45立体几何中的向量方法（Ⅰ）——证明平行与垂直（5篇模版）

45立体几何中的向量方法（Ⅰ）——证明平行与垂直（5篇模

版）

第一篇：45立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直第45课时立体几何中的向量方法(Ⅰ)

——证明平行与垂直

编者：刘智娟审核：陈彩余班级_________

学号_________

姓名_________第一部分预习案

一、学习目标

1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用

二、知识回顾

1．直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．

(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ v1∥v

2(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使＝xv1＋yv2

(3)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系

v2＝0.(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·

(2)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥

u2＝0.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·

三、基础训练

1．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是__________

→→→→→2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．

b＝(2,0,4)，c＝(－4，3．已知＝(－2，－3,1)，－6,2)，则下列结论正确的序号是________．①∥c，b∥c;②∥b，⊥c；③∥，⊥;④以上都不对．

→→4．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为____________．

5．若平面α、β的法向量分别为v1＝(2，－3,5)，v2＝(－3,1，－4)，则α、β的位置关系为____________．

第二部分探究案

探究一利用空间向量证明平行问题

问题

1、如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD 的中点．

求证：PB∥平面EFG.探究二利用空间向量证明垂直问题

问题

2、如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．

求证：AB1⊥平面A1BD.探究三利用空间向量解决探索性问题

问题

3、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

问题

4、如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

我的收获

第三部分训练案见附页

第二篇：立体几何中的向量方法----证明平行与垂直练习题

§8.7 立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直

一、选择题

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确

2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35⎫15⎫⎛⎛3．已知a＝ 1，－，b＝ －3，λ，－满足a∥b，则λ等于()． 22⎭2⎭⎝⎝

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是() A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()

A．(1，－1,1)3⎫⎛B. 1，3，2⎭⎝

⎫⎛

C. 1，－3，2⎭⎝

二、填空题

⎫⎛

D. －1，3，－

2⎭⎝

8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则

l1与l2的位置关系是_______．

9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．

三、解答题

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：

MN∥平面A1BD.证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，⎫⎛⎛1⎫

则M 0，1，N ，1，1⎪，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，2⎭⎝⎝2⎭→

1⎫⎛

1于是MN＝ ，0，2⎭⎝

2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．⎧x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得⎨

⎩x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．→

1⎫⎛1

又MN·n＝ ，0，·(1，－1，－1)＝0，2⎭⎝2→

∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，

已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)若点G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面

BCC1B1.→→

证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面．又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，→

→→

2⎫⎛

则GM＝ 0，－，z⎪，而BF＝(0,3,2)，3⎭⎝

→→

由题设得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)．→

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为⎛22⎫

，0⎪、(0,0,1)．

2⎝2⎭→⎛22⎫∴NE＝ －，－1⎪.2⎝2⎭

⎛2⎫

2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、 ，1⎪

2⎝2

⎭

→

⎛22⎫∴AM＝ －，－1⎪.2⎝2⎭

→→

∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.⎛22⎫

(2)由(1)知AM＝ －，－1⎪，2⎝2⎭

→

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.→

第三篇：8.7 立体几何中的向量方法Ⅰ——证明平行与垂直§8.7 立体几何中的向量方法Ⅰ——证明

平行与垂直

(时间：45分钟满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

υυυρυυυρ1.已知空间三点A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分别与AB,AC垂

直，则向量a为()

A.(1，1，1)

B.(－1，－1，－1)

C.(1，1，1)或(－1，－1，－1)

D.(1，－1，1)或(－1，1，－1),2.已知a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为(),A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝ 1,-,⎪，b＝ -3,λ,-

A⎛⎝35⎫22⎭⎛⎝15⎫⎪满足a∥b，则λ等于()2⎭2992.B.C.－D.－

3223υυυρρυυυυυυρυυυρυυυρ4.已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为() A.33154015，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(),A.a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)

B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)

C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)

D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)

二、填空题(每小题7分，共21分)

6.设a＝(1，2，0)，b＝(1，0，1)，则“c＝(,-,-的条件.

7.若|a|，b＝(1，2，－2)，c＝(2，3，6)，且a⊥b，a⊥c，则a＝.,

8.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为

三、解答题(共44分)

9.(14分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量10．(15分)如图，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA

1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

2(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：

3EM⊥面BCC1B1.11．(15分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF

＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C

2.A

3.B

4.B

5.D

6.充分不必要

7. -23132)”是“c⊥a，c⊥b且c为单位向量”31⎫⎛181⎫⎛18,2,⎪或 ，-2,-⎪

8.1 5⎭⎝55⎭⎝

5.9.解以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示).,设

正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则A(1，0，0)，M(1，1，11)，N(0，1)).∴2

2υυυυρ⎛1⎫υυυρ⎛1⎫AM=1,0,⎪,AN=0，1⎪设平面AMN的一个法向量为2⎭⎝⎝2⎭

n＝(x，y，z),υυυυρ1⎧n⋅AM=y+z=0⎪⎪2⎨υυυρ⎪n⋅AN=-x+1y+z=0⎪⎩2

令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)为平面AMN的一个法向量．

υυυρ10.证明建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，υυυρ→BF ＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

ρυυυρυυυρυυυρ→υυυ→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．

(2)如图，设M(0,0，z)，υυυυρ2→0，－z⎫，而BF＝(0，3，2)，GM＝⎛3⎭⎝

得z＝1.υυυυρ→2由题设得GM⋅BF=-⨯3+z⋅2=0，3υυυρ因为M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.11.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为⎛22，0⎫、(0,0,1)． 2⎝2⎭

υυυρ⎛22∴NE＝－1⎫.2⎝2⎭

又点A、M的坐标分别是，0)、⎛22⎫22→，AM＝⎛－，1⎫.，1，22⎝2⎭⎝2⎭υυυρ→∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.υυυρ22⎫→⎛(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F22，1)，DF＝(0，2，2⎝2⎭

1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF

＝

F，∴AM⊥平面BDF.

第四篇：9-5用向量方法证明平行与垂直

2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

例2．（线线垂直）

如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.BC＝1，AA1＝，M是例5．（面面平行）

如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平CC1的中点．求证：AB1⊥A1M.例3．（线面平行）

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.例4．（线面垂直）

在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB 和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.第三页

面AMN∥平面EFDB.例6。（面面垂直）

如图，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，且SA=AB平面ABCD.第四页E是SC中点.求证：

平面BDE⊥y，2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

8．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β()A．平行

B．垂直C．相交

D．不能确定

9．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1 C．面AED 与面A1FD相交但不垂直D．以上都不对

10．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎛

1⎝1，2，2⎫⎭，则m＝________.11．如右上图所示，已知矩形

ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q 满足P Q⊥QD，则a的值等于________．

9.如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.第三页

10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；

(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.11.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,cos 〈DP,AE〉=33

.(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标；(2)在平面PAD内求一点F,使EF

⊥平面

PCB

.第四页

第五篇：立体几何中平行与垂直的证明

立体几何中平行与垂直的证明

姓名

2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D

1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;

例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．

求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：

AD

C1

BC【变式一】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：

1．谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2．比较正方体、正四棱柱、长方体

【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

形，且AF=

D

1A

E

B

C

C

AD=2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC

（Ⅰ）求证：

=10，D是BC边的中点.AB⊥A1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？【变式三】如图组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比．

【反思与小结】

1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。

2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会

【变式四】如图，四边形ABCD

为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且

BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？_P【变式五】如图5所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB⊥平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。

2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱

柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。

3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；

（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD

为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点

（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；

P1．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60︒，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求证：CD⊥AE；

A

D（2）求证：PD⊥面ABE．

2．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，

PA=BC=_A_M_B_C1AD.2B

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若

存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=

2，SB=SD=底面ABCD是菱形，且∠ABC=60︒，E为CD的中点．（1）证明：CD⊥平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论． D【课后记】1．设计思路（1）两课时； C（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；

（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；

（4）强调书写的规范性

2．实际效果：

（1）用时两节半课；

（2）平行掌握的比较好，但垂直问题需要继续加强。尤其是面面垂直问题转化为线面垂直后便不知所措。