直线的倾斜角与斜率-优秀教案

直线的倾斜角与斜率教学设计

一、教材的地位与作用

直线的倾斜角和斜率，是解析几何的重要概念之一，是直线的重要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的起点。有着开启全章的作用。

学生在原有的对直线有关性质和平面向量相关知识理解的基础上，重新以坐标化的方式来研究直线的相关性质；突出用代数方面解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活的应用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

从倾斜角到斜率实现了解析几何代数化的过程，初步渗透“坐标法”与数形结合思想方法。用坐标法研究平面上最简单的图形—直线，对数学2中平面解析几何初步内容起到了关键的作用

二、学情分析

对象是重点中学的普通班的高一同学，比较比较活泼，求知欲强，而且已具备了直角坐标系、平面向量的知识，都具备了情感保证和认知基础。

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三、教学目标

知识与技能目标：

理解解直线的倾斜角与斜率的概念；掌握两点斜率公式及应用

利用斜率和倾斜角从数和形两方面来刻画直线相对于x轴的倾斜程度，

过程与方法目标：

理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解坐标法的基本步骤，感受解析几何的思想方法

初步感悟数形结合的数学思想，提高抽象概括能力;

情感与价值观目标：

，

通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育

让学生参与到直线斜率公式的推导过程中，使学生享受获取知识成功后的喜

悦；

通过计算机辅助教学，展现动态数学，使学生体会数形结合的美感；

三、教学重难点

教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，以及过两点的直线的斜率公式；

教学难点：斜率公式的推导；

四、教学问题诊断

平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。

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函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。

五、教学方法与教学手段

教学方法：问题引导与探究法相结合

教学手段：板书、多媒体课件

六、教学过程

在分析教材、确定教学目标、合理选择教法与学法的基础上，我预设的教学过程是“课题引入--探究新知--形成概念--练习反馈--小结作业”

（一）课题引入：

教师引导语：今天我们开始学习数学的一个重要分支——解析几何。在17世纪，法国有两位著名的数学家笛卡尔、费马，他们将平面几何图形和代数知识有机的的结合在一起，运用平面直角坐标系的坐标来研究一些平面几何图形的性质和特点。就是以坐标为桥梁，把几何问题转化为代数问题。通过代数运算研究几何图形。我举个通俗的例子，同学们如果我问你，你们家住哪儿，你可以带领我去，嗯，这是最原始的办法；你可以画张图告诉我,那类似几何方法，当然，一般你

们是告诉我住址，其实住址就是一个位置坐标。这就是几何问题代数化最简单的生活实例。这节课就学习如何用平面直角坐标系研究直线的性质呢？

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设计意图：通过数学史的介绍让学生了解平面直角坐标系知识的起源；通过例子让学生初步了解几何问题代数化思想，接着提出问题“直线是最常见的平面几何图形，那如何用直角坐标系来研究直线的性质呢？”激发学习兴趣、引出今天的课题。

（一） 探究新知

1．问题引导，引出概念

设计意图：通过一系列的问题来获得直线的倾斜角、斜率的概念。

（1）直线的倾斜角的概念：

问题1：如何确定一条直线在直角坐标系的位置呢？

学生的回答是两个点确定一条直线，过一点有无数条直线。这个时候用PPT 演示过一点P 的几条直线，让学生更加清楚地看到，确定直线位置的要素除了点之外，还有直线的方向，也就是直线的倾斜程度。接着教师进行提问： ]

问题2：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？

问题3：如何表示方向？

学生可能会认为还需添加直线的方向，但如果学生此时不知如何表示直线的方向的话，教师应该提醒学生从夹角的角度来描述。

接着引出了直线的倾斜角的概念：

（板书倾斜角的概念）当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

提醒同学注意两个方向：x 轴正向与直线向上的方向。

（指着PPT 讲解）根据倾斜角的定义，直线1l 的倾斜角为1∠，直线2l 的倾斜角为2∠，直线3l 的倾斜角为3∠，它们分别是锐角、直角、钝角，我们再看一种特殊

情形（做出直线4l ），既然是特殊情况，特事特办，规定：当直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0?（板书）。

知识注重应用.因而，当这部分知识讲解完后，一起做练习1，使学生加深对倾斜角定义的理解，使学生能准确找的直线的倾斜角的位置。

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问题4：学习了倾斜角，倾斜角的取值范围是什么呢?

（几何画板）演示直线绕点 p 旋转一周的动态过程，让学生体会倾斜角的变化，学生以小组合作、探讨的形式自行归纳倾斜角的取值范围。学生可能回答倾斜角的范围是大于等于0且小于等于180。教师就180的情况进行讲解证明，进而得出倾斜角的范围为0180α??≤<

现在同学们明白了，倾斜角就是表示直线倾斜程度的一个几何元素。

思考问题：1、在坐标平面上，每一条直线是不是只有一个倾斜角与它对应？

2、每一个倾斜角是不是只与一条直线相对应？

进而我们就得出了直线倾斜角的意义：它体现了直线对x 轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。

只给定直线的倾斜角，我们得到无数条相互平行的直线。由此，我们得出，直线上一定点和直线的倾斜角可以确定平面直角坐标系中一条直线的位置。 $

（2）直线斜率的概念：

问题1：“生活中，有没有表示倾斜程度的量？”

学生不难想到初中经常遇到的楼梯的坡度实例.坡度等于高度比宽度.坡度是表示楼梯的倾斜程度的量，坡度越大，楼梯越陡．同学们明白，坡度比是工程技术上的叫法。如果使用“倾斜角”这个概念，在数学中，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”。将楼梯类比到直线，就得出直线的斜率的定义。

我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（板书)，斜率通常用小写字母k 表示，即αtan =k

由于学生还没有学习三角函数，在这里由老师给出正切函数的图像，让同学观察

图像，得出斜率存在时倾斜角的范围。

练习2，让学生分别求出倾斜角，0 、30°、45°、60°、90°、120°、135°以及150°的直线的斜率，在这里给出一个公式()是锐角）（αααtan 180tan -=-?，方便学生求出钝角的正切值，同时为钝角时斜率公式的推导做铺垫。

同时引导学生思考，这些特殊角出发，发现它们的特点，斜率的正负与

倾斜角大小的关系？

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2、斜率公式的发现

如果给定直线的倾斜角a ，我们可以根据斜率的定义k=tan a 求出斜率。如果给定直线上两点，直线是确定的，那么又如何求直线的斜率呢？

首先让学生自己动手画出坐标图，探究直线21P P 的斜率k 可以用两点的坐标如何表示，然后提问学生，让学生展示探究结果，并让他们说说在探究过程中所遇到的难题，教师给予解答。接下来教师通过板书来展示直线斜率公式的获得过程，让学生更加清晰地看到探究过程，加深对直线斜率公式的理解。

（板书及作图）：由直线上两点的坐标计算直线的斜率：

（1）当12,P P 的位置变化时，2121y y k x x -=

-成立，举一隅而反三隅，这点请同学们课后自己验证。 由此我们得到斜率公式：2121y y k x x -=

- ？

上述公式计算直线 AB 斜率时，与两点坐标的顺序无关

接着引导学生思考：

思考1：当直线平行于x 轴，或与x 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

思考2：当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 设计意图：引导学生思考斜率k 与P1、P2的顺序是否有关，以及斜率公式的适用范围，其中问题层层深入，不断突破教学难点，突出教学重点.

综上所述我们就得出了斜率公式（板书，对着PPT 讲解）同学们要注意一致性。

（三）—

（四）练习反馈

设计意图：通过两个应用直线的斜率及其公式的例题，加强学生对直线的斜率及其公式的应用，深化对刚学习知识的理解，做到学以致用。

例1、经过点A(3,2)画直线，使直线的斜率分别为① 0，② 不存在， ③ 2， ④ -2.

解：① 过(3，2)，(0，2)画一条直线即得

②过(3，2)，(3，0)画一条直线即得

③（法一：待定系数法）

设直线上另一个点为（x,0)，则： ?2=x

[

所以过点(3，2)和(2，0)画直线即可

法二：(利用斜率的几何意义） 根据斜率公式

斜率为2表示直线上的任一点沿x 轴方向向右平移1个单位，再沿y 轴方向向上平移2个单位后仍在此直线上，即可以把点（3，2）向右平移1个单位，得到点（4，2），再向上平移2个单位后得到点（4，4）。 因此通过点(3，2)，(4，4)画直线即为所求 ④ 将点(3，2)向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到点(4，0)，过(3，2)和(4，0)画直线即为所求。

2302=--=

x k

此例题旨在考查学生对直线斜率的理解，会用待定系数法和斜率的几何意义画出直线。

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（四）课堂小结

设计意图：为进一步对本节所学知识进行巩固，加深学生对公式和概念的理解，考虑到学生的层次差异，我将作业分为两部分：必做题和课后探究题。通过课后探究题，让学生养成课前预习的良好习惯，为下一节课的学习打下基础。（1）直线的倾斜角的概念；

（2）直线的斜率的概念；

（3）直线的斜率公式；

（4）数形结合的数学思想方法

作业：第89页习题3.1A组的第2至5题.

七、板书设计

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