沪教版(上海)高二数学第二学期-11.2 直线的倾斜角与斜率-教案

直线的倾斜角和斜率

【教学目标】

1．在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率；公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；

2．进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用；

3．培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养；

4．充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想．

【教学重点】

斜率概念理解与斜率公式

【教学难点】

斜率概念理解与斜率公式

【课时安排】

1课时

【教学准备】

多媒体、实物投影仪

【教学过程】

一、复习引入：

1．直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

2．直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。

倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示。

3．概念辨析：①当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°；③倾斜角是90°的直线没有斜率。

提问：

（1）哪些条件可以确定一条直线？

（2）在平面直角坐标系中，过点P 的任何一条直线l ，对x 轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？

（3）给定直线的倾斜角α，如何求斜率？

（4）设α是直线的倾斜角，k 为其斜率，则当0≥k 及0

（5）判断正误：

①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （） ②直线的斜率值为βtan ，则它的倾斜角为β（）

③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（） ④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在（）二、讲解新课：

4．斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：

)

(211

2x x x x y y k ≠--=

推导：设直线21P P 的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的（如上图所示）。向量21P P 的坐标是),(1212y y x x --。过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是),(1212y y x x --，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，1

2tan x x y y --=

α)(21x x ≠ 即)(211

212x x x x y y k ≠--=

同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论。

当2121,y y x x ≠=（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角α＝?90，没有斜率 5．斜率公式的形式特点及适用范围：

①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒； ②斜率公式表明，直线对于x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；

③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用； ④当2121,y y x x ≠=时，直线的倾斜角α＝?90，没有斜率

6．确定一条直线需要具备几个独立条件：需要知道直线经过两个已知点；需要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等三、讲解范例：

例1求经过A （－2，0）、B （－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角。解：1)

2(50

3-=----=

k ，就是1tan -=α

,1800?<≤?αΘ ?=∴135α

因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是.135?

点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角。例2求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α

①)3,2(1-P 、)8,2(2-P ；斜率不存在，?=90α ②)2,5(1-P 、)2,2(2--P ； 0=k ，?=0α

③)2,1(1-P 、)4,3(2-P 23-=k ，2

arctan -=πα

点评：结合反三角的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表达式：①当0>k 时，k arctan =α；②当0=k 时，?=0α； ③当0

例3 若三点)3,2(A ，)2,3(-B ，),2

(m C 共线，求m 的值

解：221

132332=

?+-=+--?=m m k k AC AB 拓广：到目前为止共有几种证明三点共线的方法

例4 已知三角形的顶点)5,0(A ，)2,1(-B ，),6(m C -，BC 中点为D ，当AD 的斜率为1时，求m 的值及AD 的长

解：D 点坐标为???

??--22,

5m D ，712

=?=---=m m k AD

5)255()25(22=-+=AD

四、课堂练习：

1．若直线l 过（－2，3）和（6，－5）两点，则直线l 的斜率为____ ，倾斜角为______。 2．已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2为________。

3．已知直线l 过A （－2，（t+t 1）2）、B （2，（t －t

1）2）两点，则此直线斜率为______，

倾斜角为___ 。

4．已知两点A （x ，－2），B （3，0），并且直线AB 的斜率为2

，则x= _______。

5．斜率为2的直线经过（3，5）、（a ，7）、（－1，b ）三点，则A 、B 的值是（） A ．a=4，b=0 B ．a=－4，b=－3 C ．a=4，b=－3 D ．a=－4，b=3 6．已知两点M （2，－3）、N （－3，－2），直线l 过点P （1，1）且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）

A ．k ≥43或k ≤－4

B ．－4≤k ≤43

C ． 43≤k ≤4

D ．－4

≤k ≤4

7．已知两点A （－3，4）、B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点。（1）求直线l 的斜率k 的取值范围。（2）求直线l 的倾斜角α的取值范围。

8．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率。

9．过P （－1，2）的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线的斜率和倾斜角

参考答案： 1．－1；135°

2．当α1=0时， α2＝0，当0°＜α1＜180°时，α＝180°－α1 3．－1；135° 4．－1 5．C 6．A 7．（1）k ≤－1或k ≥3 （2）arctan3≤α≤

43π 8．－3

9． 2 ，arctan2 五、小结：通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率公式，理解斜率公式的推导

【作业布置】【板书设计】

直线的倾斜角与斜率的关系

课件1 直线的倾斜角与斜率的关系课件编号：ABⅡ－3－1－1．课件名称：直线的倾斜角与斜率的关系．课件运行环境：几何画板4.0以上版本．课件主要功能：配合教科书“3.1.1倾斜角与斜率”的教学，探究倾斜角的范围以及直线的倾斜角与斜率的关系．课件制作过程：（1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签，并用【Text Tool】（文本工具）把标签改为O．（2）单击【Graph】菜单的【Plot Points…】（绘制点），弹出“Plot Points”对话框，如图1，绘制固定点A（3，0），B（0，3），C（－3，0）．图1 （3）依次选中点A，B，C，单击【Construct】（作图）菜单中的【Arc Though 3 Points】（过三点的弧），绘制半圆（图2）．图2 （4）选中半圆，单击【Construct】菜单中的【Point on Arc】(弧上的点)在半圆上取一点，按Ctrl＋K，加注标签，并用【Text Tool】把标签改为P.

（5）选中半圆，单击【Display】（显示）菜单中的【Hide Art】（隐藏弧）隐藏半圆. （6）依次选中点O，A，P，单击【Construct】菜单中的【Arc On Circle】（圆上的弧），绘制圆弧，并单击【Display】菜单中的【Line Width】（线型）菜单中的【Thick】（粗线），单击【Display】菜单中的【Color】（颜色）菜单中的蓝色（图3）．图3 （7）选中点O，P，单击【Construct】菜单中的【Line】(直线)绘制直线OP，并单击【Display】菜单中的【Line Width】菜单中的【Thick】，单击【Display】菜单中的【Color】菜单中的蓝色．（8）选中点P，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），弹出对话框，如图4，单击【确定】，出现一个控制按钮，将按钮标签改为“移动点P”．图4

中职数学基础模块8.2.2直线的倾斜角与斜率教学设计教案人教版

课题8.2.2直线的倾斜角与斜率课型新授第几课时 1 课时教学目标（三维）教学重点与难点 1.掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围． 2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，了解倾斜角与斜率之间的关系． 3.让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力．教学重点：直线的倾斜角和斜率．教学难点：直线的斜率教学这节课主要采用讲练结合的教学法．本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直方法线倾斜角的定义，在明确了倾斜角范围后，定义了直线的斜率，最后讨论了直线斜率与直线上与两个不同点坐标之间的关系．直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，手段是研究两条直线位置关系的重要依据，要引导学生正确理解概念．使用教材的构想

α y ☆补充设计☆ 教师行为学生行为设计意图导入; 教师提出问题，学生讨论回引入本节 1．由一点能确定一条直线吗？ 2．观察并回答问题： y A 答．课题．由直观图形引入问题，激发学生学习兴师：从图中可以看出，直线趣． B C 1 AC 比直线 AB 更陡一些．在数学－1 O 1 x 中，我们用倾斜角和斜率来衡量在图中，直线 AB ，AC 都经过哪一点？直线相对于 x 轴的倾斜程度．它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？新课： 1．直线倾斜角的定义一般地，平面直角坐标系内，直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角α叫做这条直线的倾斜角． y l α x O 特别地，当直线与 y 轴垂直时，规定这条直线的倾斜角为 0?． 2．倾斜角的范围 0?≤ <180?． 3．直线斜率的定义倾斜角不是 90?的直线，它的倾斜角的教师对定义进行三方面的诠释：（1）直线向上的方向；（2）x 轴的正方向；（3）最小的正角．学生结合图形理解倾斜角的概念．教师强调与 y 轴垂直的直线（包括 x 轴）的倾斜角．教师强调倾斜角是 90?的直明确直线倾斜角的定义．倾斜角与正切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表线的斜率不存在．应当使学生明斜率的关系．示，即 k ＝tan α．练习一已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：（1）α＝0?；（2）α＝30?；（3）α＝135?；（4）α＝120?．探究一（1）由不同的两点 P 1(x 1， 1)和 P 2(x 2， y 2)能否确定一条直线？确所有的直线都有倾斜角，但与 x 轴垂直的直线的斜率不存在．学生练习，教师巡视点评．教师指明，当倾斜角是锐角时，斜率 k 为正值；当倾斜角是钝角时，斜率 k 为负值．教师投影探究问题，学生分使学生通过练习感悟倾斜角的变化对斜率的影响．

高二数学《直线方程形式》教案

高二数学《直线方程形式》教案 Teaching plan of form of linear equation for senior two mathe matics

高二数学《直线方程形式》教案前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。教学要求：掌握直线方程的一般形式，能熟练地从直线方程的一般式中求斜率、倾斜角和截距。教学重点：熟练运用一般式。一、讲授新课： 1.教学直线方程的一般形式： ①讨论：是否所有直线都可写成＝x＋b的形式？α＝90°时直线方程是怎样的.？两种形式与Ax＋B＋C＝0有何联系？结论：直线的方程都是二元一次方程。 ②讨论：Ax＋B＋C＝0能否都化成＝x＋b的形式？B＝0 时表示什么图形？结论：二元一次方程都表示一条直线。 ③定义直线一般式方程：Ax＋B＋C＝0 （A、B不全为0） 2.教学例题：

①已知直线L过点A（-6,4），斜率为，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。 ②学生讲各步解答，教师板演→小结：… ③练习：求直线x－2＋6＝0的斜率和在坐标轴上的截距。二、巩固练习：（可只分析思路） 1.二次方程x －x－6 +3x＋11－4=0表示两条直线，则两条直线方程分别是。解法：分解因式→每个因式为零即直线一般式方程。 2.直线ax－＋2＝0与直线3x－－b＝0关于直线＝x对称，则a＝，b＝。解法：利用反函数的图像性质。 3.已知a＋2b＝1,则直线ax＋b＋3＝0一定经过定点的坐标是。 4.直线L ：4x＋＋6＝0。L ：3x－5－6＝0，L截L 、L 两直线所得线段的中点恰好是坐标原点，求直线L的方程。 5.课堂作业：书P44 1题， 7题。 -------- Designed By JinTai College ---------

直线的倾斜角与斜率(教学设计)

2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛 8.2.1 直线的倾斜角与斜率教学设计方案 2014年11月

《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案【授课对象】计算机网络专业二年级学生【教材】《数学》（基础模块）下册（主编：李广全李尚志高等教育出版社出版）【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率【授课类型】课堂教学【授课时间】1课时【教材分析】直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是以坐标化（解析化）的方式来研究直线的相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要的作用。因此，正确理解直线斜率的概念，熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。【学情分析】教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃，勇于挑战，且具有一定的网络知识，但数学基础相对薄弱。在教学中，我力求将数学与专业相结合，充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。【教学目标】根据中职数学新大纲的要求，结合学生的实际情况，确立了如下的教学目标：（一）知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。（二）能力目标通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。（三）情感目标通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力。【教学重难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线斜率公式及其应用；难点：斜率公式的推导。

突破难点的关键：充分利用数形结合，并引导学生分类讨论问题。【教学策略】 1．教学方法：问题探究法课前下发导学提纲，学生预习提出问题，课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。 2．学习方法：小组合作、自主探究按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组，通过讨论交流共同完成学习任务。 3．评价方法：综合评价尊重学生个体差异，关注学习过程中学生的表现和变化，通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价，使合作学习更加富有成效。【教学设备】多媒体投影仪，电脑，素描纸，展示板，自制教具。【设计思路】首先，通过生活实例，把数学植根于生活。教具的制作，锻炼了学生的动手能力和学习热情。通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节，课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。

高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛-直线的倾斜角与斜率教案

直线的倾斜角与斜率的教学设计一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。二、教学重点与难点重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。难点：用代数方法推导斜率的过程。三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参

直线的倾斜角与斜率说课稿优质课

直线的倾斜角与斜率说课稿优质课 Prepared on 24 November 2020

《直线的倾斜角与斜率》教学设计赵元超尊敬的各位评委各位老师，大家好，今天我说课的题目是《直线的倾斜角与斜率》，我主要从以下六个方面进行分析，希望大家喜欢。一：教材分析：本节课是新人教版高一数学必修（2）的第三章第一节的内容，根据实际教学的安排，这是第一课时的内容。 1.内容分析：本节课主要有两个概念（直线的倾斜角、直线的斜率）及一个公式（斜率计算公式）。直线的倾斜角是从形的角度描述直线的倾斜程度，而斜率从数的角度描述直线的倾斜程度。这也是数形结合思想的体现。我们都知道两点一线的事实，那么，如何用坐标法来描述这一过程呢因此，斜率公式的推出就是很自然的一件事情了。这也体现了我们的数学具有自然美这一特性。 2.作用分析通过本节课的学习，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，培养学生对数形结合、分类讨论思想的应用知识，为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线的方程等内容起着铺垫的作用。二：学情分析 1.学生在初中阶段已经学习过了平面直角坐标系，学习过了一次函数、二次函数、反比例函数等。 2.同学们已经知道了两点可以确定一条直线的基本事实。 3.同学们刚刚学完立体几何，对空间点线面的关系已经有了比较深入的了解。三：目标分析 1.知识与技能探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个几何量的形成过程，体会由生活中的坡度的概念抽象成数学中的斜率的过程经历直线斜率公式的推导过程，并会用斜率公式解决简单的问题。 2.方法与过程

本节课设计3个大问题23个小问题，层层深入，环环相扣，步步紧逼、使学生学会用探究式的方法来研究数学问题。 3.情感态度与价值观通过斜率概念的构建和斜率公式的探究渗透数形结合、分类讨论的思想方法，体会数学的自然之美，和谐之美，有用之美；通过学生之间师生之间的交流合作，实现共同探究的目标，培养学生的合作意识。同时也是响应国家社会主义核心价值观进课堂的重要体现。四：重难点分析重点：直线的倾斜角和斜率概念，过两点的直线的斜率公式难点：倾斜角为钝角时，斜率公式的推导。五：教学过程分析： 1.故事引入，激发兴趣本环节讲一个讲关于法国数学家、解析几何创始人笛卡尔的一个爱情故事。笛卡尔穷困潦倒之际与一个瑞典的公主相爱了，就像所有的爱情故事一样，他不被丈母娘看好，所以只能以悲剧结束，或许，唯有如此才能流传千古吧。但是，故事的亮点并不在此，而是他在弥留之际写给心爱姑娘的最后一封情书竟然是一个数学公式。 P=a（1-sinb）。大家想知道这封情书的含义吗那么就学好解析几何吧。今天我们就来学习解析几何的初始内容，直线的倾斜角与斜率。设计意图：以故事吸引学生，激发学生兴趣，引爆学习数学的小宇宙。 2.设计问题层层探究本环节我设计了三个大问题，23个小问题，把本节课的所有内容串了起来。思考1 在平面直角坐标系内如何确定一条直线设计意图：通过前3个问题，引出倾斜角的概念，再用后五个问题，加深同学们对倾斜角概念的理解。让学生体会到几何问题的本质就是用代数的方法来研究几何问题。思考2 生活中，还有没有其它表示倾斜程度的量设计意图：本环节通过前两个问题生成斜率的概念，再用后面的6个问题加深对概念的理解。本环节通过把生活中的坡度转化为数学中的斜率，让学生体会数学源于生活，高于生活，数学是自然而然产生的。思考3：已知直线上两点的坐标如何计算直线的斜率设计意图：本环节设计7个子问题，引导学生自己探索，指导学生注意分类讨论时思维的严谨性，培养学生思维的严谨性，完备性。就这样通过以上23个如此简单的问题在悄无声息中完成了知识的生成，思想的渗透，以及合作意识的培养。 3.例题分析加深理解

高二数学直线的方程

典型例题一例1 直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是 5 4 ，求直线l 的方程．分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解．解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0 又由题意：5 4sin =α，所以：3 4tan ± =α，直线过点P （－1，3），由直线的点斜式方程得到：()13 4 3+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ．说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．典型例题二例2 求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程．分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类．解：法一：利用直线的两点式方程 ∵直线过两点A （2，m ）和B （n ，3）（1）当3=m 时，点A 的坐标是A （2，3），与点B （n ，3）的纵坐标相等，则直线 AB 的方程是3=y ；（2）当2=n 时，点B 的坐标是B （2，3）,与点A （2，m ）的横坐标相等，则直线AB 的方程是2=x ；（3）当3≠m ，2≠n 时，由直线的两点式方程 1 21 121x x x x y y y y --=--得： 2 2 3--= --n x m m y 法二：利用直线的点斜式方程（1）当2=n 时，点B A ,的横坐标相同，直线AB 垂直与x 轴，则直线AB 的2=x ；（2）当2≠n 时，过点B A ,的直线的斜率是2 3--=n m k ，又∵过点A （2，m ） ∴由直线的点斜式方程()11x x k y y -=-得过点B A ,的直线的方程是：

直线的倾斜角和斜率教案

《直线的倾斜角和斜率》教案教学目的： 1.了解“坐标法” 2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围； 3.已知直线的倾斜角，求直线的斜率 4.已知直线的斜率，求直线的倾斜角 5.培养学生“数形结合”的数学思想. 教学重点：斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程. 教学难点：1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. 2运用两点坐标计算直线的斜率授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学过程：一.知识背景与课题的引入 1.从本章起,我们研究什么?怎样研究? 解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一. 在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质。坐标法是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法. 本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等. 2．课题的引入下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率. 二.新课 1问题1 对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗? 分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角. 注:平行于轴或于轴重合的直线的倾斜角为0° 问题2

高二数学_直线与方程典型习题教师版资料全

【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0 ③倾斜角α的围000180α≤< （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0 90的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠ ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0 tan 00k == ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 0 90α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式212121 ()y y k x x x x -=≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =? 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=??⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式 121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，

教案直线的倾斜角与斜率教案

直线的倾斜角与斜率的教学设计进贤一中龚祝鹏一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。二、教学重点与难点重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。难点：用代数方法推导斜率的过程。三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验

公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案

课题：直线的倾斜角和斜率教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节一、教学目标： 1、知识与能力： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角. (3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系. 2、过程与方法： (1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系. (2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想. (3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路. 3、情感态度与价值观： 1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观. 2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用. 三、教学难点：倾斜角概念的形成，斜率公式的推导四、教学方法与手段：计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构. 【教学过程】一、知识导入在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对) x来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中， (y , 问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么，问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同. 那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用. 二、知识探索

上海高中数学教材知识目录详细版

上海高中数学教材知识目录详细版(总9页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 2

第1章集合和命题一集合集合及其表示法集合的概念集合的表示方法集合之间的关系子集相等的集合真子集集合的运算交集并集补集二四种命题的形式命题的形式及等价关系命题与推出关系四种命题形式等价命题三充分条件与必要条件充分条件，必要条件子集与推出关系第2章不等式不等式的基本性质一元二次不等式的解法其他不等式的解法分式不等式的解法含绝对值的不等式的解法基本不等式及其应用不等式的证明第3章函数的基本性质函数的概念函数关系的建立函数的运算函数的基本性质定义域、值域奇偶性单调性最值零点存在定理与二分法第4章幂函数、指数函数和对数函数一幂函数 3

幂函数的性质与图像形如的函数的性质与图像图像的对称性、作图的平移与翻折四指数函数指数函数的图像与性质借助计数器观察函数递增的快慢五对数对数的概念及其运算对数的概念对数的运算换底公式六反函数反函数的概念七对数函数对数函数的图像与性质八指数方程和对数方程简单的指数方程简单的对数方程第5章三角比一任意角的三角比任意角及其度量任意角（）弧度制任意角的三角比坐标定义单位圆定义三角恒等式同角三角比的关系和诱导公式同角三角比的关系诱导公式（、）两角和与差的余弦、正弦和正切两角和与差的余弦诱导公式（）两角和与差的正弦两角和与差的正切三角函数线形组合二倍角与半角的正弦、余弦与正切二倍角公式半角公式万能置换公式（理科）半角公式的应用 4

高二数学练习题—直线的方程

高二数学练习题—直线的方程满分:100 时间：40分钟姓名_____________________总分______________ 一、选择题（每道题5分，共60分） 1．点(-1,4)P 作圆22-4-6120x y x y ++=的切线，则切线长为（） A ． 5 B ． 5 C ． 10 D ． 3 2．圆22-64120 x y x y +++=与圆22-14-2140x y x y ++=的位置关系是 ( ) A ．相切 B ．相离 C ．相交 D ．内含 3 .如果直线l 将圆x 2+y 2 –2x –4y =0平分，且不通过第四象限，则l 的斜率的取值范围( ) A .[0, 2] B. [0, 1] C. [0, 21] D. [– 1, 0] 4．设M ={(x , y )| y y ≠0}, N ={(x , y )| y =x +b }，若M ∩N ≠?，则b 的取值范围是（） A ．–32≤b ≤32 B 。 –3≤b ≤32 C ． 0≤b ≤32 D 。 –3

《倾斜角与斜率》教学设计(优质课)

倾斜角与斜率（一）教学目标 1．知识与技能（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. （2）理解直线倾斜角的唯一性. （3）理解直线斜率的存在性. （4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 3．情感、态度与价值观（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. （2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. （二）教学重点与难点直线的倾斜角、斜率的概念和公式. （三）教学方法

备选例题例1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）(1，1)，(2，4)；（2）(–3，5)，(0，2)；（3）(2，3)，(2，5)；（4）(3，–2)，(6，–2) 【解析】（1）41 3021 k -==>-，所以倾斜角是锐角；（2）25 100(3) k -= =-<--，所以倾斜角是钝角；

（3）由x 1 = x 2 = 2得：k 不存在，倾斜角是90° （4）2(2) 063 k ---= =-，所以倾斜角为0° 例2 已知点P (点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则Q 点的坐标为 . 【解析】因为点Q 在y 轴上，则可设其坐标为(0，6) 直线PQ 的斜率k = tan120°= ∴ k == ∴b = –2，即Q 点坐标为(0,

(完整版)直线的倾斜角与斜率教学设计

普通高中课程标准实验教科书（北师大版）数学必修2第二章第二节直线的倾斜角和斜率

尝试探究形成概念问题：怎样才能确定直线的问置？一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可）思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？（让学生举例）如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？前进量坡度比＝前进量升高量例如:进2升3与进2升2比较 2、直线斜率的概念一条直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。 090tan k 给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定. 确定直线位置几何要素转化为代数化升高量

尝试探究形成概念对取不同的范围进行分析k的取值情况。 3、直线的倾斜角与斜率之间的关系直线情况平行于情况由左向右上升垂直于x 轴由右向左上升的大小 k的情况 k的增减性 4、两点确定直线的斜率已知两点), )( , ( ), , ( 2 1 2 2 2 1 1 1 x x y x p y x p 则由这两点确定直线的线率? k 课本上是用坐标法推导的，分两种情况: 让学生课前预习，这里用向量法推导 ① 2 1 p p方向向上② 1 2 p p方向向上 1 2 1 2 x x y y k 让学生掌握公式记忆注意：①当直线与x轴平行或重合时，0 k ②当直线与y轴平行或重合时，k不存在为有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度课本中是用坐标法去推导两点直线的斜率,学生课前预习易掌握,在证明过程中用向量法来推导两点确定直线的斜率, 比较两种方法解题思路不同. 0 x y

全国高中数学优秀教案直线的倾斜角和斜率教学设计

直线的倾斜角和斜率教案 1 教学内容分析 1.1教学内容本节课讲的是北师大版必修二第二章的第一节第一课时的内容，主要学习直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的斜率公式. 1.2教材所处地位及前后的联系本节内容是高中解析几何内容的重点，涉及的直线倾斜角，斜率是解析几何中的重要概念。这些概念的学习初步渗透了解析几何的基本思想和基本研究方法。本节内容的学习，为进一步学习圆锥曲线方程、导数等知识做好了铺垫；为最终通过解决代数问题来解决几何问题打下基础。 2教学目标 2.1知识目标理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 2.2能力目标通过学习直线的倾斜角和斜率有关的概念，培养学生的数学理解能力；通过对斜率公式的推导，增强学生运用坐标法解决几何问题的能力；通过练习增强学生分类讨论的意识。 2.3情感、态度与价值观学生通过主动探究，合作学习，相互交流，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，强化学生参与意识与主体作用. 3学情分析 3.1认识结构经过半年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上.在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程. 3.2情感结构随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思考问题、发现问题的能力.在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣. 4 教学重点、难点分析 4.1教学重点直线的倾斜角和斜率的概念。 4.2教学难点斜率概念的理解和过两点的直线斜率计算公式的推导。 5教学方法本节课主要是教给学生“动手、动眼、动脑、动口”的研究式学习方法，增加学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体。 6 教学手段多媒体教学 7 教学过程 7.1创设情境引入新课带领学生欣赏李白《蜀道难》中的诗句“蜀道之难难于上青天”，“黄鹤之飞尚不得，猿

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

上海中学高二期末数学试卷 2021.01 一. 填空题 1. 若复数 3i 12i a ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=?（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为 3. 已知方程22 3212x y λλ +=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是 4. 已知双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p = 6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθ θθ=-??=+? （θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是 7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是 8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为 9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=?，则12||||PF PF ?= 11. 已知双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近线方程为 12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ，则22||||MP MQ +的最小值为二. 选择题 1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22 221x y a b -=有相同的焦点，则椭圆的离心率为（） A. B. 1 2 C. D.

直线的倾斜角与斜率教学设计)

3.1.1倾斜角和斜率一、教学目标： ⒈知识与技能目标： (1)正确理解直线的倾斜角的概念与它的取值范围及直线的倾斜角的唯一性； (2)理解直线的斜率的概念与倾斜角与斜率的关系； (3)理解直线的斜率的存在性； ⒉过程与能力目标： ⑴经历倾斜角与斜率的形成过程，感受分类讨论的思想； ⑵经历代数的方法刻画直线斜率的过程，感受解析几何的基本方法； ⑶初步体验坐标法，感受数形结合的思想。通过直线倾斜角概念的引入和直线的倾斜角与斜率的关系的揭示，培养学生的观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。 ⒊情感、态度与价值观目标： (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力； (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、教学重难点：教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念；教学难点：斜率概念的学习。三、教学用具：多媒体教学设备、黑板．四、教学方法：启发、引导、讨论.教学过程中，在教师的引导与组织下，鼓励学生自主探索与合作交流，通过教师创设适当的问题情境，使学生发现教学的规律和问题解决的途径，让他们经历知识形成的过程。五、教学过程：（一）导入新课：我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线．那么, 经过一点P作直线能作出多少条直线? 如图, 过一点P可以作无数多条直线，显而易见,答案是否定的.这些直线区别在哪呢? x （二）讲授新课：引导学生观察得到它们的“倾斜程度”不同．那么怎样描述这种“倾斜程度”的不同?从而引入直线的倾斜角的概念. ⒈直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定 = 0°.

直线的倾斜角与斜率经典例题(学生版

直线的倾斜角与斜率讲义一引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．．．．．. ．．．P．和一个倾斜角α (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：