最新初中数学动点问题归纳
精品文档
动点问题题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过
程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点
3
1、( 2009年齐齐哈尔市)直线 y x 6与坐标轴分别交于 A B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，
4
同时到达 A 点，运动停止?点 Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 7 y
B
位长度，点P 沿路线O T B T A 运动. (1) 直接写出A 、B 两点的坐标；
(2)设点Q 的运动时间为t 秒，△ OPQ 的面积为S , 的
函数关系式;
48
(3)当S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点
M 的
5
坐标.
解：1、A ( 8, 0) B (0, 6)
r
, 2
2、当 0 v t v 3 时，S=t
当 3 v t v 8 时，S=3/ 8(8-t)t
提示：第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;
O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不
出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、(2009年衡阳市)
如图，AB 是O O 的直径，弦 BC=2cm , / ABC=60 o . (1) 求O O 的直径；
(2) 若D 是AB 延长线上一点，连结 CD ，当BD 长为多少时，CD 与O O 相切；
求出S 与t 之间 _
O 第(3)问是分类讨论：已知三定点 同分类
①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、
OQ 为对角线，③OP 为对角线、
OQ 为边。然后画
P t
Q
(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿注意：第(3)问按直角位置分类讨论
3、(2009重庆綦江)如图，已知抛物线y二a(x-1)2 ? 3'、3(a =0)经过点A(-2, 0)，抛物线的顶点为D , 过O作射线OM // AD ?过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC .
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s) ?问
当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
(3)若OC =OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1 单位和2个
长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设
它们的运动的时间为t (s)，连接PQ ,当t为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出
最小值及此时PQ的长.
注意：发现并充分运用特殊角/ DAB=60
当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。
二、特殊四边形边上动点
4、(2009年吉林省)如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，N B = 60°从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A > C > B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿
A >
B >
C > D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间
为x秒时，△ APQ与厶ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定:
解答下列问题：
(1)_______________________________ 点P、Q从出发到相遇
所用时间是_____________________________________ 秒；
(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△ APQ 是等边三角形
点和线段是面积为O的三角形)，
时
(3)求y与x之间的函数关系式.
提示：第⑶问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类;提醒-一高相等的两个三角形面积比等于底边的比。
5、( 2009年哈尔滨)如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(-3 , 4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M , AB边交y轴于点H .
(1)求直线AC的解析式；
(2)连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，
设厶PMB的面积为S ( S式0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t
精品文档 的取值范围)；
(3) 在(2)的条件下，当t 为何值时，/ MPB 与/ BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线AC 所夹锐 角的正切值.
利用OB 1AC,再求OP 与AC 夹角正切值.
注意：第(2)问按点P 到拐点
B 所用时间分段分类;
第(3)问发现/ MBC=90 ，启CO 与/ABM 互余，画出点 P 运动过程中,
/MPB= ZABM 的两种情况,
求出t 值。
6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点
A( ■■ 3 ,0), B(3 . 3 , 2) , C (0, 2).动点 D 以每秒 1
个单位的速度从点 0出发沿OC 向终点C 运动, 位的速度从点 A 出发沿AB 向终点B 运动.过点 F ,连结DA DF.设运动时间为t 秒.
(1)求/ ABC 的度数； ⑵当t 为何值时，AB// DF; ⑶设四边形AEFD 的面积为S.
①求S 关于t 的函数关系式；
同时动点 E 以每秒2个单
E 作E
F 上AB,交BC 于点
②若一抛物线y=x 2
+mx 经过动点E ,当S<2、. 3时，求m 的取值范围
(写出答案即可).
注意：发现特殊性， DE /QA
7、( 07黄冈)已知：如图，在平面直角坐标系中， 四边形ABCO 是
菱形，且
/ AOC=60。，点B 的坐标是(0,8,点P 从点C 开始以每 秒1个单位长度的速度在线段 CB 上向点B 移动，同时，点 Q 从点O 开始以每秒a (K a w 3)个单位长度的速度沿射线 OA 方向移动，设t(0 ::: t 空
8)秒后，直线PQ 交OB 于点D.
(1) 求/ AOB 的度数及线段 OA 的长；
(2) 求经过A , B , C 三点的抛物线的解析式；
(3) 当a=3OD =4 & 时，求t 的值及此时直线 PQ 的解析
3
式；
(4) 当a
相似？当a 为何值时，以O , P , Q , D 为顶点的三角形与 OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明
&( 08黄冈)已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC // AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系， A, B, C
x
函数的函数值y 相等.
(1) 求实数a, b, c 的值； (2)
若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿 BA 、BC 边运动，其中一个点到 达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△ BMN 沿MN 翻折，B 点
恰好落在 AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；
三点的坐标分别为 A(8,0),
B(810) , C(0,4)，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点0出发，以每秒1个
单位的速度，沿折线 OABD 的路线移动，移动的时间为 t 秒. (1) 求直线BC 的解析式；
2
(2) 若动点P 在线段0A 上移动，当t 为何值时，四边形 OPDC 的面积是梯形COAB 面积的 ?
7
(3) 动点P 从点0出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设厶
OPD 的面积为S ，请直接写出S 与t 的 函数关
t
(4)当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段 OA 上找到一点Q ,使四边形CQPD 为矩形？请求出此
12
4
y x
x -10与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点 B. 18 9
过点B 作x 轴的平行线BC,交抛物线于点 C ,连结AC ?现有两动 点P,Q 分别从O ,C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿 OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿 CB 向点B 移动, 点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ,PQ 相交于点D , 过点D 作DE //
OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F .设动点 P,Q 移动的时间为t (单
位:秒)
(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标 ；
⑵当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；
9
⑶当0 v t v 时,A PQ F 的面积是否总为定值 ？若是，求出此定值，
2
(4)当t 为何值时，△ PQF 为等腰三角形？请写出解答过程.
提示：第(3)问用相似比的代换，
得PF=OA(定值)。
第(4)问按哪两边相等分类讨论
PQ=PF PQ=FQ QF=PF.
2
8、(2009年湖南长沙)如图，二次函数
y =ax bx c ( a = 0)
的图象与x 轴交于A B 两点，与y 轴
相交于点C .连结AC 、BC, A 、C 两点的坐标分别为 A(-3,0)、C(0, 3)，且当 x=-4 和 x=2 时二次
若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点
△ ABC 相似？如果存在，请求出点
提示：第（2）问发现
特殊角/ CAB=30 °J CBA=60 ° 特殊图形四边形 BNPM 为菱形;
第（3）问注意到厶ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与厶 断是否在对称轴上。
1
9、（2009眉山）如图，已知直线 y x 1与y 轴交于点
2
、 1 2
点D,抛物线y x bx C 与直线交于A 、E 两点，与
2
点，且B 点坐标为（1 , 0）。 ⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P 在x 轴上移动，当△ PAE 是直角三角形时，求点 ⑶在抛物线的对称轴上找一点 M 使| AM -MC |的值最大，求出点 提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形
----①P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x
轴交点即为所求点 P ,②A 为直角顶点时，过点 A 作AE 垂线交x 轴于点P ,③E 为直角顶点时，作法同
②;
第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。
10、（ 2009年兰州）如图①，正方形 ABCD^，点A 、B 的坐标分别为（0,
10）, （8, 4）,点C 在第一象
限.动点P 在正方形 ABCD 勺边上，从点A 出发沿 2B T C T D 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在x 轴正
半轴上运动，当 P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的 时间为t 秒.
（1） 当P 点在边AB 上运动时，点 Q 的横坐标x （长度单位）关于 运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请
写出点 Q 开始运动 时的坐标及点 P 运动速度；
（2） 求正方形边长及顶点 C 的坐标；
⑶ 在（1）中当t 为何值时，△ OPQ 勺面积最大，并求此时 P 点 的坐标；
Q ，使得以B, N , Q 为项点的三角形与
ABC 相似的△ BNQ ，再判
Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.
M 的坐
⑷ 如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A T B^ C T D匀速运动
D
图誰囹②
时，0P 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的
t 的值；若不能，请说明理由.
注意：第（4）问按点P 分别在AB 、BC 、CD 边上分类讨论；求t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。
11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系
xOy 中，△ ABC 三个顶点的坐标分别为
_ 1
A -6,0 ,
B 6,0 ,
C 0,4、. 3，延长AC 到点D,使CD= AC ,过点
D 作D
E // AB 交BC 的延长线于 点E.
（1） 求D 点的坐标；
（2） 作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y = kx ? b 将四边形CDFE 分成 周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3） 设G 为y 轴上一点，点 P 从直线y 二kx b 与y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达G 点，再沿GA 到达 A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上 述要求到达A 点所用的时间最短。（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）
提示：第（2）问，平分周长时，直线过菱形的中心； 第（3）问，转化为点G 到A 的距离加G 到（2）中直线的距离 和最小；发现（2）中直线与x 轴夹角为60° .见“最短路线问
3 S ^ APQ
（2）在图8中，联结AP.当AD=-，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 之间的距离为x , ------------ -y ，其
2
&PBC
PQ AD PC AB
（1）当AD=2且点Q 与点B 重合时（如图2所示），
题”
12、（2009年上海
1所
精品文档
中S A APQ表示△ APQ的面积，S A PBC表示△ PBC的面积，求y关于X的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD ::: AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求.QPC的大小.
注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC _LBD时，点Q、B重合，x获得最小值；
当P与D重合时，x获得最大值。
第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证/ BQP = ZBCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解。
13、（08宜昌）如图，在Rt△ ABC中, AB= AC P是边AB （含端点）上的动点?过P作BC的垂线PR R为垂足，/ PRB勺平分线与AB相交于点在线段RS上存在一点T,若以线段PT为一边作正方形PTEF其顶点E, F恰好分别在边BC AC上.
（ABC与△ SBF是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB= 1,当P在边AB （含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF勺面积y的最小值和最大值.
C F AC F A
（第13题）（第13题）
提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS
为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。
14、（2009年河北）如图，在Rt△ ABC中，/ C=90° AC = 3, AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动?伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒（t> 0）.
（1）______________________ 当t = 2时，AP = ___________ ，点Q到AC的距离是；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；
提示：(3)按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出
DE//QE,PQ//EC;
(4) 按点P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出 CQ=CP = AQ= t 时， QC = PC=6-t 时.
2
15、(2009 年包头)已知二次函数 y=ax bx c ( a=0)的图象经过点 A(1,0) , B(2,0) , C(0,-2), 直线x =
m ( m 2 )与x 轴交于点D .
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 在直线x=m ( m 2 )上有一点 E (点E 在第四象限)，使得E 、D 、B 为顶点的三角形与以
A 、0、C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标(用含m 的代数式表示)；
(3)
在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四
边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请
求出m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由. 提示：
第(2)问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；
第(3)问，四边形ABEF 为平行四边形时，E 、F 两点纵坐标相等，且 AB=EF ，对第(2)问中两种情形 分别讨论。 四、
抛物线上动点
2
16、( 2009年湖北十堰市)如图①，已知抛物线y 二ax bx 3 (a 丰0)与x 轴交于点A(1, 0)和点B (— 3, 0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点
卩，使厶
CMP 为等腰三角形？若存在，
请直接写出所有符合条件的点
P 的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)
如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接
BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此
注意：第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论 画图再由图形性质求点 P 坐标----①C 为顶点时，以C 为
圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点
P ，②M 为顶点时，以 M 为圆心MC 为半径画弧，与对
t 值；有二种成立的情
形
,
称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第(3)问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值(涉及二次函数最值) 方法二，先求与
BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组）
17、（ 2009年黄石市）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中， A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的
负半轴上， AB 交y 轴正半轴于 E ， BC 交x 轴负半轴于 F ，OE=1，抛物线y=ax 2
，bx —4过
A D 、F 三点.
（1） 求抛物线的解析式； （2）
Q 是抛物线上D 、F 间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边 AD 于M ，交BC 所在直线于N , 若S 四边
晞QM ^S AFQN ，则判断四边形AFQM 的形状；
（3） 在射线DB 上是否存在动点 P ,在射线CB 上是否存在动点 H ,使得AP 丄PH 且AP 二PH ,若存 在，请
给予严格证明，若不存在，请说明理由.
注意：第（2）问，发现并利用好 NM /FA 且NM = FA;
第（3）问，将此问题 分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先 画出合适的图形,
再证明
三年共同点：
① 特殊四边形为背景； ② 点动带线动得出动三角形；
③ 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式） ④ 求直线、抛物线解析式；
⑤ 探究存在性问题时，先画岀图形，再根据图形性质探究答案。
，再求面积
八
y
坐标几何题”（动点问题）分析
广东中考题（2003 ）
精品文档