圆锥曲线常考五大题型

题型一求圆锥曲线的参数值

例1 如果方程22

124

x y m m +=++表示双曲线，那么的m 取值范围是技巧与方法有关圆锥曲线参数的值是常见题型之一，其解法多从曲线的性质入手，构造方程解之。

变式训练 1、设椭圆()22

22100x y m n m n

+=>>、的右焦点与抛物线2y 8x =的焦点相同，离心率为12

，则此椭圆的方程为（） A 、2211216x y += B 、2211612x y += C 、2214864x y += D 、2216448

x y += 2、若椭圆22

12x y m

+=的离心率22=e ，则m 的值为题型二团锥曲线的离心率和弦长问题

例2 如图，椭圆与双曲线有公共焦点1F 、2F ，它们在第一象限

的交点为A ，且12AF AF ⊥，1230AF F ∠=，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 A ．23 B ．3 C ．2 D ．1 方法与技巧求圆锥曲线的离心率充分利用:

(l) 椭圆的离心率()e=01c a

∈，（e 越大则椭圆越扁）； (2) 双曲线的离心()e=1+c a

∈∞， (e 越大则双曲线开口越大)； (3) 椭圆、双曲线a 、b 、c 之间的关系等，结合相关知识来解题。

变式训练 1、双曲线C:22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于

2、在平面直角坐标系中，椭圆()22

221a b 0a b

x y +=>>的焦距为2c ，以o 为圆心，a 为半径的圆M ，过点2a 0c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，作圆的两切线互相垂直，则离心率e=

y 例2 图 O

F2 A

题型三圆锥曲线的轨迹方程问题

求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系；(2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )；(3)列式——列出动点P 所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

1、定义法求轨迹方程已知平面内两定点(5,0),(5,A B -，动点M 满足6M A M B -=-，则动点M 的轨迹方程是

2、相关点法求轨迹方程已知椭圆方程为22

x +16y b

=（04b <<），抛物线方程为24x by =．

过抛物线的焦点作y 轴的垂线，与抛物线在第一象限的交点为A ，抛物线在点A 的切线经过椭圆的右焦点F ．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设P 为椭圆上的动点，由P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，且直线PQ 上一点M 满足||||MQ PQ λ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

3、直接法求轨迹方程已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；

(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．

方法与技巧求轨迹的常用方法

(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程．

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．

(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．

(4)代入法(相关点法)：“相关点法”的基本步骤：

(1) 设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；

(2) 求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式()()11

x ,,f x y y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ (3) 代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．

变式训练 1、设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．

2、如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A ，

l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．

题型四圆锥曲线的最值及对称性问题

例3 已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (5,4)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．

例4 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为

例5 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点(0,1)，且离心率为32. （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知点)0,1(A ，点P 是椭圆C 上的一个动点，求PA 的最小值及此时P 点的坐标

方法与技巧圆锥曲线的最值问题的解法一般两种,一是几何法, 特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来处理（数形结合）; 二是代数法, 将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题, 然后利用重要不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等来求解

例6 若抛物线2y=2x 上两点()12A x ，y 、()22B x ，y 关于直线y x m =+对称，且1212

x x =-,则m 的值为方法技巧圆锥曲线上对称性问题的通法是: ①若是关于点对称, 即用中点坐标;②若是关于直线对称, 则转化为对称轴垂直的直线与圆锥有两交点. 且两交点的中点在对称轴上。题型五圆锥曲线的存在性问题

例7 已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右两个焦点分别为)0 , 4(1-F ，)0 , 4(2F ，上顶点为),0(b A ，21F AF ∆的周长为18.

（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；

（2）在椭圆C 上是否存在点P ，使12F PF ∠为直角？若存在，请求出点P 的坐标；若

不存在，请简要说明理由．

方法技巧存在性问题, 其一般解法是先假设命题存在, 用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标, 再根据合理的推理, 若能推出题设中的系数, 则存在性成立, 否则, 不成立

变式训练已知抛物线2C:y=2x ,直线y=2kx +交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N 。

（1）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（2）是否存在实数k 使0NA NB ⋅=,若存在，求k 的值；若不存在，说明理由。

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用 1圆锥曲线的定义： (1) 椭圆 ________________________________________________________________ (2) 双曲线 ________________________________________________________________ (3) 抛物线 ________________________________________________________________ 2、定义的应用 (1) 寻找符合条件的等量关系 (2 )等价转换，数形结合 3、定义的适用条件：典型例题 2 2 2 2 例1、动圆M 与圆C i ： x 1 y 36内切，与圆C 2： x 1 y 4外切，求圆心M 的轨迹方程。例2、方程x 6 2 y 2 x 6 $ y 2 8表示的曲线是 __________________ 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断) 1、椭圆：由x 2、y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由x 2、y 2系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上; 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题 (1) 是椭圆；(2)是双曲线. 例1、已知方程 x 2 1表示焦点在y 轴上的椭圆，贝U m 的取值范围是 _______________ 例2、k 为何值时，方程 1表示的曲线:

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、 PF 1 m, PF 2 n , m n, m n, mn, m 2 n 2四者的关系在圆锥曲线中的应用典型例题 2 2 例1、椭圆x 2 每 i （a b 0）上一点P 与两个焦点F i , F 2的张角FPF ， a b 求F 1PF 2的面积。例2、已知双曲线的离心率为 2, F i 、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 F 1PF 2 60 , S F ,PF 2 12：一3 .求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值; 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围; 3、注重数形结合思想不等式解法典型例题 2 例1 ＞已知F 1、F 2是双曲线一2 a 2 r 1( .2 1 ( a b 0 b 0 ）的两焦点，以线段 F 1 F 2为边作正三角形MFF 2，若边MF 1 2 例2、双曲线—2 a 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1 , 3) B. 13 C.(3,+ ) D. 3, B. 3 2 話 1（a

有关圆锥曲线题型的总结

直线和圆锥曲线常考题型运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v •= 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系; 题型二：弦的垂直平分线问题; 题型三：动弦过定点的问题; 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题;

题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题问题九：四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）; 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系: 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =始终有交点，则 14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+⇒过定点（，）; :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，

(完整版)圆锥曲线常见题型及答案

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,) (,2)22 ---）；（5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。例：（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或325）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： p e c b a ,,,,

圆锥曲线常考题型归纳总结

圆锥曲线常考题型归纳总结第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系；题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题；题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题；题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题；题型八：角度问题题型九：四点共线问题；题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题； 2.交点与中点弦问题； 3.弦长及面积问题； 4.对称问题 5.范围问题； 6.存在性问题； 7.最值问题； 8.定值，定点，定直线问题第二部分知识储备一．与一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24b ac ?=- 2. 韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则12b x x a +=- ，12c x x a ?= 3. 求根公式：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 1,2x =二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈； ②点到直线的距离公式： d = d = （斜截式） 3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222: ,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系： ① 12121l l k k ⊥??=- ②121212//l l k k b b ?=≠且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则

完整版)圆锥曲线大题题型归纳

完整版)圆锥曲线大题题型归纳圆锥曲线大题题型归纳基本方法： 1.待定系数法：求解直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等； 2.齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3.韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。但是，如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4.点差法：解决弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5.距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化为水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想： 1.“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2.“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3.证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4.证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5.有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。变式1、已知F1,F2分别是双曲线3x^2-5y^2=75的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2 的面积。变式2、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点。 1）求|PF1|/|PF2|的最大值；

(完整版)圆锥曲线大题题型归纳

精心整理圆锥曲线大题题型归纳基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注 4． 5． 1．2．3无关； 45“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积。

变式2、已知F 1，F 2为椭圆22 2 1100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．（1）求|PF 1|?|PF 2|的最大值；（2）若∠F 1PF 2=60°且△F 1PF 2的面积为643 3 ，求b 的值题型二过定点、定值问题例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)，离心率为 3 ，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求OPQ ?面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ?的外接圆恒过一个异于点A 的定点. 处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。例3、（聊城市2017届高三高考模拟（一））已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，一个顶点在抛物线24x y =的准线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，,M N 为椭圆上的两个不同的动点，直线,OM ON 的斜率分别为1k 和2k ，是否存在常数p ，当12k k p =时MON ?的面积为定值？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由. 变式1、已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的焦距为1223,A A ，点为椭圆的左右顶点，点M 为椭圆上不同于12,A A 的任意一点，且满足121 4 A M A M k k ?=-． (I)求椭圆C 的方程： (2)已知直线l 与椭圆C 相交于P ，Q(非顶点)两点，且有11A P A Q ⊥． (i)直线l 是否恒过一定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由． (ii)求2PA Q ?面积S 的最大值．点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明

圆锥曲线题型归纳(经典含答案)

椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题（一）定义： 1. 命题甲：动点P 到两点A, B 的距离之和 PA+|PB =2a （a >0,常数）;命题乙：P 的轨迹是以 A B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的（B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知F l 、F 2是两个定点，且 "F2 =4，若动点P 满足|PF"+|PF2|=4则动点P 的轨迹是（D ） A.椭圆B.圆C.直线D.线段 3. 已知F i 、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，如果延长* 到 Q ,使得 |PQ =|PF 2 ，那么动点Q 的轨迹是（B ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 2 2 …一 x y … ，一一 ,一 … 一一一 ..... 4. 椭圆一十二=1上一点M 到焦点F i 的距离为2, N 为MF i 的中点，O 是椭圆的中心，则 ON 的值 25 9 是 4。 2 2 5. 选做：F I 是椭圆 —=1的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （ 1, 1）,求| PA | + | PF 1 |的最小值。 9 5 解：| PA | | PF 1 |=| PA | 2a - | PF 2 |_ 2a-| AF 2 |=6 - .. 2 （二）标准方程求参数范围 2 2 1. 试讨论k 的取值范围，使方程 —二十 _匚=1表示圆，椭圆，双曲线。（略） 5 —k k -3 2 "m 》n >0”是“方程mx 2 +ny 2 =1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（c ） A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.若方程x 2sina +y 2cosa =1表示焦点在y 轴上的椭圆，0所在的象限是（A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 5.已知方程x 2+ky 2 =2表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 k>1 （三）待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0, 5）和（0, —5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26; 2 2 匕』=1 169 144 （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2, — 6）; 2 2 2 2 L+L =1 或土+匕=1 52 13 ' 148 37 （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 4.方程x = J I -3y 2 所表示的曲线是椭圆的右半部分日（」6,1）,以- 。3,-/2）,求椭圆方程.

圆锥曲线常考五大题型

圆锥曲线常考五大题型题型一求圆锥曲线的参数值例1 如果方程22 124 x y m m +=++表示双曲线，那么的m 取值范围是技巧与方法有关圆锥曲线参数的值是常见题型之一，其解法多从曲线的性质入手，构造方程解之。变式训练 1、设椭圆()22 22100x y m n m n +=>>、的右焦点与抛物线2y 8x =的焦点相同，离心率为12 ，则此椭圆的方程为（） A 、2211216x y += B 、2211612x y += C 、2214864x y += D 、2216448 x y += 2、若椭圆22 12x y m +=的离心率22=e ，则m 的值为题型二团锥曲线的离心率和弦长问题例2 如图，椭圆与双曲线有公共焦点1F 、2F ，它们在第一象限的交点为A ，且12AF AF ⊥，1230AF F ∠=，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 A ．23 B ．3 C ．2 D ．1 方法与技巧求圆锥曲线的离心率充分利用: (l) 椭圆的离心率()e=01c a ∈，（e 越大则椭圆越扁）； (2) 双曲线的离心()e=1+c a ∈∞， (e 越大则双曲线开口越大)； (3) 椭圆、双曲线a 、b 、c 之间的关系等，结合相关知识来解题。变式训练 1、双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于 2、在平面直角坐标系中，椭圆()22 221a b 0a b x y +=>>的焦距为2c ，以o 为圆心，a 为半径的圆M ，过点2a 0c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，作圆的两切线互相垂直，则离心率e= x y 例2 图 O F1 F2 A

高考复习圆锥曲线题型归纳整理

高考复习圆锥曲线题型归纳整理一、求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程分为五个类型，求解策略一般有以下几种： ①几何分析+方程思想；②设而不求+韦达定理 ③定义+数形结合；④参数法+方程思想类型1——待定系数法待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析，利用图形，结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出含有待定系数的方程，解出待定的系数即可。例1.2014年全国Ⅱ卷（理科20）设F1、F2分别是椭圆C:x2 a2+y2 b2 =1a>b>0的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N． Ⅰ若直线MN的斜率为3 4 ，求C的离心率； Ⅱ若直线MN在y轴上的截距为2，且∣MN∣=5∣F1N∣，求a，b．类型2——相关点法求轨迹方程动点P(x，y)依赖与另一个动点Q(x0，y0)变化而变化，并且动点Q(x0，y0)又在另一个已知曲线上，则可先用x，y表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线，可得到所求动点的轨迹方程。例2、2017年全国Ⅱ卷（理科20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x 2 2 +y2=1上，过M 作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP=2NM．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x=−3上，且OP⋅PQ=1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C 的左焦点F．类型3——定义法求轨迹方程先根据条件确定动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线定义直接写出动点的轨迹方程。例3、2016年全国Ⅰ卷（理科20）设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A，直线l过点B1,0且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． Ⅰ证明∣EA∣+∣EB∣为定值，并写出点E的轨迹方程； Ⅱ设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A 交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．类型4——参数法求曲线方程当动点P(x，y)坐标之间的关系较探寻时，可考虑x，y之间用同一个变量表示，得到参数方程，再消去参数即可，但要注意参数的取值范围。

圆锥曲线高考常考题型

圆锥曲线高考常考题型：一、基本概念、基本性质题型二、平面几何知识与圆锥曲线基础知识的结合题型三、直线与圆锥曲线的相交关系题型（一）中点、中点弦公式（二）弦长（三）焦半径与焦点三角形四、面积题型（一）三角形面积（二）四边形面积五、向量题型（一）向量数乘形式（二）向量数量积形式（三）向量加减法运算（四）点分向量（点分线段所成的比）六、切线题型（一）椭圆的切线（二）双曲线的切线（三）抛物线的切线七、最值问题题型（一）利用三角形边的关系（二）利用点到线的距离关系

一、基本概念题型：主要涉及到圆锥曲线定义、焦点、焦距、长短轴、实虚轴、准线、渐近线、离心率等基本概念知识的考查。例1：已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的焦距为2，准线为4=x ，则该椭圆的离心率为例2：已知双曲线方程)0,(12222>=-b a b y a x 的离心率为2 5 ，则渐近线方程为例3：已知双曲线方程为)1(1)1(2 2 22>=+-a a y a x ，则双曲线离心率取值范围为例4：已知抛物线方程为x y 82-=，则焦点坐标为例5：已知椭圆C ：1342 2=+ y x 上一点P 到左焦点的距离为23，则点P 到左准线的距离为，到右准线的距离为例6：已知双曲线M ：13 62 2=- y x 上一点P 到左准线的距离为2，则点P 到右焦点的距离为二、平面几何知识与圆锥曲线基本知识的结合。该考点主要涉及到平面几何知识中的中位线、中垂线、角平分线定理，射影定理、勾股定理、余弦定理、相似三角形、三角形四心性质、等腰梯形、直角梯形性质、圆的性质、长度和坐标的相互转换等当然还会涉及圆锥曲线基本知识，包括定义、基本概念、基本性质。例1：①过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（） A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 ②设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. ③已知点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，21F F 、为椭圆的两焦点，若

圆锥曲线常见七大题型

圆锥曲线常见七大题型（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为（X1,Y1),(X2,Y2) ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的情况讨论），消去四个参数。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。对于<1>可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于<2>首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。（5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题

(完整版)圆锥曲线大题题型归纳

圆锥曲线大题题型归纳基本方法： 1待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等; 2. 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3. 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4. 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5. 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想： ,* I X 1 \ ' 1. “常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2. “是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3. 证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； ,--j I * 4. 证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5. 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6. 大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 2 2 例1、已知F i, F2为椭圆—+ —=1的两个焦点，P在椭圆上，且/ F I PF2=60°则厶F1PF2的面积为多少？ 100 64 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

圆锥曲线题型、解题方法与技巧

圆锥曲线一、直线过曲线焦点，求弦长与面积问题 1．设直线l 过椭圆22 143 x y +=的右焦点2F ，直线交椭圆于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求线段AB 的距离；（Ⅱ）若线段24 ||7 AB =，求直线l 的斜率． 2．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点3 (1,)2 在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AOB ∆的面积为 7 ，求直线l 的方程． 3．已知椭圆22 132 x y +=的焦点为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、 C 两点，且AC B D ⊥，垂足为P ．求四边形ABCD 的面积的最小值．

补充： 1．已知双曲线22 221x y a b -=的右焦点为2F ，直线l 过点2F 与双曲线交于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角为θ，则||AB = ． 2．设抛物线22(0)x py p =>，过抛物线焦点F 的直线的倾斜角为θ，直线与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ．练习 1．在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则O A F ∆的面积为． 2．（已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为1 2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为36 13 ，求直线AB 的方程．二、直线与曲线相交的一般弦长、面积问题 1．已知直线y x m =+与椭圆2 214 x y +=相交于A ，B 两点，求||AB 的最大值． 2．已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）过点(0,2)M ，离心率36 =e . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线1+=x y 与椭圆相交于B A 、两点，求AMB S ∆.

高考圆锥曲线的常见题型

高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆（2）椭圆（3）椭圆 2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件：典型例题例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。例2、方程表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：? 1、椭圆：由 ,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程1592 2=---k y k x 的曲线： (1)是椭圆; (2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2tan 2α b S =；双曲线焦点三角形面积2cot 2α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用；

典型例题例1、椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12=α，求证：△F 1PF 2的面积为b 22 tan α。例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A.324+ B.13- C. 2 13+ D.13+ 例2、双曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且 |PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 例3、椭圆G ：22 221(0)x y a b a b +=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使1 20FM F M ⋅=.求椭圆离心率e 的取值范围；例4、已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞ 题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系