有关圆锥曲线题型的总结
直线和圆锥曲线常
考题型
运用的知识：
1、中点坐标公式：1212,y 22
x x y y
x ++=
=，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB ===
=
或
者
AB ===
= 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v •=
4、韦达定理：若一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a
+=-=。 常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系; 题型二：弦的垂直平分线问题; 题型三：动弦过定点的问题;
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题;
题型五：共线向量问题 题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题
问题十：范围问题（本质是函数问题）
问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）;
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系:
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:
14x y C m
+=始终有交点，求m 的取值范围
解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭
圆22
:
14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22
:14x y C m
+
=始终有交点，则
14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+⇒过定点（，）; :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，
求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x
=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+=
①
由直线和抛物线交于两点，得2242
(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2
1
04
k <<
② 由韦达定理，得：212221
,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22
211
(,)22k k k
--。 线段的垂直平分线方程为：
2
2
1112()22k y x k k k --=--令
y=0,得
0211
22
x k =
-
，则211(
,0)22
E k - ABE ∆为正三角形，∴211(
,0)22
E k -到直线AB 的距离d 为
AB 。
AB =2
2
1k k =
+
d =
2
2
122k k k
+=
解得13k =±满足②式此时05
3
x =
。 题型三：动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率
为
3
2
，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交
于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3
c e a =
=，2a =,则得3,1c b ==。从而椭圆的方程为2
214
x y +=
（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122
(2)
44
y k x x y =+⎧⎨
+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-=12x -和是方程的两个根，
21121164214k x k -∴-=+则2
112
1
2814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为211
22
11
284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122
k k k k t
-∴
=-+，直线MN 的方
程为：
121
121
y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得2112
12
x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：
4x t
=
又
2t >，∴402t
<
<椭圆的焦点为(3,0)4
3t
∴
=，即43
t =
故当43
t =
时，MN 过椭圆的焦点。 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22
221x y a b
+= (0)a b >>上的三
点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E
的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =
对称，求直线
PQ 的斜率。
解：(I)
2BC AC =，且BC 过椭圆的中心O
OC AC
∴=0AC BC =2
ACO π
∴∠=
又
A (23,0)∴点
C 的坐标为(3,3)。
A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为：
22
2112x y b
+= 将点C (3,3)代入方程，得2
4b =，
∴椭圆E 的方程为22
1124
x y += (II)
直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，
∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC
的方程为：
(y k x -=
，即)y kx k =+-
，由22)3120
y kx k x y ⎧=-⎪⎨
+-=⎪⎩消
y ，整理得：
222(13)(1)91830
k x k x k k ++-+--=3x =是方程的
一个根，
229183
313P
k
k x k --∴=+即2
P
x =同理可得：2
Q
x = ))P Q P Q y y
kx k kx k -=-++＝
(
)P Q k x x +-
22P Q x x
-＝
13P Q PQ
P Q y y k x x -==- 则直线PQ 的斜率为定值1
3
。 题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +=于P 、Q 两点，且DP
DQ ,求实数的取值范围。
解：设P(x 1,y
1),Q(x 2,y 2),DP
DQ
(x 1,y 1-3)=(x 2,y 2-3)即
12
1
2
3(3)
x x y y
判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由22
3
4936y kx x y =+⎧⎨+=⎩
消y 整理后，得
22(49)54450
k x kx +++=P 、Q 是曲线M 上的两点
22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+＝2144800k -≥ 即295k ≥
①
由韦达定理得：
121222
5445
,4949k x x x x k k
+=-
=++ 21212
1221
()2x x x x x x x x +=++
222254(1)45(49)k k λλ+∴=+即2222
3694415(1)99k k k
λλ+==++ ② 由①得211
095
k <
≤
，代入②，整理得 236915(1)5λλ<≤+， 解之得
1
55
λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15
λ=。 总之实数的取值范围是1,55⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。
题型六：面积问题
例题6、已知椭圆C ：12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36
短轴一个端点到右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线
l 的
距离为
2
3
，求△AOB 面积的最大值。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意c
a
a ⎧⎪⎨⎪=⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2
213
x y +=。 （Ⅱ）设11()A x y ，
，22()B x y ，。（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+。由已
知
，得223
(1)4
m k =+。
把
y kx m
=+代入椭圆方程，整理得
222(31)6330k x kmx m +++-=， 122
631
km
x x k -∴+=+，
21223(1)31
m x x k -=
+。
2
2
2
21(1)()AB k x x ∴=+-2222
222
3612(1)(1)(31)
31k m m k k k ⎡⎤
-=+-⎢⎥++⎣⎦ 222222222
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)k k m k k k k ++-++==
++242
22121212
33(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤。 当且仅当2
2
1
9k k =
，
即3k =±时等号成立。当0k =时
，
AB =，
综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB
△面积取最大
值
max 1222
S AB =⨯⨯=。
题型七：弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。
（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径
的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理
由
。
（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）,可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），
直线AB 的方程为y=kx+p,与x 2=2py 联立得⎩⎨⎧+==.
22
p kx y py
x 消去y 得
x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=2pk,x 1x 2=-2p 2.于是
2122
1
x x p S S S ACN BCN ABN -⋅=
+=∆∆∆ ＝
2
1221214)(x x x x p x x p -+=-＝
.228422222+=+k p p k p p
222min 0p S k ABN ==∴∆）时，（当.
（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC 的中点为
为直与AC t O ,'径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则
）
点的坐标为（2
,2,11p y x O PQ H O +'⊥'2121)(2121p y x AC P O -+==' ＝22
121p y +.
,22
1
211p y a p y a H O --=+-
='222H O P O PH '-'=∴=21221)2(4
1)(41
p y a p y ---+
＝),()2
(1a p a y p
a -+-
2
2
)2(PH PQ =∴=
.
)()2(42⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+-a p a y p a
令02=-
p a ，得p PQ p
a ==此时,2
为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =，
即抛物线的通径所在的直线. 解法2：
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
2
2222122122128414)(11p k p k x x x x k x x k AB +⋅+=-+⋅+=-+=
＝.21222+⋅+k k p 又由点到直线的距离公式得2
12k
p d +=
.
从而，
,22122122121222
22+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=
∆k p k p k k p AB d S ABN
.22max 02p S k ABN ==∴∆）时，（当
（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为
,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得
).
(1)2(4))((4,
0))((12
1
112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=---∆=----＝则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有
.
)()2(2)()2(41143a p a y p a a p a y p a x x PQ -+-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+-=-=
令p PQ p
a p a ===-
此时得,2
,02为定值，
故满足条件的直线l 存在，其方程为2
p
y =.
即抛物线的通径所在的直线。 题型八：角度问题
例题8、（如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若2
·1cos PM PN MPN
-∠＝
,求点P 的坐标.
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆.
因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴
b =2
2
5a c -=所以椭圆的方程为22
1.95
x y += (Ⅱ)由
2
,
1cos PM PN MPN
=
-得
cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①
因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N
构成三角形.在△PMN 中，4,MN =由余弦定理有
2
22
2cos .MN
PM PN PM PN MPN =+-
②
将
①
代
入②，得
2
2
242(2).PM PN PM PN =+--
故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2
213
x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22
195
x y +=，所以 由方程组2222
5945,3 3.x y x y ⎧+=⎪
⎨+=⎪⎩
解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪
=⎪⎩
即
P 点坐标
为
.
问题九：四点共线问题
例题9、设椭圆22
22:1(0)x y C a
b a b
+=>>
过点M ，且着焦
点为1(F （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上
解 (1)由题意：
2222222211c a b c a b ⎧=⎪
⎪+=⎨⎪⎪=-⎩
，解得22
4,2a b ==，所求椭圆方程为
22
142
x y += (2)方法一
设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。 由题设知
,,,AP PB AQ QB 均不为零，记
AP AQ PB
QB
λ=
=
,则0λ>且1λ≠
又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=
于是 1241x x λλ-=-， 12
11y y λλ-=-
121x x x λλ+=+， 12
1y y y λλ
+=+
从而
222
12
2
41x x x λλ
-=-，（1） 222
12
2
1y y y λλ
-=-，（2）
又点A 、B 在椭圆C 上，即
22
1124,(3)x y +=
222224,
(4)x y +=
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二 设点
1122(,),(,),(,)
Q x y A x y B x y ，由题设，
,,,PA PB AQ QB 均不为零。
且
PA PB AQ
QB
=
又
,,,P A Q B
四点共线，可设
,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是
1141,11x y
x y λλλλ
--==
-- （1）
2241,11x y
x y λλλλ
++==
++ （2）
由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2
2
24,x y +=整理得
222(24)4(22)140
x y x y λλ+--+-+=
（3）
222(24)4(22)140
x y x y λλ+-++-+=
(4)
(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-=
0,220x y λ≠+-=∵∴
即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上
问题十：范围问题（本质是函数问题）
设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点。 （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范
围。
解：（Ⅰ）解法一：易
知2,1,
a b c
===所
以
(
))
12
,
F F，设(),
P x y，则
(
))22
12
,,,3
PF PF x y x y x y
⋅=---=+-
()
2
22
1
1338
44
x
x x
=+--=-
因为[]
2,2
x∈-，故当0
x=，即点P为椭圆短轴端点时，
12
PF PF
⋅
有最小值2
-
当2
x=±，即点P为椭圆长轴端点时，
12
PF PF
⋅
有最大值1
解法二：易知2,1,
a b c
===
())
12
,
F F，
设()
,
P x y，则
222
1212 12
121212
12
cos
2
PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF
PF PF
+-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅
⋅((
22
2222
1
123
2
x y x y x y
⎡⎤
=++++-=+-
⎢⎥
⎣⎦
（以下同
解法一）
（Ⅱ）显然直线0
x=不满足题设条件，可设直线
()()
1222
:2,,,,
l y kx A x y B x y
=-，
联立2
2
2
1
4
y kx
x
y
=-
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，消去y，整理得：22
1
430
4
k x kx
⎛⎫
+++=
⎪
⎝⎭
∴12122
2
43,114
4
k x x x x k k +=-
⋅=
+
+
由()2
2
14434304k k k ⎛⎫∆=-+
⨯=-> ⎪
⎝⎭
得：2k <
或2k >- 又000090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴
12120OA OB x x y y ⋅=+>
又
()()()2121212122224
y y kx kx k x x k x x =++=+++2
2
223841144
k k k k -=++++
22
114k k -+=+
∵
2223
1
01144
k k k -++>++
，即24k < ∴22k -<<
故由①、②得2k -<<
2k << 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2
） ，
,1)两点，
O 为坐标原点， （I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2
） ，
,1)
两点,
所以2222
42
1611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩解得2211
8114
a b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩所以22
8
4
a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22
184
x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为
y kx m =+解方程组22
18
4x y y kx m
+==+⎧⎪⎨⎪⎩得22
2()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即
22840k m -+>
1222
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要
使
OA OB ⊥,需使
12120
x x y y +=,即
222
22
28801212m m k k k
--+=++,所以223880m k --=,所以22
3808
m k -=≥又22840k m -+>,所以
22
2
38
m m ⎧>⎨≥⎩,所以28
3
m ≥
,
即m ≥
m ≤,因为直线y kx m =+为圆
心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为
r =,222
228381318
m m r m k ===-++
,r =,所求的圆为22
8
3
x y +=
,此时圆的切线y kx m =+
都满足m ≥
或m ≤,
而当切线的斜率不存在时切线为x =与椭圆
22
184x y +=的两个交点
为(33±
或()33
-
±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆228
3
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.
因为122
2
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
, 所
以
2222
2
21212122222
4288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=
+++,
||AB ==
==, ①当0k ≠
时||AB =
因为2
21448k k +
+≥所以2
211
01844
k k
<≤
++,所以
2
232321[1]1213344
k k
<+≤++,
所以
4
6||233
AB <≤当且仅当22k =±时取”=”. ② 当0k =时,6
||3
AB =
. ③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为2626
(
或2626(,所以此时46
||AB =综上, |AB |的取值范围为
4
6||233
AB ≤≤即: 4
||[
6,23]3
AB ∈
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1圆锥曲线的定义： (1) 椭圆 ________________________________________________________________ (2) 双曲线 ________________________________________________________________ (3) 抛物线 ________________________________________________________________ 2、 定义的应用 (1) 寻找符合条件的等量关系 (2 )等价转换，数形结合 3、 定义的适用条件： 典型例题 2 2 2 2 例1、动圆M 与圆C i ： x 1 y 36内切，与圆C 2： x 1 y 4外切，求圆心M 的 轨迹方程。 例2、方程x 6 2 y 2 x 6 $ y 2 8表示的曲线是 __________________ 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断) 1、椭圆：由x 2、y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由x 2、y 2系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上; 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 (1) 是椭圆；(2)是双曲线. 例1、已知方程 x 2 1表示焦点在y 轴上的椭圆，贝U m 的取值范围是 _______________ 例2、k 为何值时，方程 1表示的曲线:
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、 PF 1 m, PF 2 n , m n, m n, mn, m 2 n 2四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 2 2 例1、椭圆x 2 每 i （a b 0）上一点P 与两个焦点F i , F 2的张角FPF ， a b 求F 1PF 2的面积。 例2、已知双曲线的离心率为 2, F i 、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 F 1PF 2 60 , S F ,PF 2 12：一3 .求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值; 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围; 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 2 例1 ＞已知F 1、F 2是双曲线一2 a 2 r 1( .2 1 ( a b 0 b 0 ）的两焦点，以线段 F 1 F 2为边作 正三角形MFF 2，若边MF 1 2 例2、双曲线—2 a 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1 , 3) B. 13 C.(3,+ ) D. 3, B. 3 2 話 1（a
有关圆锥曲线题型的总结
直线和圆锥曲线常 考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或 者 AB === = 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v •= 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系; 题型二：弦的垂直平分线问题; 题型三：动弦过定点的问题; 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题;
题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题 问题十：范围问题（本质是函数问题） 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）; 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系: 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭 圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =始终有交点，则 14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+⇒过定点（，）; :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，
圆锥曲线常见题型归纳
圆锥曲线常见题型归纳 一、 基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质， 如求圆锥曲线的标准方a,b 'c,e, p 程，求准线或渐近线 方程，求顶 点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半 径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。 此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1） 熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来 解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2） 如未指明焦点位置，应考虑焦点在 两种（或四种）情况； （3） 注意 a,2a,a 2 ， b,2b,b 2 ， c,2c,c 2 ， 2 p, p, p/2 的区别及其 几 何背景、出现位置的不同，椭圆中c 2=a 2-b 2，双曲 线中 C 2 =a 2 +b 2 ，离心率 e=c/a ，准线方程 x = ±a 7c ； 二、 定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点 至y 定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的 距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用 面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定 义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面 几何知识有： 圆的性质，解三角形（正弦 余弦定理、三角形面积公 式），当条件是用向量的形式给出 x 轴和y 轴的 2 2.2 c = a —b 中垂线、角平分线的性质，勾股定理，
时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平
面几何方法处理； 三、直线与圆锥曲线的关系题 （1）写直线方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为y = kx+b的形式，但随后应对斜率k不存在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立； （2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去 x或消去y，得到方程ax2 +bx + c = 0① 或ay2+by+c=0②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。 （3）当方程①或②的二次项系数a=0时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴 行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；） （4）当方程①或②的二次项系数am时，判别式^ <0、
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ， 则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．
圆锥曲线常考题型解题技巧总结
圆锥曲线常考题型解题技巧总结 1 圆锥曲线定义的妙用 1．求动点轨迹 例1 一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 思路点拨 分析题意，看满足哪种曲线的定义． 规范解答 x 2＋y 2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x － 3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则 ⎭ ⎪⎬⎪⎫|PO |＝r ＋1|P A |＝r ＋2⇒|P A |－|PO |＝1<|AO |＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． 答案 C 2．解三角形 例2 设F 1、F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23 －y 2＝1与C 1的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 思路点拨 利用椭圆与双曲线的定义求出|F 1F 2|，|PF 1|和|PF 2|，然后由余弦定理求解． 规范解答 曲线C 1：x 26＋y 22＝1与曲线C 2：x 23 －y 2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点．则|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3.又|F 1F 2|＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得cos ∠F 1PF 2＝(6＋3)2＋(6－3)2－422×(6＋3)×(6－3) ＝13. 3．求离心率 例3 如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24 ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．
圆锥曲线常考题型归纳总结
圆锥曲线常考题型归纳总结 第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题 一．常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系；题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题；题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题；题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值的问题；题型八：角度问题 题型九：四点共线问题；题型十：范围为题（本质是函数问题） 题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆） 二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题； 2.交点与中点弦问题； 3.弦长及面积问题； 4.对称问题 5.范围问题； 6.存在性问题； 7.最值问题； 8.定值，定点，定直线问题 第二部分 知识储备 一． 与一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24b ac ?=- 2. 韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则12b x x a +=- ，12c x x a ?= 3. 求根公式：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 1,2x =二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈； ②点到直线的距离公式： d = d = （斜截式） 3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222: ,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系： ① 12121l l k k ⊥??=- ②121212//l l k k b b ?=≠且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则
圆锥曲线基本题型总结
圆锥曲线基本题型总结: 提纲: 一、定义的应用: 1、定义法求标准方程: 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题: 3、焦点三角形问题: 二、圆锥曲线的标准方程: 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程(已经性质求方程) 3、各种圆锥曲线系的应用: 三、圆锥曲线的性质: 1、已知方程求性质: 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题: 四、直线与圆锥曲线的关系: 1、位置关系的判定: 2、弦长公式的应用: 3、弦的中点问题: 4、韦达定理的应用: 一、定义的应用: 1.定义法求标准方程: (1)由题目条件判断就是什么形状,再由该形状的特征求方程:(注意细节的处理) 1、设F1,F2为定点,|F1F2|＝6,动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6,则动点M的轨迹就是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注:2a>|F1 F2|就是椭圆,2a=|F1 F2|就是线段】 2、设B(－4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为()
A 、x 225＋y 29 ＝1 (y ≠0) B 、y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C 、x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D 、y 216＋x 29 ＝1 (y ≠0) 【注:检验去点】 3、已知A (0,－5)、B (0,5),|P A |－|PB |＝2a ,当a ＝3或5时,P 点的轨迹为( ) A 、双曲线或一条直线 B 、双曲线或两条直线 C 、双曲线一支或一条直线 D 、双曲线一支或一条射线 【注:2a<|F 1 F 2|就是双曲线,2a=|F 1 F 2|就是射线,注意一支与两支的判断】 4、已知两定点F 1(－3,0),F 2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中,就是双曲线的就是( ) A 、||PF 1|－|PF 2||＝5 B 、||PF 1|－|PF 2||＝6 C 、||PF 1|－|PF 2||＝7 D 、||PF 1|－|PF 2||＝0 【注:2a<|F 1 F 2|就是双曲线】 5、平面内有两个定点F 1(－5,0)与F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6,则动点P 的轨迹方程就是( ) A 、x 216－y 29 ＝1(x ≤－4) B 、x 29－y 216＝1(x ≤－3) C 、x 216－y 29＝1(x ≥4) D 、x 29－y 216 ＝1(x ≥3) 【注:双曲线的一支】 6、如图,P 为圆B :(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点,点A 坐标为(2,0),线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ,求点Q 的轨迹方程、
圆锥曲线题型归纳(经典含答案)
1 椭圆题型总结 (简单) 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的 椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点 Q 的轨迹是( B ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA 7. (1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 最小。 解：（1）（2，2） 连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为( 2,2 1 -)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去） （2）（ 1,4 1 ） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x= 41，∴Q(1,4 1)
圆锥曲线基本题型总结
圆锥曲线基本题型总 结 Revised on November 25, 2020
圆锥曲线基本题型总结： 提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1.定义法求标准方程： （1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是() A．椭圆B．直线 C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2.设B－4,0)，C4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为) ＋y2 9＝1 y≠0) ＋ x2 9＝1 y≠0)
＋y2 16＝1 y≠0) ＋ x2 9＝1 y≠0) 【注：检验去点】 3.已知A0，－5)、B0,5)，|P A|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线【注：2a<|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】 4.已知两定点F1－3,0)，F23,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是) A.||PF1|－|PF2||＝5 B.||PF1|－|PF2||＝6 C.||PF1|－|PF2||＝7 D.||PF1|－|PF2||＝0 【注：2a<|F1 F2|是双曲线】 5.平面内有两个定点F1－5,0)和F25,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是) －y2 9＝1x≤－4) － y2 16＝1x≤－3) －y2 9＝1x≥4) － y2 16＝1x≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P为圆B：x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程. 7.已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程． （2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线： 8.已知圆A：x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. 已知动圆M过定点B－4,0)，且和定圆x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为) －y2 12＝1 x>0) － y2 12＝1 x<0) －y2 12＝1 － x2 12＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P过点N－2,0)，且与另一圆M：x－2)2＋y2＝8相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】
高考圆锥曲线题型归类总结
高考圆锥曲线的七种题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2 +y 2 =36内切,与圆C 2:(x-1)2 +y 2 =4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线： (1)是椭圆; (2)是双曲线.
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2 α b S = ；双曲线焦点三角形面积2 cot 2 α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、2 2 ,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α，求证：△F 1PF 2的面积为b 2 2 tan α。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正 三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+
圆锥曲线题型归纳(经典含答案)
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 （一） 定义： 1. 命题甲：动点P 到两点A, B 的距离之和 PA+|PB =2a （a >0,常数）;命题乙：P 的轨迹是以 A B 为 焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 （B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知F l 、F 2是两个定点，且 "F2 =4，若动点P 满足|PF"+|PF2|=4则动点P 的轨迹是（D ） A.椭圆B.圆C.直线D.线段 3. 已知F i 、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，如果延长* 到 Q ,使得 |PQ =|PF 2 ，那么 动点Q 的轨迹 是（B ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 2 2 …一 x y … ，一一 ,一 … 一一 一 ..... 4. 椭圆一十二=1上一点M 到焦点F i 的距离为2, N 为MF i 的中点，O 是椭圆的中心，则 ON 的值 25 9 是 4。 2 2 5. 选做：F I 是椭圆 —=1的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （ 1, 1）,求| PA | + | PF 1 |的最小值。 9 5 解：| PA | | PF 1 |=| PA | 2a - | PF 2 |_ 2a-| AF 2 |=6 - .. 2 （二） 标准方程求参数范围 2 2 1. 试讨论k 的取值范围，使方程 —二 十 _匚=1表示圆，椭圆，双曲线。（略） 5 —k k -3 2 "m 》n >0”是“方程mx 2 +ny 2 =1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（c ） A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.若方程x 2sina +y 2cosa =1表示焦点在y 轴上的椭圆，0所在的象限是（A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 5.已知方程x 2+ky 2 =2表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 k>1 （三）待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1） 两个焦点的坐标分别为（0, 5）和（0, —5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26; 2 2 匕』=1 169 144 （2） 长轴是短轴的2倍，且过点（2, — 6）; 2 2 2 2 L+L =1 或 土+匕=1 52 13 ' 148 37 （3） 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 4.方程x = J I -3y 2 所表示的曲线是 椭圆的右半部分 日（」6,1）,以- 。3,-/2）,求椭圆方程.
高考复习圆锥曲线题型归纳整理
高考复习圆锥曲线题型归纳整理 一、求圆锥曲线方程 求圆锥曲线方程分为五个类型，求解策略一般有以下几种： ①几何分析+方程思想；②设而不求+韦达定理 ③定义+数形结合；④参数法+方程思想 类型1——待定系数法 待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析，利用图形，结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出含有待定系数的方程，解出待定的系数即可。 例1.2014年全国Ⅱ卷（理科20）设F1、F2分别是椭圆C:x2 a2+y2 b2 =1a>b>0的左、右 焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N． Ⅰ若直线MN的斜率为3 4 ，求C的离心率； Ⅱ若直线MN在y轴上的截距为2，且∣MN∣=5∣F1N∣，求a，b． 类型2——相关点法求轨迹方程 动点P(x，y)依赖与另一个动点Q(x0，y0)变化而变化，并且动点Q(x0，y0)又在另一个已知曲线上，则可先用x，y表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线，可得到所求动点的轨迹方程。 例2、2017年全国Ⅱ卷（理科20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x 2 2 +y2=1上，过M 作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP=2NM． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=−3上，且OP⋅PQ=1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C 的左焦点F． 类型3——定义法求轨迹方程 先根据条件确定动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线定义直接写出动点的轨迹方程。 例3、2016年全国Ⅰ卷（理科20）设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A，直线l过点B1,0且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． Ⅰ证明∣EA∣+∣EB∣为定值，并写出点E的轨迹方程； Ⅱ设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A 交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 类型4——参数法求曲线方程 当动点P(x，y)坐标之间的关系较探寻时，可考虑x，y之间用同一个变量表示，得到参数方程，再消去参数即可，但要注意参数的取值范围。
(完整版)圆锥曲线大题题型归纳
圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等; 2. 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3. 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注 意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4. 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式 两个、斜率公式一个共五个等式； 5. 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问 题、比例问题、坐标问题； 基本思想： ,* I X 1 \ ' 1. “常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2. “是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3. 证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； ,--j I * 4. 证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5. 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6. 大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 2 2 例1、已知F i, F2为椭圆—+ —=1的两个焦点，P在椭圆上，且/ F I PF2=60°则厶F1PF2的面积为多少？ 100 64 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
高考圆锥曲线题型归类总结
圆锥曲线(yu án zhu ī q ǔ xi àn)的七种常考 题型 题型一：定义(d ìngy ì)的应用 1、圆锥曲线(yu án zhu ī q ǔ xi àn)的定义： （1）椭圆(tu ǒyu án) （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义(d ìngy ì)的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1：内切,与圆C 2： 外切,求 圆心M 的轨迹方程。 例2、方程表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由22x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题
例1、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 例2、k为何值时,方程表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点(yī diǎn)与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用(lìyòng)定义和正弦、余弦定理求解 2、，四者的关系(guān xì)在圆锥曲线中的应用 典型(diǎnxíng)例题 例1、椭圆上一点P与两个焦点的张角， 求的面积。 例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；
圆锥曲线题型归类总结
高 考圆锥曲线的常见题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程 表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：? 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线： (1)是椭圆; (2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2α b S = ；双曲线焦点三角形面积2 cot 2α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解
3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12=α，求证：△F 1PF 2的面积为b 22 tan α。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正 三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 例3、椭圆G ：22 221(0)x y a b a b +=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在 点M 使1 20FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围； 例4、已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞