03第三章-导数与微分

第三章 导数与微分

一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求

1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.

2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.

3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.

4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.

5.了解可导、可微、连续之间的关系.

重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.

难点 求复合函数和隐函数的导数的方法.

（二） 内容提要

1.导数的概念 ⑴导数

设函数)(x f y =在点0

x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0

x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0

仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0

x f x x f y -?+=?，若极限

000

0()()lim

lim

x x f x x f x y

x x

?→?→+?-?=?? 存在，则称)(x f 在点0

x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0

x 处的导数，记为)(0

x f '，也可记为0

00

0d d d d ,

,)(x x x f

x x x y x x y x y ==='

'或，即

x

x f x x f x y

x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim

lim

)(00000.

若极限不存在，则称)(x f y =在点0

x 处不可导. 若固定0

x ，令x x x

=?+0

，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在

点0

x 处的导数)(0

x f '也可表示为

00

)

()(lim

)(x x x f x f x f x --='→.

⑵ 左导数与右导数

① 函数)(x f 在点0

x 处的左导数

)(0

x f -

'＝x

x f x x f x

y x x ?-?+=??-

-

→?→?)

()(lim

lim 000

.

② 函数)(x f 在点0

x 处的右导数

)(0x f +'＝x

x f x x f x y x x ?-?+=??+

+

→?→?)

()(lim

lim

000

0. ③函数)(x f 在点0

x 处可导的充分必要条件是)(x f 在点0

x 处的左导

数和右导数都存在且相等．

２．导数的几何意义 ⑴曲线的切线

在曲线上点M 的附近，再取一点1M ，作割线1MM ，当点1M 沿曲线

移动而趋向于M 时，若割线1MM 的极限位置MT 存在，则称直线MT 为曲线在点M 处的切线． ⑵导数的几何意义

函数)(x f y =在点0

x 处的导数表示曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线斜率.

关于导数的几何意义的3点说明:

①曲线)(x f y =上点),(00y x 处的切线斜率是纵标变量y 对横标变量x 的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.

②如果函数)(x f y =在点0x 处的导数为无穷(即∞=??→?x y

x 0lim

,此时)

(x f 在0x 处不可导),则曲线)(x f y =上点),(00y x 处的切线垂直于x 轴. ③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于x 轴的切线.

3.变化率

函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度.

4.可导与连续的关系

若函数)(x f y =在点x 处可导，则)(x f y =在点x 处一定连续.但反过

来不一定成立，即在点

x 处连续的函数未必在点x 处可导.

5. 高阶导数 ⑴二阶导数

函数)(x f y =的一阶导数)(x f y '='仍然是x 的函数，则将一阶导数

)(x f '的导

数))((''x f 称为函数)(x f y =的二阶导数，记为)(x f ''或y ''或22d d x

y

，即

y ''=)(''y 或 2

2

d d x

y =??? ??x y x d d d d . ⑵n 阶导数

)1(-n 阶导数的导数称为n 阶导数（n =3，4， ,)1(-n ,n ）分别记 为

)(x f '''

,)()4(x f , ,)()1(x f n -,)()(x f n ，

或y ''', )4(y , ,)1(-n y ,n y ，

或33d d x y , 44d d x y , 11d d --n n x

y

, n n x y d d ， 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.

6 . 微分 ⑴微分的定义

如果函数)(x f y =在点x 处的改变量)()(x f x x f y -?+=?，可以表示成

)(x o x A y ?+?=?，

其中)(x o ?是比)0(→??x x 高阶的无穷小，则称函数)(x f y =在点x 处可微，称x A ?为y ?的线性主部，又称x A ?为函数)(x f y =在点x 处的微分，记为y d 或)(d x f ，即x A y ?=d .

⑵微分的计算

x x f x f d )()(d '=，其中x x ?=d ,x 为自变量. ⑶一阶微分形式不变性

对于函数)(u f ,不论u 是自变量还是因变量,总有u u f u f d )()(d '=成立.

7. 求导公式 微分公式

表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.

对求导公式作如下两点说明: (1)

求导公式})]([{'x f ?表示函数)]([x f ?对自变量x 的导数，即

})]([{'x f ?=

x

x f d )]

([d ?, (2) 求导公式)]([x f ?'表示函数)]([x f ?对函数)(x ?的导数，即

)]([x f ?'=

)

(d )]

([d x x f ??. 8. 求导法则 微分法则

⑴求导法则,微分法则见下表3.2 ⑵复合函数求导法则 ⑶参数方程求导法则 ⑷隐函数求导法 ⑸对数求导法

表3.2 求导与微分法则表

（1）微分进行近似计算的理论依据

对于函数)(x f y =,若在点0x 处可导且导数0)(0≠'x f ，则当x ?很小时，有函

数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式y y d ≈?.

(2) 微分进行近似计算的4个近似公式

设函数)(x f y =在点0x 处可导且导数0)(0≠'x f ，当x ?很小时，有近似公式y y d ≈?，即

x x f x f x x f ?'≈-?+)()()(000，

x x f x f x x f ?'+≈?+)()()(000，

令x x x =?+0，则

))(()()(000x x x f x f x f -'+≈，

特别地，当00=x ，x 很小时，有

x f f x f )0()0()('+≈ .

二、主要解题方法 1．用导数的定义求函数导数的方法 例1 求x x y =在0=x 处的导数. 解 由导数的定义知

0lim 0

lim )0()0(lim

)0(000

=?=?-??=?-?+='→?→?→?x x

x x x f x f f x x x . 例2 求 ()??

?+=，，x

x x f 1ln )(

<≥x x ，的导数. 解 当0>x 时，x

x f +=

'11

)( ， 当0

所以 10

lim

)0(0=-='-

→-x

x f x ， 1e ln )1ln(lim 0

)1ln(lim )0(1

00==+=-+='++→→+x x x x x

x f ，

因此 1)0(='f ，

于是 ?????+=',

1

,11

)(x

x f

.

0,

0≤>x x 小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得. 2．

用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法

例3 设,1

)(3

3x

x x x x f +--=求)(x f '.

解 3

16

13

23

311

)(-+--=+--=

x x x x

x x x x f ，

154363211

()363

f x x x x ---'=--.

例 4 设)1ln(++=x x y 求 y '.

解 利用复合函数求导法求导，得

)1(1

1

])1[ln(222'++++='

++='x x x x x x y ])1(1[1

122'++++=

x x x

])1(1211[1

1222'+++

++=x x x x

1

1]1

1[1

12

2

2

+=

++++=x x x x x .

小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求

高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数

)(x f 在点0x 可导，

否则法则失效.如x x y =在0=x 点，用四则运算法则求导，)0(y '不存在，但由例1知 x x y =在0=x 的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的. 3．对数求导方法

例 5 已知 y =x

x x x 2

2)

2()

1(-- ，求y '. 解 两边取对数，得：[]

)2ln(2)1ln(ln 1

ln 2---+=x x x x

y ， 两边对同一自变量x 求导，得

]22121[1)]2ln(2)1ln([ln 11222---++---+-='?x x x x x x x x x

y y ， ])

2(2

121)2()1(ln 1[)2()1(2222222---++-----=

'x x x x x x x x x x x y x

. 小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的. 4．隐含数的求导法

例 6 已知

arctan x y

=求y ''. 解 两端对x 求导，得

)(1)()(11222

22

'++='?+y x y x y x

y

x ，

2

2

2

2

2

2222221y

x y y x y

x y

y x y y x y +'?+?

+='

-?+，