概率论中数学期望的概念

毕业论文（设计）

题目：概率论中数学期望的概念

姓名：

学号：0411*******

教学院：数学与计算机科学学院

专业班级：数学与应用数学专业2008级1班

指导教师：

完成时间：2012年04月10日

毕节学院教务处制

概率论中数学期望概念

摘要：数学期望是现代概率论中最重要的基本概念之一，无论在理论上还是在应用中都具有重要的地位和作用。但是，数学期望这一概念对许多学者来说却又是一个难点，特别是对概念的理解和对这一数学工具的使用上都很难掌握。本文从离散型随机变量的来源、定义、分布及其理解上详细阐述概率论中的数学期望的概念及其性质，并介绍说明这一数学工具在实际生活中的应用。目的是希望能给更多的学者提供一些参考及帮助。

关键词：离散型；随机变量；分布；函数；期望

Mathematical expection concept

in theory of probability

Candidate:Xiong Xiao-ping Major:Mathematics and applied

mathematics

Student No:0411******* Advisor:Xue Chao-kui(Lecturer)

Abstract:Mathematical expectation is the modern theory of probability in the most important one of the basic concept, whether in theory or in the applications has an important position and role. But, mathematical expectation is a difficult concept for many scholars, especially for the understanding of concepts and the mathematical tools to the use of all difficult to master. This article from source of discrete random variable, definition, distribution and understand the detail on the mathematics of the concept of probability theory and its properties expectations, and introduces the mathematical tools that in the actual life application. The main purpose is to give more scholars can provide some reference and help.

Keywords:discrete; Random variable, Distribution; Functions; expect

目录

引言 (1)

1 预备知识 (2)

1.1 随机变量的定义 (2)

1.2 离散型随机变量的定义 (2)

2 离散型随机变量的几种分布 (5)

2.1 0—1分布（两点分布） (5)

2.2 二项分布 (6)

2.3 泊松分布 (6)

3 随机变量的分布函数及期望 (7)

3.1 一维随机变量的分布函数 (7)

3.2 二维随机变量及其概率分布 (9)

3.3 多维随机变量分布及其数学期望 (10)

结束语 (13)

参考文献 (14)

致谢 (15)

附录 (16)

引言

数学期望的概念起源于赌博，早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机会相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可获得100法郎的奖励。等比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因终止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平呢？用概率论的知识不难得出，甲获胜的概率为11132224+?=，或者分析乙获胜的概率为111224

?=，因此由此引出了甲的期望所得值为3100754

?=法郎，乙的期望所得值为25法郎。 概率论是1718，世纪欧洲思想和文化的产物，其每一概念和方法的提出和进展几乎都受到当时盛行的价值观，社会思潮和所拥有的社会资源的影响。在这方面，概率论中期望思想的发展历史是一个典型的案例。对它在17和18世纪的历史作一些研究，就会发现这个议题涉及当时人们在所有领域中对清晰性和确定性的态度和希望。在这个过程中，他们遇到的一些困难以及他们对这些困难的回应，为审视数学期望的发展和社会化之间的关系提供了一种具有启发性的视角。

尽管由帕斯卡和惠更斯等人所启动的概率论这门学科被称作概率演算，但早期概率论学者研究的一个中心问题是期望而不是概率。早期概率论中对数学期望的强调是由于这个概念承载了当时常用的“期望“术语的两种不同的定性含义，一是人们对法律中公平公正的期望，另一种是源于经济学中的公平获利的思考。这两重含义使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁。

因此，早期的概率期望承袭了当时常用术语“期望”的两种不同的定性含义，这两种关于期望的视角——法律的和经济的，一个与公平有关，而另一个与利益有关，两者铸造了尚未成熟的概率期望的早期数学理论。从1654年概率论最早形成直到1812年拉普拉斯《分析概率论》的出版，法律的平等和经济的谨慎在不同的方向上推动了数学概率中的概率期望的发展，使得期望成为这个学科中早期发展中的一个中心概念。

为了便于研究，下面只探讨概率论中离散型随机变量的数学期望，将从随机变量的定义，分布进行分析引入。

自然界的现象，可以分成必然现象和随机现象两大类。在一组给定条件下，某一事情必然发生。例如，在一个大气压下水的温度降到零度以下就会结冰；偶

数与偶数的和仍是偶数…，这些称为必然现象。但另外有些现象就不是这样。比如，明年七月十日下雨。这个判断只有等到明年七月十日以后才能给出正确的答案。它有可能下，也有可能不下。又如掷骰子，每掷一次出现1,2,3,4,5,6各点的可能性是相同的，无法判断到底出现几点。这就是随机现象。

如何用数学方法来描述一个随机现象呢？注意到随机现象有四个特征。首先是它具有几种可能的状态，对此每个状态可用一个实数来表示。这样就得到了一个定义在基本概念空间Ω上的函数：

()X ω

其次是对于一些最简单的复合事件如：

{:()}X a ωω≤

它应该属于事件σ—域，因而也可以确定它的概率。这时()X ω就的确可以代表一个随机变量了。这样的()X ω被称为随机变量，用测度论的术语来说，随机变量就是关于σ—域γ可测的可测函数。

1 预备知识

1.1 随机变量的定义

随机变量：设随机实验的样本空间为{},()S e X X e ==是定义在S 上实（单值）函数，称()X X e =为随机变量。

随机变量的取值随实验的结果而定，在实验前不能预知它取什么值，且它的取值有一定的概率。这是随机变量与普通函数的本质差异。

1.2 离散型随机变量的定义

离散型随机变量：可取的不相同的值为有限个或可列无限多个的随机变量，称为离散型随机变量，并称

,{}1,2,...k k P X x P k ===

为离散型随机变量X 的分布律。它具有如下性质：

(1)非负性 0,1,2,...k P k ≥=

(2)完备性 11k k P ∞

==∑

为了引入离散型随机变量的数学期望，先来观察，讨论数学期望的直观模型， 例1，设某班有学生F 人，其中年龄为i x 的有i f 人，1,2,...i n =。试求这个班学生的平均年龄。

解：记这个班学生的平均年龄为x ，于是有

112212......n n n

x f x f x f x f f f +++=+++ 1212111...n n n n n j j j

j j j f f f x x x f

f f ====+++∑∑∑ n i i i x ω=∑(其中1i i i n j

j f f F f

ω==

=∑是年龄i x 的频率)，显然11n i i ω==∑,可见：平均年龄x 是以频率为加权的加权平均。如果近似地把i x 看成一随机变量，那么它发生的概率i i i x f P F F

==，即年龄i x 的频率近似地等于i x 发生的概率。 例2,设进行N 次独立实验，得到随机变量ξ的统计分布如下：

ξ

1x 2x ... n x 总计 频数

1m 2m ... n m N 频率 1()x ω 2()x ω ... ()n x ω 1

计算随机变量ξ的样本平均值：

解：1122

1...1n

n n i i

i x m x m x m x x m N N =+++==∑或者写成下面的形式： 1212...n n m m m x x x x N N N

=+++ 1122()()...()n n x x x x x x ωωω=+++

1()n

i i i x x ω==∑

由此可见，随机变量ξ的统计分布的样本平均值x 与理论分布的数学期望()E ξ的计算法是完全类似的，这里只是用试验中的频率代替了概率。当实验次数很大时，事件i x ξ=的频率()i x ω在对应的概率()i P x 的附近摆动，所以当实验次数很大时，随机变量ξ的样本平均值x 将在随机变量的数学期望()E ξ的附近摆动，近似地看成数学期望。

例3,求2,3,2,4,2,3,4,5,3,2这10个数的平均值。

解：将这10个数的平均值记为()E x ,则

2324234532()310

E x +++++++++== 把分子数据重新归并，得到另一种平均值的形式： 4321()2345310101010E x =?

+?+?+?= 上式表明，可以按频率的加权平均来求这10个数的平均值。如果将这10个数分类整理成下表：

i x

2 3 4 5 k f 410 310 210 110 则有：

4

1()k k k E x x f ==∑

其中k f 是k x 出现的频率。如果随机地从这10个数中抽一个数，并用X 表示抽得的结果，则X 是一个随机变量。若记()k k P X x P ==，则上式中的频率k f 就等于概率k P ，因此有

4

1()k k k E X x p ==∑

上式表明，离散型随机变量的取值与对应的概率值相乘再求和，描述了该随机变量的平均水平。

数学期望：设离散型随机变量的X 的概率分布为

()(1,2,...)k k P X x p k ===

如果级数

1122...1...k k k k k x

p x p x p x p ∞+==+++∑

绝对收敛，则称该级数为随机变量X 的数学期望（或均值），简称期望，记为

1()k k k E X x p ∞

==∑

当X 取有限个（比如n 个）值时，有

1

()n

k k k E X x p ==∑

例4,某推销人与工厂约定，用船把一箱货物按期无损的运到目的地可获得佣金

10元，

若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若又不按期又有损坏的扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损地运到目的地有60%的把握，不按期到达占20%，货物有损占10%，不按期又有损的占10%，试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得多少钱？假如推销人一次运200箱货物呢？

解：设X 表示该推销人用船运送货物时所得的钱数，则按题意，X 的分布为

X

10 8 5 6- P 0.6 0.2 0.1 0.1

按数学期望的定义，该推销人每箱期望所得

()100.680.250.1(6)0.7 3.9E X =?+?+?+-?=(元)

假如推销人一次能押运200箱货物，则他期

望（平均）得到

200()200 3.9780E X ?=?=(元)

2 离散型随机变量的几种分布

2.1 0—1分布（两点分布）

随机变量X 只取两个值：0与1

1{}(1),0,1;01k k P X k p p k p -==-=<<

即

X 0 1

k p 1p -

p 记为 ~(1,)X B p

根据期望的定义有两点分布的期望为：

()0(1)1E X p p p =?-+?=

2.2 二项分布

实验E 只有两个可能结果：A 与A ，则称E 为贝努利实验。二项分布是n 重贝努利实验中A 发生k 次的概率，则有

{},0,1,2,...,;1k k n k n

P X k C p q k n q p -====- 记为~(,)X B n p ,当1n =时,二项分布就是0—1分布。

根据期望的定义及二项式定理，得

()n

k k n k n

k E X k kC p q -===∑ 1!!()!n k n k k k n p q k n k -=?=?-∑

1(1)(1)1(1)!(1)!

[(1)(1)]!n k n k k np n p q k n k ----=?-=-?---∑ 1(1)0(1)!![(1)]!n r n r r n np p q r n r ---=-=--∑

令（1r k =-）

1()n np p q -=+

np =

其中，1q p =-

2.3 泊松分布

涉及“物质流”（粒子流，旅客流等）的问题常用泊松分布来讨论，又称泊松流。

{},0,1,2,...;0!k e P X k k k λ

λλ-===>

记为

~()X πλ

根据期望的定义，并注意到级数

1

1(1)!k k e k λλ-∞==-∑

有

1

01()!(1)!k k k k e E X k

e k k λλλλλ--∞

∞-====-∑∑

e e λλλλ-=?=

由此可见，泊松分布的参数恰好是它的数学期望。这样，泊松分布参数λ的统计意义就明确了。

例5,某种子公司的某类种子不发芽率为0.2，今购得该类种子1000粒，求这批种子的平均发芽数。

解：设X 为这批种子的发芽数，又每粒种子的不发芽率为0.2，则每粒种子的发芽率为0.8，因为1000n =,且每粒种子是否发芽是相互独立的，所以~(1000,0.8)X B 。于是，这批种子的发芽数为

()10000.8800E X np ==?=（粒）

例6,在一部篇幅很大的书籍中，发现只有13.5%的页数没有印刷错误，如果假定每页的错子个数是服从泊松分布的随机变量，求每页的平均错字个数。

解：设X 为每页的错字个数，则X 的分布为

()(0,1,2,...)!k e P X k k k λ

λ-===

问题是求()E X λ=,依题意，一页上不出现印刷错误的概率为0.135；而一页上不出现错误就是指出现错字的个数为0，故有

0(0)0.1350!e P X e λ

λλ--====

于是

()ln 0.135E X λ==-

2≈

这就是说，每页的平均错字个数大约为2个。

3 随机变量的分布函数及期望

3.1 一维随机变量的分布函数

定义,设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称

(){}F x P X x =≤

为X 的分布函数。

对任意的1212,()x x x x <，显然

1221{}{}{}P x X x P X x P X x <<=≤-≤

21()()F x F x =-

可见，若已知X 的分布函数，就可知X 落在任一区间12(,]x x 上的概率，分布函数是普通函数，它完整地描述了随机变量X 的统计规律性，它具有下列性质

（1）不减性，若12x x <,则12()()F x F x ≤

（2）有界性，0()1,()0,()1F X F F ≤≤-∞=+∞=

（3）右连续，(0)()F X F X += 注 设离散型随机变量X 的分布律为

{},1,2,...k k P P X x k ===

则

(){}{}k k k k

x x x x F X P X x P X x P ≤≤=≤===

∑∑ 假如X 的数学期望存在，则有

()()k k k

E X x p x =∑

这是大家所熟知的事实，就是用X 的分布计算X 的数学期望。假如有一个随机变量X 的函数()g X ,假如它的数学期望存在，如何计算[()]E g X 呢？按数学期望的定义，这要分两步进行：

第一步，先求出()Y g X =的分布k P 。第二步，利用Y 的分布计算

()[()]E Y E g X =

设X 是离散型随机变量，概率函数为

{}k k P X x P ==

则X 的函数()Y g X =的数学期望为

,1[()]()1,2,...k k k E g X g x p k ∞

===∑

式中级数是绝对收敛的。 注 例7,设X 是仅取5个值的随机变量，其分布为

X

2- 1- 0 1 2 P (2)P - (1)P - (0)P

(1)P (2)P 则2()g X X =是仅取3个值的随机变量，其分布为

()g X 0

1 4 P (0)P (1)(1)P P -+ (2)(2)P P -+

解：按数学期望的定义，可得

[()]0(0)1[(1)(1)]4[(2)(2)]E g X P P P P P =?+?-++?-+

22222(2)(2)(1)(1)0(0)1(1)2(2)P P P P P =--+--+++ 5

1()()i i i g x p x ==∑

其中123452,1,0,1,2x x x x x =-=-===，可见用X 的分布与用()g X 的分布计算[()]E g X 结果是相同的。

3.2 二维随机变量及其概率分布

设随机实验E 的样本空间{},()S e X X e ==和()Y Y e =是定义在S 上的随机变量，由它们构成的(,)X Y 叫做二维随机变量。

定义：设(,)X Y 是二维随机变量，对任意实数,x y ,称二元函数(,){()()}{,}F x y P X x Y y def P X x Y y =≤?≤≤≤的（联合）分布函数。 (,)F x y 的几何意义是随机点(,)X Y 落在xoy 平面上以(,)x y 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率，而落在下列矩形域内的概率为

121222211112{,}(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=-+-

(,)F x y 有以下基本性质

(1)单调性，(,)F x y 是,x y 的不减函数；

(2)有界性，0(,)1,(,)(,)0F x y F y F x ≤≤-∞=-∞=

(,)0,(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=

(3)右连续，(,)F x y 关于,x y 右连续，即

(0,)(,),(,0)(,)F x y F x y F x y F x y +=+=,

(4)非负性，11221212(,),(,),,x y x y x x y y ?<<，有不等式

22112112(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y +--≥

若(,)X Y 全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对时，则称(,)X Y 为离散型随机变量；并称 {,},,1,2,...i j ij P X x Y y def P i j ===

为(,)X Y 的联合分布律，且

(,)i j ij x x y y

F x y P <<=∑∑

类似地，可以得出二维离散型随机变量的期望：

设(,)X Y 为二维随机变量，它的联合密度为(,)P x y ,则函数(,)Z F X Y =的期望为

若(,)X Y 是离散型随机变量，则

11

()i ij i j E X x P ∞∞

===∑∑

11()i ij i j E Y y P ∞

∞===∑∑

这里，级数和积分都是收敛的。 注

3.3 多维随机变量分布及其数学期望

在有些随机现象中，每个基本结果ω只用一个随机变量1()X ω去描述是不够的，而要同时用多个，例如同时用n 个随机变量12(),(),...,()n X X X ωωω去描述。这样就引出了多维随机变量的概念。

定义

若随机变量12(),(),...,()n X X X ωωω定义在同一基本空间()ωΩ=

上，则称

()X ω=12((),(),...,())n X X X ωωω

是一个n 维随机变量。n 维随机变量的分布和数学期望可以仿照一维随机变量和二维随机变量的相关定义得出，这里就不一一讲述了。

例8,设随机变量(,)X Y 的分布律为

(,)X Y 1

2 1- 14 12

1

14 求(),()E X E Y 和(,)E X Y 。

解：137()12444

E X =?+?= 131()1(1)442

E Y =?+-?=- 111(,)1(1)1102(1)21424

E X Y =?-?+??+?-?+?? 34

= 例9,李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。为了对这种不良风气加以处罚，唯一办法就是对每一个错误答案倒扣若干分。

分析：假设每道选择题有四个答案，只有一个是正确的。在某次考试中，李老师共出了20道题，每题5分，满分是100分。他决定每一个错误答案倒扣若干分，但应倒扣多少分才算合理呢？倒扣太多对学生不公平，但倒扣太少又起不到杜绝乱选的作用。倒扣的分数应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获。换句话说，如果学生完全靠运气的话，他的总分的数学期望应该是零。

解：假定对每一个错误答案倒扣x 分，而正确答案得5分，随意选一个答案，选到错误答案的概率是34，选到正确答案的概率是14

，所以总分的数学期望是 310()[5()]2044

E x x ==?+?? 解得

5 1.6673

x =-≈-(分) 即是对每一个错误答案倒扣1.667分，要是这样，对一个只答对六成的学生（但不是乱选一通之流）来说，他的总分仍然有 5()2060%52040%3

E x =??-?? 14046.6673

=≈(分) 并不算不公平。

例10,某制药厂试制一种新药治疗某种疾病。对600人作临床试验，其中300人服用新药，而另外300人未服，有320康复，其中260人服用了新药，问这种新药疗效如何？

分析：(1)无论病人服药与否，可能的结果都有两个：痊愈与未愈。所以为了能用概率方法来解决这个问题，应该引入两点分布的随机变量；(2)评价药物

疗效如何，仅对两组中的某个个体的治疗效果进行比较是不行的，而应该比较两组人的平均治疗效果。

解：引入X 表示病人服用新药后的结果，Y 表示病人未服用新药后的结果，则

X =???，若病痊愈，若病未愈10 Y =???，若病痊愈

，若病未愈10

由题知

402{0}30015P X ===

13{1}15

P X == 故

13132()10151515

E X =?+?= 240

4{0}3005P Y === 601{1}3005

P Y === 故

141()10555

E Y =?+?= 比较()E X 和()E Y 知，()()E X E Y >,故新药物对治疗此种病疗效显著。 根据随机变量的期望公式

[()]()k k k

E f x f x p =∑

可推得期望的下列性质：

(1)()E c c =

(2)()()E kx kE x =

(3)()()E x b E x b +=+

(4)()()E kx b kE x b +=+

其中，,,k b c 都是常数。

下面将证明这些公式的来历，以便于读者理解和掌握。

(1)证明：这里x c =,应理解为()1P x c ==, ()0P x c ≠=，故

()()1E x c c P x c c c ==?==?=

(2)证明：设x 的概率为k P ,则11

()()()n n

k k k k k k E x kx P k x P k E x kE x =====?=∑∑

(3)证明：设x 的概率为k P ，则11()()()n n

k k k k k k E x x b P b x P E x b ===+=+=+∑∑

(4)证明:设x 的概率为k P ,则

11()()()n n

k k k k k k E x kx b P b k x P kE x b ===+=+=+∑∑

结束语

概率论中的数学期望（也称均值）是概率论中的最重要的概念之一，它不但为古人解决法律公平，经济利益分配等问题带来了帮助，而且，在现代，它更贯穿于社会生活的方方面面，为人们的生活带来了很大的便利，因此，学好它就显得很有必要。在解有关概率论中数学期望的问题时，先找出随机变量的概率分布，再利用相关公式求解；在随机变量的概率分布未知时，先求出随机变量的概率分布，再利用相关公式求值。

参考文献

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[10]茆诗松，周纪芗.概率论与数理统计[M]，第三版.中国统计出版社.

在此，非常感谢薛朝奎老师对本文的严格审核与校订，并且细心的指出其中的错误，尤其是在许多细节处给予了大量的建议，使逻辑性很差的本文变得通畅易懂。再一次感谢薛朝奎老师对本文的严格审核、校订和指导。

最后，感谢毕节学院数学系老师们这四年来对我学习的教育和指导，这对论文的撰写和完成起到了很大的作用，谢谢数学系的老师们。

注：右连续：设函数f 在0x 的右邻域内有定义，若

0lim ()()x x f x f x +→= 则称函数f 在点0x 右连续。

在数学期望中要求级数和广义积分绝对收敛，首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值，因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值。而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义。所以，要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出。