全国大学生高等数学竞赛试题汇总及其规范标准答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看
一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分）
1．计算=--++??y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =???
?
??-=，
v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(????--=
--++
????----=---=10
2
1
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u
v u u u u u ?
-=1
2
d 1u u
u （*） 令u t -=1，则2
1t u -=
dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
?+--=0
1
42d )21(2(*)t
t t
?
+-=10
4
2
d )21(2t t t 1516513
2
21
053=
??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足?
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解: 令?
=
20
d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
?
,
解得34=
A 。因此3
10
3)(2-=x x f 。 3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222
-+=y x z 在)
,(00y x 处
的
法
向
量
为
)
1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故
)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，
即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在
)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面
22
22-+=y x z 平行平面
022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x y
________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得
29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+
因)(29ln y f y xe e =，故
y y y f x
'=''+)(1
，即))(1(1y f x y '-=
'，因此 2
222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+'--=''=
3
22
232)]
(1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ΛΛ 故
nx
n e e e e x
e n n e e e A nx
x x x nx x x x -+++=-+++=→→ΛΛ2020lim lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1
212lim 20+=+++=+++=→ΛΛ
因此
e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++Λ
三、（15分）设函数)(x f 连续，?
=10
d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，
求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 : 由A x x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知，0)
(lim lim )(lim )0(000===→→→x
x f x x f f x x x
因?
=
1
d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1
===?f t f g ，
因此，当0≠x 时，?=x
u u f x x g 0
d )(1)(，故
0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→?f x f x
u u f x g x x x x 当0≠x 时，
x
x f u u f x x g x
)
(d )(1)(0
2
+
-
='?， 200000d )(lim d )(1lim )0()(lim )0(x
t t f x t t f x x g x g g x x x
x x ??→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2
2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A
A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='??→→→→
这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）??
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π?
≥--L
y y
x ye y xe
.
证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知
（1）y x ye y xe x x ye y xe D x y L
x y d d )()(d d sin sin sin sin ???
?????
?-??-??=
--- y x e e D
x y d d )(sin sin ??-+=
?--L
x
y x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ???????
?-??
-??=-
y x e e D
x y d d )(sin sin ??+=-
而D 关于x 和y 是对称的，即知
y x e e D
x y d d )(sin sin ??-+y x e e D
x y d d )(sin sin ??+=- 因此
??-=---L
x
y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin （2）因
)1(2)!
4!21(224
2t t t e e t
t
+≥+++=+-Λ
故
2
2cos 522cos 12sin 22sin sin x
x x e e x x -=
-+
=+≥+- 由
?????+=+=----D
x y L
D
x y y y
y x e e y x e e x ye y xe
d d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin
知
?????+++=----D
x
y L
D x y y
y y x e e y x e e x ye y xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ??????+=+++=
---D
x
x D
x x D y y y x e e y x e e y x e e d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin 200sin sin 2
5
d 22cos 5d )(ππππ
π
=-≥+=?
?-x x x e e x x
即 2sin sin 25d d π?≥--L y
y x ye
y xe 五、（10分）已知x
x
e xe y 21+=，x
x
e
xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解 设x
x
e xe y 21+=，x
x
e xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐
次微分方程
)(x f cy y b y =+'+''
的三个解，则x x
e e
y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
0=+'+''cy y b y
的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
02=++c b λλ
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111
x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21
2++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，111
2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x
x x e xe e e xe e e xe +-++-++=
x e x )21(-=
二阶常系数线性非齐次微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解 因抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点，故1=c ，于是
2323
dt )(311
023102b a x b x a
bx ax +=??????+=+=? 即
)1(3
2
a b -=
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积
??-+
=+=1
2210
22dt ))1(3
2
(dt )()(x a ax bx ax a V ππ ???-+-+=1022
103104
2dt )1(94dt )1(34dt x a x a a x a πππ
22)1(27
4)1(3151a a a a -+-+=πππ 即
22)1(27
4
)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ
令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'a a a a V πππ， 得
04040904554=+--+a a a
即
054=+a
因此
4
5
-=a ,23=b ,1=c .
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e
u n =)1(, 求函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
解
x n n n
e x x u x u 1)()(-+='， 即
x n e x y y 1-=-'
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d (1x x C e y n x ?-+=
即
)(n
x C e y n
x
+=
因此
)()(n
x C e x u n
x
n +=
由)1
()1(n
C e u n e n +==知，0=C ， 于是
n
e x x u x n n =)(
下面求级数的和：
令
∑∑∞
=∞
===1
1)()(n x
n n n n e x x u x S
则
x e x S e x x S n e x e x x S x n x
n n x n x
n -+=+=+='∑∑∞=-∞
=-1)()()()(1
111
即
x
e x S x S x
-=-'1)()(
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d 11
()(x x
C e x S x ?
-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数
∑∞
=1
)(n n
x u
的和
)1ln()(x e x S x --=
八、（10分）求-
→1x 时, 与
∑∞
=0
2
n n x
等价的无穷大量.
解 令2
)(t x t f =，则因当10< ()2ln 0t f t tx x '=<，故 x t t e x t f 1 ln 22 )(-==在(0,)+∞上严格单调减。因此 1 1 1 ()d ()d ()(0)()d 1()d n n n n n n n f t t f t t f n f f t t f t t ∞ ∞ ∞ +∞++∞ -====≤≤+=+∑∑∑? ? ? ? 即 0()d ()1()d n f t t f n f t t ∞ +∞+∞=≤≤+∑? ? ， 又 2 ()n n n f n x ∞ ∞ ===∑ ∑， 11 1 lim 11ln lim 11=-- =-→→x x x x x 21ln 1d 1ln 1d d d )(0 1 ln 2 22 π x t e x t e t x t t f t x t t = = ==??? ? ∞+-∞ +-∞+∞+， 所以，当- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量是 x -121π 。 2010-2012年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一、（25分，每小题5分） （1）设2 2(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞ ??+ ??? 。 （3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞ -==?L 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ?? == ??? ，求2222g g x y ??+??。 （5）求直线10:0 x y l z -=?? =?与直线2213 :421x y z l ---== --的距离。 解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++L =22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++-L =222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++-L =L =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞ →∞ =--=-∴ (2) 2 2 211 ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞ ??+== ??? 令x=1/t,则 原式=2 1(ln(1)) 1/(1)1 12(1) 22 00 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+-- - +→→→=== （3）00001120 21 011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞ ∞∞---∞-∞----+==-=--= -=====????L 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞ →-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。 解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开： ''' 2 ()()(0)(0)2 f f x f f x x ξ=++ 因为二阶倒数大于0，所以 lim ()x f x →+∞ =+∞，lim ()x f x →-∞ =-∞ 证明完成。 三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2 2(1)() x t t t y t ψ?=+>-? =?所确定，其中()t ψ具有二阶 导数，曲线()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ? 在1t =出相切，求函数()t ψ。 解：（这儿少了一个条件22d y dx = ）由()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ? 在1t =出相切得 3(1)2e ψ= ，'2(1)e ψ= '//()22dy dy dt dx dx dt t t ψ==+ 22 d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2() d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。。。 上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设1 0,,n n n k k a S a =>= ∑证明： （1）当1α>时，级数 1n n n a S α+∞ =∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n n a S α +∞ =∑发散。 解： （1）n a >0, n s 单调递增 当 1n n a ∞ =∑收敛时，1n n n a a s s αα ，而1n a s α收敛，所以n n a s α 收敛； 当 1 n n a ∞ =∑发散时，lim n n s →∞ =∞ 111 n n n n s s n n n s s n n n a s s dx dx s s s x αααα----== 所以，1111 1211 n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s x s x ααααα-∞ ∞==<+=+∑∑?? 而 1 11111 1111lim 11 n s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--? ，收敛于k 。 所以， 1n n n a s α ∞ =∑收敛。 （2）lim n n s →∞ =∞Q 所以 1 n n a ∞ =∑发散，所以存在1k ，使得 1 12 k n n a a =≥∑ 于是，1 1 1 12221 2k k k n n n n n k a a a s s s α≥≥≥∑∑∑ 依此类推，可得存在121...k k <<< 使得1 12i i k n k n a s α+≥∑成立，所以11 2N k n n a N s α ≥?∑ 当n →∞时，N →∞，所以 1n n n a s α ∞ =∑发散 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2 2 2 1)αβγ++=的直线，均匀椭球 222 2221x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量； （2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。 解： （1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离 2222222(1)(1)(1)222d x y z xy yz zx αβγαββγγα=-+-+---- 0xydV yzdV zxdV Ω Ω Ω ===?????????Q 2 22 2 2 2 22 2 23214 (1)15c c c c x y z a b c z z dV z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω +≤- ==-=???? ?? ? 由轮换对称性， 2 32344 ,1515x dV a bc y dV ab c ππΩ Ω ==?????? 2232323444 (1) (1)(1)151515 I d dV a bc ab c abc απβπγπΩ ==-+-+-??? 2222224 [(1)(1)(1)]15 abc a b c παβγ= -+-+- （2）a b c >>Q ∴当1γ=时，22max 4 ()15 I abc a b π= + 当1α=时，22min 4 ()15 I abc b c π= + 六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线 积分 422()c xydx x dy x y ?++??的值为常数。 （1）设L 为正向闭曲线2 2 (2)1,x y -+=证明 422()0;c xydx x dy x y ?+=+?? （2）求函数()x ?； （3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()c xydx x dy x y ?++??。 解： （1） L 不绕原点，在L 上取两点A ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从A ，B 作一曲线3L ， 使之包围原点。 则有 132 3 4242422()2()2()L L L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y ???-+++++=-+++???j i i （2） 令4242 2() ,xy x P Q x y x y ?= =++ 由（1）知 0Q P x y ??-=??，代入可得 '42352()()()422x x y x x x xy ??+-=- 上式将两边看做y 的多项式，整理得 2''4325()()()4(2)2y x x x x x y x x ???+-=-+ 由此可得 '()2x x ?=- '435()()42x x x x x ??-= 解得：2 ()x x ?=- （3） 取' L 为424 x y ξ+=，方向为顺时针 0Q P x y ??-=??Q '''424242 2 42()2()2()1 2c c L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y xydx x dy ???π ξ - - ++++∴=++++= -=? ???i i i i 2011-2012年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分） （1）.求11cos 0 sin lim x x x x -→?? ??? ； 解：（用两个重要极限）： () () 20003 2 2 1sin 1cos sin 1cos 0 01sin cos 12lim lim lim sin 11331cos 3 222 sin sin lim lim 1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e →→→-? ---→→------→-???? =+ ? ????? ===== （2）.求1 11lim ...12n n n n n →∞??+++ ?+++? ?； 解：(用欧拉公式）令111...12n x n n n n =++++++ 11 1ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n n n n n n + ++-++++++-+L L L 由欧拉公式得（），则（）， 其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量， -ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞ ∴= （3）已知()2ln 1arctan t t x e y t e ?=+? ? =-?? ，求22 d y dx 。 解：222222221211,121121t t t t t t t t t t t e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()() 22 2222412121224t t t t t t t e e d y d dy e e dx dx dt dx e e e dt +--+??∴=?== ???g 二．（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。 解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy += 1,P Q y x ??==∴??Q 0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+ ()()() (),0,0241x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy ==+=+-++-??? ,P Q y x ??=∴??Q 该曲线积分与路径无关 ()()2 2 00124142 x y z x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-?? 三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 ()()()'"0,0,0f f f 均不为 0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 ()()()() 1232 230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 证明：由极限的存在性：()()()()1230 lim 2300h k f h k f h k f h f →++-=??? ? 即 []()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=① 由洛比达法则得 ()()()()()()() 1232 '''1230 230lim 2233lim 0 2h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++== 由极限的存在性得()()()''' 1230 lim 22330h k f h k f h k f h →??++=?? 即 ()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得 ()()()()()() ()()()'''1230 """1230 ""1232233lim 24293lim 02 490000 h h k f h k f h k f h h k f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠Q 123490k k k ∴++=③ 由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490 k k k k k k k k k ++=?? ++=??++=?的解 设1231111123,,01490k A x k b k ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ??????? ，则Ax b =， 增 广 矩 阵 *111110031230010314900011A ?? ?? ? ?=- ? ? ? ????? :，则 ()(),3R A b R A == 所以，方程Ax b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意， 且1 233,3,1k k k ==-=。 四．（本题17分）设 222 1222:1x y z a b c ∑++=，其中0 a b c >>>， 2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点 距离的最大值和最小值。 解：设Γ上任一点(),,M x y z ，令()222 222,,1x y z F x y z a b c =++-， 则' ''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为： 222,,,x y z t a b c ?? =∴ ???r 1∑在点M 处的切平面为∏： ()()()2220x y z X x Y y Z z a b c -+-+-= 原 点 到 平 面 ∏ 的距离 为 1d = ，令 ()222444,,,x y z G x y z a b c =++ 则 d = 现在求 ()222444,,, x y z G x y z a b c =++在条件 222 2221x y z a b c ++=， 222z x y =+下的条件极值， 令 ()()222 22222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ??=+++++-++- ??? 则由拉格朗日乘数法得： '1242'12 42'1242222 22222222202220 222010 0x y z x x H x a a y y H y b b z z H z c c x y z a b c x y z λλλλλλ?=++=?? ?=++=???=+-=?? ?++-=???+-=?? ， 解得2222 220x b c y z b c =???==?+? 或22 2222 a c x z a c y ?==?+??=?， 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()44 2222,,a c G x y z a c a c +=+ 此时的1d = 2d =又因为0a b c >>>，则12d d < 所以，椭球面 1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： 2d = 1d =五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231 x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部 分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切 平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算： （1）(),,S z dS x y z ρ??； （2）()3S z x y z dS λμν++?? 解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()2 22310x y z z ++=≥ 令22231,F x y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===， 切平面∏的法向量为(),3,n x y z =r ， ∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=， 原点到切平面∏的距离( )222,,x y z ρ = = ( )1,,S S z I dS x y z ρ∴==???? 将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥ () 22 22 1210 323244sin xz D z x z r r dr I dxdz d π θθ??-+-∴==?? ?? 22 2212 32sin 32sin 44r r dr d π θθθ --== ? ? 431322 2422π??=-= ??? g (2)方法一： λμν= = = ( )2132S S I z x y z dS I λμν∴=++=== ???? 六．（本题12分）设f(x)是在 (),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其 中 01m <<，任取实数0 a ，定义 ()1ln ,1,2,..., n n a f a n -==证明： ()11 n n n a a ∞ -=-∑绝对收敛。 证明：()()112ln ln n n n n a a f a f a ----=- 由拉格朗日中值定理得：ξ?介于12,n n a a --之间，使得 ()()()() ()'1212ln ln n n n n f f a f a a a f ξξ-----= - ()() ()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=-， 又 ()() f mf ξξ<、得 ()() 'f m f ξξ< 111210...n n n n n a a m a a m a a ----∴-<-<<-01m < ∴级数110 1 n n m a a ∞ -=-∑收敛，∴级数 1 1 n n n a a ∞ -=-∑收敛，即 ()11 n n n a a ∞ -=-∑绝 对收敛。 七．（本题15分）是否存在区间 []0,2上的连续可微函数f(x)， 满足()()021f f ==， ()()2 01,1f x f x dx ≤≤?、 ？请说明理由。 解：假设存在，当[]0,1x ∈ 时，由拉格朗日中值定理得： 1ξ?介于0，x 之间，使得()()()'10,f x f f x ξ=+， 同理，当[]1,2x ∈时，由拉格朗日中值定理得： 2ξ?介于x ，2之间，使得()()()()'222f x f f x ξ=+- 即()()[]()()()[]'' 121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤Q 、， ()[]()[]11,0,1;13,1,2x f x x x x f x x x ∴-≤≤+∈-≤=-∈ 显然， ()()2 0,0f x f x dx ≥≥? ()()()()()1 2 2 1 2 1 1 111133 x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=?????()20 1f x dx ∴≥?，又由题意得()()22 00 1,1f x dx f x dx ≤∴=?? 即 ()2 1f x dx =? ，()[][] 1,0,11,1,2x x f x x x ?-∈?∴=?-∈?? ()()()()1 1111111lim lim 1,lim lim 11 11 1x x x x f x f f x f x x x x x x + +-+ →→→→----====-----Q ()'1f ∴不存在，又因为f(x)是在区间[]0,2上的连续可微函数，即()'1f 存在，矛盾， 故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知 第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 . 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则2 1t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222 -+=y x z 在) ,(00y x 处 的 法 向 量 为 ) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+ 因)(29ln y f y xe e =，故 y y y f x '=''+)(1 ，即))(1(1y f x y '-= '，因此 2 222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-' ''+'--=''= 3 22 232)] (1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因 中国石油大学高等数学（二） 第一次在线作业 第1题 您的答案：C 批注：考察的知识点：二元函数的连续的概念，二元函数的偏导数的概念 第2题 您的答案：C 批注：考察的知识点：二元函数全微分的存在条件 第3题 您的答案：D 批注：考察的知识点：二元函数的连续与偏导数存在之间的关系 第4题 您的答案：C 批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 第5题 <／p> 您的答案：C 批注：考察的知识点：二重积分的计算。具体方法：式子两边做区域D上的二重积分的计算，令已知的等式中的二重积分为一个固定的字母，然后再求得此字母的值，代入初始给的等式中即得到结果。 第6题 您的答案：B 批注：考察的知识点：可微与偏导存在的关系 第7题 您的答案：D 批注：考察的知识点：二重积分的计算 第8题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的定义 第9题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二重积分的定义 第10题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第11题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第12题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二重积分的定义 第13题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二重积分的定义 第14题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二重积分的定义 2007—2008学年第一学期 《高等数学》（上）期末试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室数学学院基础数学系 考试日期 2008年1月7日 说明：1本试卷正文共6页。 2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。 一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分). 1. x x x 2sin )31ln(lim 0-→= . 2. 设函数)(arctan x f y =，其中)(x f 在),0(∞+内可导，则dy = . 3. 设0>a ，则?-dx x a 2 221 =____________. 4. ? -+-21 2 111ln dx x x =__________. 5. ?+π 42sin a a xdx = __________. 6. 微分方程 x y y sin 4=+''的通解是 . 二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分). 1．设)(x f 为可导的奇函数，且5)(0='x f ，则=-')(0x f （ ）. (A) 5-； (B) 5； (C) 25； (D) 25 - . 2. 设函数)(x f 在点0x 的某邻域有定义，则)(x f 在点0x 处可导的充要条件是 （ ）. （A ） )(lim )(lim 0 x f x f x x x x + - →→=； （B ） ) ()(lim 00 x f x f x x '='→； （C ）)()(00x f x f +-'='； （D ）函数)(x f 在点0x 处连续. 3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数)(t s ，一条是汽车的速度函数)(t v ，一条是汽车的加速度函数)(t a ，则（ ）. （A ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v 的图形，曲线c 是)(t a 的图形； （B ） 曲线b 是)(t s 的图形，曲线a 是)(t v 的图形，曲线c 是)(t a 的图形； （C ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线c 是)(t v 的图形，曲线b 是)(t a 的图形； （D ） 曲线c 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v 的图形，曲线a 是)(t a 的图形. 4. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数，1x 、)(212x x x <是),(b a 内任意两点，则( ). （A ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，其中ξ为),(21x x 内任意一点 ； （B ）至少存在一点),(21x x ∈ξ，使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ； 高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++??∑ds y x )122（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑∞ =+1)1(1n n n 的与为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件就是( ) (A)),(y x f 在),(00y x 处连续; (B)),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时,就是无穷小; (D)0)()(),(),(lim 2200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A)y x +; (B)x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω= zdV I 等于( ) (A)4 ???20201 03cos sin ππ ???θdr r d d ; 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 大连市高等数学竞赛试 题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案（B） 一、填空题（本大题共5小题，每小题2分， 计10分） 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时，x x x f 1 sin )(3=为一初等函数，这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='（6分） 当0=x 时，由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。（10分） 解：0,1,1x x x ===-为间断点。（3分） 当0x =时， 由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。（5分） 当1x =时， 由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。（7分） 当1x =-时， 而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。（8分） 考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页 2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷 （工科类）参考答案及评分标准 一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“?” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞ +→)(lim x f x .（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞ +→x x x sin lim . ------- （ 2分 ） 2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞ →n n n y x ，则0lim =∞ →n n x 或.0lim =∞ →n n y （ ? ）-------------- （ 1分 ） 例如： ,0,1,0,1:n x ,1,0,1,0:n y 有0lim =∞ →n n n y x ，但n n x ∞ →lim ，n n y ∞ →lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ） 4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ? ）------------------- （ 1分 ） 例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3 )(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：?? ?=.,0,1)(为无理数 当为有理数， 当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分 ） 二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分） 1. 指出函数x x x f cot )(?=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(?=的间断点为： ,2,1,0,±±==k k x π ------------------------------------------------------- ( 3分 ) 当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos lim cot lim )(lim 0 ===→→→x x x x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(?=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 ) 高等数学下册试题及答案解析 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = ) 0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 . 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值 为 . 4、设曲线L 的参数方程表示为), ()()(βαψ?≤≤? ? ?==x t y t x 则弧长元素=ds . 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 = ++?? ∑ ds y x )122 （ . 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 . 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的和为 . 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在) ,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在) ,(00y x 处连续； （B ） ) ,(y x f x '， ) ,(y x f y '在 ) ,(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2 200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x . 2、设 ), ()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 . 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分 ???Ω =zdV I 等于（ ） （A ）4 ???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； （B ） ? ??20 1 2sin π π??θdr r d d ； 【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是： 中国石油大学高等数学（二） 第三次在线作业 第1题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数的收敛与绝对收敛第2题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第3题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第4题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第5题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第6题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第7题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第8题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：交错级数的收敛域 第9题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第10题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：单位向量、共线的概念、数量积 第11题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：向量平行的性质 第12题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：单位向量、向量垂直、数量积第13题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：向量垂直的性质 第14题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：单位向量、共线的概念、数量积第15题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：向量的夹角 第16题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：向量垂直的性质 第17题 第一次在线作业 单选题 (共30道题) 展开 收起 1.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分2.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分3.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分4.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分5.（分） <／p> A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分6.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：B此题得分：分7.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分8.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：B此题得分：分9.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分10.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分11.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分12.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分13.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：B此题得分：分14.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分15.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：B此题得分：分16.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分17.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分18.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分19.（分） A、. B、. C、. 高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线112z y x =-=平行的直线方程是___________ 2. 过点 )0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设 k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设 1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面 0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0 526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 2 1-=+=-z y m x λ与平面 25363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点 )1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9. 曲面 222y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数 1 2 n n n n x ∞ =∑的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 3 222 x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3 023 x y z +-+==的平面方程是 _________________ 12. 设 ),2ln(),(x y x y x f + =则__________)0,1('=y f 13. 设 ),arctan(xy z =则 ____________,__________=??=??y z x z 14. 设 ,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________ 15. 设 ,y x z = 则=dz _____________ 2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ，则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （ ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关 高等数学下册试题库 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||=. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面和的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 ， 因此，所求夹角． 5. 求平行于轴，且过点和的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）． 解 由于平面平行于轴，因此可设这平面的方程为 因为平面过、两点，所以有 解得，以此代入所设方程并约去，便得到所求的平面方程 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 7．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 8．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B )。高等数学下试题及参考答案
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