鲁棒优化的方法及应用
鲁棒优化的方法及应用
杨威
在实际的优化中决策过程中,我们经常遇到这样的情形,数据是不确定的或者是非精确的;最优解不易计算,即使计算的非常精确,但是很难准确的实施;对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术,可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。早在19世纪70年代,Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一,他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。在以后的很长的一段时间里,鲁棒优化方面都没有新的成果出现。直到19世纪末,Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展,尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展,使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。
一个一般的数学规划的形式为
0000,m in {:(,)0,(,)0,1,...,}n i x R x R
x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤=
其中x 为设计向量,0f 为目标函数,12,,...,m f f f 是问题的结构元素。ξ表示属于
特定问题的数据。U 是数据空间中的某个不确定的集合。对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为
0000,m in {:(,)0,(,)0,1,...,,}n i x R x R
x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=?∈
这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。
这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法,目前的最新的研究结果及在经济上的应用。
1 鲁棒优化的基本方法
1.1鲁棒线性规划
一个不确定线性规划{m in{:}(,,)}T
n
m n
m
x
c x Ax b c A b U R R
R ?≥∈???所对应的鲁
棒优化问题为min{:,,(,,)}T
x
t t c x Ax b c A b U ≥≥∈,如果不确定的集合是一个计算上易处
理的问题,则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。并且有下列的结论: 假设不确定的集合由一个有界的集合{}N
Z R ξ=?的仿射像给出,如果Z 是
1线性不等式约束系统构成P p ξ≤,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。
2由锥二次不等式系统给出2
,1,...,T
i i i i P p q r i M ξξ-≤-=,则不确定线性规划的鲁棒规
划等价于一个锥二次的问题。
3 由线性矩阵不等式系统给出dim 01
0i
i
i P P
ξ
ξ=+≥∑,则所导致的问题为一个半定规划问题。
1.2鲁棒二次规划
考虑一个不确定的凸二次约束问题
1{m in{:2,1,...,}(,,)}T T T m
i i i i i i i x
c x x A x b x c i m A b c U =≤+=∈
对于这样的一个问题,即使不确定集合的结够很简单,也会导致NP 难的问题,所以对于这种问题的处理通常是采用它的近似的鲁棒规划问题。
考虑一个不确定的优化问题{min{:(,)0}}T x
P c x F x U ξξ=≤∈,假设不确定集合为
n U V ξ=+,而n
ξ表示名义的数据,而V 表示一个扰动的集合,假设V 是一个包含原
点的凸紧集。不确定问题P 可以看成是一个不确定问题的参数族
{m in{:(,)0}}T
n
x
P c x F x U V ρρξξξρ=≤∈=+,0ρ≥表示不确定的水平。
具有椭圆不确定性的不确定的凸二次规划问题的近似鲁棒问题
11
{{(,,)(,,)(,,)}1,1,...,}L
n n n l l l m T
i i i i i i
l
i i i i j l U c A b c A b c A b Q j k ξ
ξξ====+
≤=∑
其中1
0,0k
j j j Q Q =≥∑
则问题可一转化为一个半定规划问题 1
11
11111
m in
2...
[]2
2
[]
2..0,1,...,[]2T
L
k
T n n
T
T
L n T
i
i
i i ij
i
i
i
j T i T i i k
ij
i
j L
L T
T L
i i i
n
L
i i i c x
c c x b c x b x b
A x c x b A x s t Q i m c A x x b A x A x A x
I λλ
==??
+-++ ?
? ?+
?
? ?≥= ? ?
+ ? ?
?
??
?
∑∑ 具有椭圆不确定集合的不确定锥二次问题的近似鲁棒规划 考虑不确定锥二次规划
12
{m in{:,1,...,}{(,,,)}}T
T
m
i i
i i i i i i i x
c x A x b x i m A b U αβαβ=+≤+=∈
它的约束为逐侧的不确定
11
1{,}(,,,)}{,}m left
m
i i i i i i i i m right i i i A b U U A b U αβαβ===??∈??=??
∈????
它的左侧的不确定的集合是一个椭圆
11
{{(,)(,)(,)}1,1,...,}L
left
n n l l m T
i i i i
l
i i i j l U
A b A b A b Q j k ξ
ξξ====+
≤=∑
其中1
0,0k
j j j Q Q =≥∑
右侧的不确定集合是有界的,它的半定表示为
11
{{(,)(,)(,)}}R
right
n n r r m
i i i i
r
i i i r U
V αβαβη
αβη====+
∈∑
{:()()0}V u P Q u R ηη=?+-≥,(),()P Q u η为线性映射。
则半定规划为
1
1111
m in
[][]..0,1,...,[]
T
k
n n T ij
i i j T
i i k
ij
i
j L L T i i n n L
i i i i i c x
A x b A x b s t Q i m
A x b A x b A x A x
I
τλλ
τ==?
?-+ ?
?
?+ ?
≥=
? ?+
? ?+ ? ??
?
∑∑
其中11*
*
0,1,...,,1,...,(),1,...,(),1,...,()0,1,...,0,1,...,ij T
n
n
i i i i T i i i T R R
i i i i i m j k x Tr RV i m
x P V i m x Q V i m V i m
λταβαβαβ≥===++=??
+ ?
==
? ?+?
?
==≥=
1.3鲁棒半定规划
一个不确定的半定规划的鲁棒规划为
0011
{m in{:0}{(,...,)}}n
T
m
i
i
n i x
i c x A x A
A A U ==+
≥∈∑由一个箱式不确定集合影响的不确定
半定规划的近似鲁棒问题
0001
{(,...,)(,...,)(,...,)1}L
n n l l
n n
l
n l U A A A A A A ξ
ξ∞
===+
≤∑。
则半定规划的近似的鲁棒优化为
01
,011[],1,...,m in :[],1,...,,1,...,l n
l l l
l j j j T l
l x X
L n
l l l
j j l j X A x A x A l L c x X A x l L X A x A l L ===??≥≡+=??
????≥-=??????≤+=????
∑∑∑
由一个球不确定集合影响的不确定半定规划的近似鲁棒问题
0002
1
{(,...,)(,...,)(,...,)1}L
n n l l
n n
l
n l U A A A A A A ξ
ξ
===+
≤∑。
则半定规划问题为
121
20,,1
[][][][]m in :[]0,2()[]L n
T
n
n j j x F G
j L G A x A x A x A x c x A x F
F G A x A A x F =??
??
??
??? ?
?? ?≥+≤+
?? ??
? ??
? ?????
?
?
∑
具有易处理的鲁棒counterparts 的不确定线性规划。
如果多胞形是由有限集合的凸包给出的,则鲁棒规划为
1
m in{:0,1,...,}n
T
l l
j
j x
j c x A x
A l L =+
≥=∑
2 鲁棒优化的几种新的方法
鲁棒规划的最近的研究包括了对于可调节的鲁棒优化的研究以及对于鲁棒凸优化的研究。 2.1不确定的线性规划的可调节的鲁棒解
不确定线性规划为[,,],{m in :}T Z U V b Z u v
LP c u U u Vv b ζ=∈+≤,其中不确定集合
n m n
m
Z R R
R ????是一个非空的紧的凸集,V 称为recourse 矩阵。当V 是确定的情况下,
则称相应的不确定线性规划为固定recourse 的。 定义:线性规划Z L P 的鲁棒counterpart 为 ():m i n
{:([,,]):T
u
R C c u v U V b Z U u V v b
ζ??=∈+≤, 则它的可调节的鲁棒counterpart 为
():min{:([,,]),:}T
u
ARC c u U V b Z v Uu Vv b ζ?=∈?+≤。
可调节的鲁棒规划比一般的鲁棒规划灵活,但是同时它也比一般的鲁棒规划难解。对于
一个不确定线性规划的鲁棒规划是一个计算上易处理的问题,然而它相应的可调节的鲁棒规划却是不易处理的问题。但是如果不确定集合是有限集合的凸包,则固定recourse 的ARC 是通常的线性规划。从实际的应用来看,只有当原不确定问题的鲁棒counterpart 在计算上容易处理的时候,鲁棒优化方法才有意义。当可调节的变量是数据的仿射函数时,可以得到一个计算上易处理的鲁棒counterpart.
对于Z L P 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)可以表示为
,,():m in{:(),([,,])}T
u w W
AARC c u U u V w W b U V b Z ζζ++≤?=∈。
如果Z 是一个计算上易处理的集合,则在固定recourse 的情况下,Z L P 的仿射可调节的
鲁棒counterpart (AARC)是一个计算上易处理的问题。如果Z 是这样的一个集合,
000
1{[,,][,,][,,]:}L
l
l l
l
l Z U V b U V b U
V b ξξ===+
∈?∑,?是一个非空的凸紧集。
在固定的recourse 的情况下,AARC 具有这样的形式
01
,,,...,m in {:[][][],}L T l
l
l
l
l
l
u v v v
c u U U
u V v v
b b
ξξξξ+++
≤+
?∈?∑∑∑
如果不确定的集合是一个锥表示的,则Z L P 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)是一个锥二次或半定规划。
如果recourse 也是可变的,则AARC 是不易处理的问题,这时采用它的近似形式。在简单椭圆不确定集合的情况下,AARC 等价于一个半定规划。当扰动的集合是一个中心在原点的箱式集合或者是一个关于原点对称的多胞形集合,则AARC 可以有一个半定规划来近似。
对于多期的决策问题也是一个可调节的鲁棒优化问题。考虑一个两期的决策问题
inf inf (,,)u U v V
f u v p ∈∈
其中p 是不确定的,但属于一个闭的有界的不确定集合。可行集V 依赖于u 和参数p 。则可以表示为(,)V u p ,或()u V p 。可调节的鲁棒counterpart 问题可以表示为
,inf {:,(,):(,,)}u U t
t p P v V u p f u v p t ∈?∈?∈≤,
可以等价的表示为 (,)i n f s u p
i n f (,,)
u U v V u p
p P
f u v p ∈∈∈。 如果P 包含有限数量的元素,12{,,...,}k P p p p =,则对于每个i p P ∈,都存在着相应的
i v 满足上面的问题。则问题可以转化为一个等价的单层优化问题
1,,...,,inf ..(,,),1,...,,(,),1,...,k u v v t
i i i i t
s t f u v p t i k u U v V u p i k
≤=∈∈=
这样的一个单层的优化问题对于许多类的函数f 和集合(,)V u p ,这是一个易处理的问题。比如0(,,)(,,)i i i i f u v p f u v p =,
{:()0,1,...,},l U u g u l m =≤=
2(,){:(,,)0,1,...,}i i l i i V u p v f u v p l m =≤=
其中2(,,)(,)()()(),0,...,T T
l i i l i i i l i i l i i l i f u v p f w p w Q p w q p w b p l m ==++=
1(),1,...,T T l l l l g u u R u r u d l m =++=,(,),1,...,T
i i w u v i k ==
在这种情况下,问题等价于一个二次约束的优化问题
1,,...,,00012
inf ..,1,...,0,1,...,,0,1,...,,1,...,k u v v t
T
T
i i i i i i T
T
l l l T
T T
i il i il i il t
s t w Q w q w b t i k u R u r u d l m w Q w q
w b i k l m ++≤=++≤=++≤==
如果不确定集合是有限集合12{,,...,}k P p p p =的凸包()conv P ,则考虑下面的问题
(,)
()inf
sup inf (,,)u U v V u p p conv P f u v p ∈∈∈
如果()
()inf
(,,)u u v V p g p f u v p ∈=是拟凸的,则()
max ()max ()u u p conv P p P
g p g p ∈∈=。则问题转化为一
个单层的优化问题。 2.2一个锥二次问题的鲁棒解
一个锥二次约束的形式为
2
T
Ax b
c x
d +≤+,[,,,]m n m n A R b R c R d R ?∈∈∈∈,
或者是等价的形式
1
m T
A x b L c x d
++??∈ ?+??
,L 是Lorentz 锥。 假设不确定参数属于一个有界的集合。两种类型的不确定集合常常用到,一个是范
数有界的不确定集合,一个是扰动的向量属于一个有界的扰动集合时的结构不确定集合。
对于参数的结构不确定为
00001
{(,,,)(,,,)(,,,),}L
l l l l
l l S A b c d A b c d A b c d V ρζζ===+∈∑,其中ζ是描述
扰动的向量,0ρ>是表示扰动幅度的向量,V 是扰动集合,0000
,,,A b c d 是名义数值,
,,,l
l
l
l
A b c d 为扰动方向。V 是椭圆的交集 {:1,1,...,}L
T
k V R Q k K ζζζ=∈≤=,k Q 1,...,k K =为对称的正半定矩阵,且1
K
k k Q =∑是正定的。 对于一个单侧不确定的锥二次约束,El Ghaoui 和Lebret 证明了在不确定集合是范数有界的情况下,问题等价于一个锥二次约束。Ben-Tal,Nemirovski 给出了在扰动集合是椭圆集合的交集的结构不确定的情况下,如果是简单的椭圆不确定集合,则相应的鲁棒counterpart 为一个线性矩阵不等式,在一般的情况下,问题是NP 难的,但是可以用线性矩阵不等式来近似。
Ben-Tal 等研究了逐侧不确定的锥二次约束,即对于影响左侧的不确定独立于影响右侧的不确定。(,,,){(,,,)(,),(,)}A b c d A b c d A b U c d U '''=∈∈,,U U '''是相互独立的集合。则x 是问题2
T
Ax b
c x
d +≤+的可行解,但且仅当存在τ,使得
2
Ax b
τ+≤,,A b U '?∈和,,T c x d c d U τ''≤+?∈成立。在具有椭球交集的结构不确定
的集合的情况下,这两个问题是易处理的。
在很多的情况下,影响两侧的不确定集合是相互依存的。比如考虑一个不确定的锥二次约束 2[][][][]T
A x b c x d ρζρζρζρζ+≤+
,V ζ?∈, (*)
其中[],[],[],[]A z b z c z d z 关于z 是仿射的。V 是中心在原点的椭圆的交集。{:1,1,...,}L
T
k V R Q k K ζζζ=∈≤=,k Q 1,...,k K =为对称的正半定矩阵,
且1K
k k Q =∑是正定的。如果存在着0,0k λμ≥≥,且满足下式,则x 满足(*)式。
()[]
[][][]0[][]
T
T
k
k
T
k k
k
v x w x u x w x Q U x u x U x I μλρρλρρμ??
---?
?-≥?
??
?--?
?
∑∑
其中00[](),T v x c x d =+ 11
1[][(),...,()],2
T
L
T
L T
w x c x d c x d =++ 0
1[][],2
u x A x b =+
1
1
1[][,...,].2
L
L
U x A x b A x b =
++
如果向量x 被分成两部分,(,)T T T x u v =,其中u 表示不可调节的变量,v 表示可调节的变量。假设目标函数是确定的,独立于可调节的变量v ,则相应的锥优化问题为
min{}T
u
c u Uu Zv b K +-∈,
K 是一个锥。则相应于不确定集合S 的鲁棒counterpart 为
min{:,(,,)}T
u
c u v Uu Zv b K U Z b S ?+-∈?∈
则可调节的鲁棒规划为
min{(,,),(,,):,}T
u
c u U Z b S v v U Z b Uu Zv b K ?∈?=+-∈。
可调节的鲁棒规划比一般的鲁棒灵活一些。但是这样会导致所得到的问题是不易处理的。克服计算上缺点的一个方法是限制可调节的变量为一个仿射函数。v w W ζ=+,这样得到了 仿射可调节的鲁棒规划为
,,m in{(),(,,)}T
u w W
c u U u Z w W b K U Z b S ζζ++-∈?=∈
对于结构不确定的锥二次约束可表示为2
[][]
[][]T
A x b c x d ρζρζρζρζ+≤+,如果
分别用,u v 表示x 的子向量,并且分别对应于不可调节的部分和可调节的部分,则上面的约
束可以表示为
2
[][][]
[][][]T T
U u Z v b e u f v d ρζρζρζρζρζρζ++≤++(**),
若v w W ζ=+,则上面的约束即为仿射可调节的约束。
下面分成两种情况来讨论,一种是固定的recourse,即Z 是确定的,一种是可变的recourse ,即Z 是不确定的。在第一种情况下,如果约束由(**)表达,扰动集合为中心在原点的椭圆的交集,如果存在0,1,...,k k K λ≥=和0μ≥使得下式成立,则会存在一个解
,u v w W ρζ=+满足(**),对于所有的扰动V ζ∈成立,
1
[,,][,,]
[,,]2
2
[,,]
[,,]022
1
[,,][,,]
22
T
T
k k T
k k
k
u w W u w W u w W u w W Q u w W u w W u w W I
ραμλβαρρβλβραβμ?
?
---
???
???-≥??
?
???--???
?
∑∑
其中00U u Zw b α
=++ , ,1,...,l l l l
U u Z W b l L
β=++= 00,T T e u f w d α=++
,1,...,l
l T
T
l
l
e
u f
W d l L
β=++= 在第二种情况下,如果扰动很小,使得二次项可以被忽略,则可以用上面的半定规划来近似。如果二次项不能够被忽略,则需要增加一些变量后能够用一个半定规划来近似。 2.3 鲁棒凸优化
2.3.1鲁棒凸二次约束的规划问题 一个凸二次约束的规划问题为
min ..
20,1,...,T
T
T i i
i c x
s t x Q x q x i p
γ++≤=,
其中x 为决策向量,,,,,0n n n n
i i i i c R R q R Q R Q γ?∈∈∈∈≥为参数。
上面的这个问题可以转化为一个二阶的锥规划问题
m in 2..
12,1,...,(12)T
i T
i i T
i i c x
V x s t q x i p
q x γγ??≤--=??++??
由于上述的模型对于参数很敏感,所以有必要研究其对应的鲁棒问题 一个一般的鲁棒凸二次规划问题为
min ..
20,(,,),1,...,T
T
T i i
i i i i i c x
s t x Q x q x Q q S i p
γγ++≤∈=
当不确定的集合,1,...,i S i p =是椭球时,上面的问题可以转化为一个半定规划问题,这里我们来确定i S 的结构,使它能够转化为一个二阶锥规划。分成以下的三种情况:
1离散集合和多边形不确定集合 对于离散形式的集合定义为
{(,,):(,,)(,,),0,1,...,}a j j j j S Q q Q q Q q Q j k γγγ==≥=,
鲁棒约束20,T T x Q x q x γ++≤(,,)a Q q S γ∈等价于K 个凸二次约束
20,1,...,T
T
i i i x Q x q x j k γ++≤?=。
或者等价的k 个二阶锥约束。 对于离散集合的凸包为
1
1
{(,,):(,,)(,,),0,0,,1}k
k
a j
j j j j j j j j S Q q Q q Q q Q j γγλ
γλλ====
≥≥?=∑∑,则鲁棒约束
20,T
T
x Q x q x γ++≤(,,)a Q q S γ∈等价于
1
1
20,0,,1k
k
T
T j
i i
i j j j j x Q x q x j λ
γλλ==++≤≥?=∑∑
将上面的两种情况下的集合推广到多边形的不确定集合
1
{(,,):(,,)(,,),0,1,...,,,0}k
b j
j j j j j S Q q Q q Q q Q j k A b γγλ
γλλ===
≥==≥∑。
如果决策向量n
x R ∈满足鲁棒约束20T
T
x Q x q x γ++≤,对于所有的(,,)b Q q S γ∈,当且仅当存在着k
R μ∈,使得
2..12,1,...,(12)T
i T T
T T
i i j i i j b V x s t q x A i p
q x A μγμγμ≤??≤--+=??++-??
其中j A 是A 的第j 列,,1,...,T
j j j Q V V j k ==。
2范数约束的不确定的集合
0001
{(,,):(,,)(,,)(,,),0,0,1}k
c j
j j j j p
j S Q q Q q Q q u
Q q Q u u
γγγγ===+
≥≥≤∑
一个决策向量n
x R ∈满足鲁棒约束20T
T
x Q x q x γ++≤,对于所有的(,,)c Q q S γ∈,当且
仅当存在k
f R +∈和0ν≥,满足
212,1,...,(12)i T
T i i
j i i j V x q x f i p q x f γγ??≤--+=??++-??
00021,21T
q
V x v f
q x υγυ??≤+≤---??-??
,其中
111p
q
+
=,T
j j j Q V V =,0,...,j k =
二次项和锥项的不确定性是独立的,即
0001
001
{(,,):(,,)(,,)(,,),0,1,...,,1
(,)(,)(,),1}
k
d j
j j j j p
j k
j
j j r
j S Q q Q q Q q u
Q q Q j k u
q q v
q v
γγγγγγγ====+
≥=≤=+
≤∑∑
一个决策向量n x R ∈满足鲁棒约束20T T x Q x q x γ++≤,对于所有的(,,)d Q q S γ∈,当且
仅当存在,k
f g R ∈和0ν≥,满足
2,1,...,T
j j
j g q x j k γ=+=,21,
1,...,(1)i j j V x f i k f ??
≤+=??-?
?
00021,21T
q
s
V x v f
g
q x υγυ??≤++≤---??-??
,其中
11
1p
q
+
=,111r s +=,
T
j j j Q V V =,0,...,j k =
3因子化的不确定的集合 如果不确定的集合定义为
11
2200000,,,,,0,0
(,,):,,,0,,0T m m m n
T
e i i g n i s Q V FV F R V R F F N N F N S Q q V V W i G q q R S ηγρξξδ??--
??=∈∈????=+??=??≤≥>??=????
=+?=≤?>????=+∈=≤>??
一个决策向量n x R ∈满足鲁棒约束20T T
x Q x q x γ++≤,对于所有的(,,)e Q q S γ∈,当且
仅当存在,,,,,,n m m
v r R u R w R t R τσ+∈∈∈∈,使得下式成立
1
max 1
0,1,,,,,1,...,()
n T
i i j j j j i v t r u u x u x j n H ττσρλ=≥≥+≤
≥
≥≥-=∑
12
0022T
S
x v q x δγ-
≤---
2,r στστ??≤+??-??2(),1,...,()i i i i i w i m λστλστ??
≤-+=??--??
其中112
2
0(),T
H G
F N G
H Q Q η-
-
=+=Λ是H 的谱分解,()diag λΛ=,
max 1()m ax {}i m i H λλ≤≤=,11
2
20T
w Q F G V x =。
2.3.2二次约束的二次规划的鲁棒解
对于一个非凸的二次约束的二次优化问题
0m i n ()..()
0,1,...,,
k f x s t f x k m x C ≥=
∈
其中n C R ?是一个多面体,并且包含在[,]
{}n
a b a x b R +=≤≤
?中,每个
(),0,1,...,n
k f x k m R +=
?的形式为
2()k
k k
k ij
i j i
i i i k i j
i
i
f x c
x x c
x d x b <=
+
++∑∑∑。
任何一个二次多项式可以写成两个正系数的二次多项式的差,一个一般的(QQP)可以写成
00min ()()
..
()()0,1,...,,k
k
f x f x s t f x f x k m x C
+
-
+---≥=∈
由于000()()(),[,]f a f x f b x a b ---
≤≤?∈,则问题可以转化为
0000m in ()..
()0
()()0,1,...,,()()
k
k f x t s t t f x f x f x k m x C f b t f a +
-
+--
-
++≥-≥=∈-≤≤-
通过变换记号,可以得到这样的形式 m i n {()()0,
[,]}
f
x g x x a b ≥∈ 其中2
()ij i j
i i
i i i j i i
f x c x x c x d x <=
++∑
∑
∑
,所有的系数为正的。
1,...,()min (()())k k k m
g x u x v x ==-,并且(),()k k u x v x 为单调递增的二次函数使得
2
()k
k k
k ij i j
i
i i
i k i j i i g x c x x c x d x b <=
+++∑
∑
∑
由于孤立的最优解即使是可计算的,但是它是难于实施,因为它对一个小的扰动非常的不稳定,因而,从实际的观点来看,只有非孤立的可行解有意义。
Essential 最优解**()min{()}f x f x x S =∈,*
S 表示所以非孤立的可行解的集合。
ε Essential 可行解:0,[,]x a b ε≥∈满足()g x ε≥。
一个非孤立的可行解x 称为是Essential ε最优解,如果它满足
()inf(()(),[,])f x f x g x x a b εε-≤≥∈
寻找Essential ε最优解的方法是:从一个初始的Essential 可行解,寻找一个更好的Essential 可行解,直到不能获得比当前的可行解更好的可行解为止。 假设γ为一个Essential 可行解的目标函数值,给定0ε>:
如果()f a γε≥-,由于()f x 单调递增,则(),[,]f x x a b γε≥-?∈ 如果()f a γε<-,()0g a >,则a 即为一个Essential 可行解 如果()f a γε<-,()0g a ≤,则需要考虑一个辅助的问题 (/)
max{()(),[,]}Q g x f x x a b γγε≤-∈
(/)Q γ求解采用分支定界的方法。
这篇文章中给出了一个successive incumbent transcending(SIT)算法。
3 鲁棒优化的应用
鲁棒优化现在已经应用到了各个研究领域,这里我们主要给出了在金融上的应用。
1.Ruijun Shen 和Shuzhong Zhang 将鲁棒的观点应用于基于scenario 树的投资组合的选择问题中,给出了一阶段和两阶段的组合选择模型相应的鲁棒规划问题。这里允许概率分布存在ambiguity.这样的一个问题能够转化为一个有限的锥形式凸规划问题。并且在不允许卖空的情况下,效用函数采用下半方差的负值,参数的不确定集合是椭球形的,则相应的问题可以转化成一个二阶锥规划问题。
假设想从n 种资产中选择一个投资组合并且持有一段时间,假设初始的财富为1,持有期末有m 种可能的结果。即所有的可能的scenario 可以通过一个具有m 个叶子的一阶段树来表示。假设收益向量的第i 个元素表示表示第i 种资产的收益。则基于scenario 的单阶段的组合选择模型为
1m a x
()
..1m
T i
i
i T
u r
s t e π
φφφ==∈?
∑
n 是股票的数量,
m 是每个节点scenario 的数量
n
R φ∈是持有的股票,是模型中的决策向量
i n
r R ∈是如果scenario i 出现的话n 个股票的收益
i π是scenario i 出现的概率
n
e R ∈是分量全为1的向量
?是允许的投资组合集合
则两阶段的效用极大化投资模型为
*1
1
m ax
[()
..1m
m i i T
ij
i
j
i j T u r s t e ππ
φ
φφ===∈?
∑∑
ij n
r R ∈表示如果scenario i 出现在第一阶段,scenario j 出现在第二阶段
i
j π表示条件概率scenario j 出现在第二阶段在scenario i 出现在第一阶段的条件下的概率。
i
?第二阶段允许的投资组合
*
i
φ是第二阶段的recourse 问题的最优解
1
m ax ()
..
,1,2,...,m
i iT ij
j i iT T i
i
i
u r s t e r i m πφφφφ==?=∈?
∑ 则上面的问题可以写成
(P2)
1
1m ax
m ax
()
..,1,2,...,..
1i
m
m
i iT ij
i
j
i i iT
T
i
i
i
T
u r s t e r i m s t e φ
φπ
π
φφφφφφ===?=∈?
=∈?
∑∑
假设可行集为凸集
令1(,...,)T m πππ=,1(,...,)i i i T m πππ=,且由定义可知,i ππ为非负的向量1,1T iT
e e ππ==
问题(P2)是可分的,则可得
1
1m ax
m ax
()
..,1,2,...,,1,i
m
m
i
iT ij
i
j
i i iT
T
i
i
i
T
u r s t e r i m e φ
φπ
π
φφφφφφ===?=∈?=∈?
∑∑ 由于()u 是凹的,则上面的问题为凸规划。 单阶段模型的鲁棒规划模型
确定的情景树有两个缺点:一个是每个情境中收益的模糊性,一个是每个情景发生的条件概率的模糊性。实际上在我们的模型中用到的收益向量为估计值。并且我们并不知道确切的收益为多少,但是根据统计分析,我们知道实际的值离我们估计的值不远,我们可以得到某些置信区间。
i i
r V ∈(收益的模糊性)
π∈∏(概率分布的模糊性)
假设所有的集合为凸的,紧的,非空的。令y ππ=- ,U π
=∏- ,y U π∈∏?∈ 则鲁棒模型为
,1
m ax m in
()()
..1i i m
T i
i
i r V y U
i T
y u r s t e φ
πφφφ∈∈=+=∈?
∑
两阶段的鲁棒规划模型
两阶段的模型中的估计量为,,,i i ij r r π
π ,令y ππ=- ,U π=∏- ,y U π∈∏?∈, 令i i i y ππ
=- ,i i i
U π=∏- ,i i y U π∈∏?∈. ,,1
1
m ax m in
()m ax m in ()()
..,1,2,...,,
1i i ij
ij i
i
i
m
m
i
i iT ij
i
i j
j r V y U
r V
y U i j iT
T
i
i
i
T
y y u r s t e r i m e φ
φ
ππφφφφφφ∈∈∈∈==++=?=∈?=∈?
∑∑
单阶段鲁棒模型的有限表示 假设条件:
1 没有卖空 n
R +?=
2 一个半方差的非效用函数2
()()d w R w +=-相当于一个给定的基准组合的下方风险,相应
的效用函数为2
()()u w R w +=--。
模糊集合是椭球形的:
{1,}m
T
R
e ππππ
θ∏=∈=-≤ , 2{()()},1,...,T
i
i
n
i
i i i i i V r R
r r
Q r r i m ρ=∈--≤= 为了简便,假设i
Q 是单位矩阵
{0,}m
T
U y R
y e y θ=∈=≤,
{},1,...,i i n
i
i i V r R
r r
i m ρ=∈-≤= 则原模型可变形为
21
m ax
[()]..10
m
T
i i
i T
R r s t e φ
πφ
φφ+
=--=≥∑
则相应的鲁棒规划模型为
2
,1
m ax
m in ()[()]..10
i
i m
T i i
i r V y U
i T
y R r
s t e φ
πφφφ+∈∈=+--=≥∑
10
,,02m in
..
m ax ()m ax ()1,
i i
t t T y U
T i
i r V
T
t s t t y t t R r e φπ
φφφ∈+
∈≥+≥-=≥
进一步变形为
10
,,02
2
m in
..
m ax (),
m ax ()01,
i
i
t t T
y U
i i T
i i r V
i T
t s t t y t t R r
e φπ
ττφτφφ∈+∈≥+≥≥-≥=≥
利用结论001(),(1)()T m T i i i i t a t y a y U soc m a e a e
m π
πθ=??- ?≥+?∈?∈+ ?
- ??
?∑ 将上面的规划变为
10
,,0m in
1(1),1(3)()2(1)0,0,1
t t T i T i i T i
i i T
i t t t a soc m t soc a e a e m R r soc n e φπ
θττφρφτφφ+????- ? ?∈+-∈ ?
?- ? ???????
-+∈+
??
?
≥≥=
对于一个一般的模型
,1
m ax m in
()()
..1i i m
T i
i
i r V y U
i T
y u r s t e φ
πφφφ∈∈=+=∈?
∑
通过增加变量变为
01m ax
..
(),(),,
1,
m
i
i i i i i T
i
i
i
i T
t s t t y u y U
u u w w r r V
e φ
πφφφ=≤
+?∈≤≤?∈=∈?
∑
如果D 是一个凸集,则它的齐次锥是(){0,}t x H D cl t D x t ??=>∈ ???
则可以得到如下的凸表示
*
*m in
(),(),()0,1
T i i i
i T
t t t H U u u w t w H V e φ
πφ
φφ-??-∈≤
???-??∈ ???
≥=
对于多阶段的鲁棒模型
2
,,1
1
m ax m in
()m ax m in ()()..,1,2, 0
10
i i ij
ij i
i
i
m
m
i
i iT ij i
i j
j r V y U
r V
y U i j iT
T
i
i
T
y y R r s t e r i m e φ
φ
ππφφφφφφ+
∈∈∈∈==++-=?=≥=≥∑∑
因此:i T i i w r r φ→把球i
V 映射到区间[,]T i T i i i r
r φρφφρφ-+ ,则上述模型等价于
2,1
1
m ax
m in
()m ax m in m ax ()()..,1,2, 0
10
i
i i i i
m m
i
i ij
iT
ij i i
i j
j r V y U
y
i j iT i i
T
i
T
i
i i i T
y y R
r s t e w i m
r
w r e φ
φ
φ
ππφ
φφ
φφρφφρφφφ+
∈∈==++-+=?=≥-≤≤+=≥∑∑
2.R.h.tutuncu, M.Koenig 给出一个基于worse-case 的方法。在一个简单的情况下,相应鲁棒优化问题是一个标准的二次规划问题,在大多数情况下,这个问题可以转化为一个鞍点问题。利用2003年Handorsson 和Tutuncu 给出的方法求解。作者给出了在不确定集合为区间时的鲁棒MVO 模型,和鲁棒最大夏普比率问题。
一个资产分配问题可以表示为在期望收益的下限上极小化方差或最大化一个风险调节的期望收益
m in ..,n
T
x R
T x Q x s t x R x μ∈≥∈?
(1)
m a x ..n T T
x R
x x Q x
s t x μλ∈-∈?
(2)
其中1
{1,0}n
n
i
i x R
x
x =?=∈=≥∑
对于期望收益的向量μ和协方差矩阵Q 分别取成区间的形式 {:}L
U
U μμμμμ=≤≤ {:,0}L
U
Q U Q Q Q Q Q =≤≤≥
{(,):,}Q U Q U Q U μμμ=∈∈
采用区间型数据的原因:(1)区间的端点对应于历史数据中相应的统计的极值,在分
析估计和Scenarios 中。(2)建模者可以选择置信水平,以预测区间的形式产生收益和协方差的估计。
给定不确定集合U ,优化问题(1)(2)对应的鲁棒优化为
m in{m ax }..m in ,n
Q
T
Q U x R
T
U x Q x s t x R x μ
μμ∈∈∈≥∈?
(7) ,m a x {
m i n }Q
T T
U Q U x x x Q x μμμλ∈∈∈?
- (8)
若*()x λ是(8)一个给定正值λ的最优解,则*
()x λ也是(7)的最优解对于
*
m in ()T
U R x μ
μμλ∈=。
US 财政证券可以认为是无风险投资。如果这样的资产包含于资产类中,则有效的投资组合是这个无风险资产和一个风险组合的线性组合。这个最优的组合是具有最高夏普比率的
组合。()T
x r h x μ-=
f r 为无风险的已知收益。假设Q 是正定的。因为Q 是正半定的,
若它是正定的,则意味着没有冗余的资产。
具有最高夏普比率的组合可以通过解决下面的优化问题给出:
m a x ()..h x s t x ∈? (11)
这个目标函数是一个非线性,非凹的目标函数,难以解决。
利用lifting 技术对?进行齐次化:
{,0,
}(0,0)n
x
x R R κκκ
+
?=∈∈>∈? ,增加(0,0)是为了或得一个凸集。+
?是
一个锥,当?是一个环的时候,+?是一个ice-cream 锥,若?是一个多面体, {,}x Ax b cx d ?=≥=,则{0,0,0}x Ax b cx d κκκ+
?=-≥-=≥。
()():()(
),0T
T T
x r r e x
x
h x g x g μμκκ
--=
=
==?≥,由于()g x 是齐次的,则问题等
价于m ax ()
..(,)g x s t x κ+
∈?,由于()g x 是齐次的,则增加规范化的约束不会影响最优
解()1T
f r e μ-=,则问题等价于
m a ..(,)
,()1
T
f s t x r e κμ+
∈?-=
结论:给定一个可行的具有1T e x =性质的组合集?,x ?∈?,这个集合中具有最大夏普比率的解可以通过下面的规划来解:
max ..(,),()1T
T
f x Qx
s t x r e κμ+∈?-= (15)
若*??(,)x x
k =是(15)的解,则*??/x x k =。 松弛问题如下:
m in{m ax }
..m in ()1(,)Q
T
Q U T
f U x Q x s t r e x μ
μμκ∈∈+
-≥∈?
鲁棒有效前沿的算法:
1利用SP 算法解决没有期望收益约束的问题min{max }..
n
Q
T
Q U x R
x Qx s t x ∈∈∈?
,令mi n x 表示他的最优解,令
m in m in ()L
T
R x μ=
2,解决问题,m a x {
m i n }Q
T
U Q U x x μμμ∈∈∈?
,令m a x x 表示他的最优解,m
a x
m a x
()L T
R x
μ=,
max min R R ?=-
3 选择K ,有效前沿上点的数量,
min min min {/(1),2/(1),...,(1)/(1)}R R K R K R n K ∈+?-+?-+-?-,解决问题
m in{m ax }..m in ,n
Q
T
Q U x R
T
U x Q x s t x R x μ
μμ∈∈∈≥∈?
3.Mustafa C.Pinar 给出了多阶段的组合选择模型。目标是最大化最终期望收益和最小
化与一个给定的财富水平的偏差。他们之间是通过一个非负参数来平衡的。利用一个分段的线性罚函数,能够得到线性规划模型,并且能够确保如下阶段的最优性。
假设有m +1种资产,前m 种为风险的股票,第1m +种为无风险资产,比如现金。
x 表示1阶段初的决策向量,0
[]x i 表示相应的组合种第i 种资产的市值。
1
x 表示2阶段初的决策向量,
12
,r r 表示一阶段和二阶段结束后的净资产收益。是有限概率空间上(,,)F P Ω的离散的随机变量。
假设市场的发展是离散的scenario 树。
1
n r 表示随机变量1r 相应于第一层scenario 树的第n 个节点的实现。
基于最大的期望end-of-horizon 组合值的没有交易费用的两阶段组合选择模型的随机规
划为:
2
000
m ax{()1,0}T n n x
n N p Q x e x x ∈=≥∑ 其中1
02
1
1
1
1
()()()()()m ax{()()(),0}T
T
T
n n n n n n x
Q x r x e x r x x ππππ==≥
由于recourse 问题0
2(),n Q x n N ∈的可分性,上面的优化问题等价于
01
12
21011001
()()()1{,}
m ax {()1,()(),,0,0}n T T T T n n n n n n x x n N n N p r x e x e x r x n N x x πππ∈∈==?∈≥≥∑ 以上的模型假设决策者是风险中立的,Mulvey,V anderbei and Zenios 建议通过由一个参数控制给目标函数增加一个风险项得到两阶段的鲁棒随机规划。他们的模型为
2
2
1
2
1
1(1)()m ax{()((),...,())1,0}T
T
T
n n N N x
n N p Q x f r x r x e x x ππλ∈-=≥∑ (4) 则可分离的鲁棒优化模型为
01
12
21212101
()1(1)()1{,}
1
1
10
1
11m ax {()((),...,())(,,)}{(,,):1,()(),,0,0}
n T T T n n n N N n x x n N n N T
T
T
n n n n p r x f r x r x x x n N x x n N e x e x r x n N x x πππλ∈∈-?∈∈??=?∈==?∈≥≥∑(5)
Takriti and Ahmed 证明了对于任意的方差测度f ,上式对能够给出当两阶段的组合决策问题对于recourse 问题不是最优时的最优解。 如果f 是一个非减的函数,0λ≥,则上面的两个问题时等价的。Takriti and Ahmed 利用了一个分段二次的方差度量
2
2
*()()n n n N f t R t ρ+∈=
-∑
,其中*R 是目标函数值。t 是一组离散的随机变量,具有实
现2
12,,...,N t t t ,而2
12,,...,N ρρρ是相应的概率。。
为了是计算方便是所得的问题是一个线性规划,采用一个分段线性的方差测度 2
*()()n n n N f t R t ρ+∈=
-∑
它仍然满足非减的条件。则我们的问题变为
01
12
2
21
2101
()*()1{,}
1
1
10
1
11max {()(())(,,)}
{(,,):1,()(),,0,0}
n T T n n n n n n n x x n N n N n N T
T
T
n n n n p r x p R r x x x n N x x n N e x e x r x n N x x ππλ+∈∈∈--?∈∈??=?∈==?∈≥≥∑∑
可以将上面的模型推广到三阶段的情况。
在这篇文章中作者还给出了包含线性交易费用的模型。
1
n y 表示一阶段买入资产的数量,
1
i μ表示一阶段买入一美元的资产的交易费
1
n z 表示一阶段卖出资产的数量, 1i v 表示一阶段卖出一美元的资产的交易费 1
[]n x i 表示1
n x 的第i 个分量
则对于风险资产11011
[][][][][]n n n n n x i r i x i y i z i =+-,1,...,i m = 对于无风险资产11011111
1
1
[1][1][1](1)[](1)[]m
m
n
n
n
i
n
i n i i x m r m x m y i v z i μ==+=++-++-∑∑
初始的资金要求为0001
(1)[]1[1]m
i i x i x m μ=+=-+∑
则可行集为0111
1{(,,,,):}n n n T x x y z n N =?∈满足上面的三个方程
带有交易成本的鲁棒两阶段的投资组合选择的模型为
111
12
2
21
210111
()*()1{,,,}
m ax {()(())(,,,,)}
n n n T T n n n n n n n n n x x y z n N n N n N p r x p R r x x x y z n N T ππλ
+∈∈∈--?∈∈∑∑
4. Aharon Ben-Tal, Tamar Margalit Arkadi Nemirovski 给出了一个多阶段的组合选择问题
的鲁棒建模方法。
假设有n 种类型的资产1,...,i n =和现金(1)n +。L 个投资阶段。目标是控制这些资产的一个投资组合。l
i x 表示投资组合中资产i 在阶段l 开始时的数量。
l
i x 可以有下列的方程给出:
鲁棒优化的方法及应用
鲁棒优化的方法及应用 杨威 在实际的优化中决策过程中,我们经常遇到这样的情形,数据是不确定的或者是非精确的;最优解不易计算,即使计算的非常精确,但是很难准确的实施;对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术,可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。早在19世纪70年代,Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一,他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。在以后的很长的一段时间里,鲁棒优化方面都没有新的成果出现。直到19世纪末,Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展,尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展,使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。 一个一般的数学规划的形式为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}n i x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤= 其中x 为设计向量,0f 为目标函数,12,,...,m f f f 是问题的结构元素。ξ表示属于 特定问题的数据。U 是数据空间中的某个不确定的集合。对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}n i x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=?∈ 这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。 这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法,目前的最新的研究结果及在经济上的应用。 1 鲁棒优化的基本方法 1.1鲁棒线性规划 一个不确定线性规划{min{:}(,,)}T n m n m x c x Ax b c A b U R R R ?≥∈???所对应的鲁 棒优化问题为min{:,,(,,)}T x t t c x Ax b c A b U ≥≥∈,如果不确定的集合是一个计算上易处 理的问题,则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。并且有下列的结论: 假设不确定的集合由一个有界的集合{}N Z R ξ=?的仿射像给出,如果Z 是 1线性不等式约束系统构成P p ξ≤,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。 2由锥二次不等式系统给出2 ,1,...,T i i i i P p q r i M ξξ-≤-=,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。 3 由线性矩阵不等式系统给出dim 01 0i i i P P ξ ξ=+≥∑,则所导致的问题为一个半定规划问题。 1.2鲁棒二次规划
鲁棒优化及相关问题的研究
鲁棒优化及相关问题的研究 鲁棒优化研究带不确定性的优化问题,是不确定优化的一个分支.在鲁棒优化中,主要关注由不可控参数引起的不确定性,且仅知道不 可控参数在某个不确定集中取值.由于对实际问题有效的建模和求解,鲁棒优化已发展成为处理不确定优化问题重要且十分普遍的工具.基于鲁棒性这个概念,本文围绕鲁棒优化探讨了无穷多目标优化、不确定向量优化和不确定互补问题中相关的一些重要课题.主要内容如下:1.基于对强鲁棒性、一致鲁棒性和严格鲁棒性的细致分析,通过设置调整变量建立了一种新的鲁棒性,称为松弛鲁棒性.其对应的松弛 鲁棒模型包含了相关文献中出现的具有松弛意义的大部分模型,例如偏离鲁棒模型、可靠鲁棒模型、软鲁棒模型以及随机方法中的期望值模型和风险规避模型.这个统一的模型表明:对不确定性的处理方式 取决于决策者对不确定性掌握的信息、对这些信息的态度以及可用的数学方法.另外,提出了鲁棒性测度并研究了它的一些基本性质,如平移同变性、单调性、正齐次性和凸性.2.在基于分量比较的序结构上,对无穷多目标优化问题引入了Pareto有效性和Geoffrion真有效性,并借此表明了无穷多目标优化与不确定/鲁棒优化的密切关系.针对 一般的不确定优化问题,利用推广的ε-约束方法得到了 Pareto鲁棒解的生成方法.通过一族锥刻画了Geoffrion真有效性,并揭示了Pareto有效性与Geoffrion真有效性的本质区别:Pareto有效性需要对其它的成员补偿都有界,而Geoffrion真有效性要求对其它的成员补偿一致有界.最后,将Geoffrion真有效性应用到鲁棒对应上,得到
了不确定型选择理论中著名的Hurwicz准则.3.遵循鲁棒标量优化中的研究方法,对不确定向量优化问题,首先建立了硬性意义下的鲁棒对应模型.然后,出于对这个鲁棒模型一个缺点的修正,利用Pareto 有效性的思想将其松弛,得到了紧性意义下的鲁棒对应模型.不同于文献中大量使用的集方法,这两个鲁棒模型属于鲁棒多目标/向量优化研究中的向量方法.与基于集方法得到的鲁棒模型进行了深刻地比较,展示出它们特殊的地位以及向量方法更大的潜力.4.对带模糊参数的互补问题,利用可能性理论中的可能性测度和必要性测度去除模糊,提出了两类确定性的模型,分别称为可能性满意模型和必要性满意模型.从不同的角度进行了分析,得到了它们的解具有的一些重要特征.随后,比较了几种受不同类型的不确定性影响的互补问题及相应的处理方法,包括对模糊映射的模糊互补问题、对不确定集的鲁棒互补问题和对随机不确定性的随机互补问题.最后,将这两类模型应用到模糊优化、模糊博弈和带模糊互补约束的数学规划问题上.
基于鲁棒优化的若干投资组合模型研究
基于鲁棒优化的若干投资组合模型研究 投资组合通常是指个人或机构所拥有的由股票、债券及衍生金融工具等多种有价证券构成的一个投资集合。传统上投资组合模型数学规划的经典范例是在输入参数准确可知并且等于某些标称值的假设条件下建立模型,并利用已有的数学规划方法求解模型得出最优解。然而,这些方法并没有考虑数据的不确定性对建模质量和可行性的影响,本文采用鲁棒优化方法构建投资组合模型解决投资组合模型容易受输入参数影响的问题。本文一方面试图将鲁棒优化方法在不同投资组合模型中的应用建立一个系统的框架,另一方面弥补了国内目前仅对部分投资组合鲁棒优化模型进行研究,而忽略了交易成本和现实约束对鲁棒优化投资组合模型的影响,丰富了鲁棒优化投资组合模型的应用范围,同时针对其衍生(含交易成本和现实约束)鲁棒优化模型得到以下结论:(1)鲁棒优化投资组合模型相比于传统的投资组合模型(相对应的模型进行比较,即如:鲁棒均值-CVaR投资组合(RCVaR)模型相比于均值-条件风险价值(CVaR)投资组合(MCVaR)模型)更能获得 稳定的回报,投资绩效更高。 (2)交易成本的引入。对于将交易成本引入投资组合优化模型后鲁棒优化模型进行分析,这类投资组合优化模型是可解的、有效的、具有鲁棒性的,其投资组合收益、投资组合风险和投资组合绩效表现均优于将交易成本直接引入投资组合优化模型,表明引入交易成本后鲁棒优化模型仍是有效的。同时在基于交易成本的鲁棒优化模型中引入现实约束,则会进一步提升投资组合收益、组合风险和投资组合绩效方面的表现。(3)现实约束的引入。 对于不含交易成本的鲁棒优化模型引入现实约束后得出:第一,分散化程度对投资组合影响。在投资组合各项资产权重充分分散之前,随着投资组合分散程度的增加,投资组合收益降低,投资组合风险减小,这与资本市场实际情况相同;在投资组合各项资产权重充分分散之后,随着投资组合分散程度的增加,投资组 合收益同样减小,但是投资组合风险增加。第二,流动性水平对投资组合影响。当投资组合管理者对资产组合的最低流动性水平要求越高时,投资组合的风险越大、投资组合的收益增加、投资组合的绩效降低,反之亦然,这与现实证券市场中的投资决策完全一致。 第三,资产上下界约束对投资组合影响。从投资组合收益与绩效角度而言,
鲁棒优化模型
(一)供应链运行的总成本函数 假设供应链运行的基本原则是总成本最小化: min min ijk ijk ij ij ik ik ij ij i j k i j i k i j jk j j k k ik ik j k j k i k Y w x wms xms wmc xmc s y fz fms zms fmc zmc p u ? =++ + ?? ++++? ? ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑(1) 其中,i 表示产品种类,j 表示供应厂商,k 表示消费者;ijk w 表示供应商j 供应给消费者k 的每单位产品i 的生产可变成本;ij wms 表示供应商j 在电子商务平台下每单位产品i 的可变成本;ik wmc 表示电子商务平台将每单位产品i 提供给消费者k 的可变成本;ij s 表示供应商j 生产产品i 的准备成本;ij s 表示供应商j 生产产品i 的固定成本;jk fz 表示供应商 j 为消费者k 生产产品的固定成本;j fms 表示供应商为电子商务平台提供产品的固定成本;k fmc 表示电子商务平台将产品提供给消费者k 的固定成本。 从式(1)可以看出,最优化的目标是使得供应链整体的运行成本最小。其中,决策参数为:(1)供应商直接零售给消费者的产品数量ijk x ;(2)供应商通过电子商务平台批发的产品数量ij xms ;(3)电子商务平台零售给消费者的产品数量ik xmc ;(4)消费者未满足的产品需求ik u ;(5)生产虚拟变量ij y :当供应商生产产品时,虚拟变量1ij y =,否则等于0;(6)直销虚拟变量jk z :如果存在供应商直接向消费者零售产品,虚拟变量1jk z =,否则等于0;(7)供应链批发产品给电子商务平台的虚拟变量j zms :如果存在供应商向电子商务平台批发产品,虚拟变量1j zms =,否则等于0;(8)电子商务平台零售产品的虚拟变量 k zmc :如果存在电子商务平台向消费者零售产品,虚拟变量1k zmc =,否则等于0。 (三)约束条件束 此时,电子商务平台下供应链运行成本最小化的约束条件束包括: 1、产品供给约束 i j k i j i j k x x m s y Q +≤∑ (2) 对于产品供给约束而言,是指供应商j 供给的产品i 不会超过可利用资源的总容量,其中ij Q 表示供应商j 供给的产品i 的容量。 2、生产能力约束
航线网络区间型相对鲁棒优化设计研究
航线网络区间型相对鲁棒优化设计研究 通过引入区间型设计参数情形集,就可以强化航线整体的鲁棒性,但是如果网络过载或有意攻击情况下,或者航线网络设计参数发生变化,引起最优航线网络也出现变化,航线网络鲁棒性就会受到影响,为了解决这一问题,必须建立航线网络区间型相对鲁棒优化模型,对最短的路线算法进行了修正,在此基础上,相关技术人员还融入了模拟遗传算法,并最终研究出模拟混合求解算法,保证了航线网络的鲁棒性。下面就对这些方面进行分析,希望给有关人士一些借鉴。 标签:航线网络;区间型鲁棒;优化设计 相关人员对我国的各大航空公司进行了调查,发现为了提高企业的经济效益,企业的规模在不断扩大,通航的城市也不断增多,因此各个城市的航线也增多,导致整个航线网络变得越来越复杂,航空企业想要有一个长远的发展,保持很强的竞争力,就必须科学的对航线网络进行布局,优化设计航线网络区间型相对的鲁棒性。 1 问题描述 对于民航运输航线网络可以分成两种,一种是城市对城市的航线网络,另一种是枢纽航线网络,在进行航线网络建设中,都是以城市自身需求出发,建立直达航线,提高航空运输的效率,最大程度上节约旅客的旅途时间,但是其存在一定的问题[1],例如没有从网络总体层次上对网络内航线资源进行系统的有机配置,为了解决这一问题,下面就以某航空公司为例,其要在N个城市中建立航空网络,将城市集合设为N=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,n)[2],p为枢纽机场的个数,限制条件是p小于n,(j、i)代表有向边,(i、j)代表无向边,将这些项目全体记作E,这样节点和边就可以形成一个完整的图,将其记做G(N、E)[3],在对其进行分析的过程中,在任何一个场景下,枢纽机场之间都是连通的,如果是非枢纽机场,就要在枢纽机场进行中转连接,但是要记住每一个OD 流的中转次数都要在两次范围内,现在假设OD(i、j),i,j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,n,航空客流为Wij[4],在此基础上设计网络,让其鲁棒性更强。在预测过程中,为了描述问题更加方便,将流量和成本区间设定为(Wij-)(Wij+),(Cij-)(Cij+),就有Wij-小于等于Wij+,Cij-小于等于Cij+[5],成本Cij和实际流量Wij包括了很多情境下取值情况,也就是在规定区间内进行任意取值,通常情况下,枢纽航线网络都是在旅客需求量和成本是确定的情况下进行设计及优化的。然而在现实情况下经常会出现各种不确定的情况导致旅客需求和成本产生波动,在一定程度上减少网络使用风险,最大程度保证航空公司和旅客的利益[6]。鲁棒优化方法,可以有效解决设计变量的波动,保证在偏差范围内的变动都是符合要求的。按照情景集中元素的是否可数,又可以对应的分为离散情景集合、连续情景集。鲁棒优化设计主要有绝对鲁棒优化、偏差鲁棒优化和相对鲁棒优化设计。 2 模型建立
鲁棒优化的方法与应用
鲁棒优化的方法及应用 威 在实际的优化中决策过程中,我们经常遇到这样的情形,数据是不确定的或者是非精确的;最优解不易计算,即使计算的非常精确,但是很难准确的实施;对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。鲁棒优化是一个建模技术,可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。早在19世纪70年代,Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一,他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。在以后的很长的一段时间里,鲁棒优化方面都没有新的成果出现。直到19世纪末,Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展,尤其是对于半定优化和凸优化点算法的发展,使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。 一个一般的数学规划的形式为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}n i x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤= 其中x 为设计向量,0f 为目标函数,12,,...,m f f f 是问题的结构元素。ξ表示属于 特定问题的数据。U 是数据空间中的某个不确定的集合。对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为 0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}n i x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=?∈ 这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。 这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法,目前的最新的研究结果及在经济上的应用。 1 鲁棒优化的基本方法 1.1鲁棒线性规划 一个不确定线性规划{min{:}(,,)}T n m n m x c x Ax b c A b U R R R ?≥∈???所对应的鲁 棒优化问题为min{:,,(,,)}T x t t c x Ax b c A b U ≥≥∈,如果不确定的集合是一个计算上易处 理的问题,则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。并且有下列的结论: 假设不确定的集合由一个有界的集合{}N Z R ξ=?的仿射像给出,如果Z 是 1线性不等式约束系统构成P p ξ≤,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。 2由锥二次不等式系统给出2 ,1,...,T i i i i P p q r i M ξξ-≤-=,则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。 3 由线性矩阵不等式系统给出dim 01 0i i i P P ξ ξ=+ ≥∑,则所导致的问题为一个半定规划问题。 1.2鲁棒二次规划 考虑一个不确定的凸二次约束问题
动态鲁棒进化优化方法研究
动态鲁棒进化优化方法研究 现实生活中的许多优化问题,往往受到生产工况、运行环境等动态因素的影响,形成动态优化问题。解决该类问题的常用方法是跟踪最优解方法。 它在探测到优化问题发生改变时,重新触发寻优过程,从而快速、准确地找到适应于新优化模型的最优解。跟踪最优解方法虽然可以相对有效的解决动态优化问题,但是,当动态优化问题具有复杂的目标函数或较大的搜索空间时,耗时的进化求解过程,往往使在有限时间内获得问题的最优解存在困难。 另外,某些实际动态优化问题中,当动态因素发生变化时,就去执行寻优获得的新最优解,往往需要调整众多相关人员或资源,导致较大的最优解切换成本。基于此,本论文给出了一种解决动态优化问题的动态鲁棒优化方法。 其核心思想是面向连续变化环境下的动态优化问题,找到用户可以接受的一组基于时间的鲁棒最优解序列。当环境发生变化时,根据用户可接受程度,直接采用相邻前一环境下的鲁棒解作为当前环境下的较优解,而不是重新寻找新环境下的最优解。 这可以有效降低新环境下优化问题的寻优代价,满足生产实际中有限资源调配的需求。面向动态单目标优化问题,已有动态鲁棒优化方法中给出生存时间和平均适应度两种鲁棒性指标。 在此基础上,构建了兼顾上述两种鲁棒性能指标的两阶段多目标进化优化模型,采用基于非支配排序的遗传算法,获得问题的鲁棒最优解序列。第一阶段多目标进化优化方法用于获得每个动态环境下,兼顾上述两方面性能的所有Pareto 解;第二阶段中的进化个体由第一阶段获得的Pareto解依环境变化时刻动态组合而成,考虑解序列的平均生存时间和平均适应度,采用多目标进化优化方法获
得实际可实施的动态鲁棒最优解集,并将其应用于解决改进的移动峰问题。 面向动态多目标优化问题,首次给出了时间尺度上的多目标鲁棒性概念,定 义了基于时间的鲁棒Pareto最优解,给出了时间鲁棒性和性能鲁棒性两个性能 度量指标。鲁棒Pareto最优解应兼顾这两方面性能,由此构建了动态鲁棒多目标优化模型。 进而,采用基于分解的多目标进化算法,求解其鲁棒Pareto最优解集。进一步,在求解动态鲁棒多目标优化问题时,兼顾个体的性能鲁棒性和时间鲁棒性,构建了动态鲁棒多目标约束优化模型。 考虑到个体的鲁棒性评价中,需要同时考量Pareto解在当前和未来相邻动 态环境下的适应值。为有效估计未来相邻环境下某一个体的适应值,建立了基于已评价历史信息的适应值时间序列,并采用移动平均预测、自回归预测和最近邻域预测,通过加权方式构成集成预测模型。 决策者从Pareto解集中找到最符合他们需求的解是多目标优化的最终目的。为提高进化效率,在每个动态环境下,没有必要获得全部Pareto最优解,仅需要 把寻优过程集中在决策者感兴趣的区域。 于是,将决策者的偏好信息融入到搜索过程中,引导种群趋向于决策者感兴 趣的区域;另外,在鲁棒性能评价中,将决策者的偏好信息转化为目标稳定性阈值,用于指导鲁棒个体选择。在上述偏好信息的共同作用下,采用基于分解的动态鲁棒多目标进化优化方法,获得满足决策者偏好的鲁棒最优解集。 采用传统的跟踪最优解法或动态鲁棒优化方法,在解决环境变化复杂的动态多目标优化问题时,都存在一定局限。为此,根据搜集的动态环境历史信息构建环境变化序列,用于预测未来环境变化程度。
优化设计和鲁棒性分析方法综述
工作汇报 (1)优化设计和鲁棒性分析 优化设计的过程就是确定优化目标、设计参数和约束条件,通过迭代算法确定最优的设计参数,得到最优的性能。 查阅这方面的论文,主要有两种方法。一种是目标函数与设计参数之间有解析式关系的,比如《Application of optimal and robust designmethods to a MEMS accelerometer》这篇论文,优化目标是加速度计的最小测量加速度、满量程加速度以及谐振频率,设计参数是梁、质量块、梳齿以及间隙的尺寸参数。文章中就给出了优化目标和设计参数的解析式: 通过这些解析式,以及一些约束条件就可以构建优化设计的数学模型:
最后通过优化算法程序(这篇用的是遗传算法)得到最优解。 第二种也是大部分文献,都没有给出优化目标和设计参数之间的解析式。比如《Optimal and Robust Design of a MEMS GyroscopeBased on Sensitivity Analysis and Worst-caseTolerance》,优化目标是陀螺仪的敏感性(让敏感电容C最大)。这篇文章没有目标函数的解析式。它是通过有限元仿真软件和优化软件连接在一起计算,应该是用仿真结果代替解析式计算结果,具体的我没明白。 鲁棒性分析的方法主要是考虑设计参数的制造误差(一般是±0.5um),将±0.5um分别带入设计参数,让优化目标最小化的同时,标准差也最小化。 优化设计还看到一篇文献,《Optimization of Sensing Stators in CapacitiveMEMS Operating at Resonance》提出了两种新颖的结构,然后比较它们和传统结构的性能,以及它们的优点。这篇论文没有参数优化。 (2)动态特性分析 动态特性分析方面看了两篇文献。《Nonlinear Dynamic Study of a Bistable MEMS:Model and Experiment》讲了加速度双稳态开关中,切换稳定性与激励时间和激励幅值的关系。当激励时间长时,开关稳定切换,时间短时,可能切换失败。以及激励幅值超过门限很多时,也会使质量块振荡返回初始状态而切换失败。文章分析了原因,确定的最短激励时长。 第二篇文献《Shock-Resistibility of MEMSBased Inertial Microswitch underReverse Directional Ultra-High gAcceleration for IoT Applications》,本文研究了在反向高g值冲击下,惯性开关的冲击稳定性。在实际应用中,惯性开关不可避免的受到高或极高的反向冲击。高g值(几百到几千)的反向加速度冲击下,支