北师大版八年级下册第四章因式分解的常用方法(汇总)
因式分解常用方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方
法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
一、提公因式法.
如多项式),(c b a m cm bm am ++=++
其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法.
运用公式法，即用
)
)((,)(2),
)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局
部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后
两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！
=))((b a n m ++
思考：此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可
以提。
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-
=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---
=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：ay ax y x ++-22
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继
续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-
=)())((y x a y x y x ++-+
=))((a y x y x +-+
例4、分解因式：2
222c b ab a -+-
解：原式=222)2(c b ab a -+-
=22)(c b a --
=))((c b a c b a +---
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---
练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22
（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-
（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--
（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a
（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+
（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3
=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次
项的系数。
例6、分解因式：672+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c
（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=
分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
例7、分解因式：101132+-x x
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：101132+-x x =)53)(2(--x x
练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732
+-x x
（3）317102+-x x （4）101162++-y y
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：221288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++
=)16)(8(b a b a -+
练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2
26b ab a --
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x
1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy
练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a
综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x -- （3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2
+--+b a b a
（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m
（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++
（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++
思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222
五、主元法.
例11、分解因式：910322++--x y xy x
解法一：以x 为主元 解：原式=)2910()13(22+----y y y x x
=)12)(25(-++-y x y x -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)
解法二：以y 为主元
解：原式=)93(102+---x y y =)93(10[2-+-y x y =2- 2 (x -1)
=- 5 -(x +2)
=)25)(12(---+-x y x y 5(x -1)-2(x +2)=(3x -9)
练习11、分解因式(1)56422-++-y x y x (2)6722
2-+--+y x y xy x
(3)613622-++-+y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a
六、双十字相乘法。
定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式。
条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =
（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221
即： 1a 1c 1f
2a 2c 2f B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221
则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f c x a f y c x a ++++
例12、分解因式（1）291032
2-++--y x y xy x
（2）613622-++-+y x y xy x
解：（1）2910322-++--y x y xy x
应用双十字相乘法： x y 5- 2
x y 2 1-
xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2
∴原式=)12)(25(-++-y x y x
（2）613622-++-+y x y xy x
应用双十字相乘法： x y 2- 3
x y 3 2- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32
∴原式=)23)(32(-++-y x y x
练习12、分解因式（1）67222-+--+y x y xy x
（2）22227376z yz xz y xy x -+---
七、换元法。
例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x
（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22
=))(1(a x ax -+
=)2005)(12005(-+x x
（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++
设A x x =++652，则x A x x 2672
+=++
∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=2
2)66(++x x
练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++
（2）90)384)(23(22+++++x x x x （3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a
例14、分解因式（1）262234+---x x x x
观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x x
x x 设t x x =+1，则21222-=+t x
x ∴原式=[
]6)2222---t t x （
=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x （2）1442
34+++-x x x x 解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-22
21414x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝
⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y x
x ∴原式=()3422+-y y x =()()312--y y x
=)31)(11(2----x
x x x x =()()13122----x x x x 练习14、（1）673676234+--+x x x x （2）)(2122234x x x x x +++++
八、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）4323+-x x
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x
=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x
=)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x
=)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x
=2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x
（2）33
69-++x x x
解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x
=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x
=)111)(1(3363+++++-x x x x
=)32)(1)(1(362++++-x x x x x
练习15、分解因式（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x
（3）1724+-x x （4）2
2412a ax x x -+++
（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++
九、待定系数法。
例16、分解因式613622-++-+y x y xy x
分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++
解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62
2
∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x
例17、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。
（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必为))((b y x a y x +-++
解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++
则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(2
2 比较对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==132m b a
∴当1±=m 时，原多项式可以分解；
当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ；
当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x
（2）分析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式。
解：设82
3+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++
则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a ，解得⎪⎩
⎪⎨⎧===4147c b a ，
∴b a +=21
练习17、（1）分解因式291032
2-++--y x y xy x
（2）分解因式6752322+++++y x y xy x
（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式。
（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
北师大版八年级下册第四章因式分解的常用方法(汇总)
因式分解常用方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方 法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ) )((,)(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=- 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局 部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后 两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可 以提。 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继 续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2 222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =22)(c b a -- =))((c b a c b a +--- 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22
北师大数学八年级下册第四章-因式分解进阶经典讲义
第02讲_因式分解进阶 知识图谱 因式分解的高级方法 知识精讲 一．十字相乘法 二．分组分解法 分组分解法分解因式常用的思路有： 十字相乘 法 2(0)ax bx c a ++≠ 若a 1 c 2+a 2 c 1 =b ，则 21122()()ax bx c a x c a x c ++=++ 分解思路为“看两端，凑中间” 21232x x ++ 21232=(8)(4)x x x x ++++ a 1 a 2c 2 c 1a 1c 2 + a 2c 1
分组分解法（1）适用场景：不能直接运用提公因式法和公式法 （2）方法：把这个多项式分成几组，对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解 四项=二项+二项 （按字母分组、按系数分组、 符合公式的两项分组） 四项=三项+一项 （先完全平方公式后平方差 公式） 五项=三项+二项（完全平方公 式） 六项=三项+三项（完全平方公 式） 六项=二项+二项+二项（各组 之间有公因式） 六项=三项+二项+一项（完全 平方公式） 三．换元法
四．拆、添项法 三点剖析 一．考点：1．十字相乘法；2．分组分解法；3．换元法；4．拆、添项 二．重难点：十字相乘法；分组分解法；换元法；拆、添项． 三．易错点： （1）正确的十字相乘必须满足以下条件： 在上式中，竖向的两个数必须满足关系12a a a =，12c c c =；斜向的两个数必须满足关系1221a c a c b +=，分解思路为“看两端，凑中间．” （2）换元法换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来，并最终对每一项都彻底因式分解． c 1 c 2 a 2 a 1换元法 将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，简化运算过程 设， 则 原 式 易错点：换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来。并再次对每一项彻底的因 式分解 拆、添项 （1）在多项式中添上两个符号相反的项，再使用分组分解法进行分解因式 （2）将多项式中的某一项拆成两项或多项，再使用分组分解法
(完整版)北师大版八年级下数学第四章因式分解导学案
4.1分解因式 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1、分解因式的定义； 2、分解因式与整式乘法的关系； 【重点难点】 1、分解因式的定义； 2、分解因式与整式乘法的关系. 知识概览图 分解因式???关系分解因式与整式乘法的分解因式的意义 新课导引 观察下列运算：993-99＝99×(992-1)＝99×9800＝98×99×l00. 【问题探究】 从上面的运算过程，你知道这是运用了什么方法使复杂的计算过程简单化了吗? 【解答】上面计算过程中运用了分解因式，使计算过程简单化了. 教材精华 知识点1 分解因式的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.例如：ax +ay ＝a (x +y )，a 2-2ab +b 2＝(a -b )2等，都是分解因式. 理解分解因式的定义应注意以下三点：（1）分解因式的结果要用积的形式表示.（2）每个因式必须是整式.且每个因式的次数都不能高于原来多项式的次数.（3）必须分解到每个多项式都不能再分解为止.分解时要注意分解因式所在的数集，本章仅限于在有理数范围内分解因式. 知识点2 分解因式与整式乘法的关系 如果把整式乘法看作一个变形过程.那么多项式的分解因式就是它的逆过程，如果把多项式的分解因式看作一个变形过程，那么整式乘法就是分解因式的逆过程，因此多项式的分解因式与整式乘法互为逆过程.这种互逆过程一方面说明了两者之间的密切联系，另—方面义说明了两者之间的根本区别.例如：ma +mb +na +nb =a +b )(m +n ).
知识拓展 解因式与整式乘法是互逆过程. 课堂检测 基本概念题 1、下列从左边到右边的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?为什么? （1）24x 2y ＝4x ·6xy ; （2）（x +5）（x -5）＝x 2-25； （3）x 2+2x -3＝（x +3）（x -1）； （4）9x 2-6x +l ＝3x （3x -2）+l ； （5）31ax +31bx ＝31x （a +b ）. 基础知识应用题 2、计算下列各式. （1）3a 2(a +2)； （2）(a+x ) (a -x )； （3）(x -4)2； （4）ab (a -b -1)； （5）(x +2)(x -3)； （6）(2a -3b )2. 综合应用题 3、已知x 2+2x +p 可以分解为（x -3）（x +5），求p 的值. 探索创新题 4、计算19.97×95+19.97×5的最简便方法是 （ ） A.19.97×95+19.97×5＝19.97×（95+5）
北师大版八年级下册数学第四章 因式分解第3节《公式法(2)》参考教案
4.3.2 公式法（二） ●教学目标 （一）教学知识点 1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求 在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力. （三）情感与价值观要求 通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. ●教学重点 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. ●教学难点 让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. ●教学方法 观察—发现—运用法 ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§4.3.2 A） 第二张（记作§4.3.2 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？ 在前面我们不仅学习了平方差公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 而且还学习了完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2 本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式. Ⅱ.新课 1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. ［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？ ［生］可以. 将完全平方公式倒写： a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. ［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点. ［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解. ［师］左边的特点有（1）多项式是三项式； （2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式； （3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方. 用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式. 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. 投影（§4.3.2 A）
北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》复习 教案
第四章因式分解 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论. 学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是： 1．知识与技能： （1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法： （1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力； （2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问
题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳 ——能力提升――活学活用——永攀高峰． 第一环节知识回顾 活动内容：1、举例说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ 4、试着画出本章的知识结构图。 活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来． 注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．
《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解八年级数学下册(北师大版)
《因式分解》全章复习与巩固（基础） 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： ()()22a b a b a b -=+- 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，22 2a ab b -+的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减） 这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨ +=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、提公因式法分解因式 1、先将代数式因式分解，再求值：()()222x a y a ---， 其中05152a .,x .,y ===-． 【思路点拨】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将字母的值代入计算即可． 【答案与解析】
北师大版八年级数学下册第四章因式分解常用“小招数”
学习因式分解常用“小招数” 不少同学在学习了因式分解的基本方法后，解题时还会遇到这样那样的一些小问题，而造成分解的思路不畅，或者分解不彻底.为了帮助同学们解决这些小问题，在此介绍几种因式分解的“小招数”，希望对同学们有所帮助. 一、符号变一变 例1 分解因式-a ²+2-1. 解 原式=-（a ²-2a+1）=-（a-1）² 评析 原式有三项，虽有完全平方的“形”却不能直接用公式，提取“一”号后，便能套用“完全平方公式”. 二、位置动一动 例2 分解因式-4b ²+a ². 解 原式=a ²-4b ²=a ²-(2b)²=(a+2b)(a-2b) 评析 原式是两项式，无公因式可提，需将两项位置对调，才能化为“平方差公式”的形式. 三、系数提一提 例3 分解因式:-4 1a ²+a-1 解 原式=-41(a ²-4a+4)=-4 1(a-2)² 评析 原式有三项，提取首项的系数-¼后，括号内的因式便可套用“完全平方公式”分解. 四、括号添一添
例5 分解因式:a²(a-1)-a+1. 解原式=a²(a-1)-(a-1) =(a-1)(a²-1) =(a-1)(a+1)(a-1) =(a-1)²(a+1). 评析如果把原式不问青红皂白，直接去括号，便弄得越来越复杂，仔细观察原式特点，把 -a+1添“一”括号，整个式子中便出现了公因式(a-1)，下面的分解就容易了. 例6 分解因式4a²-9b². 解原式=(2a)²-(3b)² =(2a+3b)(2a-3b). 评析如果把原式直接套用“平方差公式”，将出现错误的结果:(4a+9b)(4a-9b),添括号后整理成“平方差公式”的形式，便可以正确分解了. 例7 分解因式4a²+12ab+9b². 解原式=(2a)²+12ab+(3b)²=(2a+3b)²评析如果把原式直接套用“完全平方公式”，将出现错误的结果:(4a+9b)² 显而易见，文中提到的几种“小招数”，在同学们的解题过程中经常会用到，这几种“小招数”的实质，是把比较乱的多项式整理成为我们熟悉的便于用“公式法”或用“提取公因式法”来分解的形式，从而达到化难为易、化繁为简的目的.
北师大版八年级数学下册第四章-分解因式-(基础+提高)
第四章分解因式 考点一：分解因式的概念 1、下列变形中，从左向右是因式分解的是（） A．x2﹣9+6x=（x+3）（x﹣3）+6x B．x2﹣8x+16=(x﹣4）2 C．（x﹣1)2=x2﹣2x+1 D．x2+1=x（x+） 考点二:因式分解 1、下列分解因式中，正确的个数为（） x2+2xy+x=x(x2+2y)；x2+4x+4=（x+2）2；—x2+y2=（x+y）（x—y) A．3个B．2个C．1个D．0个 2、下列多项式中,能运用公式法进行因式分解的是（） A．a2+b2B．x2+9 C．m2﹣n2D．x2+2xy+4y2 3、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y,x+y，a+b，x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( ） A．我爱美B．宜晶游C．爱我宜昌D．美我宜昌 4、若分解因式x2＋mx－24＝（x＋3)(x＋n)，则m的值为。 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），另一个因式为。 5、甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b,分解结果为（x+2）(x+4）；乙看错了a,分解结果为（x+1）(x+9），则a+b=_______ 6、因式分解 9a2（x－y）＋4b2(y－x) x2＋2xy＋y2－4 (m+1）（m﹣9)+8m．
x2+4xy﹣5y2 4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3． 考点三：利用因式分解计算 1、2016×2016﹣2016×2015﹣2015×2014+2015×2015的值为（)。 A．1 B．﹣1 C．4032 D．4031 2、3（4+1）（42+1）（44+1）+1 3、 考点四：利用因式分解化简求值 1、已知xy=8,x﹣y=2，求代数式x3y﹣x2y2+xy3的值为． 2、a+1+a(a+1）+a（a+1)2+……+a（a+1)2014= ． 3、已知a2+b2+4a﹣2b+5=0，则的值为（） A．3 B．C．﹣3 D． 4、已知x2+x-1=0，则代数式x3+2x2+2014= . 5、化简求值：（2x－1）2（3x＋2）＋（2x－1)（3x＋2）2－x（1－2x)(3x＋2)，其中x＝1.
北师大版八年级数学下册第四章4.2.2 因式分解 运 用 公 式 法导学案
第二章 因式分解、运 用 公 式 法导学案4.2.2 班级：_____________姓名：_____________ 家长签字： _____________ 一、学习目标 （1）会用完全平方公式进行因式分解； （2）清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑 用平方差公式或完全平方公式进行分解因式． （3）通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，感受事物间的因 果联系． 二、温故知新 1、分解因式学了哪些方法? 2、填空： （1）（a+b ）（a-b ） = ； （2）（a+b ）2= ； （3）（a –b ）2= ； 根据上面式子填空： （1）a 2–b 2= ； （2）a 2–2ab+b 2= ； （3）a 2+2ab+b 2= ； 三、自主探究：阅读课本p101-102 探究一：形如a 2+2ab+b 2 与a 2–2ab+b 2的式子称为完全平方式． a 2–2ab+ b 2=（a –b ）2 a 2+2ab+b 2=（a+b ）2 完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。 归纳：1、整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解 因式的方法称为______________ 2、平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央 例1： 把下列各式因式分解： （1）x 2–4x+4 （2）9a 2+6ab+b 2 （3）m 2–9 132+m （4）()()1682++++n m n m 例2、将下列各式因式分解： （1）3ax 2+6axy+3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy
（3）-6a 3+15a b 2-9a c 2 （4）x 2(a-b)+4(b-a) （5）(x 2+4)2−16x 2 （6）（m 2-2m ）2-2(m 2 -2m)+1 归纳：1、在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两 步完成： （1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解. 2、当首项是二次项且系数为负数，一般先提出”_”号 3、最后分解到不能再分解为止 即时练习：.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a 、 b 各表示什么？ 四、随堂练习 ： 1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．m 2－mn+n 2 B ．（a+b ）2－4ab C ．x 2－2x+4 1 D ．x 2+2x －1 2．若a+b=4，则a 2+2ab+b 2的值是（ ） A ．8 B ．16 C ．2 D ．4 22222 22(1)69(2)14(3)24(4)441(5)14(6)4129x x a x x x x m m y xy x -++-++-+--+； ； ； ；；．
初中数学北师大版八年级下册第四章因式分解3.公式法-《公式法》教案
《公式法》教案 教学目标 一、知识与技能 了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握平方差公式与完全平方公式的结构特征，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式将多项式因式分解. 二、过程与方法 培养学生的观察和联想能力，进一步了解换元的思想方法，通类比的方法，运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 三、情感态度和价值观 积极参加探索活动，并在此过程中培养自己勇于挑战的勇气和战胜困难的自信心. 教学重点： 正确熟练地运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 教学难点： 把多项式进行适当的变形，灵活运用平方差公式与完全平方公式因式分解. 教学过程： 一、导入新课 提出问题： 1. 多项式的分解因式的概念： 2. 公因式的含义、提公因式法分解因式； 3. 分解因式与整式乘法关系： 4.整式的乘法公式有哪些? 学生回忆回答上述问题. 前面我们学习了用提取公因式法因式分解，这节课我们学习另外一种方法---公式法因式分解. 二、新课学习 （一）探究用平方差公式因式分解 1、想一想 （1）观察多项式x2-25 和9x2-y2，它们有什么共同特征？ （2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积. 师生共同分析： 多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：
x 2-25=x 2-52， 9x 2-y 2 =(3x)2-y 2 把乘法公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2反过来，就得到a 2-b 2=(a+b)(a-b)，于是有： x 2-25=x 2-52=(x+5)(x-5)； 9x 2-y 2 =(3x)2-y 2=(3x+y)(3x-y). 2、归纳总结： (a+b)(a-b)=a²-b² a²-b² = (a+b)(a-b) （整式乘法） （因式分解） 特点： (1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式） ★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２ 的形式. (2) 公式右边：（是分解因式的结果） ★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式. 3、学以致用 例1、把下列各式分解因式： （1）25-16x 2 （2）9a 2- 14b 2 分析：先确定a 与b 学生根据分析，自主完成解题过程 解：（1）25-16x 2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x). （2）9a 2- 14b 2=(3a)2-(12b)2=(3a+12b)(3a-12b) 例2 把下列各式分解因式： （1）9(m+n)2-(m-n)2 （2）2x3-8x 分析：（1）把括号看作一个整体；（2）先提出这个公因式 学生根据分析，自主完成解题过程 解：（1）9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n) （2）2x 3-8x=2x(x 2-4)=2x(x 2-22)=2x(x+2)(x-2) 归纳：公式中的a 、b 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就
初中数学北师大版八年级下册第四章因式分解2提公因式法-《提公因式法》教案
《提公因式法》教案 教学目标 一、知识与技能 让学生了解多项式公因式的意义；初步学会用提公因式法分解因式． 二、过程与方法 通过找公因式，培养学生的观察能力和类比推理能力． 三、情感态度和价值观 在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识． 教学重点： 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来． 教学难点： 让学生识别多项式的公因式 教学过程： 一、导入新课 1、分解因式的概念： 2、整式的乘法与因式分解有什么关系吗？ 学生回忆回答： 把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式. 分解因式与整式乘法是互逆运算. 3、近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动．每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？ 学生分析题意，列出算式： 37×102+37×93+37×105 提出问题：有没有简便的运算？
学生讨论分析，找出简便的方法并计算： 共同的因数37 37×102+37×93+37×105=37×（102+93+105）=37×300=11100（棵） 想一想：如果m·a+m·b+m·c进行因式分解能用这种方法吗？ 分析：这个算式也有共同的因数m，所以可用此方法因式分解 m·a+m·b+m·c=m (a+b+c) 这种方法就是我们这节课要学习的内容-----提公因式法 二、新课学习 （一）探究提公因式法的定义 1、做一做： 多项式ma+mb+m有共同的因式m，多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式 mb2+nb-b 呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流． 学生分析讨论，归纳如下： ab+bc：相同的因式是b；ab+bc=b(a+c) 3x2+x：相同的因式是x；3x2+x=x(3x+1) mb2+nb-b：相同的因式是b；mb2+nb-b=b(m+n+1) 分析：以上多项式的特点是都有共同的因式 归纳：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 2、议一议： （1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？ （2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流． 引导学生分析，找出公因式： 两项都有系数，系数应是2，是2与6的最大公约数. 两项都有含有相同的字母x，x的指数是2与3，应取字母的最低次幂. 所以，多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2 据此由学生自主完成第二问的问题： 2x2+6x3=2x2(1+2x) 以上进行的因式分解，都是应用的提公因式法，你能总结提公因式法的定义吗？ 学生观察分析，归纳总结： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法． 引导学生总结出找公因式的一般步骤：
8种最常用的因式分解法,初二因式分解的方法与技巧
初二数学因式分解的八种常见方法，你学会了就是学霸！ 因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望同学给以足够的重视。因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综 合运用。在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。 下面通过例题一一介绍。 一.提取公因式法 (一)公因式是单项式的因式分解 1.分解因式 确定公因式的方法 ①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂. 注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解: 原式=一4m²n(m²一4m+7). (二)公因式是多项式的因式分解 2.因式分解 15b(2a一b)²+25(b一2a)² 解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5) 二.公式法 (一)直接用公式法 3.分解因式 (1).(x²+y²)²一4x²y² (2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81
解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)² (2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²= (二)先提再套法 4.分解因式 (三)先局部再整法 5.分解因式 9x²一16一(x十3)(3x+4) 解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x 一7) (四)先展开再分解法 6.分解因式 4x(y一x)一y² 解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²
2020--2021学年北师大版八年级数学下册第4章：因式分解 典型题型总结
8B U4因式分解 题型一 利用因式分解判断整除问题 试探究：817–279–913能被45整除吗？ 题型二 利用面积法探究多项式的因式分解 如右图示，由一个边长为a 的正方形与两个长,宽分别为a,b 的小长方形拼接成一个大长方形ABCD ，利用大长方形ABCD 面积的不同求法，写一个有关多项式的因式分解的等式：___________________________ 题型三 利用因式分解与整式乘法的关系求字母的值 已知关于x 的二次三项式2x 2+mx+n 因式分解后的结果为（2x-1）(x+4),求m 与n 的值. 题型四 利用提公因式法因式分解 把下列各式因式分解 –24x 3－12x 2+8x (2a–b)(3a–2)+b(2–3a) (x–y)4+x(x–y)3–y(y–x)3 4x n+1–12x n +32x n–1 2(a–3)2–a+3 题型五 利用提公因式法简便计算 22021–22020 7.3×202.1+5.6×202.1－2.9×202.1 题型六 利用提公因式法整体代入求值 已知x+y=5,xy=6,求x 2y+xy 2的值;已知b －a=6,ab=7,求a 2b －ab 2的值;已知a －b=5,ab=6,求3a 2b －6ab 2+18b+6的值 题型七 利用公式法因式分解 4(a －b)2－(a+b)2 16a 4－b 8 (a+b)2－2(a+b)+1 x 4－8x 2y 2+16y 4 (x+2y)2+6x(x+2y)+9x 2 题型八 综合运用多种方法因式分解的步骤 因式分解 ：2x 3－8x 3+8x 9x 2(a －b)+y 2(b －a ） x 3y+2x 2y 2+xy 3 (x 2－x)2－(x-1)2 题型九 利用因式分解化简求值 先因式分解，再求值 (2x+3y)2－(2x －3y)2,其中x=16,y=1 8 ； a 4－4a 3b+4a 2b 2,其中a=8,b=－2. 题型十 因式分解在整除中的应用 若n 为整数，试说明(2n+1)2－25能被4整除.
数学北师大版八年级下册因式分解.因式分解教学设计doc
第四章因式分解回顾与思考教学设计 新郑市苑陵中学张艳平 一、学生起点分析 学生的知识技能基础： 学生已经学习了因式分解的四种方法：提公因式法与公式法，十字相乘法，分组分解法（后两种是补充的）逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解运用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略。. 学生活动经验基础： 在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式的基本方法，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是： 1．知识与技能：
（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法： （1）发展学生对因式分解的运用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力； （2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力． 3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳——能力提升． 第一环节知识回顾 活动内容：1、复习分解因式定义。 2、分解因式常用的方法有哪些？ 活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来．注意事项：学生对因式分解的概念与四种常用方法，但语言叙述严谨性不够，有待加强． 第二环节总结归纳（分五个知识点进行归纳训练） 活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法 这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。 例题： 因式分解下列多项式： (1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ; (2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ; (3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc) =3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c). 二、公式法 因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。 常用的公式如下： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−
ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3− 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) 还有两个常考的n次方展开的公式： an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈ Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题： 因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2 =(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab) =[(a+b)2−1][(a−b)2−1] =(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1) 三、十字相乘法（双十字相乘法） 简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。熟练的时候也不会想什么口诀，就这样做下来了。 比十字相乘法再进一步的还有双十字相乘法，这种方法适用的是型如：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F的多项式，方法的原理如下图 利用双十字分解法的步骤就是 1.先用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到a1,a2,b1,b2 ; 2.把常数项f进行拆分得到f1,f2，使得a1f2+a2f1=d,b1f2b2f1=e ; 3.最后就得到了ax2+by2+cxy+dx+ey+f=(a1x+b1y+f1)(a2x+b2y+f2) .
新北师大版八年级数学下册第4章教案
第四章因式分解 单元教学目标： 1、知识与技能目标 经历将一个多项式表示成几个整式乘积的形式，体会因式分解的意义，发展运算能力；能用提公因式法、平方差公式、完全平方公式进行因式分解。 2、过程与方法目标 认识整式乘法与因式分解的关系，体会数学知识的相互联系。 3、情感态度与价值观目标 养成认真勤奋，严谨求实的科学态度。 单元教学重点 注重使学生经历探究因式分解的方法的过程，进一步发展学生观察、发现、归纳、总结的能力 单元教学难点 利用因式分解解决实际问题 单元课时安排 1、因式分解1课时 2、提公因式法2课时 3、公式法2课时 回顾与思考1课时
§4.1因式分解 知识与技能目标： 1、使学生了解因式分解的意义。 2、知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。 过程与方法目标： 1、通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。 2、培养学生的观察能力和语言概括能力。 情感态度与价值观目标： 1．通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系。 2．让学生了解事物间的因果联系 教学重点 1．理解因式分解的意义; 2．识别分解因式与整式乘法的关系. 教学难点 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 教学方法 师生共同讨论法. 教具准备 有两个边长为1的正方形 投影片两张： 第一张：做一做 第二张：补充练习 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 1.讨论993-99能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流.
993-99能被100整除.因为993-99=99×992-99=99×(992-1)=99×9800=99×98×100，其中有一个因数为100，所以993-99能被100整除. 993-99还能被哪些正整数整除?(99，98，980，990) 从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式. 二、比较探究： 议一议：你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗?与同伴交流. 大家可以观察a3-a与993-99这两个代数式. a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1) 三、引出概念： 做一做：(1)计算下列各式： ①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________; ③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________; ⑤a(a+1)(a-1)=__________. (2)根据上面的算式填空： ①3x2-3x=()();②m2-16=()(); ③ma+mb+mc=()();④y2-6y+9=()2. ⑤a3-a=()(). 能分析一下两个题中的形式变换吗? 在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式. 4.想一想 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同?你还能举一些类似的例子加以说明吗? 总结一下： 联系：等式(1)和(2)是同一个多项式的两种不同表现形式. 区别：等式(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算. 所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
因式分解常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用