格林函数()
§2.4 格林函数法 解的积分公式
在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法
为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界
上具有连续一阶导数，而在 T 中具
有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分
??∑
??S
d v u
化成体积积分
.
)(??????????????+?=???=??∑
T
T
T
vdV u vdV u dV v u S d v u
（12-1-1）
这叫作第一格林公式。同理，又有
.
???????????+?=??∑
T
T
vdV u udV v S d u v
（12-1-2）
（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得
,
)()(??????-?=??-?∑
T
dV u v v u S d u v v u
亦即
.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v
u
（12-1-3）
n ??
表示沿边界 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是
)( ),(T r r f u ∈=?
（12-1-4）
第一、第二、第三类边界条件可统一地表为
),( M u n u ?βα=??????+??∑
（12-1-5）
其中
（M ）是区域边界
上的给定函数。＝0， ≠0为第一类边界条件，
≠0，＝0是第二类边界条件，、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的
函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0
）
表示位于r 0
点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0
）应满足方程
).() ,(00r r r r v -=?δ
（12-1-6）
现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4），
u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得
.
)( )(0?????????--=?-?T
T
T
dV r r u vfdV dV
v u u v
δ
（12-1-7）
应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0
点，v 具有 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0
的小体
积，例如半径为 的小球K （图12-1）， 的边界面为
。对于剩下的体积，
格林公式成立，
.)(???????∑∑-??? ????-??+??? ????-??=?-?ε
ε
dS n v u n
u
v dS n v u n u v dV v u u v K T （12-1-8） 把（12-1-8）代入挖去K 的（12-1-7），并注意r ≠r 0，故
（r －r 0
）＝0，于是
.???????-∑∑=??? ????-??+??? ????-??ε
ε
K
T vfdV dS n v u n u
v dS n v u n u v （12-1-9）
当10<<-r r ，方程（12-1-6）的解 v （r ，r 0）—→ 位于点r 0
而电量为 －
的
点电荷的静电场中的电势，即－1／4
0r r -。令 →0，得 （12-1-9）右边—→
,
???T
vfdV
左边的0 4141 0
2→??-=Ω??-=Ω??? ??-??=??=∑∑
∑??????r r n u
d n
u d n u dS n u v
ε
εε
επε
εεπ
左边的).( 141
141022r u d r r u dS r r u dS n
v u -=Ω?-=??? ??-??-=????????∑
∑
∑ε
εε
ππ
（12-1-10）
这样，（12-1-7）成为
. ) ,( )( )
( ) ,( )() ,()(0000?????∑?????
???-??-=dS n r r v r u n r u r r v dV
r f r r v r u T
（12-1-11） （12-1-11）称为泊松方程的基本积分公式。
（12-1-11）将（12-1-4）的解u 用区域 T 上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。那么，能否用（12-1-11）来解决边值问题呢？我们看到，（12-1-11）中
需要同时知道u 及 n u
?? 在边界 上的值，但是，在第一边值问题中，已知的只
是 u 在边界 上的值；在第二边值问题中，已知的只是 n u
?? 在边界上的值。在第三边值问题中，已知的是u 和 n u
??的一个线性关系在边界 上的值，三类边界条件均未同时分别给出u 和 n u
?? 的边界 上的值。因此，我们还不能直接
利用（12-1-11）解决三类边值问题。
其实，这里距离问题的解决已经很近了。原来，对于函数v （r ，r 0
），我们还只
考虑其满足方程（12-1-6）。如果我们对v （r ，r 0
）提出适当的边界条件，则上述困
难就得以解决。
对于第一边值问题，u 在边界 上的值是已知的函数 （M ）。如果要求v 满
足齐次的第一类边界条件
,0=∑v
（12-1-12）
则（12-1-11）中含 n u ?? 的一项等于零。从而不需要知道 n u
?? 在边界 上的值。
满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-12）的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数，用G （r ，r 0）表示。这样，（12-1-11）式成为
.
) ,()()() ,()(000?????∑??+=dS n r r G r dV r f r r G r u T
? （12-1-13）
对于第三边值问题，令v 满足齐次的第三类边界条件，
.0 =???
???+??∑v n v βα
（12-1-14）
满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-14）的解称为泊松方程第三类边值问题的格林函数，也用G （r ，r 0
）表示。以G （r ，r 0
）乘（12-1-5）式两边，得
. ?βαG u G n u G =??????+??∑
又以 u 乘（12-1-14），并以 G 代替其中的 v ，得
.0 =???
???+??∑u G n G u βα
将这两式相减，得
. ?αG n G u n u G =????????-??∑
将此式代入（12-1-11），得
.
)() ,(1)() ,()(000?????∑
-=dS r r r G dV r f r r G r u T
?α
（12-1-15）
至于第二边值问题，表面看来，似乎可以按上述同样的办法来解决，即令G 为定解问题
),(0r r G
-=?δ
（12-1-16）
0=??∑
n G
（12-1-17）
的解，而由（12-1-11）得到
.
)() ,()() ,()(000?????∑
-=dS r r r G dV r f r r G r u T
? （12-1-18）
可是，定解问题（12-1-16）～（12-1-17）的解不存在。这在物理上是容易理解的：不妨把这个格林函数看作温度分布。泛定方程（12-1-16）右边的 函数表
明在
所围区域 T 中有一个点热源。边界条件（12-1-17）表明边界是绝热的。
点热源不停地放也热量。而热量又不能经由边界散发出去，T 里的温度必然要不停地升高，其分布不可能是稳定的。这就需要引入推广的格林函数。对于三维空间，
,1)()()(000T V z z y y x x G -
---=?δδδ
.0=??∑
n G
式中V T 是T 的体积。对于二维空间，
,1)()(00T A y y x x G ---=?δδ
.0=??∑
n G
式中 A T 是 T 的面积，方程右边添加的项是均匀分布的热汇密度，这些热汇的总体恰好吸收了点热源所放出的热量，不多也不少。
（12-1-13）和（12-1-15）的物理解释有一个困难。公式左边u 的宗量r 0
表明
观测点在r 0
，而右边积分中的f （r ）表示源在r ，可是，格林函数G （r ，r 0
）所代
表的是r 0
的点源在r 点产生的场。这个困难如何解决呢？原来，这个问题里的格林
函数具有对称性G （r ，r 0
）＝G （r 0
，r ），将（12-1-13）和（12-1-15）中的r 和r
对调，并利用格林函数的对称性，（12-1-13）成为
,
) ,()()() ,()(0000000?????∑
??+=dS n r r G r dV r f r r G r u T
? （12-1-19）
这就是第一边值问题解的积分表示式。（12-1-15）成为
,
)() ,(1)() ,()(000000?????∑
-=dS r r r G dV r f r r G r u T
?α
（12-1-20）
这就是第三边值问题解的积分表示式。
（12-1-19）和（12-1-20）的物理意义就很清楚了，右边第一个积分表示区域
T 中分布的源f （r 0
）在r 点产生的场的总和。第二个积分则代表边界上的状况对r
点场的影响的总和。两项积分中的格林函数相同。这正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场。
现在来证明格林函数的对称性。在 T 中任取两个定点r 1和r 2。以这两点为中心，各作半径为
的球面
1和
2
。从 T 挖去
1
和
2
所围的球K 1和K 2。在剩
下的区域T －K 1－K 2上，G （r ，r 1）和G （r ，r 2）并无奇点。以u ＝G （r ，r 1），v ＝G
（r ，r 2）代入格林公式（12-1-3）
?????
--∑+∑+∑?-?=??? ????-??2
1
2
1)(K
K T dV
u v v u dS n u v n v
u
由于G （r ，r 1）和G （r ，r 2）是调和函数，上式右边为零。又由于格林函数的边界条件，上式左边
??∑
=0
。这样
.02
1
=??? ????-??+??? ????-??????∑∑dS n u v n v
u dS n u v n v u
令 →0，上式成为0－v （r 1）＋u （r 2）－0＝0，即G （r 1，r 2）＝G （r 2，r 1）。
对于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右边的 f （r ）≡0，这时，我们只要令（12-1-19）和（12-1-20）两式右边的体积分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一边值问题的解
??∑
??=0
000) ,()()(dS n r r G r r u
?
（12-1-21）
以及第三边值问题的解
??∑
-=0
00)() ,(1)(dS r r r G r u
?α
（12-1-22）
我们看到，借助格林公式，也可利用格林函数方法得到齐次方程定解问题的解。
二、用电像法求格林函数
（一）无界空间的格林函数 基本解
从§12.1讨论可知，确定了G ，就能利用积分表式求得泊松方程边值问题的解。虽然，求格林函数的问题本身也是边值问题，但这是特殊的边值问题，其求解比一般边值问题简单。特别是对于无界区域的情形，常常还可以得到有限形式的解。无界区域的格林函数称为相应方程的基本解。
格林函数法求解场的问题
格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： Heat Eq.： ()2222 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρε?=-=- 表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势： () ' '0 4r d V r r ρφπεΩ=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Green ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题： ()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβ???=-??? ????+=??????? 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ 代表自由电荷密度。
格林函数
在线性媒质中，任意分布的简谐(或稳恒)源所激励的场，都可以化为单位点源所激励的场的线性组合。在确定的媒质和边界条件下，单位点源所激励的场矢量或势函数就称为该条件下场或势的格林函数。它们是场点位置矢径r和源点位置矢径r′的函数。电磁场边值问题的解可以表示成源函数与格林函数乘积的积分。 标量格林函数在均匀无界媒质中，自由电荷密度ρ所产生的标势φ在洛伦兹规范下满足方程 (1) 式中k2=ω2εμ，该标势的格林函数G(r，r′)应满足方程 (2) 式中2对r点的坐标作运算,δ(r－r′)是集中作用在r′点的狄拉克δ-函数。此方程的解是 (3) 由此可得标势的解是下列对r′的坐标的积分 (4) 当媒质为分区均匀时,在分界面上G应满足与φ相同的连续性条件。设G＝G0+G1,其中G1表示分界面的影响，且在r→r′时应为有限值。例如在理想导体平表面S的上半空间中的格林函数为 (5) 式中第一项即为G0，第二项表示导体表面的影响，r媴是r′关于平表面的镜象点。 如果均匀媒质空间V被闭曲面S0所包围,应用格林第二公式，并利用格林函数的对称性G(r′,r)＝G(r,r′)，可得 (6) 为了消除面积分中的未知项，应当根据φ的已知边界条件来规定G的边界条件，具体来说，当已知φ或或的边界值时，应相应地规定 例如，V是无限大平面S的上半空间,已知V内的源分布ρ和S上的φ值，利用格林函数（5）式并注意到以及对于S上的源点r i=r，有 和
于是 (7) 并矢格林函数以上的讨论也适合场或矢势的各直角坐标分量。对于矢量源函数，通常将r′点的源矢量分解为三个正交分量,分别求出在r点的场或势。于是对于电场和磁场矢量，共有6个矢量格林函数，采用并矢记法，则可合并为两个并矢格林函数。 设在r′点放置的电流源J，它的三个分别沿正交单位矢量e媴(i=1,2,3)的电偶极矩为 (8) 则体积V中的电流源J(r′)所产生的电场为 (9) 记电场和磁场的电并矢格林函数分别是 (10) 则(9)式可写成并矢的形式 (11) 一般情况下，沿e媴方向的电偶极矩所产生的电场E e(e媴)应满足方程 (12) 对应有电并矢格林函数的方程 (13) 和关系式 (14) 在无界均匀媒质中 (15) 对应有电并矢格林函数 (16)
数学物理方法试卷(全答案).doc
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
格林函数()
§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具 有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u 亦即
.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=? （12-1-4） 第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 ),( M u n u ?βα=??????+??∑ （12-1-5） 其中 （M ）是区域边界 上的给定函数。＝0， ≠0为第一类边界条件， ≠0，＝0是第二类边界条件，、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0 ） 表示位于r 0 点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0 ）应满足方程 ).() ,(00r r r r v -=?δ （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4）， u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得 . )( )(0?????????--=?-?T T T dV r r u vfdV dV v u u v δ （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0 点，v 具有 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0 的小体 积，例如半径为 的小球K （图12-1）， 的边界面为 。对于剩下的体积，
格林函数与输运
《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运 内容提要：1概述； 2单粒子性质的格林函数表述； 3用格林函数推导迁移率中1-α项 1概述 1． 1金属中电子输运特性 对于金属 * m e τμ- =， μσ0en -=， τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记 忆。输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等： ∑=--i i 11ττ 即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。 绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。 上述金属中的杂质不含磁性杂质。磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。 1． 2半导体输运特性 半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。光学波也通过两种方式散射电子：二种不
数学物理方法课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲 （供物理专业试用） 课程编码：140612090 学时：64 学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课 先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演） 一、课程性质、任务 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、课程基本内容及课时分配 第一篇复数函数论 第一章复变函数（10） 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 第二章复变函数的积分（7） 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 第三章幂级数展开（9） 教学内容：
数学物理方法 课程教学大纲
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法解析函数
第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念及哥西-黎曼条件 一 导数的定义 定义 2.1. 设函数()w f z =在区域D 上有定义，且z 及z z +?均属于D ，如果 0()()lim z f z z f z z ?→+?-? 2.1 存在，则称此极限为函数()f z 在z 点的导数，记为()df z dz 或'()f z . 这时称函数()f z 在z 点可微. 例1. ()n f z z =在复平面上每点均可微，且 1n n d z nz dz -=. 事实上，对固定的点z ，有 121100()(1)lim lim[()]2n n n n n n z z z z z n n nz z z z nz z ----?→?→+?--=+?++?=?. 例2. ()f z z =在复平面上均不可微. 事实上， z z z z z z z z z z +?-+?-?==???. 当0z ?→时，上式的极限不存在. 因为当z ?取实数而趋于0时，它趋于1，当z ?取纯虚数而趋于0时，它趋于1-. 函数在一点可微，则它在该点必连续，反之不一定正确. 例如函数()f z z =，由000 lim ()lim ()lim ()()z z z f z z z z z z z f z ?→?→?→+?=+?=?+==，知它在复平面上处处连续，但由例2知它处处不可微.
若函数(),()f z g z 在区域D 上z 点可微，则其和，差，积，商（要求分母不为0）在区域D 上z 点可微，且有如下的求导法则： [()()]''()'()f z g z f z g z ±=±， [()()]''()()()'()f z g z f z g z f z g z =+， 2 ()'()()()'()[]'(()0)()[()]f z f z g z f z g z g z g z g z -=≠. 二 哥西---黎曼条件 现在，我们来研究复变函数()f z 在点z 可微的必要条件和充分条件. 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在一点可微，也就是说， 0()()lim '()z f z z f z f z z ?→+?-=?. 2.2 令,()()z x i y f z z f z u i v ?=?+?+?-=?+?，其中 (,)(,)u u x x y y u x y ?=+?+?-， (,)(,)v v x x y y v x y ?=+?+?-， 则前式变为 00lim '()x y u i v f z x i y ?→?→?+?=?+?. 因为z x i y ?=?+?无论按什么方式趋于0，(2.2)式总是成立的.可先让 0,0,x y ?→?=即变点z z +?沿平行于实轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为 00lim lim '()x x u v i f z x x ?→?→??+=??. 于是知道,u v x x ????必存在，且 '().u v f z i x x ??=+?? 2.3 同样，让0,0,y x ?→?=即变点z z +?沿平行于虚轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为
第四章 Laplace方程的格林函数法
第四章 Laplace 方程的格林函数法 在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法—分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍Laplace 方程的格林函数法。先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立Laplace 方程第一边值问题解的积分表达式。 §4.1 Laplace 方程边值问题的提法 在第一章，从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维Laplace 方程 2 2 2 2 2 2 2 u u u u u x y z ????=?≡ + + =??? 作为描述稳定和平衡等物理现象的Laplace 方程，它不能提初始条件。至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。 （1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一个区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ（或记作Ω）上连续，在Ω内有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即 u f Γ = （4.1） 第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。
Laplace 方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足Laplace 方程的连续函数，称为调和函数。所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。 （2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在 Ω+Γ 上连续，在Γ上任一点处法向导数 u n ??存在，并且等于已知函数f 在该点的值： u f n Γ ?=? （4.2） 这里n 是Γ的外法向矢量。 第二边值问题也称纽曼（Neumann ）问题。 以上两个问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部要求满足Laplace 方程的解，这样的问题称为内问题。 在应用中我们还会遇到Dirichlet 问题和Neumann 问题的另一种提法。例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件u f Γ =，这里Γ是Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布。像这样的定解问题称为Laplace 方程的外问题。 由于Laplace 方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于电学上总是假定无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加如下条件： lim (,,)0(r u x y z r →∞ == （4.3） （3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
【最新】数学物理方法试卷(全答案)
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞-) ()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3 sin 3 cos 2 3 1cos sin 2 32 1isin cos 2 2 2 π π ??ρ??ρi i i +=++=+= + 指数形式：由三角形式得：3 1 3 πρπ?i e z === 7、求函数2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
格林函数(免费)
§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u ? 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u ? （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v ? （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u ? 亦即 .)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=?? ? （12-1-4）
数学物理方法大总结
数学物理方法 一、填空题 1、Г函数为：Г(x)= 0,10 >-∞ -? x dt t e x t ；又称为第二类欧拉积分的为： 0Re ,)(10 >=Γ-∞ -?z dt t e z z t 。 2、B 函 数（又称为第一类欧拉积分）为： 0Re ;0Re )1(),(110 1>>-=--?q p dt t t q p B q p ，；B 函数与Г函数之间的重要关系为：) () ()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ= 3、勒让德P l (x)的母函数：1)(211 1),(0 2<=+-==∑∞ =t t x P t tx d t x v l l l ，（B 卷） 4、贝塞尔J n (x)的母函数：∑∞ ∞ --=n n t t x t x J e )()1 (2；其积分形式为： dt t e i x J l n t t x n ?+-= 1)1 (221)(π（B 卷） 5、球阶函数： ?θπ?θ?θim m l m M l m l l l l l m l e p m l m l l Y y r d r c u )(cos )! ()!(412)1(),(),()1(,1 ,+-+-=+=+，其中 6、=-?l n a z dz )(? ??≠=的整数）是0(0)1(2n n n i π 7、S —L 方程表现形式： 0)()(])([=+-y x y x q dx dy x k dx d λρ 8、复数=-)4ln()2(4ln ππk i ++ 9、=+??∞ ∞-)6 (sin π δx x 216sin -=-π 10、复数=i cos 2 1 1--e e
格林函数以及拉普拉斯方程
格林函数 格林函数的概念及其物理意义 格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。 从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。 物体中的温度分布随时间的变化是由于热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些热作用都可以看做广义上的热源。从时间的概念上说，热源可以使连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为瞬时作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为点热源、线热源和面热源。在各种不同种类的热源中，瞬时点热源虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为在其他的各种热源都可以看作是许多瞬时热源的集合，即把空间中的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源，在特定的几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格（Green)函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场叠加得到，数学上即成为某种几分。这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程，对于一维、二维和三维问题的解在形式上都可以表示的非常紧凑，而且解的物理意义比较清楚。格林函数法可以来求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆形的偏微分方程（如带有热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程（如力学中的震动问题）。在此仅讨论用格林函数法求解非稳态导热问题。 用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，而格林函数的形式取决于特定问题的具体条件，包括几何条件（即有限大、半无限大或无限大）、边界条件和坐标系的选取。因此用格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数。本方法的第二个要点是确定有热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数的关系。本节从几个较简单的例子开始介绍格林函数法在解决稳态导热问题中的应用，再推广到更为一般的情况。 “瞬时”和“点”热源的概念在数学上都可用狄克拉δ分布函数，简称δ函数，来表示。δ函数的定义为
格林函数法
§3.4 格林函数法 利用一个点电荷的边值问题的解，可以解决同类边值问题：对于给定空间区域V 内的电荷分布ρ和V 的边界S 上（第一类边值问题）各点的电势S ?，或者（第二类边值问题）各点的电场法向分量S n ???。 静电场的电势函数满足泊松（Simeon Denis Poisson, 1781-1840）方程 20 ρ ?ε?=? 其中()r ρG 为电荷密度。位于r ′G 处的单位点电荷的密度分布函数为()r r δ′?G G ，它所产生的静电势(,)G r r ′G G 满足类似的微分方程 2 ()(,)r r G r r δε′?′?=?G G G G ， (3.15) 和相应的边条件。以此Green 函数取代格林公式(0.12)中的函数()r ψG ，可得积分方程 0()(,)()(,)()(,)(),V S r G r r r G r r r dV G r r r dS n n ??ρε?′′????′′′′′′=+???′′??? ?∫∫∫∫∫G G G G G G G G G G w (3.16) 第一类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电势为零的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第一类Green 函数，记为1(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第一类边值问题的解，即 0(,)()(,)()().V S G r r r G r r r dV r dS n ?ρε?′?′′′′′=?′?∫∫∫∫∫G G G G G G G w (3.17) 第二类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电场法线分量为常数01 S ε的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第二类Green 函数，记为2(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第二类边值问题的解，即 0()1()(,)()(,)().V S S r r G r r r dV G r r dS r dS n S ??ρε?′?′′′′′′′=++′?∫∫∫∫∫∫∫G G G G G G G G w w (3.18) 【无界空间的格林函数】（P58） 【半无限空间的格林函数】（P59） 【球外空间的格林函数】（P60） 【球内空间的格林函数】（补充题）
数学物理方法知识点归纳
第一章 复述和复变函数 1.5连续 若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且 )()(0lim z f z f z z =→， 则称f(z)在0z 点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 ???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22x u ??+2 2y u ??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分 ?B A dz z f )(的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。 ?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理： ???? ΓΓΓΓ+++=n i i i e dz z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2 1 推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ -= dz a z z f i a f ) (21)(π其中Γ是境 界线。 2.5柯西导数公式 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-= 1)() () (2!)( 第三章 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑∞ =0 )(k k z u 在境 界Γ上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数
§10 格林函数法求解稳定场问题
第十讲 格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： 热传导方程（Heat Eq.）： ()2 22 2 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场 u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρ ε?=-=- 表示静电场 u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：
() ' ' ' 04V r dV r r ρ φπε=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Grenn ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。 （我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中的应用。） 普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions. 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：
格林函数
格林函数 这是一篇关于格林函数经典解法的文章。从现代的讨论中寻求根本的解法。在数学中，格林函数是一种用来解有边界条件的非齐次微分方程式的函数。 在多体理论中，这一术语也被应用于物理中，特别在量子场论，电动力学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。 格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第一个提出这个概念的人。 在线性偏微分方程的现代研究中，格林函数主要用于研究基本解。 内容 1、定义及用法 2、动机 3、非齐次边值问题的求解 3.1、研究框架 3.2、定理 4、寻求格林函数 4.1、特征矢量展开 5、拉普拉斯算子的格林函数 6、范例 7、其他举例 定义及用法 技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着一个在流形M 中作用的线性算子L ，为以下方程式的解： )(),(s x s x LG -=δ (1) 其中δ为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程： )()(x f x Lu = (2) 若L 的核是非平凡的，则格林函数不只一个。不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只需是一种数学分布即可，不一定要具有一般函数的特性。 格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高
的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。其方程如下： )(),(s x s x LG --=δ 这一定义并不显著改变格林函数的任何性质。如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成一个卷积算，即为： )(),(s x G s x G -= 在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。 动机 若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得： )()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ 由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此： ds s f s x LG x Lu )(),()(?= 由于算符 L 为线式，且只对变量x 作用，不对被积分的变量 s 作用），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得： ))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?= 而以下的式子也会成立： ds s f s x G x u )(),()(?= (3) 因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以用上述的方式得到)(x u 。换句话说，(2)式的解)(x u 可以由(3)式的积分得到。若可以找到满足(1)式的格林函数G ，就可以求出)(x u 。 并非所有的算符L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论,(3)式的积分也很难求解，因此