无穷级数总结

无穷级数总结

一、概念与性质

1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1

数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散.

n

2. 性质

① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性；

n1

n1

② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ，

v n

，则 (u n v n ) s ；

n1

n1

n1

n1

n1

若 u n 收敛，

v n 发散，则 (u n v n ) 发散；

n1

n1

n1

若 u n ，

v n 均发散，则

(u n v n ) 敛散性不确定；

n1

n1

n1

③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；

④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．

n1

注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；

②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ；

n1

n

注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；

③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法

① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 .

n1

② 审敛法：

i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界

②若 lim u n

0 ，则 u n 未必收敛；

n1

(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若②

n 1 n 1

收敛则①收敛；若①发散则②发散?

A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若②

发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散；

1

B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若

n 1 n n 1

1

U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散?

n n 1

C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则

n 1 n 1 n V n

U n与V n有相同的敛散性

n 1 n 1

注：常用的比较级数：

a

①几何级数：ar n1 1 r r 1

n 1 发散r| 1

②p级数：［收敛P 1时.

n 1 n

p发冃攵P 1时，

③调和级数：丄1 1 1

发散.

n 1 n 2 n

(iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若

n 1

①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散.

n a n n 1 n a n n 1

注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1

与2，虽然佃乩1，n

a

n n n 1 n n 1

n n a.

lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛?

n' n 1 n n 1 n

a n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛,

n

(iv )根值判别法(柯西判别法)设

若 1则级数发散.

(v )极限审敛法：设U n 0，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l 0且p 1，则级数

u n 发

n

n

n 1

散；②如果p 1，而limn%. 1(0 l ),则其收敛.(书上P317-2- n

(1))

注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法?正项级数的

比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件. 2. 交错级数及其审敛法

①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则 (1)n 1U n 称为交错级数?

n 1

②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数 (1)n1U n ，若U n

n 1

收敛.

注：比较u n 与u n 1的大小的方法有三种: ① 比值法，即考察是否小于1；

u n

② 差值法，即考察u n u n 1是否大于0； ③由u n 找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n),(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.

3. 一般项级数的判别法： ①若

u n 绝对收敛，则 u n 收敛.

n 1

n 1

②若用比值法或根值法判定 |u n I 发散，则 u n 必发散.

n 1

n 1

三、幕级数 1. 定义： a n x n

称为幕级数?

n 0

2. 收敛性

① 阿贝尔定理：设幕级数 a n x n

在X 。0处收敛，则其在满足 x | |x 。的所有x 处绝

n 0

对收敛.反之，若幕级数 a n X n 在X 1处发散，则其在满足x | |X 1的所有x 处发散. n 0 ② 收敛半径

(i )定义：若幕级数在x X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数

u n 1 且 lim

u

0，则(1)n1u n

n 1

R ，使得①当XX 。 R 时，幕级数收敛；②当 XX 。R 时，幕级数发 散；R 称为幕

级数的收敛半径.

(i

i

)求法：设幕级数 a n X n

的收敛半径为R ，其系数满足条件

n 0

lim

n

a

n 1

a n

l ，或

n

lim

M a n | 1

，则当0 l 时，R

1

；当l 0时，R

当l 时，

R 0 .

注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项(有 时会出现更复杂的情况)分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不 能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.

(iii )收敛半径的类型 A. R 0，此时收敛域仅为一点； B. R ，此时收敛域为(，)；

C. R =S 定常数，此时收敛域为一个有限区间. 3. 幕级数的运算(略) 4. 幕级数的性质

开成为泰勒级数的充要条件为lim R n (X) 0, X I .

n

①若幕级数的收敛半径 R 0，则和函数S(x)

a n X n

在收敛区间(R, R)内连续.

n 0

②若幕级数的收敛半径 R 0，则和函数S(X )

a n X n

在收敛区间(

n 0

R, R)内可导，且可逐项

求导，即 S (X ) ( a n X n )

n 0

(a n X n

)

n 0

na n X n 1

，收敛半径不变.

n 1

③若幕级数的收敛半径 R 0，则和函数S(X )

a n X n

在收敛区间(

n 0

R, R)内可积，且可逐项

x

积分，即0S(

t)dt

a n t n

)dt

x

a n t n

dt(x n

(R, R))，收敛半径不变.

5. 函数展开成幕级数 ①若f(x)在含有点X 0的某个区间I 内有任意阶导数,

f (X)在X 0点的n 阶泰勒公式为 f (x) f(x °) f (x °)(x x °) f (n 1}() (x X 0)(n 1

，记 R n (x) f (X 0), 、2 —(x x 0) 2! ：(n 1

)()

(n 1)! f (n)

(X 0)(

—(x n!

(x X 0)(n °，介于 X 。) X,X 0之间，则f (x)在I 内能展

②初等函数的泰勒级数(X 。0)

(vi )亠

1 x

6. 级数求和

①幕级数求和函数解题程序

(i )求出给定级数的收敛域；

(ii )通过逐项积分或微分将给定的幕级数化为常见函数展开式的形式(或易看出其假设

和函数s(x)与其导数s(x)的关系)，从而得到新级数的和函数；

注：系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代数和，然

后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数. ②数项级数求和

n

S n U 1 U 2 U n

U k .根据S n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.

k 1

A. 直接法：适用于 U k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；

k 1

B. 拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求 n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉.

分或积分求得和函数S(x).因此 a n

lim s(x).

X 1

四、傅里叶级数

(i ) e x

n 0

n

x

，X

(

(ii ) sin x (iii ) cosx (iv ) ln(1 x)

n 1 2n 1 (1) x

,x n 1

(2n

1)!

n 2n

(

4,x (2n)! (1)n x n1

(v ) (1 x)

,x

o n 1

(1)丄 n!

1,1] n 1)

x n

,x ( 1,1), ( R)；

(i )禾【」用级数和的定义求和，即 lim S n n

s

，贝U

U n s ，其中

n 1

(ii )阿贝尔法(构造幕级数法)

a

n 0

li

m a n X n ，其中幕级数

a n X n

，可通过逐项微

n 0 n 0

1.定义

①定义1：设f(x)是以2为周期的函数，且在［,］或［0,2 ］上可积，则

f (x) cosnxdx, (n 0,1, 2 ),

b n - f (x)sin n

xdx, (n 1, 2 )为系数的三角级数

l l l 】a 0

(a n cos

n

x b n

sin n

x)称为f(x)的傅立叶级数，表示为

2

n 1

l l

(a n cos

n

x b n

sin — x). n 1 l l

2.收敛定理(狄里赫莱的充分条件)设函数 f(x)在区间［,］上满足条件

①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点,

f (x), x

是 f (x)的连续点； 1

2【f(x 0 0) f(x 。0)],

x 0是f (x)的第一类间断点； 1 2【f(

0) f( 0)], x

3.函数展开成傅氏级数 ①周期函数

b n

f (x)sin

nxdx

f (x)sin nxdx,(n 1,2,),

称为函数f(x)的傅立叶系数.

②定义2

：以f(x)的傅立叶系数为系数的三角级数那0

(a n cosnx b n sin nx).

n 1

称为函数f (x)的傅立叶级数，表示为

f(x)?1 a 0

(a n cosnx b n sin nx).

n 1

③定义3:设f(x)是以21为周期的函数，且在［1,1］上可积，则以

a n

f (x) cos xdx, (n 0,1, 2 )，

则f(x)的傅立叶级数在［

］上收敛，且

有 f (x) cos nxdx f(x)?1a 0

(a n cosnx b n sin

nx)

(i )以2为周期的函数f(x) : f(x)?西

2

a n cosnx

b n sin nx n 1

f(x)? b n s inn x (正弦级数)，a n 0 (n 0,1,2,)

n 1

2

a .

— 0

f (x)cos nxdx (n 0,1, 2,

为奇函数，f(x)? b n sin nx (正弦级数)

n 1

a n

f (x) cosnxdx(n 0,1,2, ) , b n

f (x) sin nxdx(n 1,

2,)；

b n

— o f (x)sin

nxdx

(n 1,2,

②若f(x)为偶函数，则

f(x)

?罟

a n cosnx (余弦级

数)，

n 1

B. f(x)为［0,l ］上的非周期函数，则令F(x) f(x), 0 f( x), x x 0，则 F(x)除 x 0外在［,］上 为奇函数，f(x ? b n sin n

x (正弦级数)，b n - n 1 1

1

I n

0f (x)sin T xdx

(n 1,2,). (ii )偶延拓:

A. f(x)为［0,］上的非周期函数，令F(x) f(x), 0 x

， f ( x), x 0 则F(x)除x 0外在［,］上为偶函数，f(x)?詈 a n cosnx (余弦级 n 1 数)，a n — 0 f (x)cos nxdx (n 0,1, 2,). B f(x)为［。,|］上的非周期函数，令F(x) f (x V

|x x I

0，则 a 。 n

f (x)? a n cos 2 n 1

注：解题步骤：

O I n I x (余弦级数)，a n 2

o f (x)cos — xdx (n 0,1, 2,). 注: ①若f(x)为奇函数，则 b n 0 (n 1, 2,).

(ii

)以21

为周期的函数

f(x)

: f

(X)?号

1 a n

r i

1 f (x) cos 牛 xdx( n 0,1, 2, n , . n 、

a n cos x +

b n sin x)

n 1

1

1

1

n

注: ①若 f (x)为奇函数，贝U f(x 尸 b n sin 学 X (正弦级数)，a n 0 (n 0,1, 2,)

n 1

b n

'f (x)sin^xdx (n

l

1, 2,

②若f(x)为偶函数，贝U f(x)

a n cos

n 1

2 i n

a n - 0

f (x)cos-pxdx (n 0,1,2,

②非周期函数 (i )奇延拓：

b n 0

(n 1,2,).

A. f(x)为［0,］上的非周期函数，令F(x)

f(x), 0 f

0，则

F(x)

除

x

0外在［,］上

2

，b

f (x)sinnxdx (n 1, 2,

①画出图形、验证狄氏条件?画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性;

②求出傅氏系数；

③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于f(x) ?