11知识讲解_正弦函数、余弦函数的性质_基础

正弦函数、余弦函数的性质

【学习目标】

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；

2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．

【要点梳理】

要点一：周期函数的定义

函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释：

1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足

)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.

2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.

要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质

（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．

（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求

sin()y x =-的单调递增区间时，

应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先

求定义域．

要点三：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的性质．函数sin()y A x ω?=+与函数cos()y A x ω?=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R （2）值域：[],A A -

（3）单调区间：求形如sin()y A x ω?=+与函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ω?+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由

)(2

2Z k k x k ∈+

≤+≤-

π?ωπ

π解出x 的范围所得区间即为增区间，由

)(2

3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππ?ωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．

（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为奇函数，当()2

k k z π

?π=±∈时为偶函数；

对于函数cos()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为偶函数，当()2

k k z π

?π=±∈时为奇函数．

要点诠释：

判断函数sin()y A x ω?=+，cos()y A x ω?=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．

（5）周期：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π

．

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数sin y x =比较可知，当()2

x k k z π

ω?π+=±

∈时，函数sin()y A x ω?=+取得最大值（或

最小值），因此函数sin()y A x ω?=+的对称轴由()2

x k k z π

ω?π+=±

∈解出，其对称中心的横坐标

()x k k z ω?π+=∈，即对称中心为,0()k k z π?ω-??

∈

???

．同理，cos()y A x ω?=+的对称轴由

()x k k z ω?π+=∈解出，对称中心的横坐标由()2

x k k z π

ω?π+=±

∈解出．

要点诠释：

若x R ?，则函数sin()y A x ω?=+和函数cos()y A x ω?=+不一定有对称轴和对称中心．【典型例题】

类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数22sin cos 1y x x =+-的定义域；【答案】2222,33x k x k k Z ππππ??-

≤≤+∈???

【解析】为使函数有意义，需满足2sin 2x+cos x －1≥0，即2cos 2x ―cos x ―1≤0，解得1

cos 12

x -≤≤．

画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．

∴定义域为2222,33x k x k k Z ππππ??-

≤≤+∈???

．【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，

要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．

举一反三：

【变式1】求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域【解析】依题意得2sin x －1＞0，即1sin 2x >，∴5

2266

k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）， ∴函数的定义域为522,66x k x k k Z π

πππ?

+<<+∈???

．例2．求下列函数的值域：（1）y=3―2sin x （2）2sin 23y x π?

=+ ??

，,66x ππ??

∈-

???

?；（3）cos 2

cos 1

x y x -=

-．

【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）3,2

??+∞????

【解析】（1）∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤2sin x ≤2，∴－2≤－2sin x ≤2，∴1≤3－2sin x ≤5，∴函数的值域为[1，5]．

（2）∵6

x π

≤≤

，∴2023

x π

π≤+

≤

． ∴0sin 213x π??

≤+

≤ ??

?．∴02sin 223x π?

?≤+≤ ??

?， ∴0≤y ≤2．∴函数的值域为[0，2]．

（3）∵cos 2cos 111

1cos 1cos 11cos x x y x x x

---=

==+

---，当cos x=－1时，min 13

122

y =+=，

∴函数的值域为3

,2??+∞????

．

【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．

举一反三：

【变式1】求y=cos 2x+4sin x ―2的值域．【解析】y=cos 2x+4sin x ―2

=―sin 2x+4sin x ―1 =―(sin x ―2)2+3． ∵－1≤sin x ≤1，

∴当sin x=―1时，y min =―6；当sin x=1时，y max =2． ∴函数的值域为[－6，2]．

类型二：正弦函数、余弦函数的单调性

例3．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3

f x a x b π

=++

（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间；（2）当[0,

x π

∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．

【思路点拨】（1）由复合函数的单调性，解不等式2222

k x k π

ππ-

≤+

可得答案；

（2）由[0,]4x π∈，可得1sin(2)123x π

≤+≤，结合题意可得03112a a b a b ??>?+=???+=?或011

a a

b a b ?

可得．

【答案】（1）5[,]()1212k k k Z ππ

ππ-+∈；

（2）41a b =??=-?或45a b =-??=?

【解析】（1）∵a ＞0，由2222

k x k π

ππ-

≤+

可得51212

k x k ππ

ππ-

≤≤+，

∴f （x ）的单调递增区间为5[,]()1212

k k k Z ππ

ππ-+∈；（2）当[0,]4x π∈时，52336

x πππ

≤+≤，

∴1sin(2)123

x π

≤+≤， ∵f （x ）的值域为[1，3]，

∴03112a a b a b ??>?+=???+=?，或01132

a a

b a b ??

+=???+=?，分别可解得41a b =??=-?或45a b =-??=?

举一反三：

【变式1】（2015春河南期中）已知函数1

sin(

)32

y x π

=- （1）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域；（2）求该函数在[－2π，2π]上的单调增区间．【答案】（1）T=4π

，1[22-

；（2）单调递增区间为：[2,]3ππ--和5[,2]3

π．【解析】（1）由题意函数的周期2412

T π

π=

=， ∵x ∈[0，π]，∴

1[,]3263

x π

ππ-∈-，

∴11sin(

)[3

22x π

∈-，即函数在区间[0，π]

上的值域为1[2-

；（2）原函数可化为1sin()23y x π

=--

，

原函数的增区间即为1sin()23

y x π

=-的减区间，

令13222232k x k πππ

ππ+≤-≤+，

解得5114433k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，令k =0，可得51133

x ππ≤≤，

令k =－1，可得733

x ππ-

≤≤-， ∵x ∈[－2π，2π]，

∴函数的单调递增区间为：[2,]3

π--和5[

,2]3

π．类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性

例4．判断下列函数的奇偶性：

（1）5

())2f x x π=+；

（2）()f x =

；

【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为()f x x =，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，

然后判断．

【解析】（1）函数定义域为R ，且5()22222f x x x x ππ???

+=+= ? ????

?，显然有

()()f x f x -=恒成立．

∴函数5()22f x x π?

+ ??

?为偶函数．

（2）由2sin x －1＞0，即1sin 2x >

，得函数定义域为52,266k k ππππ?

?++ ??

?（k ∈Z ），此定义域在x 轴

上表示的区间不关于原点对称．

∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．

【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证

()f x -是否等于()f x -或()f x ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．

举一反三：

【变式】关于x 的函数)(x f =sin(x+?)有以下命题： ①对任意的?，)(x f 都是非奇非偶函数； ②不存在?，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使)(x f 是奇函数； ④对任意的?，)(x f 都不是偶函数.

其中一个假命题的序号是_____.因为当?=_____时，该命题的结论不成立. 【思路点拨】

当?=2k π，k ∈Z 时，)(x f =sinx 是奇函数. 当?=2(k+1)π，k ∈Z 时x x f sin )(-=仍是奇函数.

当?=2k π+

π，k ∈Z 时，)(x f =cosx ，

当?=2k π-2

，k ∈Z 时，)(x f =-cosx ，)(x f 都是偶函数.

所以②和③都是正确的.无论?为何值都不能使)(x f 恒等于零.所以)(x f 不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.

【解析】①，k π(k ∈Z )；或者①，2

+k π(k ∈Z )；或者④，

π+k π(k ∈Z )

类型四：正弦函数、余弦函数的对称性

例5．（2015春湖南益阳月考）已知函数()2sin(2)4

f x x π

．

（1）求函数的最值及相应的x 值集合；（2）求函数的单调区间；

（3）求函数f （x ）的图象的对称轴与对称中心．【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x 值集合；（2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；

（3）根据三角函数的对称性即可求函数f （x ）的图象的对称轴与对称中心．【解析】（1）当sin(2)14

x π

-=，即224

x k π

π-

，k ∈Z ，

即38

x k π

π=+

，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2；故f （x ）的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为3{|,}8

x x k k Z π

π=+∈；（2）由2222

k x k π

ππ-

+≤-

≤

+，得38

k x k π

ππ-

+≤≤

+，k ∈Z ． ∴函数f （x ）的单调递增区间为3[,

]88

k k π

ππ-

++，k ∈Z ．

由3222242k x k πππππ+≤-≤+，得3788

k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ． ∴函数f （x ）的单调递减区间为37[,]88

k k ππ

ππ++，k ∈Z ．

（3）由242x k πππ-=+，得31

x k ππ=+，k ∈Z ．

即函数f （x ）的图象的对称轴为31

x k ππ=

+，k ∈Z ．由24x k ππ-=，得182x k ππ=+，k ∈Z ，即对称中心为1

(,0)82

k ππ+，k ∈Z ．

【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，

即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．

（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．

举一反三：

【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心（1）sin()4y x =+

；（2）cos(2)3

y x =-π

. 【解析】（1）令4

t x π

，则sin sin 4y x t π?

= ??

?的对称轴方程是2

t k π

π=+（k ∈Z ）

，即4

x k π

π+

（k ∈Z ），解得4

x k π

π=+

（k ∈Z ）．

∴函数sin 4y x π?

的对称轴方程是4

x k π

π=+

（k ∈Z ）．

同理，对称中心的横坐标为4

x k π

π+

=，4

x k π

π∴=-

，即对称中心为,04k π

π?

．（2）令23

t x π

，则cos 2cos 3y x t π?

= ??

?的对称轴方程是t k π=（k ∈Z ）

，即23

x k π

π-=（k ∈Z ），解得26

k x ππ

+（k ∈Z ）

． ∴函数cos 23y x π??

的对称轴方程是26

k x ππ

+（k ∈Z ）

．同理，对称中心的横坐标为23

x k π

π-

，5212k x ππ∴=

，即对称中心为5,0212k ππ??

+ ???

（k ∈Z ）．

类型五：正弦函数、余弦函数的周期例6．求下列函数的周期：（1）sin 3y x π??

；

（2）cos 2y x =；（3）3sin 23x y π??

=+ ???

；（4）11

2sin cos 232

6y x x ππ????=+--

? ?????

【解析】（1）①令3

z x π

，而sin(2)sin z z π+=，即(2)()f z f z π+=．

(2)33f x f x πππ???

?++=+ ??????

?．∴T=2π．

②令z=2x ，则()cos 2cos cos(2)cos(22)cos[2()]f x x z z x x πππ===+=+=+，即()()f x f x π+=，∴T=π． ③

令

x z π

+，则

4()3sin 3sin(2)3sin 23sin (4)2323x x f x z z f x ππππππ+????

==+=++=+=+ ? ????

?，

∴T=4π

④

∵

原

式

11111

2sin cos 2cos cos cos 22

626262626x x x x x ππππππ????????????=+---=---=- ? ? ? ? ???????????????，

∴2412

T π

π=

=．举一反三：

【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】

【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）|sin |y x =；（2）sin ||y x =；（3）sin(2)3

y x =-

【答案】（1）是 T π= （2）不是（3）22

T π

π== 类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用例7．已知函数12

()log |sin |f x x =．

（1）求其定义域和值域；（2）判断奇偶性；

（3）判断周期性，若是周期函数，求周期；（4）写出单调区间．

【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将12

()log |sin |f x x =看成是由12

log y u =，u=|t|，t=sin x 复合而成．

【解析】（1）由|sin |0x >，得sin 0x ≠，∴x ≠k π，k ∈Z ．

∴函数的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}． ∵0|sin |1x <≤，∴12

log |sin |0x ≥，

∴函数的值域为{y|y ≥0}．

（2）∵112

()log |sin()|log |sin |()f x x x f x -=-==，

∴函数()f x 是偶函数．

（3）∵112

()log |sin()|log |sin |()f x x x f x ππ+=+==，

∴函数()f x 是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证）（4）设t=|sin x|，

当,2x k k πππ??

∈+

时，sin x ＞0，t=|sin x|为增函数；

当,2x k k π

ππ?

∈-

???

时，sin x ＜0，t=|sin x|为减函数．又∵函数12

log y t =为减函数，

∴函数()f x 的单调增区间为,2k k π

ππ?

?-???

?，k ∈Z ；单调减区间为,2k k πππ?

?+ ??

?，k ∈Z ．举一反三：【变式】已知函数11

cos |cos |22

y x x =

+．（1）画出函数的简图；

（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；（3）指出这个函数的单调增区间．

【解析】（1）11

cos |cos |22

y x x =

+ cos , 2,2()2230, 2,2()

22x x k k k Z x k k k Z ππππππππ??

?∈-+∈??????=????∈++∈??????

．

函数图象如右图所示．

（2）由图象知函数的周期是2π．（3）由图象知函数的单调区间为2,22k k π

ππ??

???

（k ∈Z ）【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内

函数值才发生周期性变化．

专题13幂函数知识点归纳

3 幂函数知识点归纳一、幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数定义说明： 1、定义具有严格性，x α 系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况二、幂函数的图像幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像练习：做出下列函数的图像： 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、幂函数的性质 y=x

3 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、奇偶性要结合定义域来讨论 3、单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限四、幂函数类型题归纳（一）定义应用： 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){} |M x f x g x ==，则集合M 中元素的个数是（）（Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二）图像及性质应用 1、右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则 ,,,a b c d 的大小关系是（） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（） ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n < b c

知识讲解-函数的单调性-基础

函数的单调性【学习目标】 1.理解函数的单调性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3．学会运用单调性的定义求函数的最大（小）值。【要点梳理】要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?：如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数. 要点诠释： (1)属于定义域A 内某个区间上； (2)任意两个自变量12,x x 且12x x <； (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；

(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3.证明函数单调性的步骤 (1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x ； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论. 4.函数单调性的判断方法

知识讲解三角函数的性质及其应用提高

三角函数的性质及其编稿：李霞审稿：孙永钊【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义；能画出sin()yAx????的图象，了解参数 A，?，?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】【考点梳理】考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法：作sin()yAx????的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx????，由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2．图象变换法：（1）振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00)或向右(?<0)平行移动|?|个单位，得到sin()yAx???的图象；（3）周期变换:把sin()yAx???的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的?1倍（纵坐标不变），可得到sin()yAx????的图象. （4）若要作sin()yAxb????，可将sin()yAx???的图象向上(0)b?或向下(0)b? 平移b个单位，可得到sin()yAxb????的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。要点诠释：由sinyx?的图象利用图象变换作函数sin()yAx????的图象时要特别注意：当周期

变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其图象的性变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??)，[0,)x???表示一个振动量时，A叫做振幅，2T??? 叫做周期，12fT????叫做频率，x???叫做相位，0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T???算出?，然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数；k???时为奇函数，kZ?. 4．单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0)，kZ?；对称轴

教案正弦型函数的图像和性质

教案正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换例：画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+

一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=，又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-，所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式例2：已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<）的最小值是5-，图x 3 3 π 56 π 3 O

指数函数对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数 1、幂的有关概念正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质:

a y x =有下列性质：（1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数．（2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近．（3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；（4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-．