增广拉格朗日乘子法及其在约束优化问题的应用
毕业论文
题目增广拉格朗日乘数法及在
其在约束优化问题的应用学院数学科学学院
专业信息与计算科学
班级计算1001班
学生高亚茹
学号20100921032
指导教师邢顺来
二〇一四年五月二十五日
摘要
增广拉格朗日乘子法作为求解约束优化问题的一种重要方法，近年来研究增广拉格朗日乘子法的应用显得更加重要。本文首要介绍了增广拉格朗日乘子法的产生，通过解释增广拉格朗日乘子法是罚函数法和拉格朗日乘子法的有机结合，引出了现在对增广拉格朗日法的发展状况，概述了增广拉格朗日乘子法基本理论。然后具体说明了增广拉格朗日法在科学领域上的实际应用，如在供水系统和图像复原的应用，也证明了增广拉格朗日乘子法的实际应用性。
关键词：增广拉格朗日乘子法；罚函数法；供水系统；图像复原
ABSTRACT
Augmented lagrange multiplier methods as an important method for solving constrained optimization problems, recent studies in applications of augmented lagrange multiplier methods is even more important. This paper describes the generation of primary augmented lagrange multiplier method. By interpreting the augmented lagrangian multiplier methods is the combination of penalty function methods and Lagrange multiplier methods, It is given to a recent development of augmented lagrangian methods. Then is shown the basic theories of augmented lagrangian multiplier methods. Finally it is specified the augmented lagrangian method on the practical applications of scientific fields, such as water supply ystems and image restorations, also proved augmented lagrangian multiplier methods of practical application.
Key words：Augmented Lagrange Multiplier Methods；Penalty Function Methods Water Supply Systems ；Image Restorations
目录
摘要.....................................................................................I ABSTRACT........................................................................................II 1前言.. (1)
1.1增广拉格朗日函数法的产生与应用 (1)
1.2研究增广拉格朗日函数法应用的意义 (1)
2增广拉格朗日乘子法 (3)
2.1约束非线性规划 (3)
2.2罚函数外点法 (4)
2.3拉格朗日乘子法....................................... (6)
2.4增广拉格朗日乘子法.............................. (7)
2.4增广拉格朗日乘子法的计算........................... (10)
3 增广拉格朗日乘子法的应用................................................. ...... (12)
3.1供水系统调度的增广拉格朗日函数优化方法.......................... . (12)
3.2图像复原的增广拉格朗日函数优化方法 (14)
结论 (17)
参考文献 (18)
致谢 (19)
1前言
1.1 增广拉格朗日函数法的产生与应用
在求解有约束条件的优化题目时，有一个重要方法，便是用适合的方法把约束优化问题，转变成无约束优化问题来进行求解。在求最佳的解的题目中，以美国知名学者约瑟夫起名的拉格朗日乘数法是一种探索三元以上函数的极值的方法，其中有若干个条件制约着这类函数的变量。它的主要解决方式就是，把一个具备n个变量与k个约束条件的求最佳解的问题，转换为一个具备k
n 个变量的方程组的极值问题，这里面的变量有一个特点，没有任何制约，就称为无约束变量。这种方法引入了一种没有过的的标量未知数，也就是拉格朗日函数参数[1]。
罚函数方法是将具备约束条件然后求最好的解的问题变成为不具备制约条件的一种重要的方式，它们首先求解一个，也有可能是一系列的罚问题来得到最末的限制最好的解的问题的解。这样我们可以把罚问题中的目标函数称为一个罚函数。从这里看，增广拉格朗日函数法，我们还有另一种叫法便是使用增广拉格朗日函数来当成罚函数的不间断的可微准确罚函数法，跟序列罚函数法比一下，不可微准确罚函数法具备明显的长处。
增广拉格朗日乘子法，是在拉格朗日乘子法的基础上，联合了罚函数外点法，把它们综合在一块的方法，它的本质上最根本的思想就是在之前的罚函数中，考虑引入拉格朗日乘子，这样做就有了增广拉格朗日函数。在寻找最优解的过程中，通过一直连续不断的改变拉格朗日乘子和惩罚因子来求解各异的拉格朗日函数，换句话说也就是使用无约束最小优化方法得到此拉格朗日函数的极小值点，再加上有这样的拉格朗日函数极值点就会不断的向一开始的目标函数的约束最好的点靠拢，根据收敛准则能够得到差不多近似的最优解[1]。
增广拉格朗日乘子法，从本质上讲就是对拉格朗日乘子方法的延伸，要不就称为是一种序列没有制约的最小化技术。它的最初的想法是对执行可行性的限制标准给予了一个惩罚，在迭代自适应切换惩罚因子可以是拉格朗日乘子，解决了一系列的最小化问题后，以求目的可以逼近原问题的最优解，这样就逃避了单一使用拉格朗日乘子法或单一使用罚函数外点法有可能会出现的不好的地方。
在实际遇到的问题中，增广拉格朗日乘子法被当成求解约束优化问题的一种重要方法，近年来的应用遍及工程、国防、经济、金融和社会科学等很多紧要的科学领域[1]。比方说，基于拉格朗日乘子法的水平井射孔优化设计问题，就是首先一开始采用了增广拉格朗日乘子法，然后结合油藏渗流模型，在考虑水平井井底流压或者定产量情况下，以获得最大产量还有最小井底流压为研究需求，对数不清的导流来对水平井射孔密度遍布情况来优化。增广拉格朗日乘子法的应用涉及很多的方面，因此，对增
广拉格朗日乘子法的应用的研究具有很大的意义。
1.2 研究增广拉格朗日函数法应用的意义
关于增广拉格朗日乘子法的研究是一个重要的研究课题，其在很多领域具有广阔的应用前景。
首先，近些年来，随着计算机的快速发展，增广拉格朗日乘子法对于求解变分不等式问题在构造数值算法时能起到很重要的作用。另外，增广拉格朗日乘子法可以用于许多实际问题中的优化设计，通过编写程序构造乘子函数，求解精度较高，是一种非常切实可行的设计优化方法。使用增广拉格朗日乘子法去解决别的实际问题中的变化的分量不等式问题，是值得我们继续研究的课题。
2. 增广拉格朗日乘子法
2.1 约束非线性规划
解决平常的不是线性的规划问题，比无约束问题和线性规划问题都要麻烦不简单
的多。用一个简单的例子来说明这点，考虑问题[2]
,01,
01,
01..,
)(min
21212221≥-≥-≥-++=x x x x t s x x x f
这个问题的可行域是一个三角形，以及它的内部区域，)(x f 的等值线则是以原点为圆心的同心圆。问题的最优解为T
x ??? ??=21,21*，最优值为21)(*=x f 。 线性规划的最优解总是能够在可行域的顶点中找到，而顶点的数量是有限的，这
就是单纯形法的基本出发点。而上面的例子说明：对于非线性规划问题，即使约束都
是线性的，最优解也不一定在顶点。这就给求解它们带来了困难。另一方面，由于约
束的存在，如果不存在约束，从任一个初始点)0(x 出发，沿)(x f 的负梯度方向进行一
维搜索，便求得目标函数的无约束极小点()T
0,0。但是，有了约束，在进行一维搜索时，为了使求得的点是一个可行点，就必须对步长加以限制，这样，我们最远只能跑
到边界上的一个点，当所取)0(x 不在直线021=-x x 上时，)1(x 点就不会是最优解*x 。
因此，继续迭代下去寻求一个没见过的可行点是有必要的，使目标函数有更小的值。
可是，沿)(x f 在)1(x 处的负梯度方向已经找不到可行点，所以梯度迭代已不能继续进
行，尽管离最优解还可能很远。这正是约束非线性规划与无约束非线性规划的本质区
别，也是求解约束问题的根本问题所在。为了克服这样的困难，也就是换另一句话说，
当现有已经存在的点在区域的边缘上时，为了使迭代能不断的继续进行下去，不仅有
需求搜索方向拥有使目标函数下降的可能性，还有要求在这个方向上有可行点。例如，
有一个小线段整个包含在可行域内，像这样的方向称为可行方向。所以，在求解约束
非线性规划迭代法的设计中，主要应在每个迭代点)(k x 处构造出一个下降可行方向
)(k d 。
解决约束非线性规划的另外一个途径是：在某个近似解处，以已有较好解法的较
为简单的问题近似代替原问题用其最优解作为原来问题的新的近似解。例如将目标函
数及约束条件中的非线性函数分别以他们的一阶泰勒多项式或二阶泰勒多项式近似
替代，或以一无约束非线性规划近似代替等。
2.2 罚函数外点法
根据现在已存在的制约特征情况，约束有两类情况，一种情况是等式，另一种情
况是不等式，构建一种有可能的惩罚项，继而把它加到目标函数中去，让约束问题的
求解，变换成为无约束问题的求解，这类惩罚的方式，在没有约束题目求解的过程当
中，和其相关的那些小概率违反约束的迭代点，给它很大的目的数值，强制性的使这
些没有约束问题的极小点，一直向可行的区域凑近，也可以不停坚持不断的在可行域
内移动，终止到收敛于原来的约束问题的极小点[2]。
罚函数方法中有一类情况是在可行性区域外进行的惩罚函数法，也能够叫为外点
法，它对不遵守约束的迭代点在目标函数中加入符合的惩罚，但是针对可行点就不给
予惩罚。这种方法的迭代点往往是在可行域的外部移动。
考虑一般约束最优化问题
.
,,1,0)(,,,1,0)(..)
(min l j x h m i x g t s x f j i ===≥ (2.1)
定义辅助函数
),()(),(x P x f x F σσ+=
其中)(x P 可取如下形式
{}[]∑∑==+-=m i l j j i x h x g x P 11,)()(,0max )(β
α
其中1,≥βα均为常数，通常取2==βα。
这样，转化为无约束问题
()),()(,min x P x f x F def
σσ+= 其中σ是很大的正数[2]。
一般来讲我们将)(x P σ称为惩罚项，σ则被叫为惩罚因子，()σ,x F 被叫成惩罚函数。
例 2.1.1 求解非线性规划
.1)(..,)1()(m i n 22221≥=+-=x x g t s x x x f d e f
定义惩罚函数
{}[]???<-++-≥+-=--++-=,
1,)1()1(,1,)1()1(,0max )1(),(2222221222212
22221x x x x x x x x x x x F 当当σσσ 用解析法求解),(min σx F ，有
???<-+≥=??-=??,
1),1(22,12),1(22222,2211x x x x x x F x x F 当当σ 令,0,02
1=??=??x F x F 得到
,1121*
????????+=??????=σσσx x x 易见，当+∞→σ时
??
????=→11**x x σ。
*x 恰巧就是所求非线性规划的最优解[2]。
用像这样的方法得到的没有约束问题的最优解，在平时普通的情况下是不会满足
约束条件的，它是在可行域外部，当σ的增大的时候，然后不断接近*x ，所以称这种
方法为外点法。
在实际计算的过程中，考虑怎样选择惩罚因子σ是非常有必要的。平时遇到这种
情形时，我们的方式是取一个不断接近无穷大和严格递增的正数列{
}k σ，一个一个的求解
),()(min x P x f k σ+
如此得到一个极小点的序列{}
*k x ，在合适的条件下，最佳的顺序收敛域约束的解决方案。像如此行使一系列无约束题目，来取得限制问题最优解的方式，我们把它称叫为
序列没有约束极小化方法，简称为SUMT 方法。
外点法的具体步骤为[2]：
1.一开始给定初始点)0(x ，初始化罚因子1σ，把系数1>c 放大，可以接受的误差0>ε，
1=k ；
2.以)1(-k x 为初始点，解无约束问题
min ()()k f x P x σ+，
设其极小点为)(k x ；
3.若εσ<)()(k k x P ，则停，得近似解)(k x ；否则，令,1,1+==-k k c k k σσ回2。
2.3 拉格朗日乘子法
若j i h g f ,,都是可微的，对于问题(2.1)，能够成立拉格朗日函数
().)()()(,,11∑∑==--=l
j j j m i i i x h x g x f x L μλμλ
Kuhn-Tucher 条件[3]:
对于非线性规划(2.1)，若j i h g f ,,都是可微的,且
l j x h x I i x g j i ,,1),(),(),(*** =?∈?互为线性无关，
则*x 为(2.1)最优解的必要条件为：都有相对应的拉格朗日乘子*λ和*μ使
(),0)()()(,,1**
1******=?-?-?=?∑∑==l
j j j m i i i x x h x g x f x L μλμλ ,,,2,1,0,
,,2,1,0)(***m i m i x g i i i =≥==λλ
其中{}
0)(|)(**==x g i x I i 称为*x 的有效约束指标集。
把满足K-T 条件的可行点成为K-T 点，最优点必定是K-T 点。
例2.2.1 解非线性规划，并且求它的K-T 点
.
01)(,09)(..,
)(m i n 21222211221≥+--=≥+--=+=x x x g x x x g t s x x x f 解 非线性规划的K-T 条件在这里为
，
011221222111=??????---?????
?---??????λλx x x (2.2) ,0)9(22211=+--x x λ (2.3)
,0)1(212=+--x x λ (2.4)
,0,021≥≥λλ (2.5)
再加上约束条件
,092221≥+--x x (2.6)
.0121≥+--x x (2.7)
（1）若(2.6)式等号不成立，则由(2.3)式有01=λ，再代入(2.2)式得1-2=λ，这和（2.4）矛盾。因此(2.6)式等号必成立。
（2）若(2.7)式等号不成立，则由(2.4)式有02=λ，代入(2.2)式得
,021,0)1(2111=+=+x x λλ (2.8)
由01≥λ和(2.8)中第一式，得01=x 。再代入(2.6)式（等号成立）中和联系(2.8)中第二式，得36
121-==x ，λ。 （3）若(2.7)式等号成立，则有(2.6)、(2.7)两个等式解得两个点
T x ???? ??-+=2171,2171及T
???? ??+-2171,2171。 注意到(2.5)式，由(2.2)式中第一行等式，知1x 不能取
2171+，而若取217-1，则2x 就应取
2171+，这使(2.2)中第二行等式不能成立。 所以，对于所求的非线性规划,存在唯一的K-T 点。
2.4 增广拉格朗日乘子法
增广拉格朗日乘子法，是在拉格朗日乘子法的基础上，联系了罚函数外点法的一种方式，它的基本思想就是把拉格朗日乘子放入惩罚函数中去，来建立增广拉格朗日函数，在过程中的最优解的搜索，通过不断的惩罚因子和拉格朗日通过调整乘法器，为了能够得到拉格朗日的作用是不同的，通过求解无约束最小优化来的最低点拉格朗日函数，和拉格朗日函数的极值点附近的原始目标函数的限制最优点的基础上，得到一个接近最优解的收敛标准[4]。
考虑问题(2.1)，可构造增广拉格朗日函数
()[]{}.)(2)())(,0max(21)(,,,12
1122∑∑∑===+---+=l
j j
m
i l j j j i i
i x h x h x g x f x F σμλσλσσμλ
1. 考虑只存在等式约束的非线性优化问题
m
i x h x f i ,,10)()(min == (2.9) 则优化问题的拉格朗日函数为
()[]∑∑==++=m
i m i i i i x H c x h x f c x F 112)(2)()(,,λλ （2.10） 其中，c 是一正的罚系数。
增广拉格朗日函数法的基本思想就是通过求解给予λ及c 值下的没有约束最佳问题(2.10)和调整λ及c 的值的轮换进行，逐步接近优化问题(2.9)的解。所以将有约束优化问题的求解可以变为无约束优化问题的求解。这样，这个方法一方面具有了拉格朗日函数法还有罚函数法所具有的优点，另一方面较好的克服了它们所存在的不好的地方，叫成一种更有用的解决非线性约束优化题目的方法。
例 2.3.1 用乘子法求解问题
.01)(.
.,
22min 21212221=-+=-+x x x h t s x x x x
解 ()221212221)1(22,,-+--+=x x x x x x x μσμ?，
取2=σ，1)1(=μ，用解析法解)2,1,(min x ?，得极小点为
??
????=??????=431)1(2)1(1)1(x x x ， 修正μ有2
14121))1(()1()2(=?-=-=x h σμμ。然后再解()2,,min 21x ?，得到)2(x ，像这样继续。一般情况下，到了第k 次迭代时，)2,,()(k x μ?的极小点为
,)2()2()(41)(61)(2)(1)(??
????++=??????=k k k k k x x x μμ
.3161)()1(+=
+k k μμ 很容易看到，在那个时候+∞→k ，52)
(→k μ，T
k x ??? ??→53,52)(,即分别计算出的最优非线性规划，最优乘子和最优解。
2. 考虑不等式约束情形
先考虑只有不等式约束的问题
.
,,2,1,0)(..),(min m i x g t s x f i =≥ 利用等式约束的结果，引入变量i y ，把上式化为等式约束问题
.,,2,1,0)(..),(min
2
m i y x g t s x f i i =≥-
这样，可定义增广拉格朗日函数
∑∑==-+--=m i m
i i i i i y x gi y x g x f y x 11222,))((2))(()(),,,(~σμσμ? 从而把问题转化为求解
),,,,(~min σμ?
y x 为此，将?
~的形式改写为 ∑=??
????????-??????--+=m i i i i i x g y x f y x 1222,2))((12)(),,,(~σμμσσσσμ? 由?~的形式，可见为使?~取极小，2i
y 的取值必定是 {}[].)(,0max 1
22i i i x g y μσσ-=
于是，可以上式代入?~消去i
y ，因此定义增广拉格朗日函数 []{}
∑=--+=m
i i i i x g x f x 122,))(,0max(21)(),,(~μσμσσμ? 总结以上，不等式约束问题也就可以变为没有约束问题
).,,(~min σμ?
x 例 2.3.2 问题
.
1..,6121min
212221=++x x t s x x 最优解是)75.0,25.0(*=x ，然后利用惩罚函数法和乘子法两种方法解决出它的迭代点列。
解 1. 惩罚函数法，对于
,)1(2
6121)(min 2212221-+++=x x c x x x F k ck x
可求得最优解为
.413,41*T
k k k k k c c c c x ???? ??++= 2.乘子法，对于
),1()1(2
6121)(min 21)(2212221-+--+++=x x x x c x x x L k k ck x μ 可求得最优解为
.41)(3,41)()(T
k k k k k k k c c c c x ???? ??++++=μμ
2.5 增广拉格朗日乘子法的计算
首先半光滑函数的定义[4]：
设,:m n G ?→?是部分Lipschitz 连续映射。我们把它叫为G 在n x ?∈是半光滑的，当
(i)G 在x 处是方向可微的；
(ii) 对任意的n x ?∈?和)(x x G H ?+?∈且0→?x ，有
)()()()(x x H x G x x G ?=?--?+ο
进一步地，称G 在n x ?∈处是强半光滑的，如果G 在x 处是半光滑的，且对任意的n x ?∈?和)(x x G H ?+?∈且0→?x ，有
)()()()(2
x x H x G x x G ?=?--?+ο
若C 是n ?的一个非空闭的凸子集，对任何一个n x ?∈，都有且只有的C x ∈?使得 {},:min ?C y y x x x ∈-=-
称x
?是x 在集合C 上的投影，记作)(x C ∏。因此，投影算子C n C →?∏:对于每一个n x ?∈是有定义的，且是非扩张的。
算法：选取原始问题的初始点m k u x +?∈Ω∈,1，则第1+k 步迭代点11,++k k u x
通过下式计算：
))
((,|),,(21min arg 11121++++++∏=??????Ω∈+-∈k k k k k k k x g u u y u y x F x y x σσ
收敛性定理：设问题(2.1)解集*Ω是非空的，n n f ?→?:是单调的映射，m n g ?→?:是凸且可微的映射。Ω为欧式空间n ?的非空的闭凸子集及0>σ。则按照增广拉格朗日方法解得的序列{}k x 的聚点就是变分不等式问题(2.1)的解。
3. 增广拉格朗日乘子法的应用
3.1 供水系统调度的增广拉格朗日函数优化方法
城市供水系统的优化调整的优化问题是一个大规模，非线性。基于对库恩—塔克的最优性必要条件，所提出的解决该问题的方法[5]要求其数学模型具有凸结构，也即就是要求将数学模型中的目标函数构造成凸函数[6]。以增广拉格朗日函数法为基础，对于城市供水系统的具体特点，用二级递阶结构，找出解决该优化调度问题的一种新的算法。
3.1.1 供水系统优化调度问题的数学模型
城市供水系统是由给水泵站与供水管道按特定的配置式样结合而成的，供水泵站将水源中的水经过供水管道输送到用户[5]。具有n 个节点的供水管网的运行情况可以用一下1-n 个节点方程描述。
1,,1,0)(sgn 2/1-==----∑∈n i p p p p S u j
i j i I i ij i i i θ （3.1）
式中 i I 与节点相邻的节点标号集合；
i u 供水泵站所在的第i 个节点的供水流量；
i θ 第i 个节点的需水量（负荷）；
i p 第i 个节点的压力；
sgn 符号函数。定义为：???<-≥=;
0,10,1)sgn(a a a 当当
ij S 摩阻系数，常数；
α 常数。
对于城市供水系统的优化调度问题，一般以总供水成本作为目标函数。它包含两个部分：一部分是进入供水泵站内的水成本；另一部分是供水泵站内的电能消耗费用
[7]。其数学表达式为
[]∑∈-+=X
i i i i i i i ph p u r u v p u f )(),( （3.2）
式中 X 供水泵站所在节点标号的集合；
i v 进入第i 个供水泵站水成本的价格；
i r 单位转换系数，常数；
i ph 第i 个供水泵站的地面标高。
供水系统的调度方案除了必须满足(3.1)中的n-1个方程外，还必须满足下列不等式约束。首先必须保证系统的服务质量。也即
n i p p i i ,,1,min =≥ (3.3)
min i p 为根据系统服务程度要求确定的第i 个节点的压力下限值。其次，各供水泵站的供水量必须满足下式
X i u u u i i i ∈≤≤,max min (3.4)
这里，max i u 及min i u 为第i 个给水泵站供水流量的上限，还有下限。
(3.1)-(3.4)就建成了地方给水系统调度情况的数学模型。这样，该优化调度问题就是在系统的负荷()n i i ,1=θ都已知的条件下，确定满足方程(3.1)及不等式(3.3)、(3.4)的各供水泵站的供水流量()X i u i ∈及节点压力()n i p i ,,1 =，使式(3.2)的值为最小。为了便于说明所提出的优化算法，令
∑∈----=i I i j
i j i ij i i i p p p p S u u p g 2/1)sgn(),,(θθ
则这个优化调度问题的数学模型能够表示为
00
),,()
,(min max min min ≥-≥-≥-=u u u u p p u p g u p f θ (3.5)
3.1.2 供水系统优化调度问题的增广拉格朗日函数算法
城市给水系统优化调度问题(3.5)是一个复杂的非线性优化问题。这里，以增广拉格朗日函数法为基础，利用城市供水系统的具体特点，提出了解决该问题的一种新的算法[8]。
对于一般的城市供水系统，在问题(3.5)最优解的轨迹上，必存在且仅存在一个节
点k 使得,0min =-k k p p 而对另外的节点都有
n i k i p p i i ,,1;,min =≠>
称第k 个节点为控制点。关于供水系统的该特点，不失一般性，然后假定节点n 为控制点，即min p p =。该优化问题基于增广拉格朗日乘子法的函数为
[]2
1
111
),,(2),,(),(),,,(∑∑-=-=++=n i i n i i i u p g c u p g u p f c u p F θθλλ 由增广拉格朗日函数基本原理，通过调整交替λ,c 的值，再求解无约束优化问题，最后则可求出供水系统优化调度问题的解。 3.2 图像复原的增广拉格朗日函数优化方法
3.2.1图像复原模型的成立
图像的还原，为的就是根据退化的图像，重新构建质量较好的一开始的图像，其中，还原的程度以及速度情况，一直以来都是图像办理范畴中考虑的要紧目标[9]。按照它的图像边缘保持特殊的性质，在图像复原里面中，全变分最小化模型具有明显的优先选择权[10]。可能存在的局限性，在帧丢失现象[12]中非合作和传输目标图像传感装置，难以满足后续加工及应用。
在图像的传输和采集的过程中，我们有必要思考许多有可能图像质量退化的因素，例如外界因素，环境的动态性和复杂性、图像本身方面，可能存在的局限性，在帧丢失现象[12]中非合作和传输目标图像传感装置，难以满足后续加工及应用。
考虑到图像的退化正常情况下是不能倒过来的，实现图像的高质量还原有必要结合图像的先验模型。
图像的退化模型可以定义成：
n Ax y += (3.6)
其中，y 是退化图像，n 是噪声[13]（这种噪声一般情况下都是高斯白噪声或椒盐噪声，只想到高斯白噪声），A 是线性退化算子（一般可以写成卷积形式），x 是待复原的原始图像。
图像的还原是由退化图像y 和算子A 来让一开始图像x 的高程度还原。图像的还原模型往往具备信度项和正则化项：
2
)()(min F x y Ax x x f -+=φλ (3.7) 其中，)(x φ是正则项，0>λ为正则化参数。全变分模型抑制图像噪声[14]，所以被广泛用于图像的复原。
给定n m ?的二维灰度图像x ，它的离散全变分模型能够定义成：
),()(x D x D x TV v h =
按照所使用的矩阵的范数，能够更加强的区别各项同性和各向异性全变分TV
∑∑==+==m i n j j i v j
i h iT
v h iso x D x D x D x D x TV 112,2
,)()(),()(
11)
,()(l v l h aT v h aniso x D x D x D x D x TV +==
此中，h D 和v D 前一个指的是水平方向上，后一个指的是竖直方向上的梯度算子，矩阵1l 范数则是把悉数元素的绝对值加起来。
全变分图像复原模型为： 21arg min ()()2
F x f x TV x Ax y λ=+
- (3.8) 关于图像恢复的问题，各向同性TV 通常可以得到更好的恢复效果。因此，我们认为图像的各向同性的总变异的恢复模型的算法。
3.2.2 图像复原问题的增广拉格朗日函数算法
用辅助变量u 代换TV 里面的x ，(3.8)式等效变成解一下等式约束优化问题： x
u t s y Ax u TV F u x =-+
..2
1)(min arg 2,λ (3.9) 将各向同性TV 代入(3.8)式，可以得到： ()21arg min (),2h v F iT x
f x D x D x Ax y λ=+
- (3.10) 把辅助变量u 和v 加入，(3.10)式就能变成下面的等式约束优化题目：
()x
D v x D u t s y Ax v u v h F x
v u ==-+,..21,min arg 22,,λ (3.11) 通过以上各式的转化，原始的全变分图像复原问题，便转化成了等价的等式约束优化问题，进一步地便可以利用增广拉格朗日算法对以上等式约束问题进行高效的求解。 (3.9)式对应的增广拉格朗日函数为：
222
)(21)(),,,(F T F y Ax x u y Ax u TV u x L -+-+-+
=δκλδκ (3.12) 其中，κ为拉格朗日乘子，0≥σ为惩罚参数。 增广拉格朗日方法具有无条件收敛等优点，使得它在TV 图像复原问题中具有独到的优势。
目标函数(3.12)通过简单的变换，可以得到改良的增广拉格朗日目标函数形式：
222
21)(),,,(F F p x u y Ax u TV p u x L +-+-+=δλδ (3.13) 为了使求解的时候可以简便些，我们利用非精确的增广拉格朗日方法，使用交替更新x 和u 的策略对问题进行求解。方法如下：
))(()(11k k k H k H k p u y A A A x +++=-+δδ (3.14)
211)(2
1)(/min arg F k k iso k u k p x u u TV u --+=++δλ (3.15) 111+++-+=k k k k x u p p
k k p δδ=+1
其中，H A 表示矩阵A 的共轭转置，21≤≤ρ。假若A 是卷积算子，可以利用快速傅里叶变换，也可以利用离散余弦变换来计算Ax 和y A H 。方程(3.15)事实上是一个各向同性TV 图像去噪声问题。理论分析表明，当max δδ<∞时，可以验证收敛性以及解的最优性。
如果取1=ρ，可以得到交替方向乘子法。许多的以增广拉格朗日为基础的TV 图像还原算法都使用交替方向乘子法求解[15]。
除此之外，增广拉格朗日也可以广泛应用于压缩感知、基于字典的图像复原问题、矩阵填充问题、鲁棒主成分分析问题等。
结论
增广拉格朗日乘子法作为一种解决含有约束条件的然后求最好的解的方法，用于工程、国防、经济、金融和社会科学等很多方面。因此，探讨增广拉格朗日乘子法有很大意义。通过说明增广拉格朗日乘子法的产生和发展，从而实现增广拉格朗日乘子法更好的应用。其中增广拉格朗日乘子法作为对罚函数外点法和拉格朗日乘子法的结合，求解精度较高，是一种非常切实可行的设计优化方法。本文通过实际应用的例子说明了增广拉格朗日惩罚在应用过程中，首先对实际问题建立数学模型，再使用本方法可以加快找到最优结果的速度，也使最优结果更精确。
总结目前的增广拉格朗日乘子法的应用，在实际应用时，建立模型后计算较为复杂，因此和计算机结合，编写相应算法会更好。
约束优化算法拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法 约束优化问题的标准形式为： min (),..()0,1,2,...,()0,1,2,...,n i j f x x R s t g x i m h x j l ∈≤=== ,,:n i j f g h R R →其中 约束优化算法的基本思想是：通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问题，再利用优化迭代过程不断地更新效用函数，以使得算法收敛。 1. 罚函数法 罚函数法（内点法）的主思想是：在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”，当迭代点靠近边界时，目标函数陡然增大，以示惩罚，阻止迭代点穿越边界，这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。 它只适用于不等式约束： min (),..0,1,2,...,n i f x x R s t g i m ∈≤= 它的可行域为： {|()0,1,2,...,}n i D x R g x i m =∈≤= 对上述约束问题，其其可行域的内点可行集0D ≠?的情况下，引入效用函数： min (,)()()B x r f x rB x =+%、 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑% 算法的具体步骤如下： 给定控制误差0ε>，惩罚因子的缩小系数01c <<。 步骤1：令1k =，选定初始点(0)0x D ∈，给定10r >（一般取10）。 步骤2：以()k x 为初始点，求解无约束 min (,)()()k B x r f x r B x =+% 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑%，得最优解()()k k x x r = 步骤3：若()()k k r B x ε<%，则()k x 为其近似最优解，停；否则，令,1k k r cr k k ==+， 转步骤2.
基于辅助问题原理及内点法的分区并行最优潮流算法
第40卷 第4期2006年4月 西 安 交 通 大 学 学 报 J OU RNAL O F XI′AN J IAO TON G U N IV ERSIT Y Vol.40 №4 Ap r.2006 基于辅助问题原理及内点法的分区并行最优潮流算法 商小乐,李建华,刘 锐,李 夏 (西安交通大学电气工程学院,710049,西安) 摘要:针对大电网在最优化问题计算中存在计算时间长、矩阵维数高等问题,按照电力系统的实际地理分布,在某些联络线处将整个电网分解为多个相对独立的子系统,子系统间通过边界节点产生的约束条件进行协调,建立了一个基于辅助问题原理(A PP)的多分区并行最优潮流计算模型.应用A PP方法,将大电网最优潮流问题转化为多个规模相对较小子系统的并行协调优化问题,在每个子系统中采用跟踪中心轨迹内点法求解子系统的优化问题.测试算例的计算结果表明,该算法减少了整个问题的矩阵维数,降低了问题的求解难度,具有较强的收敛性、快速性和实用性. 关键词:最优潮流;多分区;辅助问题原理;并行计算;内点法 中图分类号:TM744 文献标识码:A 文章编号:0253Ο987X(2006)04Ο0468Ο05 Paralleled Optimal Pow er Flow Algorithm B ased on Auxiliary Problem Principle and Interior Point Algorithm Shang Xiaole,Li Jianhua,Liu Rui,Li Xia (School of Electrical Engineering,Xi′an Jiaotong University,Xi′an710049,China) Abstract:To solve t he difficulties of long comp uting period and huge mat rix dimensions in t he t raditional large scale optimal power flow(O PF)algorit hms,a complex power system is decom2 posed into several logical independent subsystems geograp hically,which are coordinated via re2 st rictions of t he jointed borders.A dist ributed processing model based on subsystem decomposi2 tion and auxiliary problem p rinciple(A PP)met hod is p roposed,where t he large scale system O PF p roblem is decompo sed into several parallel coordinating subsystem optimization ones and solved wit h t he interior point algorit hm.It is demonst rated t hat t he algorit hm rapidly reduces t he dimensions and t he calculation complexity of overall OPF problem wit h higher efficiency and con2 vergence. K eyw ords:optimal power flow;subsystem decompo sition;auxiliary problem p rinciple;parallel comp utation;interior point algorit hm 随着电力系统规模不断扩大和对在线实时分析要求的不断提高,传统算法在计算速度上已经无法满足需求,人工智能算法虽然可以得到较好的优化解,但计算速度缓慢.此外,传统算法和人工智能算法目前都面临着大系统所带来的维数灾难问题,快速、稳定的最优潮流算法已经成为大规模电力系统计算与运行控制的关键.近年来,并行算法正逐渐应用到各种科学计算当中.在电力系统计算方面,并行算法也有了一些应用[1Ο4],这些方法采用服务器/客户端结构,主从进程之间存在大量数据交换,造成了数据收集和发送时的瓶颈.文献[5Ο7]提出了一种新的并行计算方法,它应用辅助问题原理[8],将一个整体的最优化问题分解为多个相对独立的子问题,并采用并行迭代求解子问题的方式来完成对整个问题的求解,为电力系统并行优化计算提供了一种新思路. 本文所讨论的是基于辅助问题原理(A PP)方法及跟踪中心轨迹内点法的分区并行最优潮流算法, 收稿日期:2005Ο09Ο16. 作者简介:商小乐(1982～),男,硕士生;李建华(联系人),女,教授.
增广拉格朗日乘子法及其在约束优化问题的应用
毕业论文 题目增广拉格朗日乘数法及在 其在约束优化问题的应用学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算1001班 学生高亚茹 学号 指导教师邢顺来 二〇一四年五月二十五日
摘要 增广拉格朗日乘子法作为求解约束优化问题的一种重要方法，近年来研究增广拉格朗日乘子法的应用显得更加重要。本文首要介绍了增广拉格朗日乘子法的产生，通过解释增广拉格朗日乘子法是罚函数法和拉格朗日乘子法的有机结合，引出了现在对增广拉格朗日法的发展状况，概述了增广拉格朗日乘子法基本理论。然后具体说明了增广拉格朗日法在科学领域上的实际应用，如在供水系统和图像复原的应用，也证明了增广拉格朗日乘子法的实际应用性。 关键词：增广拉格朗日乘子法；罚函数法；供水系统；图像复原
ABSTRACT Augmented lagrange multiplier methods as an important method for solving constrained optimization problems, recent studies in applications of augmented lagrange multiplier methods is even more important. This paper describes the generation of primary augmented lagrange multiplier method. By interpreting the augmented lagrangian multiplier methods is the combination of penalty function methods and Lagrange multiplier methods, It is given to a recent development of augmented lagrangian methods. Then is shown the basic theories of augmented lagrangian multiplier
nesta算法讲座
Nesta 算法以及一些推广 各位老师，各位同学，大家好。今天我给大家讲下Nesta 这个算法。这个讲稿我写的比较啰嗦，有大量的重复语言，这样做呢，是刻意为之，因为我想给大家留足思考缓冲时间，所以故意写的比较啰嗦。压缩感知是一种全新的采样方式，当被采样信号很稀疏时，只需要少量的随机采样即可得到信号的全部信息或者近似全部信息。但是，俗话说，上帝为了打开了一扇门的同时也会关上另一扇门，压缩感知存在的一个重要问题就是如何有效地从压缩后的测量值中恢复出原始信号。关于压缩感知的理论和应用，文章很多，这里就不介绍了，我们直奔主题。 压缩感知的信号恢复，本质上就是求下面这个优化问题 1 2min ..x s t b Ax ε -≤ 这个公式的含义，想必大家都比较清楚了，我就不再赘述。需要说的一点是，实际上，一些二阶算法比如内点法，在求解上述问题时很准确，但是二阶算法计算复杂度很高，难以满足大规模问题。所以一般来说，我们在设计求解上述问题的算法时，只考虑一阶算法，就是最多只求一阶导数。目前比较好的一阶算法比较多，例如TWISA[1]，FISTA[2]，primal-dual[3]算法，增广拉格朗日法[4]，approximate message passing[5]算法，贪婪算法，同伦法，很多很多，大家可以在网上搜索文献看。一般来说，这些算法速度是足够的，但是，一般不够精确，因为拉格朗日乘子λ一般无法精确确定。还有一个比较现实的问题，就是这些算法（不是全部）很难处理大动态范围信号，什么叫大动态范围信号？其实很简单，就是有时候信号幅度是10，有时候又是0.0001，变化极大。再有一个问题就是，现实中的信号一般都不是绝对稀疏的，即便通过正交变换，也都不是绝对稀疏，而是近似稀疏，就是少量元素幅值较大，其余的很接近0，但不是0，这也是一个现实的问题。 Nesta 这个算法呢，它的全名叫Nesterov ’s algorithm ，这里的Nesterov 就是大名鼎鼎的Yuri Nesterov ，这个家伙是优化界非常牛的人，他和Arkadi Nemirovski 一起把线性规划推广为锥规划。Nesta 这个算法，本质上是Nesterov 的一些思想的综合，主要是他三篇论文的综合，第一篇是A method for unconstrained convex minimization problem with the rate of convergence O(1/k 2)，这个论文催生了非常著名的FISTA 算法；第二篇是Smooth minimization of non-smooth functions ，这个论文同样非常重要，是讲如何平滑一个不光滑的函数。为什么重要呢？很简单，因为我们压缩感知里的l 1范数就是不光滑的凸函数，它在0点是不可导的，所以应用了光滑技术就可以变成光滑函数，就是处处可导函数，这样就很好处理了；第三篇论文是Gradient methods for minimizing composite objective function ，这个论文开发了一种优化方法，收敛速度很快，而且计算很简单。Nesta 是这三篇论文的综合，后面我们会具体讲。 在上述Nesterov 的第三篇论文里，就是Gradient methods for minimizing composite objective function 这篇论文里，他开发了一种算法，用于求解以下问题 ()min p x Q f x ∈ 这里呢，要求f (x )是一个处处可导的函数，注意，要求f (x )是可导的，不可导就不行。p Q 是一个凸集。此外，还有一个要求，就是f (x )的梯度是有界的，通俗来说，就是f (x )的梯度要满足下面这个不等式 ()() 22 f x f y L x y ?-?≤-对任意的x,y 都成立 L 是个常数。当满足这些条件以后，反复迭代下面的算法，就得到优化问题的解。
【整理】深入理解拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和KKT条件
【整理】深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和 KKT条件 在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT（Karush Kuhn Tucker）条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，在有不等约束时使用KKT条件。我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数，求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化，即最大值问题可以转化成最小值问题)。提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子。对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象。二者均是求解最优化问题的方法，不同之处在于应用的情形不同。一般情况下，最优化问题会碰到一下三种情况：（1）无约束条件这是最简单的情况，解决方法通常是函数对变量求导，令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可。（2）等式约束条件设目标函数为f(x)，约束条件为h_k(x)，形如: s.t. 表示subject to ，“受限于”的意思，l表示有l个约束条件。则解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比较简单不在赘述，这里主要讲拉格朗日法，因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。例如给定椭球: 求这个椭
球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题，即在条件下，求的最大值。当然这个问题实际可以先根据条件消去z (消元法)，然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难，甚至是做不到的，这时候就需要用拉格朗日乘数法了。首先定义拉格朗日函数F(x)：（其中λk是各个约束条件的待定系数。） 然后解变量的偏导方程：......, 如果有l个约束条件，就应该有l+1个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值（高等数学中提到的极值），将结果带回原方程验证就可得到解。回到上面的题目，通过拉格朗日乘数法将问题转化为对求偏导得到 联立前面三个方程得到和，带入第四个方程解之 带入解得最大体积为：至于为什么这么做可以求解最优化？维基百科上给出了一个比较好的直观解释。举个二维最优化的例子： min f(x,y) s.t. g(x,y) = c 这里画出z=f(x,y)的等高线（函数登高线定义见百度百科）： 绿线标出的是约束g(x,y)=c的点的轨迹。蓝线是f(x,y)的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。从梯度的方向上来看，显然有d1>d2。绿色的线是约束，也就是说，只要正好落在这条绿线上的点才可能是满足要求的点。如果没有
大连理工优化方法 增广拉格朗日方法MATLAB程序
上机大作业II 定义目标函数fun function f=fun(x) x1=x(1); x2=x(2); f=4*x1-x2^2-12; 定义目标函数梯度函数dfun function f=dfun(x) x2=x(2); f=[4;-2*x2]; 定义等式约束函数hf function qua=hf(x) qua=25-x(1)^2-x(2)^2; 定义等式约束函数梯度函数dhf function qua=dhf(x) qua=[-2*x(1);-2*x(2)]; 定义不等式约束函数gfun function inq=gfun(x) inq=10*x(1)-x(1)^2+10*x(2)-x(2)^2-34; 定义不等式约束梯度数dgf function inq=dgf(x) inq=[10-2*x(1);10-2*x(2)]; 定义增广拉格朗日函数mpsi function psi=mpsi(x,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma) f=feval(fun,x); he=feval(hf,x); gi=feval(gfun,x); l=length(he); m=length(gi); psi=f; s1=0; for i=1:l psi=psi-he(i)*mu(i); s1=s1+he(i)^2; end
psi=psi+0.5*sigma*s1; s2=0.0; for i=1:m s3=max(0.0, lambda(i) - sigma*gi(i)); s2=s2+s3^2-lambda(i)^2; end psi=psi+s2/(2.0*sigma); 定义增广拉格朗日函数梯度函数dmpsi function dpsi=dmpsi(x,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma) dpsi=feval(dfun,x); he=feval(hf,x); gi=feval(gfun,x); dhe=feval(dhf,x); dgi=feval(dgf,x); l=length(he); m=length(gi); for i=1:l dpsi=dpsi+(sigma*he(i)-mu(i))*dhe(:,i); end for i=1:m dpsi=dpsi+(sigma*gi(i)-lambda(i))*dgi(:,i); end 定义BFGS法函数函数bfgs function [x,val,k]=bfgs(mpsi,dmpsi,x0,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma) maxk=1000; rho=0.5; sigma1=0.4; epsilon1=1e-4; k=0; n=length(x0); Bk=eye(n); while(k §4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给 较好学生． —————————————————————— 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面 12 2+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 一维搜索: 1精确一维搜索 精确一维搜索可以分为三类：区间收缩法、函数逼近法（插值法）、以及求根法。 区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。包括：黄金分割法、成功失败法、斐波那契法、对分搜索法以及三点等间隔搜索法等。 优化算法通常具有局部性质，通常的迭代需要在单峰区间进行操作以保证算法收敛。确定初始区间的方法：进退法 ①已知搜索起点和初始步长；②然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向；③如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。 1.1黄金分割法： 黄金分割法是一种区间收缩方法(或分割方法)，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。具有对称性以及保持缩减比原则。 优点：不要求函数可微，除过第一次外，每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单； 缺点：收敛速度慢； 函数逼近法（插值法）：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。 1.2牛顿法： 将目标函数二阶泰勒展开，略去高阶项后近似的替代目标函数，然后用二次函数的极小点作为目标函数的近似极小点。 牛顿法的优点是收敛速度快，缺点是需要计算二阶导数，要求初始点选的好，否则可能不收敛。 1.2抛物线法： 抛物线法的基本思想就是用二次函数抛物线来近似的代替目标函数，并以它的极小点作为目标函数的近似极小点。在一定条件下， 抛物线法是超线性收敛的。 1.3三次插值法： 三次插值法是用两点处的函数值和导数值来构造差值多项式，以该曲线的极小点来逼近目标函数的极小点。一般来说，三次插值法比抛物线法的收敛速度要快。 精确一维搜索的方法选择： 1如目标函数能求二阶导数：用Newton法，收敛快。 2如目标函数能求一阶导数： 1如果导数容易求出，考虑用三次插值法，收敛较快； 2对分法、收敛速度慢，但可靠； 3只需计算函数值的方法： 1二次插值法, 收敛快，但对函数单峰依赖较强； 2黄金分割法收敛速度较慢，但实用性强，可靠； 4减少总体计算时间：非精确一维搜索方法更加有效。 2非精确一维搜索 精确搜索计算量较大，特别是当迭代点远离最优解时，效率很低；而且，很多最优化方法的收敛速度并不依赖于精确一维搜索的过程。 非精确的一维搜索：通过计算少量的函数值，得到一个可接受步长，使得后续迭代点使目标函数要“充分”下降,达到一个满意水平，非精确一维搜索方法可大大节省计算量，且总体上有较快的收敛速度。不用寻找单谷区间！ 包括Armijo-Goldstein准则和Wolfe准则。Armijo-Goldstein 准则可能将目标函数的极小点给排除在可接受区域外！！Wolfe将准则更新后可避免最优解被排除。 拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因 拉格朗日乘子法无疑是最优化理论中最重要的一个方法。但是现在网上并没有很好的完整介绍整个方法的文章。所以小编整理了如下文章，希望能博得大家一赞。在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件是非常重要的两个求取方法，对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件去求取。当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。 KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化。之前学习的时候，只知道直接应用两个方法，但是却不知道为什么拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件能够起作用，为什么要这样去求取最优值呢？本文将首先把什么是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件叙述一下；然后开始分别谈谈为什么要这样求最优值。 一. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件通常我们需要求解的最优化问题有如下几类 ：(i) 无约束优化问题，可以写为:min f(x); (ii) 有等式约束的优化问题，可以写为:min f(x), s.t. h_i(x) = 0; i =1, ..., n (iii) 有不等式约束的优化问题，可以写为：min f(x), s.t. g_i(x) 合成为一个式子L(a, x) = f(x) + a*h(x), 这里把a和h(x)视为向量形式，a是横向量，h(x)为列向量，之所以这么写，完全是因为csdn很难写数学公式，只能将就了.....。然后求取最优值，可以通过对L(a,x)对各个参数求导取零，联立等式进行求取，这个在高等数学里面有讲，但是没有讲为什么这么做就可以，在后面，将简要介绍其思想。(b) KKT条件对于含有不等式约束的优化问题，如何求取最优值呢？常用的方法是KKT条件，同样地，把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x)，KKT条件是说最优值必须满足以下条件： 1. L(a, b, x)对x求导为零； 2. h(x) =0; 3. a*g(x) = 0;求取这三个等式之后就能得到候选最优值。其中第三个式子非常有趣，因为g(x)=0，我们可以把f(x)写为：max_{a,b} L(a,b,x)，为什么呢？因为h(x)=0, g(x)<=0，现在是取L(a,b,x)的最大值，a*g(x)是<=0，所以L(a,b,x) 第44卷第3期红外与激光工程2015年3月Vol.44No.3Infrared and Laser Engineering Mar.2015 L1稀疏正则化的高光谱混合像元分解算法比较 邓承志，张绍泉，汪胜前，田伟，朱华生，胡赛凤 (南昌工程学院信息工程学院，江西南昌330099) 摘要：基于稀疏性的高光谱解混是近年来高光谱混合像元分解的研究热点。主要研究了L1正则化的高光谱混合像元分解算法。首先分析了L1正则化的三种解混模型，即无约束、非负约束和全约束模型；然后给出了三种模型对应的数值求解算法；最后，采用模拟的和真实的高光谱数据进行实验，比较了三种高光谱混合像元分解算法的效果。实验结果表明：三种模型均具有很好的高光谱混合像元分解精度(SRE)，其中全约束模型最好，非负约束模型次之，无约束模型最差；全约束模型在信噪比低和端元数多的情况下，仍然获得较高的SRE。 关键词：高光谱；混合像元分解；稀疏性；增广拉格朗日 中图分类号：TP753文献标志码：A文章编号：1007-2276(2015)03-1092-06 Hyperspectral unmixing algorithm based on L1regularization Deng Chengzhi,Zhang Shaoquan,Wang Shengqian,Tian Wei,Zhu Huasheng,Hu Saifeng (Department of Information Engineering,Nanchang Institute of Technology,Nanchang330099,China) Abstract:Hyperspectral unmixing based on sparsity is a research hotspot in recent years.This paper studies the hyperspectral unmixing algorithms based on L1regularization.First we analyzed three unmixing models,including unconstrained model,non-negative constraint model and full-constrained model.And then the corresponding algorithms are presented.In the end,both simulated and real hyperspectral data sets are used to compare and evaluate the proposed three hyperspectral unmixing algorithms.Experimental results demonstrate that three models all have good high-precision.The full constrained model achieves the best unmixing precision(SRE).The non-negative constrained model is better.And the unconstrained model is worst.In particular,the fully constrained model achieves the higher SRE under the low signal to noise ratio and a large amount of endmembers situation. Key words:hyperspectral;unmixing;sparsity;augmented Lagrangian 收稿日期：2014-07-08；修订日期：2014-08-10 基金项目：国家自然科学基金(61162022，61362036)；江西省自然科学基金(20132BAB201021)； 江西省科技落地计划(KJLD12098)；江西省教育厅科技项目(GJJ12632) 作者简介：邓承志(1980-)，男，副教授，博士，主要从事遥感影像处理方面的研究。Email:dengchengzhi@https://www.360docs.net/doc/1c11501097.html, 拉格朗日乘子法 约束优化问题的标准形式为: min (),..()0,1,2,...,()0,1,2,...,n i j f x x R s t g x i m h x j l ∈≤=== ,,:n i j f g h R R →其中 约束优化算法的基本思想就是:通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问题,再利用优化迭代过程不断地更新效用函数,以使得算法收敛。 1. 罚函数法 罚函数法(内点法)的主思想就是:在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”,当迭代点靠近边界时,目标函数陡然增大,以示惩罚,阻止迭代点穿越边界,这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。 它只适用于不等式约束: min (),..0,1,2,...,n i f x x R s t g i m ∈≤= 它的可行域为: {|()0,1,2,...,}n i D x R g x i m =∈≤= 对上述约束问题,其其可行域的内点可行集0D ≠?的情况下,引入效用函数: min (,)()()B x r f x rB x =+%、 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑% 算法的具体步骤如下: 给定控制误差0ε>,惩罚因子的缩小系数01c <<。 步骤1:令1k =,选定初始点(0)0x D ∈,给定10r >(一般取10)。 步骤2:以()k x 为初始点,求解无约束 min (,)()()k B x r f x r B x =+% 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑%,得最优解()()k k x x r = 步骤3:若()()k k r B x ε<%,则()k x 为其近似最优解,停;否则,令,1k k r cr k k ==+,转步骤2、 2. 拉格朗日乘子法 §4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等 式，是个好方法．可推荐给较好学生． 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在xyz V = 限制下 的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件0),(=y x ?之下求函数= z ),(y x f 的极值 . 当满 足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ?满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ?决定隐函数 )(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有 0)(='+=x g f f dx dz y x . 代入 ) ,() ,()(00000y x y x x g y x ??- =', 就有 0) ,() ,() ,(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ??, ( 以下x f 、y f 、x ?、y ?均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ?—y f x ?0= , 亦即 (x f , y f ) (?y ? ,x ?-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ? , x ?-)正交. 注意到向量(x ? , y ?)也与向量(y ? , x ?-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ? , y ?)线性相关, 即存在实数λ, 使 增广拉格朗日乘子法及其 在约束优化问题的应用 Prepared on 22 November 2020 毕业论文题目增广拉格朗日乘数法及在 其在约束优化问题的应用 学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算1001班 学生高亚茹 学号 指导教师邢顺来 二〇一四年五月二十五日 摘要 增广拉格朗日乘子法作为求解约束优化问题的一种重要方法，近年来研究增广拉格朗日乘子法的应用显得更加重要。本文首要介绍了增广拉格朗日乘子法的产生，通过解释增广拉格朗日乘子法是罚函数法和拉格朗日乘子法的有机结合，引出了现在对增广拉格朗日法的发展状况，概述了增广拉格朗日乘子法基本理论。然后具体说明了增广拉格朗日法在科学领域上的实际应用，如在供水系统和图像复原的应用，也证明了增广拉格朗日乘子法的实际应用性。 关键词：增广拉格朗日乘子法；罚函数法；供水系统；图像复原 ABSTRACT Augmentedlagrangemultipliermethodsasanimportantmethodforsolvingconstrainedoptimizat ionproblems,：AugmentedLagrangeMultiplierMethods； PenaltyFunctionMethodsWaterSupplySystems；ImageRestorations 目录 摘要………………………………………………..…….….……………...I ABSTRACT........................................................................................II 1前言.. (1) 增广拉格朗日函数法的产生与应用 (1) 研究增广拉格朗日函数法应用的意义 (1) 2增广拉格朗日乘子法 (3) 约束非线性规划 (3) 罚函数外点法 (4) 拉格朗日乘子法 (6) “高观点”下的初等数学 许高峰11数本一班 摘要拉格朗日乘数法是一种对于解决条件极值问题非常有效的方法，在大学的各类微积分教材中都有介绍，对于初学者可能看不到这种方法的具体作用，以致在学习的过程中难免忽略了它，本文透过拉格朗日乘数法的介绍，以及它在一些问题上的具体应用，让无论是数学专业的本科生，以及将来从事数学师范专业的学生，都能从中获取一些启发。 关键词拉格朗日乘数法最大值最小值约束条件 例一：设实数y x ，满足554422=++xy y x ，设22y x S +=，则S 的最小值为 .（浙江省杭州市2012届高三上学期期中七校联考数学（理））证明：因为 5)(2 135)(2 5445 544022222222?+=?+++≤?++=y x y x y x xy y x 所以有05)(21322≥?+y x 成立，即131022≥+y x ，所以S 的最小值为13 10，当且仅当y x =时成立.说明：一看到这类题，高中学生的第一反应一般是用不等式的知识去解决，这种思路是对的，但是用不等式的方法是有局限性的，不等式一般能解出最大值或最小值中的其中一个，却不一定能同时解出最大和最小值，比如，我把上述题目改为求S 的最大值是多少，显然改完之后，题目的难度就增加了，所以，这类题目需要我们进一步的研究，去寻找更一般的方法，从而更有效地解决这一类问题。 如果把上述题目改为求最大值，显然，如果在用不等式的知识就有点困难了，但是在高中生的知识水上，还是可以用初等数学的知识加以解决的。容易想到把上述等式凑成平方项之和以及完全平方的形式，从直观上便可以判断出所求未知量的最大值.考虑化成如下形式： 2 22222)(55 )()(By Bx Ay Ax By Bx Ay Ax +?=+?=+++ 拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法，该方法针对某些高考 中二元及三元变量最值问题，不失为一种既实用又简便的方法。拉格朗日乘数法：求在约束条件(G(x,y,z) = 0,下f(x,y,z)的极值时，拉格朗日函数 L(x,y,z)二f(x,y,z)- 入H (x,y t z) -□右(xy乂),可由L x=0, L y=0, Lz=0, ll(xyz) = 0, G(xyz)二0,解出函数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。这 里L x=0, L y=0, L z=0可以理解为关于x,y,z求偏导数，入，□称为拉格朗日乘数。 例.已知x2寸 xy 3，求x2y2xy的最大值和最小值。 1.已知正实数x, y满足xy+2x+y=4，则x+y+1的最小值为 ______________ . 、‘ 1 1 2■若正实数x, y，满足x y 5，则x y的最大值是 _____________ . x y 3. 若实数x, y满足x2y2xy 1，则x y的最大值___________________ . 4. 设正实数x，y，z满足x2-3xy + 4y2—z = 0，则当—取得最小值时，x+ 2y—z的最大值为() xy 5. 设a,b,c为实数，且满足a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 ____________ 6. ____________________________________________________________________________________ 已知实数a,b,c满足a+b+c=0, a 2+b2+c2=1,则a的最大值为_______________________ . 2 2 3 4 5 7. 对于c 0,当非零实数a，b满足4a 2ab 4b c 0，且使|2a b|最大时，的最小值 a b c 8.已知a,b [0,1],a+b=1, 求「二+ +(1-a)(1-b) 的取值范围。(若去掉条件a+b=1呢) 拉格朗日乘数法 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法，该方法针对某些高考中二元及三元变量最值问题，不失为一种既实用又简便的方法。 拉格朗日乘数法：求在约束条件 ,下f(x,y,z)的极值时，拉格朗日函数 L(x,y,z)= f(x,y,z)-λμ,可由L x =0, L y =0, L z =0,,,解出函 数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。这里L x =0, L y =0, L z =0可以理解为关于x,y,z 求 偏导数，λ，μ称为拉格朗日乘数。 例．已知223x y xy ++=，求22x y xy +-的最大值和最小值。 1.已知正实数,x y 满足24xy x y ，则1x y 的最小值为__________． 2.若正实数y x ，，满足115x y x y + ++=，则x y +的最大值是 ． 3.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值_________. 4.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) 5.设a,b,c 为实数，且满足a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为__________ 6．已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值为___________. 7．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c -+的最小值为 .拉格朗日乘数法
最优化理论
拉格朗日乘子法和KKT条件的定义及选取原因
L_1稀疏正则化的高光谱混合像元分解算法比较_邓承志
约束优化算法拉格朗日乘子法
拉格朗日乘数法word版
增广拉格朗日乘子法及其在约束优化问题的应用
浅谈拉格朗日乘数法的应用
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法教学教材