)当324+=a 时,0=?,)(*解集为(13,--∞-)?(+∞--,13); (5)当324+>a 时,0>?, )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a ). 二.二次项系数含参数 例2解关于x 的不等式:.01)1(2 <++-x a ax 解:若0=a ,原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ,原不等式.0)1)(1(<-- ?x a x )(* 题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习高等数学的重要工具,所以不等式是高考数学命题的重点,解不等式的应用非常广泛,如求函数的定义域、值域,求参数的取值范围等,高考试题中对于解不等式要求较高,往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系,应重视;从历年高考题目看,关于解不等式的内容年年都有,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m 、n ∈[- 1,1],m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(>0 (1)用定义证明f (x )在[-1,1]上是增函数; (2)解不等式 f (x + 21)<f (1 1-x ); (3)若f (x )≤t 2-2at +1对所有x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目,考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分解转化,是函数中的热点问题;问题的要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时,x + 21∈[-1,1],1 1-x ∈[-1,1]必不可少,这恰好是容易忽略的地方 高二数学(含参数不等式解法) 一、选择题 1、如果不等式x 2 – log m x < 0在 x ∈( 0, 12 )上恒成立,则实数m 的取值范围是 A 、116≤m < 1 B 、0 < m ≤116 C 、0 < m < 14 D 、m ≥116 2、已知a > 0,b > 0,不等式 – a < 1x < b 的解集是 A 、( - 1a ,0)∪(0,1b ) B 、( - 1b ,1a ) C 、( - 1b ,0)∪(0,1a ) D 、( - ∞,1a )∪(1b ,+ ∞) 3、设集合M = {x | > a 且a 2 – 12a + 20 < 0},N = {x | x < 10},则M ∩N 是 A 、{x | a < x < 10} B 、{x | x > a} C 、{x | 2 < x < 10} D 、N 4、若函数 f(x) = 228x x --的定义域为M ,g(x) = 11|| x a --的定义域为N , 则使M ∩N = ?的实数a 的取值范围是 A 、( - 1,3) B 、(- 3,1) C 、[- 1,3] D 、[- 3,1] 5、若关于x 的方程x 2 + ( a – 3)x + a = 0的两根均为正数,则实数a 的取值范围是 A 、0 < a ≤3 B 、a ≥9 C 、a ≥9或a ≤ 1 D 、0 < a ≤ 1 6、已知函数f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如右图,则 A 、b ∈( - ∞,0) B 、b ∈( 0,1) C 、b ∈( 1,2) D 、b ∈(2,+ ∞) 7、不等式ax 2 + bx + 2 > 0的解集是( - 11,23) ,则a – b 等于 A 、- 4 B 、14 C 、- 10 D 、10 8、命题甲:ax 2 + 2ax + 1 > 0的解集是R ,命题乙:0 < a < 1,则命题甲是乙成立的 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件 9、若|x – a| < h ,| y – a| < h ,则下列不等式一定成立的是 A 、| x – y| < h B 、| x – y | < 2h C 、| x – y| > h D 、| x – y | > 2h 10、命题p : 若a 、b ∈R ,则| a | + | b | >1是 | a + b| > 1的充分而不必要条件。 常见不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时,不等式的解集为b x x a ??> ????;当0a <时,不等式的解集为b x x a ? ? < ???? . 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法 1、二次不等式2 ()0f x ax bx c =++≥(0a >)的解法:最好的方法是图像法,充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀(大于取两边,小于取中间)解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时,可以画图,解不等式,也可以把二次项的系数a 变成正数,再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 (1)不要把不等式2 0ax bx c ++>看成了一元二次不等式,一定邀注意观察分析2x 的系数. (2)对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. (3)如果运用口诀解一元二次不等式,一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. (4)不等式的解集必须用集合或区间,不能用不等式,注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法:如果两边能化为同底的指数或对数,先化为同底,再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式,底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论,并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? ②当01a <<时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式:(1)015223>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2<-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)( 含参数不等式总结 一、通过讨论解带参数不等式 例1:2(1)0x x a a ---> 例2:关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立,求a 的取值范围。 二、已知解集的参数不等式 例3:已知集合 {}2540A x x x =-+|≤,{}2|220B x x ax a =-++≤,若B A ?,求实数a 的取值范围. 三、使用变量分离方法解带参数不等式 例4:若不等式210x ax ≥++对于一切1 (0,)2 x ∈成立,则a 的取值范围. 例5:设()()()?? ????+-+++=n a n n x f x x x 121lg ,其中a 是实数,n 是任意给定的自然数 且n ≥2,若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。 例6: 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数,且在[)+∞,0上是增函数,对于任意R x ∈求实 数m 范围,使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。 思考:对于(0,3)上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立,求实数m 的取值范 围。如何求解? 分离参数法适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 四、主参换位法解带参数不等式 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。 一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。 例7:若对于任意a (]1,1-∈,函数()()a x a x x f 2442 -+-+=的值恒大于0,求x 的 取值范围。 分析:此题若把它看成x 的二次函数,由于a, x 都要变,则函数的最小值很难求出,思路 受阻。若视a 为主元,则给解题带来转机。 例8:已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立,求x 的范围。含参不等式解法举例
含参不等式题型知识讲解
各类不等式的解法
含参数不等式及绝对值不等式的解法
不等式解法举例
不等式的解法典型例题及详细答案
基本不等式的各种求解方法和技巧
含参数不等式的解法
高二数学课件-《不等式的解法举例》
含参数不等式的解法(含答案)
高中数学常见题型解法归纳 不等式的解法
含参数不等式的解法
几种常见不等式的解法
含参数不等式解法练习题
常见不等式的解法
不等式解法15种典型例题
含参数不等式的解法