鲁棒优化及相关问题的研究

鲁棒优化研究带不确定性的优化问题,是不确定优化的一个分支.在鲁棒优化中,主要关注由不可控参数引起的不确定性,且仅知道不

可控参数在某个不确定集中取值.由于对实际问题有效的建模和求解,鲁棒优化已发展成为处理不确定优化问题重要且十分普遍的工具.基于鲁棒性这个概念,本文围绕鲁棒优化探讨了无穷多目标优化、不确定向量优化和不确定互补问题中相关的一些重要课题.主要内容如下:1.基于对强鲁棒性、一致鲁棒性和严格鲁棒性的细致分析,通过设置调整变量建立了一种新的鲁棒性,称为松弛鲁棒性.其对应的松弛

鲁棒模型包含了相关文献中出现的具有松弛意义的大部分模型,例如偏离鲁棒模型、可靠鲁棒模型、软鲁棒模型以及随机方法中的期望值模型和风险规避模型.这个统一的模型表明:对不确定性的处理方式

取决于决策者对不确定性掌握的信息、对这些信息的态度以及可用的数学方法.另外,提出了鲁棒性测度并研究了它的一些基本性质,如平移同变性、单调性、正齐次性和凸性.2.在基于分量比较的序结构上,对无穷多目标优化问题引入了Pareto有效性和Geoffrion真有效性,并借此表明了无穷多目标优化与不确定/鲁棒优化的密切关系.针对

一般的不确定优化问题,利用推广的ε-约束方法得到了 Pareto鲁棒解的生成方法.通过一族锥刻画了Geoffrion真有效性,并揭示了Pareto有效性与Geoffrion真有效性的本质区别:Pareto有效性需要对其它的成员补偿都有界,而Geoffrion真有效性要求对其它的成员补偿一致有界.最后,将Geoffrion真有效性应用到鲁棒对应上,得到

了不确定型选择理论中著名的Hurwicz准则.3.遵循鲁棒标量优化中的研究方法,对不确定向量优化问题,首先建立了硬性意义下的鲁棒对应模型.然后,出于对这个鲁棒模型一个缺点的修正,利用Pareto 有效性的思想将其松弛,得到了紧性意义下的鲁棒对应模型.不同于文献中大量使用的集方法,这两个鲁棒模型属于鲁棒多目标/向量优化研究中的向量方法.与基于集方法得到的鲁棒模型进行了深刻地比较,展示出它们特殊的地位以及向量方法更大的潜力.4.对带模糊参数的互补问题,利用可能性理论中的可能性测度和必要性测度去除模糊,提出了两类确定性的模型,分别称为可能性满意模型和必要性满意模型.从不同的角度进行了分析,得到了它们的解具有的一些重要特征.随后,比较了几种受不同类型的不确定性影响的互补问题及相应的处理方法,包括对模糊映射的模糊互补问题、对不确定集的鲁棒互补问题和对随机不确定性的随机互补问题.最后,将这两类模型应用到模糊优化、模糊博弈和带模糊互补约束的数学规划问题上.

鲁棒优化的方法及应用

鲁棒优化的方法及应用杨威在实际的优化中决策过程中，我们经常遇到这样的情形，数据是不确定的或者是非精确的；最优解不易计算，即使计算的非常精确，但是很难准确的实施；对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术，可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。早在19世纪70年代，Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一，他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。在以后的很长的一段时间里，鲁棒优化方面都没有新的成果出现。直到19世纪末，Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展，尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展，使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。一个一般的数学规划的形式为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}n i x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤= 其中x 为设计向量，0f 为目标函数，12,,...,m f f f 是问题的结构元素。ξ表示属于特定问题的数据。U 是数据空间中的某个不确定的集合。对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}n i x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=?∈ 这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法，目前的最新的研究结果及在经济上的应用。 1 鲁棒优化的基本方法 1.1鲁棒线性规划一个不确定线性规划{min{:}(,,)}T n m n m x c x Ax b c A b U R R R ?≥∈???所对应的鲁棒优化问题为min{:,,(,,)}T x t t c x Ax b c A b U ≥≥∈，如果不确定的集合是一个计算上易处理的问题，则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。并且有下列的结论：假设不确定的集合由一个有界的集合{}N Z R ξ=?的仿射像给出，如果Z 是 1线性不等式约束系统构成P p ξ≤，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。 2由锥二次不等式系统给出2 ,1,...,T i i i i P p q r i M ξξ-≤-=，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。 3 由线性矩阵不等式系统给出dim 01 0i i i P P ξ ξ=+≥∑，则所导致的问题为一个半定规划问题。 1.2鲁棒二次规划

五种最优化方法

五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤

3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2最速下降法算法原理和步骤

4.模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法 5.1简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进

鲁棒优化及相关问题的研究

鲁棒优化及相关问题的研究鲁棒优化研究带不确定性的优化问题,是不确定优化的一个分支.在鲁棒优化中,主要关注由不可控参数引起的不确定性,且仅知道不可控参数在某个不确定集中取值.由于对实际问题有效的建模和求解,鲁棒优化已发展成为处理不确定优化问题重要且十分普遍的工具.基于鲁棒性这个概念,本文围绕鲁棒优化探讨了无穷多目标优化、不确定向量优化和不确定互补问题中相关的一些重要课题.主要内容如下:1.基于对强鲁棒性、一致鲁棒性和严格鲁棒性的细致分析,通过设置调整变量建立了一种新的鲁棒性,称为松弛鲁棒性.其对应的松弛鲁棒模型包含了相关文献中出现的具有松弛意义的大部分模型,例如偏离鲁棒模型、可靠鲁棒模型、软鲁棒模型以及随机方法中的期望值模型和风险规避模型.这个统一的模型表明:对不确定性的处理方式取决于决策者对不确定性掌握的信息、对这些信息的态度以及可用的数学方法.另外,提出了鲁棒性测度并研究了它的一些基本性质,如平移同变性、单调性、正齐次性和凸性.2.在基于分量比较的序结构上,对无穷多目标优化问题引入了Pareto有效性和Geoffrion真有效性,并借此表明了无穷多目标优化与不确定/鲁棒优化的密切关系.针对一般的不确定优化问题,利用推广的ε-约束方法得到了 Pareto鲁棒解的生成方法.通过一族锥刻画了Geoffrion真有效性,并揭示了Pareto有效性与Geoffrion真有效性的本质区别:Pareto有效性需要对其它的成员补偿都有界,而Geoffrion真有效性要求对其它的成员补偿一致有界.最后,将Geoffrion真有效性应用到鲁棒对应上,得到

基于鲁棒优化的若干投资组合模型研究

基于鲁棒优化的若干投资组合模型研究投资组合通常是指个人或机构所拥有的由股票、债券及衍生金融工具等多种有价证券构成的一个投资集合。传统上投资组合模型数学规划的经典范例是在输入参数准确可知并且等于某些标称值的假设条件下建立模型,并利用已有的数学规划方法求解模型得出最优解。然而,这些方法并没有考虑数据的不确定性对建模质量和可行性的影响,本文采用鲁棒优化方法构建投资组合模型解决投资组合模型容易受输入参数影响的问题。本文一方面试图将鲁棒优化方法在不同投资组合模型中的应用建立一个系统的框架,另一方面弥补了国内目前仅对部分投资组合鲁棒优化模型进行研究,而忽略了交易成本和现实约束对鲁棒优化投资组合模型的影响,丰富了鲁棒优化投资组合模型的应用范围,同时针对其衍生(含交易成本和现实约束)鲁棒优化模型得到以下结论：(1)鲁棒优化投资组合模型相比于传统的投资组合模型(相对应的模型进行比较,即如：鲁棒均值-CVaR投资组合(RCVaR)模型相比于均值-条件风险价值(CVaR)投资组合(MCVaR)模型)更能获得稳定的回报,投资绩效更高。 (2)交易成本的引入。对于将交易成本引入投资组合优化模型后鲁棒优化模型进行分析,这类投资组合优化模型是可解的、有效的、具有鲁棒性的,其投资组合收益、投资组合风险和投资组合绩效表现均优于将交易成本直接引入投资组合优化模型,表明引入交易成本后鲁棒优化模型仍是有效的。同时在基于交易成本的鲁棒优化模型中引入现实约束,则会进一步提升投资组合收益、组合风险和投资组合绩效方面的表现。(3)现实约束的引入。对于不含交易成本的鲁棒优化模型引入现实约束后得出：第一,分散化程度对投资组合影响。在投资组合各项资产权重充分分散之前,随着投资组合分散程度的增加,投资组合收益降低,投资组合风险减小,这与资本市场实际情况相同；在投资组合各项资产权重充分分散之后,随着投资组合分散程度的增加,投资组合收益同样减小,但是投资组合风险增加。第二,流动性水平对投资组合影响。当投资组合管理者对资产组合的最低流动性水平要求越高时,投资组合的风险越大、投资组合的收益增加、投资组合的绩效降低,反之亦然,这与现实证券市场中的投资决策完全一致。第三,资产上下界约束对投资组合影响。从投资组合收益与绩效角度而言,

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最优化方法及其应用作者：郭科出版社：高等教育出版社类别：不限出版日期：20070701 最优化方法及其应用的图书简介系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用的pdf电子书下载最优化方法及其应用的电子版预览第一章最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献更多最优化方法及其应用相关pdf电子书下载

资产组合鲁棒优化模型及应用研究

第４期高莹，等：资产组合鲁棒优化模型及应用研究１３９对于第二类目标函数，通常用情景生成方法生成多个收益情景和风险情景构成不确定集¨８１。图１是一个三阶段的情景树。每一个节点代表一种状态，每种状态反映了该阶段收益和风险的可能结果。树的每一条路径都是一个情景，每个阶段母节点分枝树都概括了情景树的结构。在ｔ＝０时刻状态是初始状态，它的状态变量是已知的，给定这个状态，ｔ＝１时会有许多可能状态，哪一种状态会发生只有在ｔ＝１时才会知道。对于每个单独的节点，其下一阶段的分枝概率之和应当等于１。节点发生的概率等于其母结点发生的概率乘于它对应的分枝概率，因此，同一阶段的所有结点发生概率之和应当等于１。通过生成多阶段情景树，对模型不确定参数的未来值进行模拟，得到了不确定参数未来变化的若干个路径，每条路径代表参数的可能变化过程。由于情景树的阶段与节点的数量都是可以控制的，所以不确定的未来变化就被一个情景树所替代。情景树最后一层结点——情景——揭示了未来的变化趋势，那么未来的不确定经济因素就可以由离散化的情景组成的不确定集来描述。２资产组合鲁棒优化模型的应用２．１投资基金管理中的应用投资基金是由基金管理人管理和运用资金，通过股票等金融工具的组合投资，减低风险，为投资者赚取利润。因此，投资基金管理人必然面对的重要问题就是确定所选股票的权重。考虑到投资基金的特点，在资产组合鲁棒优化模型框架下，给出式（１０）一（１２）。目标函数由式（８）调整为式（１０），目标是在最坏情况下，得到目标收益约束下、最小跟踪误差的股票组合。ｒａｉｎａ（１０）ｓ．ｔ『ａ（埘一埘。）７圪］≥ｏ（．１１．）ｓ．１ｌ≥Ｕ（）ＬＫ（埘一埘ａ）ＫＪ（ｔｌ，一埘口）１（ｐＩ—ｄ）≥ＲＩ，ｋ＝１，２，…，ｍ（１２）模型有３个确定参数埘”Ｒ。和ｒ。埘。是基准资产组合权重，基准资产组合是根据预先设定的目标确定的资产组合；Ｒ。预先设定的ｋ个目标收益；ｒ是无风险利率；模型有两个下标变量ｉ和ｋ，ｉ表示各种证券，ｉ＝１，…，ｎ；七表示期望收益和协方差矩阵及目标收益的数量，由于投资周期内经济环境的变化会导致不同的期望收益和协方差，因此用ｋ个目标收益约束下的ｋ个期望收益和协方差来表示未来市场变化的不确定集，ｋ＝ｌ，…，ｍ。约束条件（１１）是由ａ一（埘一ｔｏ。）７屹（加一埘。）≥０，根据Ｓｅｈｕｒ补性质变换得到的；式（１２）是资产组合的期望收益约束；其他约束条件为式（６）一（７）。 “新蓝筹”基金是融通基金管理公司旗下的一支开放式基金，与我国一些基金的管理方式基本相同，每季度调整一次投资比例。股票集是依据基本分析方法进行构建的，构建股票集后，在即定的单一收益目标约束下选择具体的投资权重。模型中的不确定集由两个期望收益向量和两个协方差矩阵构成，计算方法见文献［１９］。运用Ｍａｔｌａｂ软件的ＬＭＩ工具箱计算求解，以“新篮筹”基金每季度所选定的１０支股票为股票集，分别得出“新蓝筹”基金在２００４—２００５年共八个季度的股票选择的鲁棒权重，然后分别得到相应的投资收益率，并与基金实际表现相比较。结果如表ｌ和图２。图２“新蓝筹”鲁棒复合收益率与实际复合收益率的比较

《最优化方法与应用》实验指导书

《最优化方法与应用》实验指导书信息与计算科学系编制

1 实验目的基于单纯形法求解线性规划问题，编写算法步骤，绘制算法流程图，编写单纯形法程序，并针对实例完成计算求解。 2实验要求程序设计语言：C++ 输入：线性规划模型（包括线性规划模型的价值系数、系数矩阵、右侧常数等）输出：线性规划问题的最优解及目标函数值备注：可将线性规划模型先转化成标准形式，也可以在程序中将线性规划模型从一般形式转化成标准形式。 3实验数据 123()-5-4-6=Min f x x x x 121231212320 324423230,,0３-+≤??++≤??+≤??≥? x x x x x x st x x x x x

1 实验目的基于线性搜索的对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法等的原理及方法，编写算法步骤和算法流程图，编写程序求解一维最优化问题，并针对实例具体计算。 2实验要求程序设计语言：C++ 输入：线性搜索模型（目标函数系数，搜索区间，误差限等）输出：最优解及对应目标函数值备注：可从对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法中选择2种具体的算法进行算法编程。 3实验数据 2211 ()+-6(0.3)0.01(0.9)0.04 = -+-+Min f x x x 区间[0.3,1],ε=10-4

实验三无约束最优化方法 1实验目的了解最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等的基本原理及方法，掌握其迭代步骤和算法流程图，运用Matlab 软件求解无约束非线性多元函数的最小值问题。 2实验要求程序设计语言：Matlab 针对实验数据，对比最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等算法，比较不同算法的计算速度和收敛特性。 3实验数据 Rosenbrock's function 222211()(100)+(1-)=-Min f x x x x 初始点x=[-1.9, 2]，,ε=10-4

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日）下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为：习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1）无约束最优点，并求出最优值。（2）约束最优点，并求出其最优值。（3）如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4）时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

鲁棒优化的方法与应用

鲁棒优化的方法及应用威在实际的优化中决策过程中，我们经常遇到这样的情形，数据是不确定的或者是非精确的；最优解不易计算，即使计算的非常精确，但是很难准确的实施；对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术，可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。早在19世纪70年代，Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一，他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。在以后的很长的一段时间里，鲁棒优化方面都没有新的成果出现。直到19世纪末，Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展，尤其是对于半定优化和凸优化点算法的发展，使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。一个一般的数学规划的形式为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}n i x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤= 其中x 为设计向量，0f 为目标函数，12,,...,m f f f 是问题的结构元素。ξ表示属于特定问题的数据。U 是数据空间中的某个不确定的集合。对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}n i x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=?∈ 这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法，目前的最新的研究结果及在经济上的应用。 1 鲁棒优化的基本方法 1.1鲁棒线性规划一个不确定线性规划{min{:}(,,)}T n m n m x c x Ax b c A b U R R R ?≥∈???所对应的鲁棒优化问题为min{:,,(,,)}T x t t c x Ax b c A b U ≥≥∈，如果不确定的集合是一个计算上易处理的问题，则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。并且有下列的结论：假设不确定的集合由一个有界的集合{}N Z R ξ=?的仿射像给出，如果Z 是 1线性不等式约束系统构成P p ξ≤，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。 2由锥二次不等式系统给出2 ,1,...,T i i i i P p q r i M ξξ-≤-=，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。 3 由线性矩阵不等式系统给出dim 01 0i i i P P ξ ξ=+ ≥∑，则所导致的问题为一个半定规划问题。 1.2鲁棒二次规划考虑一个不确定的凸二次约束问题

最优化求解法在实际问题中的应用

本科毕业论文（2014届）题目：最优化求解法在实际问题中的应用学院：计算机与科学技术学院专业：数学与应用数学班级：10数本班学号：1006131084 姓名：严慧指导老师：孙钢钢

目录 1．摘要 (3) 2．关键字 (3) 3．引言 (3) 4．最优化求解法在实际问题中的应用 (4) 4.1．无约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.2．有约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.3．线性规划问题的求解............................................... ........... ... 4.4．非线性规划问题的求解............................................... ........... 5．结束语................................................................................................参考书目

1.摘要：本文介绍最优化及相关知识在实际生活中的应用，主要是利用运筹学来研究解决在实际生活中所遇到的一些问题，找到最优的解决方案，帮助人们提供最好的最有科学依据的最佳方法。 2.关键字：最优化，运筹学，生活，应用。 Abstract：This paper introduced the Optimization in the real life application，this is use of Operations research to solve the problem in real life，finding the best solution，and provide the best and scientifically valid solution to the people . Key words: Optimization, Operations research, life, application. 3.引言随着社会迅速发展，各行各业中的竞争日益激烈，我们日常生活中好多事情都会牵扯到最优化，比如运输成本问题、效益分配问题等等。什么是数学最优化问题，就是利用合理的安排和规划在一件事情或者问题上取得利润最大，时间最少，路线最短，损失最少的方法。所以最优化解决方法对实际生活现实社会的帮助作用很大。现如今，最优化解决问题已经渗透到生活中的方方面面。一个好的决策也许会让你绝处逢生，反败为胜，譬如中国历史上田忌赛马的故事，田忌的聪明之处在于在已有的条件下，经过策划安排，选择了最好的方案，所以最后就是自己看似劣势也能取胜，筹划是非常重要的，这就是运筹学的魅力。我们在中国的古代史上就可以看到中国古人已经具有很好的运筹学思想了，在战争中，两兵交战，各方都会有自己的军师，历史上有很多著名的军师，比如诸葛亮，刘伯温等。他们在战争中所起到的作用就是“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”，运筹学二字也是来源于此，了解敌方的军情，以此做出相应的对策，筹划最佳作战计划，做到“知己知彼百战不殆”，历史上也不乏一些以少胜多以弱胜强的战争，由此可见运筹学在军事中的力量有多强大。现代社会中运筹学不仅在军事方面发挥着重要作用，同样在企业经营管理方面也是非常重要的，最优化理论最早是在工业领域产生的，它的对象可以是产

动态鲁棒进化优化方法研究

动态鲁棒进化优化方法研究现实生活中的许多优化问题,往往受到生产工况、运行环境等动态因素的影响,形成动态优化问题。解决该类问题的常用方法是跟踪最优解方法。它在探测到优化问题发生改变时,重新触发寻优过程,从而快速、准确地找到适应于新优化模型的最优解。跟踪最优解方法虽然可以相对有效的解决动态优化问题,但是,当动态优化问题具有复杂的目标函数或较大的搜索空间时,耗时的进化求解过程,往往使在有限时间内获得问题的最优解存在困难。另外,某些实际动态优化问题中,当动态因素发生变化时,就去执行寻优获得的新最优解,往往需要调整众多相关人员或资源,导致较大的最优解切换成本。基于此,本论文给出了一种解决动态优化问题的动态鲁棒优化方法。其核心思想是面向连续变化环境下的动态优化问题,找到用户可以接受的一组基于时间的鲁棒最优解序列。当环境发生变化时,根据用户可接受程度,直接采用相邻前一环境下的鲁棒解作为当前环境下的较优解,而不是重新寻找新环境下的最优解。这可以有效降低新环境下优化问题的寻优代价,满足生产实际中有限资源调配的需求。面向动态单目标优化问题,已有动态鲁棒优化方法中给出生存时间和平均适应度两种鲁棒性指标。在此基础上,构建了兼顾上述两种鲁棒性能指标的两阶段多目标进化优化模型,采用基于非支配排序的遗传算法,获得问题的鲁棒最优解序列。第一阶段多目标进化优化方法用于获得每个动态环境下,兼顾上述两方面性能的所有Pareto 解;第二阶段中的进化个体由第一阶段获得的Pareto解依环境变化时刻动态组合而成,考虑解序列的平均生存时间和平均适应度,采用多目标进化优化方法获

得实际可实施的动态鲁棒最优解集,并将其应用于解决改进的移动峰问题。面向动态多目标优化问题,首次给出了时间尺度上的多目标鲁棒性概念,定义了基于时间的鲁棒Pareto最优解,给出了时间鲁棒性和性能鲁棒性两个性能度量指标。鲁棒Pareto最优解应兼顾这两方面性能,由此构建了动态鲁棒多目标优化模型。进而,采用基于分解的多目标进化算法,求解其鲁棒Pareto最优解集。进一步,在求解动态鲁棒多目标优化问题时,兼顾个体的性能鲁棒性和时间鲁棒性,构建了动态鲁棒多目标约束优化模型。考虑到个体的鲁棒性评价中,需要同时考量Pareto解在当前和未来相邻动态环境下的适应值。为有效估计未来相邻环境下某一个体的适应值,建立了基于已评价历史信息的适应值时间序列,并采用移动平均预测、自回归预测和最近邻域预测,通过加权方式构成集成预测模型。决策者从Pareto解集中找到最符合他们需求的解是多目标优化的最终目的。为提高进化效率,在每个动态环境下,没有必要获得全部Pareto最优解,仅需要把寻优过程集中在决策者感兴趣的区域。于是,将决策者的偏好信息融入到搜索过程中,引导种群趋向于决策者感兴趣的区域;另外,在鲁棒性能评价中,将决策者的偏好信息转化为目标稳定性阈值,用于指导鲁棒个体选择。在上述偏好信息的共同作用下,采用基于分解的动态鲁棒多目标进化优化方法,获得满足决策者偏好的鲁棒最优解集。采用传统的跟踪最优解法或动态鲁棒优化方法,在解决环境变化复杂的动态多目标优化问题时,都存在一定局限。为此,根据搜集的动态环境历史信息构建环境变化序列,用于预测未来环境变化程度。

最优化方法在化学工程中到的应用

最优化方法在化学工程中到的应用摘要：随着高新技术、信息技术及计算机领域的飞速发展，最优化在众多领域的应用日益广泛,涉及问题的规模越来越大,复杂程度越来越高。最优化方法主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。其目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。随着最优化理论的发展，最优化模型和算法的不断完善、创新，如遗传算法、神经网络的建立，进一步为建立可靠模型、精确求解铺平道路。在化工生产与产品销售过程中，最优化的踪迹更是无处不在，如生产设备最优化、生产流程最优化、运输管道最优化、产品利润最优化，以及涉及相关化学实验、化学反应动力学的最优化模型。最优化方法的日益成熟使化工生产低投入高产出得以实现，节约了资源提高了效率，降低了污染。而一系列最优化软件，如Matlab、lingo等在化工过程中得到了广泛应用。关键词：最优化；化学工程；应用现状；管网最优化方法（也称运筹学方法）是近几十年形成的，主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据［1］。随着科学技术，尤其是计算机技术发展，最优化方法已经在各个领域，如化学工程、生化工程、机械工程、土木工程、经济管理等，得到越来越广泛的运用［2］。化工过程系统最优化设计的研究在

过去二三十年中取得了很大的进展，这主要得益于计算及技术的发展，计算机的应用不仅仅体现在为大规模数值问题的处理提供了强有力的工具, 而更多地体现在为过程设计的经验和艺术插上了数字化的翅膀.大约在十多年前, 当大规模数学规划方法的实施仍面临一系列问题时, 在过程设计领域中一种新引入的概念方法一专家系统以及由此而引申的人工智能方法在解决实际问题上表现出的优势, 引起了人们的关注目前基于知识和规则的智能系统研究取得了很大的进展, 基于经验、工况分析以及逐渐演进方法等的设计过程也越来越多地由计算机完成, 应用知识和经验规则进行过程设计的计算机辅助系统逐步趋于完善, 特别是针对更加复杂(例如同时考虑环境影响以及安全性)的大规模过程系统设计问题, 这些方法仍会有很好的应用前景。化工生产遍布现代生活的方方面面，涉及生活用品、工业材料、油气能源，不一而足。化工过程是一个由原料到产品的过程，其中包含物质的转化与能量的传递，而节能省材一直是工业生产的目标之一；化学反应需要在特定的反应设备里进行，怎样设计反应器，使其既能满足生产要求又能高效率的利用资源，是化工设计者的设计原则；原料、产物与成品的输送需要管线，适当的管路管道尺寸的选择，管道的成本；产量的设定，产品的销售等这一系列问题都需要最优化选择，而最优化算法从建立模型、求解方法方面使这一系列决策尽可能达到最理想结果，以下将对最优化方法在化工过程各个部分的应用作简要介绍。针对化学工程，最优化方法主要应用领域包括“三传一反”过

最优化方法及其应用

第一个驻点不合实际，这是因为剪去4个边长为2 a 的正方形相当于将铁板全部剪去．现在来判断第二个驻点是否为极大点． ∵ a x f 824)(''-=， 4)6 (''<-=a a f ， ∴ 6 a x = 是极大点．因此，每个角剪去边长为6 a 的正方形可使所制成的水槽容积最大．例 1.2 求侧面积为常数)0(62 >a a ，体积最大的长方体体积．解设长方体的长、宽、高分别为z y x ，，体积为v ，则依题意知体积为 xyz z y x f v ==)(，，，条件为 06)(2)(2 =-++=a xy xz yz z y x ，，?．由拉格朗日乘数法，考虑函数 )6222()(2 a xy xz yz xyz z y x F -+++=λ，，， 2()02()02()0x y z F yz y z F xz z x F xy x y λλλ'=++='=++='=++=，，，由题意可知z y x ，，应是正数，由此0≠λ，将上面三个等式分别乘以z y x ，，并利用条件2 3a xy zx yz =++，得到 22 22(3)02(3)02(3)0xyz a yz xyz a zx xyz a xy λλλ?+-=?+-=??+-=? ，，．比较以上三式可得 xy a zx a yz a -=-=-222333，从而a z y x ===．又侧面积固定的长方体的最大体积客观存在，因此侧面积固定的长方体中以正方

最优化方法及其应用

第一章最优化问题总论无论做任何一件事，人们总希望以最少的代价取得最大的效益，也就是力求最好，这就是优化问题．最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科．例如，从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法，如果我们追求的目标是省钱，那么只要比较一下这四种走法的票价，从中选择最便宜的那一种走法就达到目标．这是最简单的最优化问题，实际优化问题一般都比较复杂．概括地说，凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题．作为最优化问题，一般要有三个要素：第一是目标；第二是方案；第三是限制条件．而且目标应是方案的“函数”．如果方案与时间无关，则该问题属于静态最优化问题；否则称为动态最优化问题． §1.1 最优化问题数学模型最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到，这就是所谓函数极值，我们习惯上又称之为经典极值问题．例1.1 对边长为a 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？解设剪去的正方形边长为x ，由题意易知，与此相应的水槽容积为 x x a x f 2)2()(-=．令 0)6)(2()2()2)(2(2)('2=--=-+--=x a x a x a x x a x f ，得两个驻点： a x a x 61 21== ，．第一个驻点不合实际，这是因为剪去4个边长为2a 的正方形相当于将铁板全部剪去．现在来判断第二个驻点是否为极大点． ∵ a x f 824)(''-=， 0 4)6(''<-=a a f ， ∴ 6a x = 是极大点．因此，每个角剪去边长为6a 的正方形可使所制成的水槽容积最大．例1.2 求侧面积为常数 )0(62>a a ，体积最大的长方体体积．解设长方体的长、宽、高分别为z y x ，，体积为v ，则依题意知体积为 xyz z y x f v ==)(，，，条件为 06)(2)(2=-++=a xy xz yz z y x ，，?．由拉格朗日乘数法，考虑函数 )6222()(2a xy xz yz xyz z y x F -+++=λ，，，

最优化方法及其应用郭科课后答案+复习资料

1 2 ( ( ? 1.一直优化问题的数学模型为：习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ 0 ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1）无约束最优点，并求出最优值。（2）约束最优点，并求出其最优值。（3）如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4）时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ? g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ??g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S ? s .t . ?x 1 > 0 ?x 2 > 0 ??x 3 > 0 该优化问题属于三维的优化问题。

最优化方法的应用讲解

最优化方法姓名张炯学号 201200144423

a a a a 图黄金分割法一、一维搜索方法的分类为了每次缩短区间，只需要在区间内再插入一点并计算其函数值。然而，对于插入点的位置，是可以用不同的方法来确定的。 ? 黄金分割法 ? 一类称作解析法或函数逼近法：构造一个插值函数来逼近原来函数，用插值函数的极小点作为区间的插入点 – 牛顿法、二次插值法等黄金分割法黄金分割法要求插入点、的位置相对于原区间[a,b]的两端点具有对称性，即 ()()12 b b a a b a a l l a l =--ì??í ?=+-??其中为待定系数 2 1l l - =10.618 2 l -? = =

黄金分割法的搜索过程 ⑵出初始搜索区间[a,b]及收敛精度，将赋以0.618 ⑵按前页中坐标点比例公式计算α 1和α 2 ，并计算其对应的函数值f(α 1 )和f （α 2 )。 ⑶比较函数值，利用进退法缩短搜索区间 ⑷检查区间是否缩短到足够小和函数值是否收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤⑵ ⑸如果条件满足则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似值黄金分割法程序框图

牛顿法对于一维搜索函数，假定已给出极小点的一个较好的近似点a0，因为一个连续可微的函数在极小点附近与一个二次函数很接近，所以可以在a0点附近用一个二次函数来逼近函数，即在点a0将f(a)进行泰勒展开，并保留到二次项，有然后以二次函数的极小点作为极小点的一个新近似点，根据极值必要条件得得牛顿法的计算步骤 ⑴给定初始点a0，控制误差ε，令k=0 ⑵计算f(x)在a k 点的一阶和二阶导数 ⑶利用牛顿法迭代公式求a k+1 ⑷若|a k+1-a k |≤ε，则求得近似解a*=a k+1，停止计算，否则作第⑸步 ⑸令k=k+1，然后转第⑵步牛顿法的优缺点最大优点是收敛速度快缺点每一点处都要计算函数的导数和二阶导数，因而增加了每次迭代的工作量用数值微分代替二阶导数时，舍入误差会影响牛顿法的收敛速度，当二阶导数很小时问题更严重牛顿法要求初始点选得比较好，即不能离极小点太远，否则在可能使极小化序列发散或收敛到非极小点 1()0a f ￠=()()()00100f a f a a a ⅱ ?+-=() ()0100f a a a f a ￠=-ⅱ