线性代数实践课作业

华北水利水电学院

行列式的计算方法

课程名称：线性代数

专业班级：电子信息工程 2012154班

成员组成：

联系方式：

2013年10月27日

摘要：

行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本`最常用的工具.本质上,行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.尤其在讨论方程组的解，矩阵的秩，向量组的线性相关性，方阵的特征向量等问题时发挥着至关重要的作用，所以掌握行列式的计算方法显得尤其重要。

关键词：

行列式，范德蒙行列式，矩阵，特征值，拉普拉斯定理，克拉默法则。

The calculation method of determinant

Abstract:

Determinant is an important research object of linear algebra, is one of the most basic of linear algebra ` the most commonly used tools. In essence, the determinant is described in n dimensional space, a parallel polyhedron volume which is formed by the linear transformation, it is widely used in solving linear equations, the matrix, the calculation of calculus, etc. Especially in the discussion of solving systems of nonlinear equations, matrix rank, vector linear correlation, the problem such as characteristic vector of play a crucial role, so to master the calculation method of determinant is especially important

Key words:

Determinant vandermonde determinant, matrix, eigenvalue, the Laplace's theorem, kramer rule.

正文：

1 引言

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的,它不论是在线性代数，多项式理论还是微积分中都有广泛应用，所以掌握行列式的计算是十分必要的. 为此，我在查阅部分参考资料的基础上,结合自己的学习实践,对行列式的计算总结了十一种方法.常规做法都是用行列式的性质和相关定理来求解.以下是对一些典型类型的行列式的计算，以拓宽行列式的解题思路，下面依次说明其求解方法和过程.

2 行列式的计算方法 2.1 定义法

n 阶行列式的定义展开式式中包含!n 项,当n 较大时，利用定义进行计算就会很麻烦，

只有当行列式中0比较多时考虑利用定义算行列式，这样可以大大减少行列式展开的项数.

计算0

001

00002000010

n n -.

解 根据行列式的定义，行列式展开式的每一项都是n 个元素的乘积，这些元素来自行列式不同的行和不同的列，由于行列式中只有一个非零项!)1(21n n n =?-? ，这一项的

逆序数为1-n ，有计算可得!)1(1

n D n n --=.

2.2 利用行列式的性质计算

例： 一个n 阶行列式n

ij D a =的元素满足,,1,2,

,,ij ji a a i j n =-= 则称D n

为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,

,ii a i n ==

故行列式D n 可表示为1213112

23213

233123000

n n

n n n

n

n

a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '

=，

1213112

23213

2331230000

n n n n n

n

n

a a a a a a D a a a a a a -----=-1213112

23213

23312300(1)00

n n n n n

n

n

a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-

当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

2.3 化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

计算行列式 1

231

1

2123321

2511

3311231 ------=

n n n n n n n n

n n A .

解 首先将行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,再将其第1,2,,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列,则得

()()()!11

020013210

000

1

002000200010001231)

1(1

2

12

1-=-=---=

----n n n n n n n A n n n n

）（

2.4．降阶法（按行（列）展开法）

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地

是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

计算20阶行列式20123181920

2

121718193

2

1

161718201918

3

2

1

D = [分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许

多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。

注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：

解：

11

2020118(1,

(2,

,20)

19)

11111112318192021

1

1112

121718193

111

1

13

2

1

161718191111

1

201918

32120

11

111

1111113

0222240022221(1)221200000221

00

i i

i i i c c r r D ++==-+---=---------=?-?=-?18

2

2.5 递（逆）推公式法

递推法是根据行列式的构造特点，建立起

与

的递推关系式，逐步推下去，

从而求出 的值。 有时也可以找到 与 ， 的递推关系，最后利用 ， 得

到

的值。

［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

计算行列式β

ααββ

αβααββ

ααββ

α+++++=

1

0000010001000

n D .

解：将行列式按第n 列展开,有21)(---+=n n n D D D αββα,

112112(),(),n n n n n n n n D D D D D D D D αβαβαβ-------=--=-

得 n n n n n n D D D D D D βαβ

αβα=-==-=-----)()(122

3221 。 同理得 n n n D D αβ=--1

, ??

???≠--=+=++.,;

,)1(11

βαβ

αβαβααn n n n n D

2.6 利用范德蒙行列式

根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。

计算行列式122221122

12

12121122

111

111n n n

n n n n n n n n

x x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=

++++++

解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到

把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式

1

2

2

2212

1

1

1

112111()n

n i j n i j n n n n

x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==

-∏

2.7．加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。

计算n 阶行列式121

2121

2

n n n n n

x a a a a x a a D a a a a a x a ++=

+

解：110

n

n

n

a a D D =

1211

002,,11

001

n i a a a x i n x x

-=+--第行减第1行

121

10000000

n

j n j a a a a x

x x x

=+=

∑

11n j n

j a x x =??=+ ??

?∑

2.8数学归纳法

当

与

是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归

纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是

用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）

计算n 阶行列式12

2

11000

100

00

1n

n

n n x x D x a a a a a x

----=

-+

解：用数学归纳法. 当n = 2时，21221

1

()x

D x x a a a x a -=

=+++212x a x a =++ 假设n = k 时，有 12

121k k k k k k D x a x a x a x a ---=+++

++

则当n = k +1时，把D k +1按第一列展开，得

11

k k k D xD a ++=+1111

()k k k k k x x a x a x a a --+=++

+++12111k k k k k x a x a x a x a +-+=++

+++

由此，对任意的正整数n ，有1

2121n n n n n n D x a x a x a x a ---=+++++

2.9 拆开法

拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。

计算行列式 n D =

11

2122

1

2

n n n n

a a a a a a a a a λλλ+++

解

：

n D =12

122

1

2

n n n n

a a a a a a a a a λλ++1

222

00

n n n n

a a a a a λλλ+++12200

n n

n

a a a a λλ=

11n D λ-+

1211n n a D λλλ-=+= (12)

11n

i

n i i

a λλλλ=??=+ ???

∑ 2.10数学归纳法

数学归纳法多用于证明题.用数学归纳法计算n 阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算,从中发现规律并得出一般性结论,然后用归纳法证明其正确性.

证明

αα

αααn cos cos 210

00

cos 210001cos 21

0001cos =

.

证明 第二数学归纳法.2=n 时,

α

αcos 21

1cos 2=

D =αα2cos 1cos 22

=-.

结论成立.假设对级数小于n 的行列式,结论成立,则

21cos 2---=n n n D D D α,

由假设

αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n

代入前一式得

]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D n

=αααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---. 故对一切自然数n 结论成立.

2.11利用拉普拉斯展开法

拉普拉斯定理的四种特殊情形

1）

0nn nn mm

mn mm A A B C B =? 2）

nn

nm

nn mm mm

A C A

B B =? 3）

0(1)nn mn nn mm mm

mn

A A

B B

C =-? 4）

(1)0

nm nn mn nn mm mm

C A A B B =-?

计算n 阶行列式n D ,其中

a

b

a b a

b a

b a

a a a D n

ββββ

β

β

β

βββββ

λ

=

.

解 如果从第三行开始每一行都减去第二行,再从第三列开始每一列都加上第二列， 使行列式种更多的元素为零.

先按上述分析对行列式进行变换

β

ββββββ

β

βλ

------=

a a

a a a a a

b

a

a a a D n

00

00

0000

β

βββ

β

β

β

λ

----+-=

a a a n a

b a

a

a

a

n

0000000

0)2()1(

)

2()2(2

20

0000)2(1-?-?---?

-+-=

n n a a a n a b a

n β

βββ

λ

）（

2)()]1()2([--?---+=n a n ab n a ββλλ.

3 结束语

行列式的计算方法有好多种，通过不同种解题方法，可以更好，更快地解决问题，但是在学习过程中要不断地创新总结，探索更好的方法。

参考文献

[1] 线性代数[M].科学出版社, 2007

[2] 胡金德 王飞燕.线性代数辅导[M].北京：清华大学出版社 [3] 徐甫华 张贤科.高等代数解题方法[M].北京：清华大学出版社 分工情况