常微分方程的初等解法_论文
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1．常微分方程的基本概况
1.1.定义：
自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法
一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
2.1、变量分离方程法
形如，（2.1）的方程，称为变量分离方程，这里的，分别是x，y的连续函数。如果，我们可将（2.1）改写成，这样变量就“分离”开来了。两边积分得到，（2.2）。
例1：方程就可以用变量分离法求解方程
解：变量分离，得到，
两边积分，即得，
因而，通解为，（c为任意常数）
2.2、可化为变量分离方程的类型
(1) 形如，（2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里是u的连续函数。作变量变换，（2.4）即，于是，（2.5）.将（2.4），（2.5）代入（2.3），则原方程变为，整理后，得到,(2.6).方程（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。
例2方程就是一个可以化为变量分离的方程。
解这是齐次微分方程，以及代入，则原方程变为。即。
将上式分离变量，既有，
两边积分，得到，（为任意常数）
整理，得到，
令，得到
将代入上式，得到方程的通解为
(2)形如,(2.7)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，，，，，，均为常数。
我们分三种情况来讨论：
① (常数)情形。这时方程化为，有通解，其中c 为任意常数。
②情形。令，这时有2
12222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=是变量分离方程。 ③情形。如果方程(2.7)中，不全为零，方程右端分子﹑分母都是x ，y 的一次多项式，因此（2.8）.代表Oxy 平面上两条相交的直线，设交点为。若令（2.9）。则（2.8）化为从而（2.7）变为，（2.10）。因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.7）的解。如果方程（2.7）中，可不必求解（2.8），直接取变换即可。
上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型。
例3 方程就可以用上述方法来求解。
解 解方程组
得x=1，y=2.令
代入原方程，则有,
再令,即,则上式化为，
两边积分，得 ，
因此 ，
记，并代回原变量，得，
把代入上式 得122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-
整理，得 (c 为任意常数)
2.3、线性微分方程与常数变易法
一阶线性微分方程，（2.9）。其中P （x ），Q （x ）在考虑的区间上是x 的连续函数。
若Q （x ）=0，（2.9）变为，（2.10），(2.10)称为一阶其次线性微分方程。若，（2.9）称为一阶非其次线性微分方程。（2.10）是变量分离方程它的解为，（2.11）这里的c 为任意常数。
现在讨论非奇次线性微分方程（2.9）通解的求法。
不难看出，（2.10）是（2.9）的特殊情形，可以设想（2.11）中将常数c 变易为x
的待定函数c(x).令，（2.12）微分之，得到?+?=dx x p dx x p e x p x c e dx
x dc dx dy )()()()()(，（2.13）.将（ 2.12）,(2.13)代入（ 2.9），得到
)()()()()()()()()(x Q e x c x P e x P x c e dx
x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?。 即，积分后得到，这里的是任意常数。将上式代入（2.12），得到方程（2.9）的通解?+??=-))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p ，
（2.14）。 这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。常数变易法实际上也
是一种变量变换的方法，通过变换（2.12）可将方程（2.9）化为变量分离方程。
若方程不能化为（2.9）形式，可将x 看作y 的函数，再看是否为（2.9）形式。
例4 方程（n 为常数）就可以用常数变易法求解。
解 将方程改写为 ，①
首先，求齐次线性微分方程的通解
从 ，得到齐次线性微分方程的通解
其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。为此，在上式中把c 看
成为x 的待定函数c （x ）,即，②
微分之，得到 )()1()1()(1x c x n x dx
x dc dx dy n n ++++=，③
把②，③代入①，得到 ，
积分之，求得
因此，以所求的c （x ）代入②，即得原方程的通解
， （为任意常数）
2.4、恰当微分方程与积分因子
2.4.1恰当微分方程
如果方程0﹐y)dy (﹐y)dx (=+x N x M ，的左端恰好是某个二元函数的全微分，即+=则称原式为恰当微分方程。容易验证恰当微分方程的通解就是,这里的c 为任
意常数。
如果方程是恰当微分方程时，函数应该具有以下性质。和分别对y ，x 求偏导，得到，，由得连续性，可得，故,这就是恰当微分方程的必要条件。
如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。利用公式
????????
?????????+-=--=+=-=+==+﹐)(ln 21﹐)(arctan x xdy -ydx ﹐)(ln ﹐)(xdy ydx -﹐)(xdy -ydx ﹐
)(222222y x y x d y x xdy ydx y x d y y x d xy xdy ydx x y d x y x d y xy d xdy ydx （2.15） 例5 方程0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 就可以用“分项组合” 方法来求解。 解 把方程重新“分项组合”得到066432232=+++ydy x dx xy dy y dx x
即 033222243=+++dy x dx y dy dx
或者写成
于是，方程的通解为 ，（c 为任意）
2.4.2、积分因子
如果存在连续可微的函数，使得x+=0为一恰当微分方程，即存在函数，使，
则称为方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的积分因子，而积分因子不是唯一的。这时
是方程的通解，因而也就是0)﹐()﹐(=+dy y x N dx y x M 的通解。
由（2.15）看到，同一方程可以有不同的积分因子，，，。可以证明，只要方程
有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具体解题过程中，由
于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。
根据上述可知，函数为方程的积分因子的充要条件是，即
μμμ)(x
N y M y M x N ??-??=??-??。 对于方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M ，如果存在只与x 有关的积分因子，则，
这时方程μμμ)(x
N y M y M x N ??-??=??-??变成，即，由此可知，方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 有只与x 有关的积分因子的充要条件是，这里仅为x 的
函数。假如条件成立，则根据方程，可知求得方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的一
个积分因子是。同样，0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要
条件是，这里的仅为y 的函数。从而求得方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的一个积
分因子。
例6 求解方程
解：，，，，方程不是恰当的
因为只与y 有关故方程有只与y 有关的积分因子
以乘方程两边，得到
或者写成
因而，通解为 (c 为任意常数)
例7 求方程0)(2223=+++ydy x dx y x x 的通解。
解： 经判断，所以该方程不是恰当方程。
分组得
0)(2223=+++dx y x ydy x dx x
显然前两项具有积分因子，相应的全微分为
，
要使得
)(1)(122222x y
x y x x ψ?+=+ 成立。只需取，即可，这样就找到了一个积分因子。
原方程两边同乘，可得
，
所以通解为。
例8 解方程 0)84()2(3423=+++++dy y xy x dx x y x y 。
解： 方程各项重新组合为
()()()
08243243=+++++dy y dx x dy xy ydx x xdy ydx ， ()()
032443
32=???? ??++++y x d dy y dx x xy xy d ， ()032343
43=???
? ??++???? ??++y x d y x xyd xy d ， 此时，可令，上方程化为
，
解之得
，
3.常微分方程的多种解法
在常微分方程中，每一道题都有多种解法，不同的解法答案是相同的，在社会中的应用大致也是相同的，下面就让我们看看一道常微分方程到底有多少种解法。
例1 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解。
解: 解法1 不定积分法。
令,，
则，所以该方程为恰当方程。
，
关于积分，得
，
32246),()(6y y x y x N y y x y
U +=='+=???， ，，
所以通解为C y y x x y x U =++=42233),(。
解法2 公式法
利用恰当方程求解方法3中公式得方程通积分为
C y x x y dy y dx xy x y x U x y
=++=++=??22340032234)63(),( 解法3 分组法
去括号重新分组可得
066432232=+++ydy x dx xy dy y dx x
0)(3)(222243=+++dy x dx y y x d
积分，得原方程的通解为。
例2 求方程的通解。
解: 由于，所以原方程不是恰当方程。
解法1 可将原方程改写为
，
左端有积分因子或，但考虑到右端只与变量有 关，故取
为方程的积分因子，因此有
，
两边积分可得通解
，易见也是原方程的解。
解法2 也可将原方程改写为
，
这是齐次方程。
令，即可进行求解。
解法3 将看作未知函数，原方程可化为线性方程
，
从而可就进行求解。
解法4
由于，只与有关，所以存在关于的积分因子
2ln 221),(y
e e y x y dy y ===-?-μ， 以乘以方程两端，得到
，
为恰当方程，即
，
因而通解为 ，另外，易见也是原方程的解。
4.二阶线性方程的幂级数解法
二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解。由于方程的系数是自变量的函数，我们不能象常系数线性方程的解法那样利用代数方法去求解。但是，
从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，我们自然会想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？所以我们接下来就来讨论这一问题。
例1 求方程的满足初始条件的解。
解: 设(1) 是方程的解，这里
是待定常数，由此我们有
将的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到：
，，，
由，得，，，利用数学归纳法可以推得，一般地，代入(1)
得
这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解为，而由条件可以确定常数，即得方程的解为。
例2 求解方程，。
解: 同例1一样，以 (1)形式上代入方程并比较的同次幂的系数，这时将有，，，
因为不可能找到有限的，故方程没有形如(1)的解，事实上，直接解方程，可得通解为。
但若令，那么就将上述的初值问题化为，
这时仿照例1的做法，就可求得， 于是，这就是所求原方程的特解，相当于通解中取。
5、高阶常微分方程的初等解法
高阶常微分方程的初等解法主要包括齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程与常数变易法、常系数线性微分方程的解法。这三种解法是主要的也是简单的初等解法。
5.1﹑齐次线性微分方程
方程)()()()(1111t f x t a dt dx t a dt
x d t a dt x d n n n n n n =++++--- ，（5.1）其中及f （t ）都是区间上的连续函数。如果则方程（ 5.1）变为
0)()()(1111=++++---x t a dt dx t a dt
x d t a dt x d n n n n n n ， （5.2）。我们称它为n 阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程。
例1 求方程的通解
解：设
代入原方程可得：分离变量
则有
即：
得：y=C 1ln|x|+C 2 为原方程之通解(C 1,C 2为任意实数)
例2 求方程 满足初始条件
的特解
解：设 则
所以原方程可写成：分离变量
则有：两边积分
即：
有y ＝3（x 2+1）
积分得y=x 3+3x+c 2
再由初始条件y|x=0=1得C 2＝1
故所求特解为y=x 3+3x+1
5.2、非齐次线性微分方程与常数变易法
考虑n 阶非齐次线性微分方程)()()()(1111t f x t a dt dx t a dt
x d t a dt x d n n n n n n =++++--- ，（5.1）易见方程（5.2）是它的特殊情形，我们指出两者之间解的性质和结构有着十分密切的联系。首先容易直接验证如下两个简单性质：
性质1：如果是方程（5.1）的解，而x(t)是方程（5.2）的解，则也是方程（4.1）
的解。即非+齐=非。
性质2：方程（5.1）的任意两个解之差必为方程（5.2）的解。
例3 方程的通解（cos t ，sin t 是方程对应齐次线性微分方程的基本解组）
解 应用常数变易法，令
将它代入方程，则可得决定和的两个方程及t
t tc t tc cos 1)(cos )(sin 2'1'=
+- 解得 ，
由此 ，
原方程的解 t t t t t t x sin cos ln cos sin cos 21+++=γγ
5.3、常系数线性微分方程的解法
5.3.1﹑特征根是单根的情形
设，，…，是特征方程0)(111=++++=--n n n n a a a F λλλλ 的n 个彼此不相等的根，
则相应的方程[]01111=++++≡---x a dt dx a dt
x d a dt x d x L n n n n n n 有如下解：，，…，。我们指出这n 个解在区间上线性无关，从而组成方程的基本解组。
例4 方程就是单根的情况
解 特征方程的根为，。有两个实根 和两个复根，均是单根，故方程的通解为
t c t c e c e c x t t sin cos 4321+++=-（，
，，为任意常数）。 5.3.2﹑特征根有重根的情行
当特征根为重根实方程有如下解法。
例5 方程的通解。
解 特征方程有根，
因此，方程的通解为 ???? ??++=-t c t c e e c x t t 23sin 23cos 322
11，其中 ，，为任意常数。以上这些就是我所了解的常微分方程的初等解法。
6常微分在社会中的应用及模型
常微分方程在社会中的应用很广，例如RLC 电路和数学摆等等都利用了常微分方程
的解法。
6.1﹑RLC 电路
包含电阻R ﹑电感L ﹑电容C 及电源电路称为RLC 电路，RLC 电路是电子电路多的基础。根据电学知识，电流I 经过R,L,C 的电压降分别为RI, 和，其中Q 为电量，它与电流的关系为,根据基尔霍夫（kirchhoff ）第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压代数和等于零。
设R,L 及电源电压E 为常数，当开关S 和上后，存在关系式，即,(1.1)这便是RL 电路的常微分方程。其中电流I 是自变量t 的函数，在方程（1）中是未知函数。当开关S 刚合上即时有,即,(1.2)称此条件为方程（1.1）的初值条件。
如果当时有，而电源突然短路，即E=0且保持不变，此时方程（1.1）变为,(1.3)初值条件为（1.4）。
假设R,L,C 为常数，电源电压是时间t 的已知函数。当开关S 合上时有关系式,微分上式，代入，便得到以时间t 为自变量﹑电流I 为未知函数的常微分方程，（1.5）当电源电压是常数时，上述微分方程变为,(1.6)如还有R=0，微分方程进一步化简为.
6.2﹑数学摆
数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M ，在重力作用下，他在垂直的
地面的平面上沿圆周运动，我们来确定摆的运动方程。
设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角Φ的正方向。质（1.7）。这样，
就得到微小振动时摆的方程，（1.8）如果我们假设摆在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就存在一个与速度v 成比例的阻力。如果阻力系数是μ，则摆的运动方程变为，（1.9）。如果沿着摆的运动方向恒有一个外力F （t ）作用于它，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为)(ml 1Φdt Φm μdt
Φ22t F l g d d =++，（1.10）。当要确定摆的某一个特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态：当t=0时，，，（1.11）。这里的代表摆的初始位置，代表摆的初始角速度的大小。
参考文献
1.朱思铭，李尚廉，数学模型，广州：中山大学出版社，1995.
2.姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，第三版。北京：高等教育出版社，200
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3.陈兰荪，数学生态学模型与研究方法，北京：科学出版社，1991.
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7.
7.李文林.数学史教程.北京:高等教育出版社，2002
8.王树禾.数学思想史.北京:国防工业出版社,2003
致谢
三年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。三年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”。感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意！同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助
过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。
常微分方程的初等解法与求解技巧
师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
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常微分方程的初等解法
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1．常微分方程的基本概况 1.1.定义： 自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。 1.2.研究对象： 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。 1.3.特点： 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 1.4.应用： 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 2.一阶的常微分方程的初等解法
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到
常微分方程解题方法总结.doc
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
常微分方程数值解法的误差分析教材
淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日
常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差
Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名张娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 内容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
常微分方程数值解法
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
常微分方程初等解法的研究
2015届本科毕业论文(设计) 论文题目：常微分方程初等解法的研究 学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-1班 学生姓名：汤鹏 指导老师：张新东副教授 答辩日期：2015年5月5日 新疆师范大学教务处
目录 引言 (1) 1 常微分方程的定义及分类 (2) 1.1 定义 (2) 1.2 一阶线性微分方程 (2) 1.3 一阶线性微分方程组 (2) 2 一阶线性微分方程的解法 (4) 2.1 分离变量法 (4) 2.2 常数变易法 (5) 2.3 全微分法 (6) 2.4 参数法 (7) 3 n阶常系数线性微分方程的解法 (9) 3.1 单根的情形 (9) 3.2 重根的情形 (10) 4 常微分方程的应用 (11) 4.1 人口动力学问题 (11) 4.2 简谐运动 (11) 4.3 电路理论 (12) 4.4 MATLAB解常微分方程 (13) 5 总结 (15) 参考文献 (16) 致谢 (17)
常微分方程初等解法的研究 摘要：本文主要对常微分方程的初等解法进行研究，使大家更深一步地了解常微分方程的分类、解法及其在其他领域的应用。首先总结阐述常微分方程的定义和几种常见的类型，然后讲解了常微分方程的解法及方程组解的情况，最后讲述了常微分方程在以下四个方面的应用：动力学问题、简谐运动、电路理论及用MATLAB解常微分方程。 关键词：常微分方程；初等解法；方程组；动力学；MATLAB
Research elementary solution of ordinary differential equations Abstract: This paper mainly elementary solution of ordinary differential equation is studied,make you a deeper understanding of classification,the ordinary differential equation solution and its application in other fields.Firstly summarizes the type describes the definition of ordinary differential equations and several common,then explain the ordinary differential equation solution and the solution of equations,and finally describes the application of ordinary differential equations in the following four aspects:dynamics,simple harmonic motion,boundary value problem and the solution of ordinary differential equation with MATLAB. Key words: Ordinary differential equations; The primary solution; Equations; Dynamics; MATLAB
各类微分方程的解法大全
各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程
令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数
常微分方程初等解法和求解技巧毕业论文
目 录 摘 要 .............................................................. I 关键词 ............................................................. I Abstract ........................................................... I Key words .......................................................... I 1.前 言 (1) 2.常微分方程的求解方法 (1) 2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1) 2.1.1直接可分离变量的微分方程 (2) 2.1.2可化为变量分离方程 (2) 2.2常数变易法 (9) 2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (9) 2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (10) 2.3积分因子法 (16) 3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (17) 3.1几个重要的变换技巧及实例 (18) 3.1.1变dx dy 为dy dx ............................................... 18 3.1.2分项组合法组合原则 (19) 3.1.3积分因子选择 (20) 参考文献 (21) 致 (22)
常微分方程初等解法及其求解技巧 摘要 常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法. 关键词 变量分离法常数变易法积分因子变换技巧 Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly. Key words
常微分方程数值解法
第八章 常微分方程的数值解法 一．内容要点 考虑一阶常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节 点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。 (一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理 对于常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 如果： (1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。 (2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即 2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。 定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。 收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的. (2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件. (3) 初始值y 0是精确的。则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有 0x y y lim k x x kh 0h 0 =--=→)( (一)、主要算法 1．局部截断误差 局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~ +k y 的误差y (x k+1)- 1~ +k y 称为局部截断误差。 注意：y k+1和1~ +k y 的区别。因而局部截断误差与误差e k +1=y (x k +1) -y k +1不同。 如果局部截断误差是O (h p+1),我们就说该数值方法具有p 阶精度。
常微分方程数值解法
常微分方程数值解法 【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。基本模型 1. 发射卫星为什么用三级火箭 2. 人口模型 3. 战争模型 4. 放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来” 的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 1. 改进Euler 法： 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： 【源程序】 1. 改进Euler 法： function [x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun 为函数，(xO, x1)为x 区间，yO 为初始值，n 为子 区间个数 if nargin<5,n=5O;end h=(x1-xO)/n; x(1)=xO;y(1)=yO; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1); y(i+1)=(y1+y2)/2; end 调用command 窗口 f=i nlin e('-2*y+2*x A2+2*x') [x,y]=eulerpro(f,O,,1,1O) 2 x +2x , (0 < x < , y(0) = 1 求解函数y'=-2y+2 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： [t,y]=solver('F',tspan ，y0) 这里solver为ode45, ode23, ode113，输入参数F是用M文件定义的微分方程y'= f (x, y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。 注：ode45和ode23变步长的，采用Runge-Kutta算法。 ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(△ 口人5解 决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。
(完整版)一阶常微分方程初等解法毕业设计46doc
目录 ? ? ? 1 关键 词…… (1) Abstract.................................... . (1) Keywords.................................... ..……… ..1 0 前 ..1 识 (1)
1 预备知 识 (1)
1. 1 变量分离方程........................................................ .2 1. 2 恰当微分方程........................................................ .2 1. 3 积分因子................................................. .... (2) 2 基本方法.................................................... ■■ (2) 2. 1 一般变量分离……………………………………………………………………… .3 2. 2 齐次微分方程 (3) 2. 2 .1 齐次微分方程类型一………………………………………………………… .3 2. 2. 2齐次微分方程类型二........................ ........ (4) 2. 3 常数变易法.............................. .................... (5) 2.3.1常数变易法一 (5) 2.3.2常数变易法二……………………… .………………………… ..…………… ..6 2.4 积分因子求解法....................................... .. (7)
15第十五章 常微分方程的解法
-293- 第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如 22x y dx dy +=。于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 §1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 ?????=≤≤=0 )() ,(y a y b x a y x f dx dy （1） 在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数L ，使得 |||),(),(|y y L y x f y x f ?≤? 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点 b x x x x a N =<<<<=L 210 处的近似值),,2,1(N n y n L =的方法，),,2,1(N n y n L =称为问题（1）的数值解， n n n x x h ?=+1称为由n x 到1+n x 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商h x y x y n n ) ()(1?+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得 )1,,1,0())(,() ()(1?=≈?+N n x y x f h x y x y n n n n L 化简得 ))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+ 如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ， 则有 )1,,1,0() ,(1?=+=+N n y x hf y y n n n n L （2） 这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ?? ?=?=+=+) () 1,,1,0(),(01a y y N n y x hf y y n n n n L （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出N y y y ,,,21L 。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。
(整理)常微分方程数值解法
i.常微分方程初值问题数值解法 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<<<<=L （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-L 方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t L 上的差分解1,,N u u L 。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法 教学目的：使学生会判断基本的一阶微分方程的类型；熟练掌握求解一阶微分方程的基本方法；会利用所学知识解决一些实际问题． 教学内容： 1、变量分离方程与变量变换 变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例． 2、线性方程和常数变易法 线性方程、常数变易法、Bernoulli 方程． 3、恰当方程和积分因子 恰当方程、积分因子法、分项组合法． 4、一阶隐式微分方程与参数表示 一阶隐式微分方程及参数解法． 教学重点：变量分离方程、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程及参数解法． 教学难点：变量变换，积分因子法，分项组合法，建立 微分方程模型。 教学过程： §2.1变量分离方程与变量变换 要求：熟练掌握变量分离方程的解法 本节重点：变量分离方程的解法；难点：变量变换. 2.1.1变量分离方程 )()(y g x f dx dy ?=， 或 )()()()(2121=+dy y N x N dx y M x M 分离变量即可求解． 例1 求解方程 y x dx dy -=. （解为2 x c y -±=）
例2 求解方程 ) ()(by a x dx c x y dx dy -+-=，0,0≥≥y x . （解为k e y e x by a dx c =--） 例3（略） 例4 求解方程 y x P dx dy )(=.（解为?=dx x P ce y )(） 2.1.2可化为变量分离方程的类型 令 x y u =，可化为变量分离的方程 x u u g dx du -= )( 求解． 例5 求解方程 y x y x dx dy tan +=. （解为cx u =sin ，即cx x y =sin ） 例6求解方程 ) 0(2 <=+x y xy dx dy x ，. （解为 ? ? ?>+-+-=0,0)ln(,])[ln(2c x c x x y ）. （2） 可化为齐次方程 . 2 221 11 分三种情况进行求解方程 C y b x a C y b x a dx dy ++++= 当 0 ,2 1=C C 时，可化为齐次方程求解． 当 2 1 ,C C 不全为零时，但0 2 2 11== ?b a b a ，即