圆周运动的实例分析、离心现象、曲线运动综合练习

圆周运动的实例分析、离心现象、曲线运动综合练习

二. 本周知识归纳与总结

1. 用向心力公式解题的一般方法：

（1）明确研究对象，必要时要将它从转动系统中隔离出来； （2）找出物体圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径； （3）对研究对象做受力分析，分析是哪些力提供了向心力 （4）建立正交坐标（以指向圆心方向为x 轴的正向），将力正交分解到坐标轴方向；

()()()5x 在轴方向，选用向心力公式向心

F m R m v R m T R m f R

====ωπ

π2

22222

==m n R y F y ()202π列方程求解，必要时再在轴方向按列方程求解合

注意：列方程时要注意力、速度、运动半径的对应关系；有些问题还需配合其他辅助手

段，需要具体问题具体分析。

2. 离心运动：做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。

3. 向心运动和离心运动产生的原因（如图所示，向心力用F n 表示）。

()/12

当时，物体沿半径作匀速圆周运动；F mv R R n =

()/22

当时，物体将作向心运动，半径减小；F mv R R n > ()/32

当时，物体将作离心运动，半径增大；F mv R R n <

（4）当F n ＝0时，即向心力消失时，半径R 趋于无限大，物体将沿切线方向飞出。 所以，向心运动和离心运动产生的原因是向心力多余和不足。 4. 离心运动的应用和防止：

（1）洗衣机的脱水筒是利用离心运动把湿衣服甩干的。把湿衣服放在脱水筒里，筒转得慢时，水滴跟物体的附着力F 足以提供所需向心力F ；当筒转得比较快时，附着力F 不足以提供所需向心力F ，于是水滴做离心运动，穿过网孔，飞到筒外面。

（2）在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的，如果转弯时速度过大，所需向心力F 大于最大静摩擦力，汽车将做离心运动而造成交通事故。

【典型例题】

例1. 如图所示，用细管弯成半径为r 的圆弧形轨道，并放置在竖直平面内，现有一小球在细管内运动，当小球通过轨道最高点时，若小球速度____________时，会对细管上部产生

压力；若小球速度____________时，会对细管下部产生压力。

分析和解答：

当，即时，球对管上、下部分均无作用力，

mg m v r v gr ==

2

此时N ＝0。 当时，有离心运动趋势，对管上部产生压力；v gr > 当时，有向心运动趋势，对管下部产生压力；v gr <

当v ＝0时，恰好过最高点，对管下部产生压力为mg 。

例2. 一根水平轻质硬杆以恒定的角速度ω绕竖直OO'转动，两个质量均为m 的小球能够沿杆无摩擦运动，两球之间用劲度系数为k 的弹簧连接，弹簧原长为l 0，靠近转轴的球与轴之间也用同样的弹簧与轴相连如图所示，求每根弹簧的长度。

分析和解答：当两球绕轴OO'做匀速圆周运动时，两球的受力情况如图所示，分别用l 、L 表示A 、B 两球左侧弹簧在做圆周运动时的长度，再列出圆周运动方程：

对球有：①A m l k l l k L l ω2

00=---()()

对球有：②B m l L k L l ω2

+=-()()0

由①、②联解得

l l m k m k

L m k l m k m k =

-+=

--+0

222

2

22213113ωωωωω()

()()

例3. 如图所示是离心试验器的原理图。可以用离心试验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力，离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB （即垂直于座位的直线）与水平杆成30°角，求被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？

分析和解答：被试验者做匀速圆周运动所需要的向心力由他所受重力和座位对他的支持力的合力提供，如图所示。

F mg F m r N N sin cos 30302°①°②==???ω

由①式可得：°F mg

mg G

N =

==sin3022

被试验者对座位的压力和座位对他的支持力是一对作用力和反作用力，所以他对座位的

压力大小是他所受重力的2倍。

例4. 如图所示，轻杆长1m ，其两端各连接质量为1kg 的小球，杆可绕距B 端0.2m 处的轴O 在竖直平面内自由转动，轻杆由水平从静止转至竖直方向，A 球在最低点时的速度为4m/s 。求：（g 取10m/s 2）

①A 小球此时对杆的作用力大小及方向； ②B 小球此时对杆的作用力大小及方向。 分析和解答：

①在最低点对球受力分析如图所示：则，即A F mg m v R F m v R A

A

-==22

+=+==mg N N F N (.)'4081030302

，由牛顿第三定律，球对杆拉力，方向向下

②在最高点，以球为研究对象，如图所示，B

则：即mg N m v R N mg m v R N N

B B B B B B -==-=-=-22

2

1020210(.)

(

)v R v R v v A B B B A A B A ==，即；球、球角速度相等1

2

负号，代表小球B 受力方向与图示方向相反，即受杆拉力作用。所以B 球对杆拉力为

10N ，方向竖直向上。

例5. 内壁光滑，两端封闭的试管长5cm ，内有质量为1kg 的小球，试管一端装在水平转轴O 上，在竖直面上绕O 做匀速转动。已知转动过程中，试管底部受到小球压力的最大值是最小值的3倍，求转动的角速度。 分析和解答：

以试管中小球为研究对象，受力分析如图所示：

在最高点，球受管底压力为，则：①N N mg m L 112

+=ω

在最低点，球受管底支持力为，则：②N N mg m L 222

-=ω

由①、②两式可得： N N mg 212-=

而，所以，代入①式可得：N N N mg 2113== 22

mg m L =ω

即ω=

=220g

L rad s /

例6. 如图所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态？（g 取10m/s 2）

分析和解答：设物体M 和水平面保持相对静止，当ω具有最小值时，M 有向圆心运动的趋势，所以M 受到的静摩擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离M 分析受力，有

T f M r m -=ω12

又T mg =

0310*******

...××-=ω ω129=./r a d s

当ω具有最大值，M 有离开圆心趋势，M 受的最大静摩擦力2N 、指向圆心，隔离M 受力分析有

T f M r m +=ω22

又T mg =

0310206

0222

...××+=ω ω265

=./r a d s 所以的范围是ωω2965

././rad s rad s ≤≤

【模拟试题】

1. 关于物体做曲线运动的条件，以下说法中正确的是（）

A. 初速度不为零的质点，受到与初速度的方向不在同一条直线上的外力作用

B. 质点受到外力作用

C. 质点加速度的方向必须发生变化

D. 质点受到的外力与加速度有一夹角

2. 质点作匀速圆周运动，下列物理量中，不变的是（）

A. 速度

B. 角速度

C. 向心加速度

D. 周期

3. 小球被细绳拴着做匀速圆周运动，轨道半径为R，向心加速度为a，那么（）

/

A. 小球运动的角速度是ω=a R

=·

B. 小球在t时间内通过的路程S aR t

=2π/

C. 小球做圆周运动的周期T R a

/·

D. 小球在t时间内（细线）转过的角度θ=a R t

4. 平抛物体的运动规律可以概括为两点：①水平方向做匀速运动，②竖直方向做自由落体运动。为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验：如图1所示，用小锤打击弹性金属片，A球就水平飞出，同时B球被松开，做自由落体运动，两球总是同时落到地面。这个实验（）

图1

A. 只能说明上述规律中的第①条

B. 只能说明上述规律中的第②条

C. 不能说明上述规律中的任何一条

D. 能同时说明上述两条规律

5. 从离地4.9m高处，以6m/s的速度水平抛出一只小球，小球从抛出到落地之间速度改变量的大小为（）

A. 6m/s

B. 12m/s

C. 9.8m/s

D. 15.8m/s

6. 一飞机以200m/s的速度在高空沿水平线做匀速直线飞行。每相隔1s先后从飞机上落下A、B、C三个物体，不计空气阻力。在运动过程中（）

A. A在B前200m，B在C前200m

B. A、B、C在空气中排列成一条抛物线

C. A、B、C排列在一条竖直线上，间距不变

D. A 、B 、C 排列在一条竖直线上，间距不断增大

7. 长l 的绳子的一端系一质量为m 的小球，以另一端为圆心，使小球在光滑水平面内做匀速圆周运动。当角速度为ω时，绳子就要断裂。若用同样长的这样两股绳子系住小球m ，使它仍在此水平面内作匀速圆周运动，则绳子不断裂的最大的角速度应为（ ） A.

ω

B. 4ω

C. 2ω

D. 12ω

8. 在下图2所示中，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端作圆周

运动。当小球运动到最高点时，即时速度v Lg =

1

2，L 是球心到O 点的距离，则球对杆

的作用力是（ ）

图2

A. 1

2mg

的拉力

B. 1

2mg 的压力 C. 零

D. 3

2mg 的压力

9. 将小球以3m/s 的速度平抛出去，它落地时的速度为5m/s ，求球在空中运行的时间和位

移（g 取10m/s 2） 10. 如图3所示，在倾角为37°的斜坡上，从A 点水平抛出一个物体，物体落在斜坡的B 点，测得A 、B 两点间距离是75m ，求物体抛出时初速度的大小，并求落到B 点时的速度大小。

图3

（g m s ===103706

37082

/sin .cos .，°，°） 11. 如图4所示，一个向左匀速行驶的车厢，车厢内有一高为h 的架子，其边缘处有一小

球。当车突然以加速度a 匀加速行驶时，小球从边缘处脱落，若小球未与车厢后壁相碰，求

它落地点与架子边缘的水平距离。

图4

12. 如图5所示，在水平转盘上，距转动轴20cm处有一个质量是20g的小木块，当转盘的转动周期为2s时，木块与转盘之间没有相对滑动，问木块受几个力，每个力是多大？方向怎么？

图5

13. 一辆汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，汽车对路面的压力是4×104N。该汽车以同样速率驶过半径为R＝40m的凸形桥顶时，汽车对桥面的压力为多少？（g取10m/s2）

14. 如图6所示，长为L＝1m的轻质木杆，一端固定一个质量m=2kg的小球，以支架上的O点为轴在竖直面内做圆周运动，支架质量M＝5kg，当小球运动到最高点时v＝2m/s，则此时支架对地面的压力为多少？若要使支架对地面的压力为零，则小球运动到最高点时速度又该为多少？（g取10m/s2）

图6

【试题答案】

1. A

2. BD

3. ABCD

4. B

5. C

6. D

7. C

8. B

9. v m s v m s 02036==//；

10. 0.4s ；1.4m ，与竖直方向成

arc tg

32

11. ah g

12. 重力，大小为0.2N ，方向竖直向下；支持力，大小为0.2N ，方向竖直向上；静摩擦力，大小为0.04N ，方向始终沿水平方向指向转轴。 13. 3104

× 14. 62N ；35m s /