第三章系统的教学模型

3 系统的数学模型

3.1 概述

3.1.1 数学模型

在进行控制系统分析和设计时，通常首先需要建立系统的数学模型。所谓系统的数学模型，是用数学方程式来描述机械系统、电气系统、,, 以及生物系统、社会系统的动态特性，是一组能精确，或者至少是相当好地表示系统动态特性的微分方程式、差分方程式或其它数学方程表示式。

数学模型可以有多种形式，采取何种形式来建立数学模型取决于具体的系统及条件，如，一个单输入单输出简单系统的响应分析，可能采用传递函数形式比较简单方便，而如要进行最优控制，则采用状态空间表达式可能更为有利。

对于同一系统的描述，数学模型也可能具有不同的复杂程度。如以一个液压控制阀为例，如果是考虑它在一个复杂系统中的动作，可以用一个二阶微分方程式（基于牛顿第二运动定理）来做为其数学模型，而如果是为了设计这个控制阀并预测其性能，则需要考虑阀的泄漏，尺寸精度影响等更多因素，所建立的数学模型可能是一个6-7 阶的微分方程组。

另一方面，严格地说，任何实际中的电、机械系统、液压系统、气动系统等其变量间的关系都不是绝对性线的，有些甚至是严重非线性的。然而，由于至今非线性系统的求解依然存在着数学难关，比较常用的做法是用一个“等效”的或“近似”的线性系统代替实际上的非线性系统来分析和求解。这意味着，我们既要掌握在建立数学模型时的线性化方法，又要了解所取的“线性”数学模型有效的范围和条件。

3.1.2 数学模型表示形式

控制系统的数学模型通常采用以下几种表示形式：

1．传递函数模型

一个连续的SISO 系统，一般可用一个常定系数线性常微分方程来描述

若系统的输入为u(t)，输出的y(t)，其微分方程可表示为:

a n 叩

…3^ 5)

dt n

dt n

de

对该式进行Lap lace 变换，可得系统的传递函数模型

丫(s)二 b m S m b m 」s

m —

b o

U(s) a n S n

- a n j S n A

^ …宀a 。

离散时间动态系统一般以差分方程描述，对一个离散 SISO 系统，设采

样周期为T ,系统输入为u(i)，输出为y(i)，可描述为：

g n y(i n) g n 4y(i n -1)

g °y(i)=

f m u(i m) f m 」u(i m -1)

f o u(i)

对该方程进行Z 变换，可得离散SISO 系统的传递函数模型

m -1 m 4 Z n 4

n

洱 ? g

o

对于多输入多输出系统，系统的传递函数模型为传递函数矩阵。

2.状态空间模型

状态方程是现代控制理论中最常用的数学模型表示形式， 它可以方便地

表示SISO 或MIMO S 统。

对于一个连续LTI 系统，其状态方程可描述为： ■

x(t)二 Ax(t) Bu(t) y(t)二Cx(t) Du(t)

(3.1-5 ) 其中，第一个方程称为状态方程，第二个称为输出方程。 x(t) 状态变量

u(t) ------ 输入变量，或控制变量 y(t) ------ 输出变量

讥沪b m 」b o u(t)

(3.1-1 )

(3.1-2)

m

- f

n

g n Z g

(3.1-4)

对于离散的LTI系统，其状态空间模型形式为：

x(k 1) = Fx(k) Gu(k)

y(k) =Cx(k) Du(k)

(3.1-6 )可由(3.1-5 )式离散化得到

此时F=exp(A T s)

G 二T x exp[A Ts]d B

这里，Ts为采样周期。

3.零极点模型

零极点模型实际上是传递函数模型的一种特殊形式，它将系统表示为零

点(Zero)、极点(Pole)和增益(Gain)相乘的形式：

G(s) *(—)( —) ?(—)(3.1-7 ) (s- P1)(S-P2)…(S- P n)

这里，k为系统增益，Z I,i=1 ,2,, , m为系统的m个零点,P,i=1,2, , ,n 为系统的n个极点。

3.1.3 数学模型的建立方法

系统的数学模型可以通过两条不同途径来建立。

一条途径是利用“自然法则”和从先前的研究中了解到的性质，即根据被控对象性质，应用有关的基础学科的基本定律，如牛顿运动定律、热平衡方程式等，用解析的方法导出描述被控对象运动变化规律的数学表达式而建立系统的数学模型。这条途径被称之为“解析法”，它可以不涉及实际系统的任何实验。

另一条途径是通过实验，依靠测取被研究的实际系统的输入输出信号，并对这些数据进行分析以推断一个模型，使得这个系统模型与实际系统具有等同的或近似的动态特性。这条途径是系统辩识。

有关系统辩识的内容我们将在下一章讨论，在下一节中，我们将通过对一个控

制系统建模的举例来了解解析法建立系统数学模型的基本方法。

3.2 系统数学模型建立举例。

汽车主动悬架是近年来国外一些高档轿车的开始应用的一种汽车主动

隔振装置，其基本结构是在每个车辆上装置一个由控制阀和执行器（油气缸）构成的悬架系统。图3.1所示为一主动悬架系统示意图。图中，两个高速开关阀（阀1和阀2）分别联接着油泵与油气缸和油气缸与油箱。当要求油气缸内油压Pa上升时，让阀2保持关闭，而对阀1进行控制使油泵通过其向油气缸输入一定流量的油而使油压Pa增加。当要求油气缸内油压下降时则反之进行。从而，通过调节油气缸内的油压而抑制车体的振动，对于高频振动，则利用油气缸中气室的弹簧吸收能量来减振。

图3.1 汽车单轮主动悬架系统示意图

对图3.1所示系统，应用有关定律，可列出如下数学方程式：

（a）根据牛顿运动定律，可得车体、车轮轴的垂直方向运动方程式为：M b X b - -Ca（X b-X w） P a Acp-M b g （3.2-1）

M w X w 二Ca (X b _Xw ) 一 P a Acp —K t (X w —Xr ) M b g

（b ）油气缸内液体压强与流量的关系式

考虑油气缸内的流体为可压缩性，根据流体压强与其压缩量的关系:

(3.2-3)

（c ）气体室内气体的状态方程式

根据热力学定理PV r =C,可推得

*

P g P go q ao /V g

（d ）根据节流口流量方程式，可推得通过油气缸上下瞬间节流孔的流量方 程式为：

q ao = ±Cao Aaof2|F a - P g / P

（ 3.2-5）

（e ）通过高速开关阀的流量方程式为： 阀 1 qu =6 as ：2（ps-pa ）/'

（ 3.2-

6 ）

阀 2 q u 二 G % u 2一P a /下

（3.2-7 ）

上述各式中，Aao 为油气缸内节流孔的开口面积；Acp 为油气缸内活塞 上压力油作用面积；a v1, a v2为阀1、阀2的开口过流面积；Ca 为粘性阻尼系 数，Cco, G,

C V2为流量系数。M 、M 为车体（1/4 ）车轮轴部分的质量；K 为油的体积弹性系数；Kt 为轮胎的弹性系数；Pa,Pg 为油气缸上腔油室及气 室内的压强；q ao 为通过油气缸

上下腔间节流口的流量；q u 为通过阀1和阀2 的控制流量，Vc, Vg 为油气缸上腔油室、气体室的容积；X b .x w .x r 为车体， 车轮轴、路面的垂直方向位移；p 为油的密度；r 为气体的绝热指数。

式（3.2-1 ）?（3.2-7 ）构成一个微分方程组，给出一定初始条件，求 解这组微分方程（通常是数值解），可以求得系统的动态特性。

(3.2-2 )

P a

(3.2-4)

现代控制理论是建立在状态空间方程式分析基础上，因此，一般我们需 要将数学模型表示为状态空间方程式，在本例中建立状态方程式模型时，我 们做如下两个考虑。

1） 一个合格的控制阀，应当是输出流量（q u ）与施加在其上的电信号基 本保

持线性关系。为了使所建立的状态空间方程式更为简洁，我们直接以进 出油气缸的流量5做为控制输入。

2） （ 3.2-5 ）式为一个非线性方程，在将数学模型表示为状态空间方程 式时

必须进行线性化处理，处理过程如下：

对（3.2-5 ）式按级数展开，并取前三项得：

q ao =q aob + 竝 A% + 亚 3

（3.2-8）

%

云 P a P

式中，q aob 为表示在平衡状态时通过油气缸上下腔间节流孔的流量（因 此q aob =O ；又因为节流口面积Aao 固定不变，因此 弧 =0，于是有 cA ao

Pao 为平衡状态时油气缸内的油压。

3）做为推导上的需要，新设一个方程式:

在上述工作基础上，我们联系式（3.2-11 ），（3.2-1 ）?（3.2-4 ），并 略加整理后，得:

(3.2-9 )

(3.2-10 )

(3.2-11 )

X

wr

X w

q

ao - C ao = P

a

X

wr 二X

w - X r

X b = 即C

M b M

b

-Xw -M；P^M；Pao

X w K t

X

M w wr

—

M w M b

C a?A cp A cp

丄…臥P a TT血(BN2)

P a KA CP

X

b

V c

~VT

X w - 导

(Pa「P j:qu

P g 吸C ao(P a - P g) V g

式中, P ao, P go为系统在平衡状态时油气缸的油压强及气体压强，因此

P ao=R o 。

我们令P a 二P a 一P ao ；P g 二P g 一P go

P a - P g = ( P a - P ao ) -(P g - P go) = 'P a ?P g

进一步，我们取

状态变量X 二[X wr X b X w p a p g]T

控制变量u =q u

输出量y = X b

夕卜扰d = X r

或（3.2-12 ）可用如下状态方程式来表示：

x = Ax Bu Ed

y =Cx (3.2-13 )在式中:

E - Li 0 0 0 0T

这样，我们就以状态空间方程式形式建立了图 3.1所示的汽车主动悬架 系统的数学模型。

3.3 MATLAB 中系统数学模型的表示、转换与连接 3.3.1

系统数学模型的MATLA 表示

（1）系统的传递函数模型

对于系统G （s ）=他直

（3.3-1）

V （s ） a n s +azs + …+a °

在MATLA 中，可用其分子和分母多项式的系数（按 S 的降幕排列），所 构成的两个向量来表示，即：

num=[b m b m-1,...b 。] den=[a n ,a n-1,...a o ] sys=tf( nu m,de n)

-

0 0

-C a

M b

- K t

C a A = M w

M w 0 -KA cp

V c

-

1 0 C a A lp M b

M b -C a

- A cp M b M b KA cp -KC ao

V c V c 0

rP C

go ao

V g

T

V c -rP go C ao

V g

(3.3-2)

对于离散时间系统，通过Z变换可得系统的脉冲传递函数

G(Z) y(z)

v(z)

m

f m Z m _1

m

g n Z f n」z 亠亠g o

(3.3-3)

类似地，其MATLA表示为：

num=[f m f m-i,...f o]

den=[g n,g n-i,...g。]

sys=tf(num,den，T)

式中，T为采样周期。

(2)系统的状态空间模型

对于以状态空间形式表述的系统

(3.3-4)

x = Ax Bu

y = Cx Du

在MATLA［中，可用：sys = ss( A, B, C, D) (3.3-5) (3.3-6)

来表示，其中，A，B，C, D为系统状态方程系数矩阵。同样，对于离散系统的状态空间模型

X(k 1) =Fx(k) ? Gu(k)

Y(k 1) =Cx(k) Du(k)

可以表示为SYS=SS( F，G C, D, T)其中，T为采样周期

(3)系统的零极点模型

当系统模型采用零极点表达形式：

(S —Zj(S —Z2) (S — Z m)

(S - PJ(S - P2) (S - P n) (3.3-7) (3.3-8)

(3.3-9)

时，MATLA中可用ZPK函数来描述为:

+

sys=zpk(Z , P, K) (3.3-10)

式中Z~ Z i,Z2,…Zm 1

P = P i,P2^ P n 1

3.3.2 系统模型的转换

在前述几节我们已经知道，对于同一个系统可以采用传递函数，状态空间等不同形式的数学模型来表示，这些不同的形式的数学模型可能分别对不同的场合更为适宜，进行模型之间的相互转换是必要的。

在数学上，如果已有系数的状态空间模型。

x = Ax Bu

y 二Cx Du ( 3.3-11 )进行L氏变换后可得：

Sx(x) -x(0) = Ax(s) ? Bu(s)

Y(s) =Cx(s) Du(s) (3.3-12)考虑零初始条件x(0)=0，可得

x(s) =(SI -A)」Bu(s) ( 3.3-14) y(s)二C(SI - A)」Bu(s) D U(s) (3.3-14)从而求得系统传递函数为：

G(s)二丫⑸=C(SI -A)，B D (3.3-15) U(s)

(3.3-15 )式意味着，如果系统模型(A，B, C, D)已知，就可求出其相应的传统函数G( s)(唯一)。反过来，也可以从传递函数模型转换为状态空间模型，只不过由于系统的状态变量可以有不同的选择方式，因此，从传递函数到状态方程的转换并不是唯一的。

在MATLAB^，数学模型各种表达形式间的相互转换可通过一组专用函数方便地进行。

（1）从传递函数模型转为状态空间模型，调用格式为：

[A，B，C，D]=ft2ss（num,den）

上式将把传递函数模型[num, den]转换为系统状态空间模型的系数矩阵

[A，B, C, D]返回。

（2）从状态空间模型求传递函数模型：

[num，den]=ss2tf （A，B，C，D，IV ）

IV 是指哪个输入。

（3）从状态空间模型求零极点模型。

[Z，P，K]=ss2zp （A，B，C，D，IV）

类似地还有：

[Z ，P，K]=tf2zp （num，den）

[A，B，C，D]=zp2ss （Z，P，K）

在MATLAB5.x ，还提供了更为简单的转换函数，如，将非传递函数模型sys 转换为传递函数模型Newsys。

可以用Newsys=tf（sys）

类似还有Newsys=zpk（sys）

Newsys=ss（sys）

读者应当不难推断其功能。

除了不同形式数模的相互转换外，MATLA还提供了连续模型和离散模型间的相互转换，分别表示为：

连续系统离散化[Ad,Bd]=c2d （A，B，Ts），Ts 为采样时间间隔。

离散系统到连续系统[Ac,Bc]=d2c （A，B，Ts）

3.3.3 系统的典型连接实际中，常常存在着多个环节或子系统组成一个复杂系

统的情况，常见的连接方式有串联，并联和反馈连接，MATLAB勺Control toolbox中提供了

相应的函数来表达这些连接的结果。 (1)系统串联 设有两个子系统

*

x i 二 AX B 1

U 1

sysl:

y*i = C1X 1 ■ B1U 1

■

X 2 = A 2X 2

&U 2

sys2:

y 2 = C 2X 2 B 2U 2

两个系统的串联为

由图中可得u 2=y i

所以 x^A?X 2 B 2C 1X 1 B 2D ,U ,

系统整体可表示为： 二]-A

0]「Xi ] - Bi ]

=1

I 中丨

l u i

|'x 2

.-B 2C

i

A

2

j[.x 2 j ..B 2 D i j

i

i

u 2

y

2

?

sysi

■ sysi

u

图3.2 系统串联

y 2

D2G, C 2

D 2 D i U i

「X i l

MATLAB^，可用

sys=series(sys1 , sys2) (2) 系统并联

由于 u=u 1=U 2

y=y i +y

MATLAB^，可用

[sys]=parallel(sys1,sys2) (3) 反馈连接

反馈连接是一种常见的连接形式，形式如图

3.3所示。

7

[ A 1 01 ■x j

Bl

—

+

1

0 A 2 -

N

一 1

B 2

一 可推出:

y = c i

c

2

1

+ 0 +D 2)U,

图 3.2 系统并联

图3.4 反馈连接

图中可知，反馈系统满足关系：氏=如，u i =u-y 2,可推得系统的数学模型, 在

MATLAB^，可以用函数feedback 表示：

sys=feedback(sys1,sys2,sig n)

式中，当采用负反馈时，sign 可缺省，采用正反馈时，sign=+1。 例3.3.1

求下述系统的反负反馈连接。 2

2s 5s j

2

s 2s 3

用 MATLAB?程序如下：(chp3_1.m )

%========== Mathematical Model ============= clc % Specify tran sfer functions num1=[2 5 1]; den 仁[1 2 3];

systf1=tf( nu m1,de n1) num2=[5 10]; den 2=[1 10];

systf2=tf( num2,de n2) pause clc

%Tra nsfer fun cti on to state-space con vers ion. [A1,B1,C1,D1]=tf2ss( nu m1,de n1); sysss1=ss(A1,B1,C1,D1) sysss2=ss(systf2);

[a2,b2,c2,d2]=ssdata(sysss2) %access to state-space data pause clc

%Produces the feedback loop

sysf 仁feedback(systf1,systf2) syss 仁feedback(sysss1,sysss2)

334 系统模型降价

G(s)二

H(s)=

5(s 2)

s 10

如前所述，对同一系统建立数学模型时，出于考虑角度不同，所建立的系统数模复杂程度会有不同，但显然一个比较简洁的数模将可以简化系统的设计和控制器的结构。因此，能得到一个保留了原系统的主导特征值和重要状态的简化数模是有很意义的。

再者，即使设计前的数模并不复杂，但通过某些设计方法而得到的控制器可能具有较高的阶数，甚至带有不可观、不可控状态。这种情况下，在不致于严重影响系统闭环目标的前提下，降低控制器模型的阶数，消除不可观、不可控状态是非常必要的。

模型降价技术提供了解决这一问题的可能与途径。

目前已提出了多种模型降阶方法，如均衡模型降阶( Bala need)，最优Hankel最小阶逼近降阶等。本节给出均衡模型降阶的基本概念，并举例说明其MATLA实现，更详细的内容可参考有关参考书籍。

均衡模型降阶是一种常用的模型降阶技术。它的基本概念是：对于一个渐近稳定的n阶系统G=( A，B，C, D),确定其降阶近似系统Gr=( Ar，Br，Cr，Dr)，使得两系统的误差(G-Gr)的Hankel范数是最小的。理论上，这可描述为：设G是n阶，具有相关(Hankel)特征值。

6 1< 6 2,, < 6 尺6 k+1,, < 6 n<0

设Gr是G的K阶近似式。

如果Gr是由均衡阶技术产生的话，那么

n

l|G Gr|/2迟丐

i 士十

MATLA中提供了obalvera( ) 、balmr( )、schmr()等函数用于完成系

统的均衡模型降阶，如：

[sysr , tothnd,svh]=schmr(sys,Type,aug)

式中sys和sysr分别为原系统和降阶后的系统。

Type和aug为参数类型和参数。

例如3.3.2设有如下高阶系统

7 6 5 4 3 2

(s +801s +1024s +599s +451s +119s +49s + 5.55) G(s)二~7 6 5 4 3 2

s +12.6S +53.48S +90.94S +71.83S +27.22S +4.75S + 0.3

采用MATLA函数进行模型降阶，并比较降阶模型与原模型的特性。

用MATLAB.5编写程序如下：(chp3_2.m)

clc

num=0.5*[1 801 1024 599 451 119 49 5.55];

den=[1 12.6 53.48 90.94 71.83 27.22 4.57 0.3];

systf=tf( nu m,de n)

[A,B,C,D]=tf2ss( nu m,de n);

bode(A,B,C,D)

hold on

[Ar1,Br1,Cr1,Dr1,totb nd,svh]=schmr(A,B,C,D,1,4);

sysr 1= ss(Ar1,Br1,Cr1,Dr1)

bode(sysr1,':b')

[Ar2,Br2,Cr2,Dr2,totb nd,svh]=schmr(A,B,C,D,1,2);

sysr2=ss(Ar2,Br2,Cr2,Dr2)

bode(sysr2,'+g')

hold off

程序执行结果如图3.5所示，该图比较了降阶前后系统的频率响应特性。

Bode Diagrams

\)0^v

CDOFn O 3M A L y e ^^e s a n

40 20

0 -20 -40 200 0 -200 -400

+-HW iiiiiii

=n ==

「丁飞.?兴丫广“ _r

:

M r. ::

岂皿

j T-TtrtntE"T

誓

“s’

i!U =：== ；li

川

=HI H

EE!! I!!!!

z z

:

= : : : : r ! ! LUilli

i-ri-tiiiit

:i:=::

I nil!

i

: ; ; ; = 1 ;

=

:

huj r 11 i i

f i = i 筍i == ::=：

==：=

「： ？!

；

0 -2 -1 0 1 2 3 4

10 10 10 10 10 10 10

Freque ncy

(rad/sec)

图3.5 降阶前后系统的频率响应特性