格林函数
§2.4 格林函数法 解的积分公式
在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法
为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 化成体积积分
.
)(??????????????+?=???=??∑
T
T
T
vdV u vdV u dV v u S d v u ?
（12-1-1）
这叫作第一格林公式。同理，又有
.
???????????+?=??∑
T
T
vdV u udV v S d u v ?
（12-1-2）
（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 亦即
.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v
u
（12-1-3）
n ??
表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是
)( ),(T r r f u ∈=??
?
（12-1-4）
第一、第二、第三类边界条件可统一地表为
),( M u n u ?βα=??????+??∑
（12-1-5）
其中 ?（M ）是区域边界 ∑ 上的给定函数。α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 δ 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0）表示位于r 0点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0）应满足方程
).() ,(00r r r r v ????-=?δ
（12-1-6）
现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4），u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得
.
)( )(0?????????--=?-?T
T
T
dV r r u vfdV dV
v u u v ?
?δ （12-1-7）
应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0点，?v 具有δ 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0的小体积，例如半径为 ε 的小球K ε（图12-1），∑ε 的边界面为∑ε 。对于剩下的体积，格林公式成立，
.)(???????∑∑-??? ????-??+??? ????-??=?-?ε
ε
dS n v u n
u
v dS n v u n u v dV v u u v K T （12-1-8） 把（12-1-8）代入挖去K ε 的（12-1-7），并注意r ≠r 0，故 δ（r －r 0）＝0，于是
.???????-∑∑=??? ????-??+??? ????-??ε
ε
K
T vfdV dS n v u n u
v dS n v u n u v （12-1-9）
当10<<-r r ?
?，方程（12-1-6）的解 v （r ，r 0）—→ 位于点r 0而电量为 －ε 0 的点电荷的静电场中的电势，即－1／4π0r r ??-。令 ε →0，得
（12-1-9）右边—→
,
???T
vfdV
左边的0 4141 0
2→??-=Ω??-=Ω??? ??-??=??=∑∑
∑??????r r n u
d n
u d n u dS n u v ε
εε
επε
εεπ
左边的).( 141
141022r u d r r u
dS r r u dS n v u
?
-=Ω?-=??? ??-??-=????????∑∑
∑ε
ε
ε
ππ
（12-1-10）
这样，（12-1-7）成为
. ) ,( )( )
( ) ,( )() ,()(0000?????∑?????
???-??-=dS n r r v r u n r u r r v dV
r f r r v r u T
????
???
??? （12-1-11） （12-1-11）称为泊松方程的基本积分公式。
（12-1-11）将（12-1-4）的解u 用区域 T 上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。那么，能否用（12-1-11）来解决边值问题呢？我们看到，（12-1-11）中需
要同时知道u 及 n u
?? 在边界 ∑ 上的值，但是，在第一边值问题中，已知的只是 u 在边界 ∑ 上的值；在第二边值问题中，已知的只是 n u
?? 在边界∑上的值。在第三边值问题中，已知的是u 和 n u
??的一个线性关系在边界 ∑ 上的值，三类边界条件均未同时分别给出u 和 n u
?? 的边界 ∑ 上的值。因此，我们还不能直接利用
（12-1-11）解决三类边值问题。
其实，这里距离问题的解决已经很近了。原来，对于函数v （r ，r 0），我们还只考虑其满足方程（12-1-6）。如果我们对v （r ，r 0）提出适当的边界条件，则上述困难就得以解决。
对于第一边值问题，u 在边界 ∑ 上的值是已知的函数 ?（M ）。如果要求v 满足齐次的第一类边界条件
,0=∑v
（12-1-12）
则（12-1-11）中含 n u ?? 的一项等于零。从而不需要知道 n u
?? 在边界 ∑ 上的值。
满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-12）的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数，用G （r ，r 0）表示。这样，（12-1-11）式成为
.
) ,()()() ,()(000?????∑??+=dS n r r G r dV r f r r G r u T ?
??????? （12-1-13）
对于第三边值问题，令v 满足齐次的第三类边界条件，
.0 =???
???+??∑v n v βα
（12-1-14）
满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-14）的解称为泊松方程第三类边值问题的格林函数，也用G （r ，r 0）表示。以G （r ，r 0）乘（12-1-5）式两边，得 又以 u 乘（12-1-14），并以 G 代替其中的 v ，得 将这两式相减，得 将此式代入（12-1-11），得
.
)() ,(1)() ,()(000?????∑
-=dS r r r G dV r f r r G r u T
?
???????α
（12-1-15）
至于第二边值问题，表面看来，似乎可以按上述同样的办法来解决，即令G 为定解问题
),(0r r G ?
?-=?δ
（12-1-16）
0=??∑
n G
（12-1-17）
的解，而由（12-1-11）得到
.
)() ,()() ,()(000?????∑
-=dS r r r G dV r f r r G r u T
???????? （12-1-18）
可是，定解问题（12-1-16）～（12-1-17）的解不存在。这在物理上是容易理解的：不妨把这个格林函数看作温度分布。泛定方程（12-1-16）右边的 δ 函数表明在 ∑ 所围区域 T 中有一个点热源。边界条件（12-1-17）表明边界是绝热的。点热源不停地放也热量。而热量又不能经由边界散发出去，T 里的温度必然要不停地升高，其分布不可能是稳定的。这就需要引入推广的格林函数。对于三维空间， 式中V T 是T 的体积。对于二维空间，
式中 A T 是 T 的面积，方程右边添加的项是均匀分布的热汇密度，这些热汇的总体恰好吸收了点热源所放出的热量，不多也不少。
（12-1-13）和（12-1-15）的物理解释有一个困难。公式左边u 的宗量r 0 表明观测点在r 0，而右边积分中的f （r ）表示源在r ，可是，格林函数G （r ，r 0）所代表的是r 0的点源在r 点产生的场。这个困难如何解决呢？原来，这个问题里的格林函数具有对称性G （r ，r 0）＝G （r 0，r ），将（12-1-13）和（12-1-15）中的r 和r 0对调，并利用格林函数的对称性，（12-1-13）成为
,
) ,()()() ,()(0000000?????∑
??+=dS n r r G r dV r f r r G r u T ?
??????? （12-1-19）
这就是第一边值问题解的积分表示式。（12-1-15）成为
,
)() ,(1)() ,()(000000?????∑
-=dS r r r G dV r f r r G r u T
?
???????α
（12-1-20）
这就是第三边值问题解的积分表示式。
（12-1-19）和（12-1-20）的物理意义就很清楚了，右边第一个积分表示区域T 中分布的源f （r 0）在r 点产生的场的总和。第二个积分则代表边界上的状况对r 点
场的影响的总和。两项积分中的格林函数相同。这正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场。
现在来证明格林函数的对称性。在 T 中任取两个定点r 1和r 2。以这两点为中心，各作半径为 ε 的球面 ∑ 1和 ∑ 2。从 T 挖去 ∑ 1和 ∑ 2 所围的球K 1和K 2。在剩下的区域T －K 1－K 2上，G （r ，r 1）和G （r ，r 2）并无奇点。以u ＝G （r ，r 1），v ＝G （r ，r 2）代入格林公式（12-1-3）
由于G （r ，r 1）和G （r ，r 2）是调和函数，上式右边为零。又由于格林函数的边界条件，上式左边
??∑
=0
。这样
令ε →0，上式成为0－v （r 1）＋u （r 2）－0＝0，即G （r 1，r 2）＝G （r 2，r 1）。
对于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右边的 f （r ）≡0，这时，我们只要令（12-1-19）和（12-1-20）两式右边的体积分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一边值问题的解
??∑
??=0
000) ,()()(dS n r r G r r u ?
????
（12-1-21）
以及第三边值问题的解
??∑
-=0
00)() ,(1)(dS r r r G r u ?
????α
（12-1-22）
我们看到，借助格林公式，也可利用格林函数方法得到齐次方程定解问题的解。
二、用电像法求格林函数
（一）无界空间的格林函数 基本解
从§12.1讨论可知，确定了G ，就能利用积分表式求得泊松方程边值问题的解。虽然，求格林函数的问题本身也是边值问题，但这是特殊的边值问题，其求解比一般边值问题简单。特别是对于无界区域的情形，常常还可以得到有限形式的解。无界区域的格林函数称为相应方程的基本解。
我们将一个一般边值问题的格林函数 G 分成两部分
.10G G G +=
（12-2-1）
其中G 0是基本解。对于三维泊松方程，即G 0满足
).(00r r G ?
?-=?δ
（12-2-2）
G 1则满足相应的齐次方程（拉普拉斯方程）
01=?G
（12-2-3）
及相应的边界条件。例如在第一边值问题中，
0=∑G ，从而有
.)(001∑∑∑-=-=G G G G
（12-2-4）
拉普拉斯方程（12-2-3）的边值问题的求解是熟知的。至于方程（12-2-2），它描述的是点r 0的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点r 0电量为－ε
0的点电荷在无界空间中所产生电场的r 点的电势，即00
4/1r r G ?
?--=π。
现在再给出（12-2-2）的一种解法。先假设点源位于坐标原点，由于区域是无界的，点源产生的场应与方向无关，如果选取球坐标（r ，θ，?），则G 0只是r 的函数，方程（12-2-2）变成一个常微分方程，当r ≠0时，G 0满足拉普拉斯方程
,01022
=???
??dr dG r dr d r
（12-2-5）
其解为
.21
0C r C G +-
=
（12-2-6）
令无穷远处G 0＝0，于是C 2＝0。为了求出C 1，将方程（12-2-2）在包含r 0＝0的区域作体积分，这个区域可取为以 r 0＝0为球心，半径为 ε 的小球 K ε ，其边界面为
∑ ε（参见图12-1），
利用（12-1-3）（令其中的u ≡1），将上式右边体积分化成面积分。
则
π41
1=
C ，从而
若电荷位于任意点r 0，则
.
141) ,(000r r r r G ???
?--=π
（12-2-7）
类似地，用平面极坐标可求得二维泊松方程的基本解
.
1ln 21) ,(000r r r r G ???
?--=π
（12-2-8）
（二）用电像法求格林函数
让我们来考虑这样一个物理问题。设在一接地导体球内的M 0（r 0）点放置一带电量为 －ε 0的点电荷。则球内电势满足泊松方程
),(0r r G ?
?-=?δ
（12-2-9）
边界条件是
.0=球面G
（12-2-10）
此处G 便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知道，在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所产生的电势之和。因此，我们可将G 写成两部分之和
,10G G G +=
（12-2-11）
其中G 0是不考虑球面边界影响的电势，G 1则是感应电荷引起的。由前面的讨论可知，G 0满足
),(00r r G ?
?-=?δ
（12-2-12）
从而G 1满足
01=?G
（12-2-13）
以及边界条件
.
)(001球面球面球面G G G G -=-= （12-2-14）
这样，G 0就是基本解，000
4/1) ,(r r r r G ????--=π。至于G 1则可从方程（12-2-13）及边界条件（12-1-14）用分离变数等方法求得。但这样得到的解往往是无穷级数。现在介绍另一种方法—— 电像法，用电像法可以得到有限形式的解。
电像法的基本思想是用另一设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得G 1的类似于G 0的有限形式的解。显然，这一等效点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内的场满足（12-2-13），即球内是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于OM 0 的延长线上的某点M 1，记等效电荷的电量为q ，其在空间任意点M
（r ）引起的电势是 1011
4/) ,(r r q r r G ????-=πε。若将场点取在球面上的P 点，如图12-2所示，则 ?OPM 0和 ?OM 1P 具有公共角 ∠POM 1，如果按比例关系 r 0∶a ＝a ∶r 1（a 为球的半径）选定M 1（这M 1必在球外），则 ?OPM 0 跟 ?OM 1P 相似，从
而
球面上
01r r ??-∶
11
1r r r =-球面上?
?∶.1a
因此，若取 00/r a q ε=，则球面上的总电势是
正好满足边界条件（12-2-10）。这个设想的位于M 1点的等效点电荷称为M 0点点电荷的电像。这样，球内任一点的总电势是
.1
41141 141141) ,(0
20
2
001000r r a r r a r r r r r a r r r r G ?
????
????
?-+--=-+--=ππππ
（12-2-15）
§10.1例6求出球外点电荷的电像（在球内），读者不妨把这两种情况中的电像加以对比。
若M 0（r 0）为圆内的一点，则圆内泊松方程第一边值问题的格林函数满足
),(0r r G ?
?-=?δ
（12-2-16） .0=圆周上G
（12-2-17）
这个问题也可用电像法求解，结果是
,
ln 211ln 211ln 21) ,(0100r a r r r r r r G πππ+-+--=?????
? （12-2-18）
式中a 为圆的半径。
例1 在球r ＝a 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 解 前面已用电像法求得球的第一边值问题的格林函数 把它代入第一边值问题的解的积分公式（12-1-13）就行了。
为了把G （r ，r 0）代入（12-1-19），还必须先算出∑??n G
。引用球坐标系，极点
就取在球心。
,cos 21
12
0020r rr r r r +Θ-=-??
（12-2-19）
其中Θ是矢径r 跟r 0之间的夹角， 计算法向导数
分子里的cos Θ 可利用（12-2-19）消去， 同理， 于是
代入（12-1-13），得到球的第一边值问题的解的积分公式 作代换) , ,() , ,(000?θ?θr r ?： 这叫作球的泊松积分。
例2 在半空间 z ＞0内求解拉普拉斯方程的第一边值问题
解 先求格林函数G （r ，r 0）
这相当于接地导体平面z ＝0上方的电势，在点M 0（x ，y ，z ）放置着电量为－ε 0的点电荷。这电势可用电像法求得。
设想在M 0的对称点M 1（x 0，y 0，－z 0）放置电量为＋ε 0的点电荷，不难验证，在两个点电荷的电场中，平面z ＝0上的电势确实是零。在点M 1的点电荷就是电像。格林函数
.)
()()(1
41 )()()(141 1
41141) ,(2
020*********
00z z y y x x z z y y x x r r r r r r G ++-+-+-+-+--
=-+--=ππππ?
??? 为了把G （r ，r 0）代入第一
边值问题的解的积分公式（12-1-13），需要先计算0 =??z n G
即
=??-
z z G
。
代入（12-1-13）即得半空间的第一边值问题的解的积分公式
[]??∞∞-∞
∞-+-+-=dxdy z y y x x z y x f z y x u 2
/32020200000)()() ,(21 )
, ,(π
（12-2-21）
作代换) , ,() , ,(000z y x z y x ? 这叫作半空间的泊松积分。
例3 在圆ρ＝a 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 答案
.)()cos(21
2) ,(20
002
022
2?
+---=
π
??ρ??ρπ
ρ?ρd f a a a u （12-2-22）
例4 在半平面y ＞0内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 答案
.)()(1
) ,(002
20?∞
∞-+-=dx x f y x x y
y x u π
（12-2-23）
三、含时间的格林函数
§12.1～§12.2讨论的是稳定场问题的格林函数方法。至于波动与输运这类含时间的问题，同样可以运用格林函数方法求解。本节以波动问题为例介绍含时间的格林函数，并导出波动方程定解问题解的积分表式；对于输运问题，亦给出相应的结果。
一般强迫振动的定解问题是
), ,(2t r f u a u tt ?
=?-
（12-3-1）
), ,(t M u n u θβα=???
??+??∑
（12-3-2） ).( ),(0
0r u r u t t
t ??
ψ?====
（12-3-3）
§5.3中曾指出，持续作用的力f （r ，t ）可年作是前后相继的脉冲力f （r ，τ）δ（t －τ）d τ 的叠加。现在我们再进一步将一个个连续分布于空间的脉冲力看作是鳞次栉比排列在许许多多点上的力的叠加。总之，把持续作用的连续分布力f （r ，t ）看作是许许多多脉冲点力的叠加
.
)()() ,() ,(000????--=T
t d r d t r r r f t r f ττδδτ?
???? （12-3-4）
把单位脉冲点力所引起的振动记作G （r ，t ；r 0，t 0），称之为波动问题的格林函数。求得了G ，就可用叠加的方法求出任意力f （r ，t ）所引起的振动。G 所满足的定解问题是
),()(002t t r r G a G tt --=?-δδ?
?
（12-3-5）
,0=??? ??+??∑
G n u βα
（12-3-6）
.0 ,00
0====t t
t G G
（12-3-7）
我们可以用类似于求解泊松方程的方法求得定解问题（12-3-1）～（12-3-3）的解的积分表式。需注意的是含时间的格林函数的对称性不同于泊松方程格林函数的对称性，
). , ; ,() , ; ,(0000t r t r G t r t r G --=?
???
（12-3-8）
现在证明对称关系（12-3-8）。在定解问题（12-3-5）～（12-3-7）中将变量t ，r 0，t 0分别换为－t ，r 1，－t 1，而成为
)()() , ; ,() , ; ,(1111211t t r r t r t r G a t r t r G tt --=--?---δδ?
????? （12-3-9）
0) , ; ,() , ; ,(1111=--+???????--?∑t r t r G n t r t r G ????βα （12-3-10） .0) , ; ,( ,0) , ; ,(011011=--=--==t t t t r t r G t r t r G ?
???
（12-3-11）
以G （r ，－t ；r 1，－t 1）乘方程（12-3-5）。同时以G （r ，t ；r 0，t 0）乘方程（12-3-9），相减，再对r 在区域T 上积分，同时对t 在区间(]' ,t ∞-（其中't ＞t 0和t 1）上积分，得
[]
]). , ; ,() , ; ,( ) , ; ,() , ; ,( )
, ; ,() , ; ,( ) , ; ,() , ; ,( )
, ; ,() , ; ,(001111000012110020011'1100t r t r G t r t r G dVdt
t r t r G t r t r G a t r t r G t r t r G a t r t r G t r t r G t r t r G t r t r G
tt T
t tt ?????
????
????
????
???---=--?+--?------????∞
-
（12-3-12）
利用第二格林公式（12-1-3），上式左端成为
由定解条件（12-3-6）～（12-3-7）和（12-3-10）～（12-3-11）可以看出，上式为零，从而（12-3-12）右端也为零。于是有对称关系（12-3-8）。
现在推导定解问题（12-3-1）～（12-3-3）解的积分表式。考虑到关系式（12-3-8）中时间变数t 与t 0不能像空间变数那样简单地对调，我们先将定解问题（12-3-1）～（12-3-3）中的r ，t 换为r 0，t 0，
), ,() ,() ,(000002000
0t r f t r u a t r u t t ?
??=?-
（12-3-13）
), ,() ,() ,(0000000t M t r u n t r u θβα=??????+??∑??
（12-3-14）
).
() ,( ),() ,(000000000
r t r u r t r u t t t ??????==== （12-3-15）
将G 的定解问题中的r 与r 0互换，同时将t 和t 0分别换为－t 0 和－t ，并利用对称关系（12-3-8），得
),()() , ; ,() , ; ,(000002000
0t t r r t r t r G a t r t r G t t --=?-δδ?
????? （12-3-16）
,0) , ; ,() , ; ,(00000=+????????∑t r t r G n t r t r G ????βα
（12-3-17）
.
0) , ; ,( ,0) , ; ,(0000000
====t t t t r t r G t r t r G ?
??? （12-3-18）
以G （r ，t ；r 0，t 0）乘方程（12-3-13），以u （r 0，t 0）乘方程（12-3-16），相减，再对r 0在区域T 上积分，同时对t 0在[0，t ＋ε]上积分，并利用第二格林公式及初始条件（12-3-15）及（12-3-18），可得
.
)()( ),(),;,()( )( 0000000
0000000
00020000
00
0????????????????++++---=?-?-
-T
t T
t T
t T
t t t t t dt dV t t r r u dt dV t r f t r t r G dt dV G u u G a dt dV uG Gu εεε
ε
δδ?
??
?? （12-3-19）
其中ε ＞0，积分后取 ε →0，引入 ε 是为了使含 δ（t －t 0）的积分值确定（积分区间包含t 0＝t 在内），于是可得
.
)( )( ) ,() , ; ,() ,(0
00002
00
000
000000
00
0????
????????+++?-?+--=T
t T
t t t t t T
t dt dV G u u G a
dt dV uG Gu dt dV t r f t r t r G t r u ε
ε
ε?
??? (12-3-20)
右边第二个积分中
0/)(0
00
0dt uG Gu d uG Gu t t t t t t -=-因此，可完成对t 0
的积分，
计及t ＜t 0时G ＝0，
00
=t G ，这样得到
[]
.
) ,() , ; ,() ,(00
00000
200
0000000
??????????=∑-+????
????-??+=T t t
t t T
t dV uG Gu dt dS n G u n u G a dt dV t r f t r t r G t r u ?
???（12-3-21）
对于不同类型的边界条件，可令G 满足相应的齐次边界条件，从而得到适用于不同边界条件的以G 表示的解的积分表式。 对于输运问题，
) ,(2t r f u a u t ?
=?-
（12-3-22）
), ,(t M u n u θβα=??????+??∑
（12-3-23） ).(0r u t ?
?==
（12-3-24）
类似上面的讨论，同样可得到其解的积分表式
[]. ) ,() , ; ,() ,(00000002
00
000000
??????????=∑+???? ????-??+=T t t
T
t dV uG dt dS n G u n u G a dt dV t r f t r t r G t r u ?
??? （12-3-25）
作业（P387）：1，2
格林函数()
§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u ? 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u ? （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v ? （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u ? 亦即
.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=?? ? （12-1-4） 第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 ),( M u n u ?βα=??????+??∑ （12-1-5） 其中 ?（M ）是区域边界 ∑ 上的给定函数。α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 δ 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0）表示位于r 0点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0）应满足方程 ).() ,(00r r r r v ????-=?δ （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4），u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得 . )( )(0?????????--=?-?T T T dV r r u vfdV dV v u u v ? ?δ （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0点，?v 具有δ 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0的小体积，例如半径为 ε 的小球K ε（图12-1），∑ε 的边界面为∑ε 。对于剩下的体积，格林公式成立，
格林函数法求解场的问题
格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： Heat Eq.： ()2222 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρε?=-=- 表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势： () ' '0 4r d V r r ρφπεΩ=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Green ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题： ()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβ???=-??? ????+=??????? 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ 代表自由电荷密度。
格林函数
在线性媒质中，任意分布的简谐(或稳恒)源所激励的场，都可以化为单位点源所激励的场的线性组合。在确定的媒质和边界条件下，单位点源所激励的场矢量或势函数就称为该条件下场或势的格林函数。它们是场点位置矢径r和源点位置矢径r′的函数。电磁场边值问题的解可以表示成源函数与格林函数乘积的积分。 标量格林函数在均匀无界媒质中，自由电荷密度ρ所产生的标势φ在洛伦兹规范下满足方程 (1) 式中k2=ω2εμ，该标势的格林函数G(r，r′)应满足方程 (2) 式中2对r点的坐标作运算,δ(r－r′)是集中作用在r′点的狄拉克δ-函数。此方程的解是 (3) 由此可得标势的解是下列对r′的坐标的积分 (4) 当媒质为分区均匀时,在分界面上G应满足与φ相同的连续性条件。设G＝G0+G1,其中G1表示分界面的影响，且在r→r′时应为有限值。例如在理想导体平表面S的上半空间中的格林函数为 (5) 式中第一项即为G0，第二项表示导体表面的影响，r媴是r′关于平表面的镜象点。 如果均匀媒质空间V被闭曲面S0所包围,应用格林第二公式，并利用格林函数的对称性G(r′,r)＝G(r,r′)，可得 (6) 为了消除面积分中的未知项，应当根据φ的已知边界条件来规定G的边界条件，具体来说，当已知φ或或的边界值时，应相应地规定 例如，V是无限大平面S的上半空间,已知V内的源分布ρ和S上的φ值，利用格林函数（5）式并注意到以及对于S上的源点r i=r，有 和
于是 (7) 并矢格林函数以上的讨论也适合场或矢势的各直角坐标分量。对于矢量源函数，通常将r′点的源矢量分解为三个正交分量,分别求出在r点的场或势。于是对于电场和磁场矢量，共有6个矢量格林函数，采用并矢记法，则可合并为两个并矢格林函数。 设在r′点放置的电流源J，它的三个分别沿正交单位矢量e媴(i=1,2,3)的电偶极矩为 (8) 则体积V中的电流源J(r′)所产生的电场为 (9) 记电场和磁场的电并矢格林函数分别是 (10) 则(9)式可写成并矢的形式 (11) 一般情况下，沿e媴方向的电偶极矩所产生的电场E e(e媴)应满足方程 (12) 对应有电并矢格林函数的方程 (13) 和关系式 (14) 在无界均匀媒质中 (15) 对应有电并矢格林函数 (16)
格林函数()
§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具 有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u 亦即
.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=? （12-1-4） 第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 ),( M u n u ?βα=??????+??∑ （12-1-5） 其中 （M ）是区域边界 上的给定函数。＝0， ≠0为第一类边界条件， ≠0，＝0是第二类边界条件，、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0 ） 表示位于r 0 点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0 ）应满足方程 ).() ,(00r r r r v -=?δ （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4）， u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得 . )( )(0?????????--=?-?T T T dV r r u vfdV dV v u u v δ （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0 点，v 具有 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0 的小体 积，例如半径为 的小球K （图12-1）， 的边界面为 。对于剩下的体积，
格林函数与输运
《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运 内容提要：1概述； 2单粒子性质的格林函数表述； 3用格林函数推导迁移率中1-α项 1概述 1． 1金属中电子输运特性 对于金属 * m e τμ- =， μσ0en -=， τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记 忆。输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等： ∑=--i i 11ττ 即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。 绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。 上述金属中的杂质不含磁性杂质。磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。 1． 2半导体输运特性 半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。光学波也通过两种方式散射电子：二种不
第四章 Laplace方程的格林函数法
第四章 Laplace 方程的格林函数法 在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法—分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍Laplace 方程的格林函数法。先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立Laplace 方程第一边值问题解的积分表达式。 §4.1 Laplace 方程边值问题的提法 在第一章，从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维Laplace 方程 2 2 2 2 2 2 2 u u u u u x y z ????=?≡ + + =??? 作为描述稳定和平衡等物理现象的Laplace 方程，它不能提初始条件。至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。 （1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一个区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ（或记作Ω）上连续，在Ω内有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即 u f Γ = （4.1） 第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。
Laplace 方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足Laplace 方程的连续函数，称为调和函数。所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。 （2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在 Ω+Γ 上连续，在Γ上任一点处法向导数 u n ??存在，并且等于已知函数f 在该点的值： u f n Γ ?=? （4.2） 这里n 是Γ的外法向矢量。 第二边值问题也称纽曼（Neumann ）问题。 以上两个问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部要求满足Laplace 方程的解，这样的问题称为内问题。 在应用中我们还会遇到Dirichlet 问题和Neumann 问题的另一种提法。例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件u f Γ =，这里Γ是Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布。像这样的定解问题称为Laplace 方程的外问题。 由于Laplace 方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于电学上总是假定无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加如下条件： lim (,,)0(r u x y z r →∞ == （4.3） （3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数
数学物理方程-第五章格林函数法
第五章 格林函数法 在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问 题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用. §5?1 格林公式 在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广. 设Ω为3R 中的区域，?Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在 Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实 函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω?ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去. 如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ??简记为P x ??或x P 等等. 设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式 ( )P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω ?Ω ???++=++???????? (1.1) 或者 ( )(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ ?Ω ???++=++???????? (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： ( ,,)x y z ??? ?=???，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式 ???????=??Ω Ω ds n F dv F (1.3) 其中(cos ,cos ,cos )n αβγ= 为?Ω的单位外法向量. 注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R = 时，其运算定义为 (,,)(,,) , F P Q R x y z P Q R x y z ??? ??=???????=++???
格林函数以及拉普拉斯方程
格林函数 格林函数的概念及其物理意义 格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。 从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。 物体中的温度分布随时间的变化是由于热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些热作用都可以看做广义上的热源。从时间的概念上说，热源可以使连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为瞬时作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为点热源、线热源和面热源。在各种不同种类的热源中，瞬时点热源虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为在其他的各种热源都可以看作是许多瞬时热源的集合，即把空间中的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源，在特定的几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格（Green)函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场叠加得到，数学上即成为某种几分。这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程，对于一维、二维和三维问题的解在形式上都可以表示的非常紧凑，而且解的物理意义比较清楚。格林函数法可以来求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆形的偏微分方程（如带有热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程（如力学中的震动问题）。在此仅讨论用格林函数法求解非稳态导热问题。 用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，而格林函数的形式取决于特定问题的具体条件，包括几何条件（即有限大、半无限大或无限大）、边界条件和坐标系的选取。因此用格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数。本方法的第二个要点是确定有热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数的关系。本节从几个较简单的例子开始介绍格林函数法在解决稳态导热问题中的应用，再推广到更为一般的情况。 “瞬时”和“点”热源的概念在数学上都可用狄克拉δ分布函数，简称δ函数，来表示。δ函数的定义为
格林函数法
§3.4 格林函数法 利用一个点电荷的边值问题的解，可以解决同类边值问题：对于给定空间区域V 内的电荷分布ρ和V 的边界S 上（第一类边值问题）各点的电势S ?，或者（第二类边值问题）各点的电场法向分量S n ???。 静电场的电势函数满足泊松（Simeon Denis Poisson, 1781-1840）方程 20 ρ ?ε?=? 其中()r ρG 为电荷密度。位于r ′G 处的单位点电荷的密度分布函数为()r r δ′?G G ，它所产生的静电势(,)G r r ′G G 满足类似的微分方程 2 ()(,)r r G r r δε′?′?=?G G G G ， (3.15) 和相应的边条件。以此Green 函数取代格林公式(0.12)中的函数()r ψG ，可得积分方程 0()(,)()(,)()(,)(),V S r G r r r G r r r dV G r r r dS n n ??ρε?′′????′′′′′′=+???′′??? ?∫∫∫∫∫G G G G G G G G G G w (3.16) 第一类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电势为零的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第一类Green 函数，记为1(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第一类边值问题的解，即 0(,)()(,)()().V S G r r r G r r r dV r dS n ?ρε?′?′′′′′=?′?∫∫∫∫∫G G G G G G G w (3.17) 第二类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电场法线分量为常数01 S ε的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第二类Green 函数，记为2(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第二类边值问题的解，即 0()1()(,)()(,)().V S S r r G r r r dV G r r dS r dS n S ??ρε?′?′′′′′′′=++′?∫∫∫∫∫∫∫G G G G G G G G w w (3.18) 【无界空间的格林函数】（P58） 【半无限空间的格林函数】（P59） 【球外空间的格林函数】（P60） 【球内空间的格林函数】（补充题）
格林函数--偏微分方程解的积分表示
第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示 解偏微分方程主要有两种方法： 数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。 理论物理中的Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。 1，Green 函数的意义： 物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数 数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。 2，Green 函数的分类： 边界值Green 函数：(,')G r r 源函数 初始值Green 函数：(,,',')G r t r t 传播函数 3，Green 函数的性质： 1）对称性：(,')(',)G r r G r r = 与定解问题相关，即与厄米性相关。 2）时间传播函数没有对称性：(,,',')(',',,)G r t r t G r t r t ≠. 3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ?+=--，若λ是对应齐次方程 的本征值，即2?λ??=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在（既有点源又无流，物理上自相矛盾！） 4，Green 函数边值条件： 设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。 1）齐次边值条件：()|0.G G n αβ∑?+=? 2） |0r G →∞=有解：基本解。 5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求(,')G r r 2）利用迭加原理给出待求解()u r 的积分形式
6，Green 函数的求法： 1) 特殊方法：21 (').|'| G r r G r r δ?=--?= -。 2）本征函数展开法：相应算子在同一边界条件下的本征函数作为基矢。 3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。 4）积分变化法：LT ，FT 。 5) 形式解：算子运算。 14.1 Green 函数与偏微分方程 1，定义：Green 函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子) 数学上，含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解； 物理上，点源在一定物理条件下产生的场。这种解（场）在时空中的分布与传播。 例1， Possion Equation: 224(),(,')4('), |0.|0.1 (,'),()(,')(')' |'| u r G r r r r u G G r r u r G r r r dr r r πρπδρ∑∑???=-?=--?? ?==???==-? 基本解---无界空间Green 函数的叠加。 例2，Helmholtz Equation ： 22()4(),()(,')4('), |0.|0. ()(,')(')'(see below for the solution,(,'):;('):). u r G r r r r u G u r G r r r dr G r r Field r Source λπρλπδρρ∑∑???+=-?+=--?? ?==???=? 例3， 波动方程， 22222 222(,),|0,|0,|0. (,;',')(')('),|0,|0,|0. t t t t t t a u r t t u u u a G r t r t r r t t t G G G ρδδ∑∑???-?= ???? ===?? ??-?=-- ???? === 在含时Green 函数(,;',')G r t r t 中，为方便计， 我们将它简记为(,').G r r
§10 格林函数法求解稳定场问题
第十讲 格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： 热传导方程（Heat Eq.）： ()2 22 2 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场 u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρ ε?=-=- 表示静电场 u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：
() ' ' ' 04V r dV r r ρ φπε=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Grenn ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。 （我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中的应用。） 普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions. 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：
第5章格林函数法
第5章格林函数法
格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中 的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场． 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一． 5.1 格林公式 T Σ 上具有连续一阶导数, 在区域及其边界 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理 d d T T div = ?∫∫∫ ∫∫∫ i A V = A V (5.1.1) 单位时间内流体流过边界闭曲面S 的流量 单位时间内V 内各源头产生的流体的总量
将对曲面 Σ 的积分化为体积分 d ()d d d T T T u u V u V u V Σ ?=??=Δ+??∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.2) ()uv u v u v ?=??+?以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有 d ()d d d T T T u u V u V u V Σ ?=??=Δ+??∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.3) 上述两式相减得到 ()d ()d T u u u u V Σ ???=Δ?Δ∫∫ ∫∫∫i S v v v v
的外法向偏导数． 5.1.4）为第二格林公式． 进一步改写为 ()d ()d T u S u u V n Σ???=Δ?Δ??∫∫∫∫∫ v u v v v n （5.1.4）
5.2 泊松方程的格林函数法 讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程()() u f Δ=?r r (5.2.1)（5.2.2） 是区域边界 Σ 上给定的函数. 是第一、第二、第三类边界条件的统一描述
格林函数
格林函数 这是一篇关于格林函数经典解法的文章。从现代的讨论中寻求根本的解法。在数学中，格林函数是一种用来解有边界条件的非齐次微分方程式的函数。 在多体理论中，这一术语也被应用于物理中，特别在量子场论，电动力学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。 格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第一个提出这个概念的人。 在线性偏微分方程的现代研究中，格林函数主要用于研究基本解。 内容 1、定义及用法 2、动机 3、非齐次边值问题的求解 3.1、研究框架 3.2、定理 4、寻求格林函数 4.1、特征矢量展开 5、拉普拉斯算子的格林函数 6、范例 7、其他举例 定义及用法 技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着一个在流形M 中作用的线性算子L ，为以下方程式的解： )(),(s x s x LG -=δ (1) 其中δ为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程： )()(x f x Lu = (2) 若L 的核是非平凡的，则格林函数不只一个。不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只需是一种数学分布即可，不一定要具有一般函数的特性。 格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高
的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。其方程如下： )(),(s x s x LG --=δ 这一定义并不显著改变格林函数的任何性质。如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成一个卷积算，即为： )(),(s x G s x G -= 在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。 动机 若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得： )()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ 由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此： ds s f s x LG x Lu )(),()(?= 由于算符 L 为线式，且只对变量x 作用，不对被积分的变量 s 作用），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得： ))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?= 而以下的式子也会成立： ds s f s x G x u )(),()(?= (3) 因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以用上述的方式得到)(x u 。换句话说，(2)式的解)(x u 可以由(3)式的积分得到。若可以找到满足(1)式的格林函数G ，就可以求出)(x u 。 并非所有的算符L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论,(3)式的积分也很难求解，因此
格林函数(免费)
§2.4 格林函数法解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一 种常用的方法— —格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个 点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以 用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设 u （ r ）和 v （r ）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶 导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 u v dS 化成体积积分 u v dS (u v)dV u vdV u vdV . T T T （12-1-1） 这叫作第一格林公式 。同理，又有 v u dS v udV u vdV. T T （ 12-1-1）与（ 12-1-2）两式相减，得 (u v v u) dS (u v v u) dV , T 亦即 u v v u dS (u v v u)dV . n n T n 表示沿边界 的外法向求导数。（ 12-1-3）叫作 第二格林公式 。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 （12-1-2） （12-1-3）
第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 u u (M ), n （12-1-5） 其中 （M ）是区域边界 上的给定函数。 ＝ 0， ≠0 为第一类边界条件， ≠0， ＝ 0 是第二类边界条件， 、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作 第一边值问题或狄里希利问题 ，与第二类边界条件构成的定解问题叫作 第二边值问题或诺依曼问题 ，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题 。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。 §5.3 中介 绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以 v （ r ， r 0）表示位 于 r 0 点的单位强度的正点源在 r 点产生的场，即 v （r ， r 0 ）应满足方程 v(r , r 0 ) (r r 0 ). （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。 以 v （ r ，r 0）乘（12-1-4）， u （r ）乘（ 12-1-6），相减，然后在区域 T 中求积分，得 (v u u v) dV z T vfdV u (r r 0 )dV . T T T （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化 K r 0 成面积分。但是，注意到在 r ＝r 0 点， v 具有 函数的奇异性，格林公式不 能用。解决的办法是先从区域 T 中挖 O y 去包含 r 0 的小体积，例如半径为 的小 球 K （图 12-1）， 的边界面为 。 x 图 12-1 对于剩下的体积，格林公式成立， (v u u v) dV v u u v dS v u u v dS. T K n n n n （12-1-8） 把（ 12-1-8）代入挖去 K 的（ 12-1-7），并注意 r ≠ r 0 ，故 （r －r 0 ）＝ 0，于是 v u u v dS v u u v dS vfdV . n n n n T K （12-1-9） 当 r r 0 1 ，方程（ 12-1-6）的解 v （ r ，r 0）—→ 位于点 r 0 而电量为－ 0 的点电 r r