动态几何问题 -
动态几何问题
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题．
在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．
原创模拟预测题1．如图，已知直线3
34y x =
-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ）
A ．8
B ．12
C ．21
2 D ．172
【答案】C ．
【解析】
试题分析：∵直线334y x =
-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，﹣3），34120x y --=，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴
点C （0，1）到直线34120x y --=223041234?-?-+16
5，∴圆C 上点到直线
334y x =-的最大距离是1615+=215，∴△PAB 面积的最大值是121525??=212，故选C ． 考点：圆的综合题；最值问题；动点型．
原创模拟预测题2．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．
【答案】（233-，23-）．
【解析】
考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；动点型；压轴题；综合题．
原创模拟预测题3．如图，已知抛物线
2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =-，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．
【答案】（1）3+=x y ，322+--=x x y ；（2）M （－1，2）；（3）P 的坐标为（－1，－
2）或（－1，4） 或（－1，2173+） 或（－1，217
3-）．
【解析】
试题分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y mx n =+，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把1x =-代入直线3+=x y 得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （﹣1，t ），又因为B （﹣3，0），C （0，3），所以可得2BC =18，
2
PB =22(13)t -++=24t +，2PC =22(1)(3)t -+-=2610t t -+，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．
试题解析：（1）依题意得：???????==++-=-`301
2c c b a a b ，解之得：?????=-=-=321c b a ，∴抛物线解析式为
322+--=x x y ，
∵对称轴为x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），∴B （－3，0），把B （－3，0）、C （0，3）
分别代入直线y mx n =+，得：???==+-303n n m ，解之得：?
??==31n m ，∴直线y mx n =+的解析式为3+=x y ；
（2）设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝－1代
入直线
3
+
=x
y得，y＝2，∴M（－1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和
最小时M的坐标为（－1，2）；
（注：本题只求M坐标没说要证明为何此时MA＋MC的值最小，所以答案没证明MA＋MC的值最小的原因）
考点：二次函数综合题；最值问题；动点型；压轴题；分类讨论．
原创模拟预测题4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．
【答案】（1）答案见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）当t=238秒时，S 的最大值为38
．
【解析】
试题分析：
（3）①当点M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM=t ，
∴AF=FM=t 22，∴S=2
412222212
1t t t FM AF =??=?； 当点M 在CG 上时，即22＜t ＜24时，CM=t-22，MG=24-t ．∵AD=DG ，∠ADC=∠CDG ，CD=CD ，∴△ACD ≌△GCD （SAS ），∴∠ACD=∠GCD=45o，∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90o，∴∠G=90-∠GCD=90o-45o=45o，∴△MFG 为等腰直角三角形，
∴t t MG FG 22422)24(45cos 0-=?
-=?=，∴ACG CMJ FMG S S S S ???=--
=111
42
222
CM CM FG FM ??-??-?
=
22
112
4(22)(4)
222
t t
----
= 2
3
428
4
t t
-+-
，
∴
2
2
1
t0t22
4
3
-t42t-8 22t42
4
S
?
<≤
??
=?
?+<<
??
（）
（）
；
②在0＜t≤2
2范围内，当t=2
2时，S的最大值为
2
2
2
4
1
2=
?）
（
；
在2
2＜t＜2
4范围内，3
8
)2
3
8
-t(
4
3
2+
-
=
S
，当
2
3
8
t=
时，S的最大值为3
8
，
∵
8
2
3
>
，∴当t=
2
3
8
秒时，S的最大值为3
8
．
考点：四边形综合题；二次函数综合题；分段函数；二次函数的最值；最值问题；动点型；存在型；压轴题．
原创模拟预测题5．如图1，已知直线
3
y x
=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线
k
y
x
=
与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
3 (3)
3 (3)
x x
y
x x
+≥-
?
=?
--<-
?；
（2
）①
25
8；②四边形PAEC不能为平行四边形．
【解析】
②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形．
试题解析：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0，②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：①x≥﹣3时，显然y=x+3；
②当x＜﹣3时，设其解析式为y kx b
=+．在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，则点（﹣
4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y kx b
=+，得：
41
30
k b
k b
-+=
?
?
-+=
?，
解得：
1
3
k
b
=-
?
?
=-
?，∴y=﹣x﹣3．综上所述，新函数的解析式为
3 (3)
3 (3)
x x
y
x x
+≥-
?
=?
--<-
?；
（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=1+3=4．∵点C（1，4）在双曲线
k y
x =
上，∴k=1×4=4，∴4y x =．∵点D 是线段AC 上一动点（不包括端点），∴可设点D 的坐标为（m
，m+3），且﹣3＜m ＜1．∵DP ∥x 轴，且点P 在双曲线上，∴P （4
3m +，m+3），∴PD=43m m -+，∴△PAD 的面积为
S=14()(3)23m m m -?++=213222m m --+=21325()2
28m -++，∵a=12-＜0，∴当m=32-时，S 有最大值，为258，又∵﹣3＜32-
＜1，∴△PAD 的面积的最大值为258； ②在点D 运动的过程中，四边形PAEC 不能为平行四边形．理由如下：
当点D 为AC 的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P 点的坐标为（2，2），E 点的坐标为（﹣5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP 与AC 不能互相平分，∴四边形PAEC 不能为平行四边形．
考点：反比例函数综合题；分段函数；动点型；最值问题；二次函数的最值；探究型；综合题；压轴题．
原创模拟预测题6．如图，直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线
234y ax x c =++经过B 、C 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC 面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
2
33
3 8
4
y x x
=-++
；（2）点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；（3）P的坐标是（﹣3，
21
8
-
）、（5，
21
8
-
）、（﹣1，
15
8）．
【解析】
试题解析：（1）∵直线
3
3
4
y x
=-+
与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），∵抛物线
2
3
4
y ax x c
=++
经过B、C两点，∴
3
1640
4
3
a c
c
?
+?+=
?
?
?=
?，解得：
3
8
3
a
c
?
=-
?
?
?=
?，∴
2
33
3
84
y x x
=-++
；
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，
2
33
3
84
x x
-++
），则点M的坐
标是（x，
3
3
4
x
-+
），∴
EM=
2
333
3(3)
844
x x x
-++--+
=
2
33
82
x x
-+
，
∴S△ABC=S△BEM+S△MEC=
1
2EM?OC=
2
133
()4
282
x x
?-+?
=
2
3
3
4
x x
-+
=
2
3
(2)3
4
x
--+
，∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3；
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线
3
3
4
y x
=-+
上，∴点M的坐标是（2，
3
2），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴
22
3
[2(2)](0)
2
--+-
73
2，∴AM所在的直线的斜率是：
3
03
2
2(2)8
-
=
--；∵
2
33
3
84
y x x
=-++
的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，
m），点P的坐标是（x，
2
33
3 84
x x
-++
）
，则
2
222
33
33
84
18
3373
(1)(3)
844
x x m
x
x x x m
?-++-
?
=
?
-
?
?
-+-++-=
?
?，解得：
3
21
8
x
y
=-
?
?
?
=-
??
或
5
21
8
x
y
=
?
?
?
=-
??
，∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，
21
8
-
）．
②如图3，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线
3
3
4
y x
=-+
上，∴点M的坐标是（2，
3
2），又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴
22
3
[2(2)](0)
2
--+-
73
2，∴AM所在的直线的斜率是：
3
03
2
2(2)8
-
=
--；∵
2
33
3
84
y x x
=-++
的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，
2
33
3
84
x x
-++
），则
2
222
33
33
84
18
3373
(1)(3)
844
x x m
x
x x x m
?-++-
?
=
?
-
?
?
-+-++-=
?
?，解得：
3
21
8
x
y
=-
?
?
?
=-
??
或
5
21
8
x
y
=
?
?
?
=-
??
，∵x＞0，∴点P的坐标是（5，
21
8
-
）．学科网
③如图4，
由（2），可得点M 的横坐标是2，∵点M 在直线334y x =-+上，∴点M 的坐标是（2，32），
又∵点A 的坐标是（﹣2，0），∴223[2(2)](0)2--+-73，∵
233384y x x =-++的对称轴是x=1，∴设点Q 的坐标是（1，m ），点P 的坐标是（x ，233384x x -++），则
23333084221(2)12222x x m x x ?-++-?-=?---??+-=??， 解得：1158x y =-???=??，∴点P 的坐标是（﹣1，158）．
综上，可得：在抛物线上存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，
点P 的坐标是（﹣3，218-
）、（5，218-
）、（﹣1，158）． 考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；最值问题；二次函数的最值；压轴题． 原创模拟预测题7．如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD 、PE 、DE ．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P 的位置发现：当P 与点A 会点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，
并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．
【答案】（1）8812+-=x y ；（2）正确，PD-PF=2；（3）11个好点，P （-4，6）．
【解析】
试题分析：（1）设抛物线解析式为：2y ax c =+，把C （0，8），A （﹣8，0）代入即可求
出抛物线解析式；
（2）表示出P ，F 点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD ，PF 的长，进而求出即可；
（3）根据题意当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小，得出P 点坐标以及利用△PDE 的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a 的值有两个，进而得出答案．
试题解析：（1）∵边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经
过点A ，∴C （0，8），A （﹣8，0），设抛物线解析式为：2y ax c =+，则：8640c a c =??+=?
，解得：188a c ?=-???=?，故抛物线的解析式为：8812+-=x y ；
（2）正确，理由：设P （a ，218
8a -+），则F （a ，8），∵D （0，6），∴2221(2)8a a +-221(2)8a +2128a +，PF=21888()a -+-=218a ，∴PD ﹣PF=2；
（3）在点P 运动时，DE 大小不变，则PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小，∵PD ﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，∴当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小，此时
点P ，E 的横坐标都为﹣4，将x=﹣4代入8812+-=x y ，得y=6，∴P （﹣4，6），此时△
PDE 的周长最小，且△PDE 的面积为12，点P 恰为“好点，∴△PDE 的周长最小时”好点“的
坐标为：（﹣4，6），由（2）得：P （a ，218
8a -+），∵点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣
4，0），∴设直线DE的解析式为：y kx b
=+，则
6
40
b
k b
=
?
?
-+=
?，解得：
3
2
6
k
b
?
=
?
?
?=
?，∴lDE：
3
6
2
y x
=+
，则PE=
2
13
86
82
a a
-+--
，
∴S△=
）
（6
2
3
8
8
1
4
2
12
-
-
+
?
?a
a
=
2
1
34
4
a a
--+
=
2
1
(6)13
4
a
-++
，∵﹣8≤a≤0，∴4≤S △PDE≤13，∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（﹣4，6）．
考点：二次函数综合题；动点型；定值问题；阅读型；新定义；综合题；压轴题．
原创模拟预测题8．问题探究：
（一）新知学习：
圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是BC上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径AB⊥CD，对于BC上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；
（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；
（3）若直径AB与CD相交成120°角．
①当点P运动到BC的中点P1时（如图二），求MN的长；
②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．
【答案】（1）证明见试题解析，直径为2；（2）证明见试题解析，定值为2；（3
）①3；
②证明见试题解析；（4）当直径AB与CD相交成90°角时，MN取得最大值2．
【解析】
试题解析：（1）如图一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；
（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON 是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；
（3）①如图二，∵P1是BC的中点，∠BOC=120°
∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°．
∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．
∵P1M=OP1sin∠MOP1=2×sin60°=
3，∴MN=3；
②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，
则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=MN
QN，∴MN=QN?sin
∠MQN，∴MN=OP?s in∠MQN=2×sin60°=2×
3
2=3，∴MN是定值．
（4）由（3）②得MN=OP?sin∠MQN=2sin∠MQN．
当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．
考点：圆的综合题；定值问题；最值问题；动点型；阅读型；探究型；综合题；压轴题．
初中数学动态几何问题
[导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线 摘要：本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。 关键词：二次函数；动点；动线；动态 作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中。 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论是动点、动线、单动点还是双动点，我们都要注意到如何在动中求静，在静中求解，找到相应的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析，供读者参考。 动态问题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就运动而言，可以分为三类：动点、动线、动形；就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等。它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。一般的，解题设计要因题定法。无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等。 动态问题一直是近几年数学中考的一个热点，随着编者的不断刨新，动态问题又有升温，比如双动问题就是中考中的最新风景区，他可以培养同学们在运动变化中发展空间想象能力．这类问题只要我们掌握“动中有静，静观其变，动静结合”的基本解题策略，我们就能以不变碰多变．以下列举近几年数学中考的两类双动问题供读者参考交流． 随着新课程改革的进行，全国各地的中考试卷异彩纷呈，尤其是解答题中的动态问题，集数与代数、空间与图形两大内容于一体，题型新颖，阅读量大，考查面广．为体现中考试
微探究 圆与动态几何
微探究 圆与动态几何 以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，或运动中的圆与圆的位置关系，这是圆与动态几何的基本表现形式. 解这类问题需运用到分类讨论、数形结合、方程与函数等思想方法，关键是动中觅静、以静制动、以动制动. 例1 如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB =11cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1cm ，⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也在不断增大，其半径r （cm ）与时间t （s ）之间的关系式为1(0)r t t =+≥，当⊙A 出发后 s 两圆相切. 试一试 ⊙A 自左向右运动，应考查动点A 在定点B 的左右两侧的情形，而⊙A 在运动的同时，⊙B 在变大，又需考查⊙A 与⊙B 内外切的情况. 视野窗 对于例1，不但要注意圆的运动，而且要关注圆半径的变化，还要考查两圆内切、外切的情形，这是本例的难点所在. 例2 如图，平面直角坐标系中，⊙A 的圆心在x 轴上，半径为1，直线l 为，若⊙A 沿x 轴向右运动，当⊙A 与l 有公共点时，点A 移动的最大距离是（ ） A. B. 3 C. D. 试一试 点A 移动的最大距离，是指向右运动过程中圆心A 在直线l 左侧时第一次与直线l 相切，到圆心A 在直线l 右侧第二次与直线l 相切，点A 移动的距离. 视野窗 以静制动，常表现为在运动过程中，考查图形的临界状态或特殊状态.
对于例2，当⊙A 与l 相切或相交时，它们有公共点，于是将问题转化为直线与圆相切时的线段计算. 动中觅静，即分清图形中不变元素或变动元素，或探寻那些隐含的、在运动中没有改变的不变量或不变关系. 例3 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP =10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q . A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动. 设运动时间为t s. （1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？ M P 试一试 对于（2），把相关线段用t 的式子表示，寻找相似三角形，而动态思考、讨论动点构成的直线AB 与⊙O 相切的几种位置关系是解题的关键. 例4 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P 是BC 上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D. （1）当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由. （2）当DP 为⊙O 的切线时，求线段DP 的长 . C D 试一试 直觉引领，点P 在BC 上特殊位置时，DP 为⊙O 的切线？由此展开证明与计算.
初中数学动态几何问题
MC NC EC CD (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键) 中考数学专题 动态几何问题 第一部分真题精讲 【例1】如图，在梯形 ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10,梯形的高为4 ?动 点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动?设运动的时间为t (秒)? (1 )当MN I AB 时，求t 的值； (2)试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形. 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。 对于大多数题目来说， 都有一个由动转静的瞬间， 就 本题而言，M , N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和 这些动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。 所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。 由此，从这些条件出发，列出方程， 自然得出结果。 【解析】 解：(1 )由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形 ABED 是平行四边形. ??? AB II DE , AB II MN ? ??? DE II MN ? (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 MN 放在三角形 内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)
动态几何问题 -
动态几何问题 动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题． 在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法． 原创模拟预测题1．如图，已知直线3 34y x = -与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ） A ．8 B ．12 C ．21 2 D ．172 【答案】C ． 【解析】 试题分析：∵直线334y x = -与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，﹣3），34120x y --=，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴ 点C （0，1）到直线34120x y --=223041234?-?-+16 5，∴圆C 上点到直线 334y x =-的最大距离是1615+=215，∴△PAB 面积的最大值是121525??=212，故选C ． 考点：圆的综合题；最值问题；动点型． 原创模拟预测题2．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．
【答案】（233-，23-）． 【解析】 考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；动点型；压轴题；综合题． 原创模拟预测题3．如图，已知抛物线 2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =-，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ． （1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标； （3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．
与圆相关的动态几何问题
与圆相关的动态几何问题-中学数学论文 与圆相关的动态几何问题 文/彭胜生 以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，这类问题常常集几何、代数知识于一体，解决这类问题的关键要掌握图形在运动中伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性，灵活运用有关数学知识解决问题。 随着课改的不断深入，数学中考题型也在不断创新，动态几何问题逐年增多，其中与圆相关的动态几何问题占比较大，这类动态几何通常包含点动、线动、形动等三类问题。 一、点动型 点动型就是指在题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题型。解题时要根据这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。 例1 解决这类点动问题的常常用的是“分段发现法”，也就是通过对运动过程中“拐
点”进行探究，从动态的角度去分析可能出现的变与不变的情况，以静制动。 二、线动型 线动型就是指在题设图形中，设计一条或两条线通过平移或旋转的运动方式，使其与已知几何图形产生交点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。 例2 解决这类线动问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系及运动变化中图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要。 三、形动型 形动型是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察学生动手、观察、探索与实践能力。圆主要有移动、滚动、转动及翻动等四种常用基本运动。
初二动态几何问题.
初二动态几何问题 一、动态几何问题涉及的几种情况 动态几何问题就其运动对象而言，有： 1、点动（有单动点型、多动点型）. 2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解. 3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动） 二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法： 动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点: 1、把握运动变化的形式及过程； 2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量； 3、动中取静：（最重要的一点） 要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式; 5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型； (某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解) 6、是否以及怎么分类讨论： 将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决， 7、确定变化分界点： 若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。
中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题
中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二
的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为： ()()112441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1122S OD OE =-? ∵142 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()21122441242 S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
几何图形中的动态问题
几何图形中的动态问题 ★1.如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A出发，沿△AED的边按照A→E→D→A的顺序运动一周．设点P从点A出发经x(x>0)秒后，△ABP的面积是y. (1)若AB＝8cm，BE＝6cm，当点P在线段AE上时，求y关于x的函数表达式； (2)已知点E是BC的中点，当点P在线段ED上时，y＝12 5x；当点P在线段AD上时，y＝32－4x.求y关于x的函数表达式． 第1题图 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°， 又∵AB＝8cm，BE＝6cm，
∴AE＝AB2＋BE2＝82＋62＝10厘米，如解图①，过点B作BH⊥AE于点H， 第1题解图① ∵S△ABE＝1 2AE·BH＝1 2AB·BE， ∴BH＝24 5cm，又∵AP＝2x， ∴y＝1 2AP·BH＝24 5x(0 ∴AE ＝DE ， ∵y ＝12 5x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)， 当点P 运动至点D 时，可联立得，?????y ＝125x y ＝32－4x ， 解得x ＝5， ∴AE ＋ED ＝2x ＝10， ∴AE ＝ED ＝5cm ， 当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0， ∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8， ∴AE ＋DE ＋AD ＝16， ∴AD ＝BC ＝6cm ，∴BE ＝3cm ， 在Rt △ABE 中， AB ＝ AE 2－BE 2＝4cm ， 如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝12 5cm ， 求与圆有关的轨迹方程 ［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。 （1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。 （2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N （x o, y o）, 求出用x，y表示x o，y o的关系式，将（x o, y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。 （3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。 （4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。 （5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 ［讲解设计］重点和难点 例1 已知定点A（4，o ），点B是圆x2+y2=4上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。 例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC求弦BC中点P的轨迹方程。 方法一：（直接法）设P（x，y），连接OP则OPL BC 』-=一止 当x^0 时，k op ■ k AP=—1，即TT x—4 即x2+ y2—4x = O.① 当x= O时，P点坐标（0,0）是方程①的解， BC中点P的轨迹方程为x2+ y2—4x= O（在已知圆内的部分）. 方法二：（定义法） 由方法一知OPtAP,取OA中点M 则M2,0）, |PM =2 I OA = 2， 由圆的定义知，P的轨迹方程是（x —2）2+ y2= 4（在已知圆内的部分）. 例3 已知直角坐标平面上的点Q（2, 0）和圆C: x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 （0）,求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 设直线MN切圆于N,则动点M组成的集合是：P={M||MN|= J'|MQ|} T圆的半径|ON|=1，二|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 , 设点M的坐标为（x, y）,则j 整理得（x-4）2+y2=7 . ???动点M的轨迹方程是（x-4 ）2+y2=7 . 它表示圆，该圆圆心的坐标为（4 , 0）,半径为越 例4 如图，已知两条直线11：2x-3y+2=0 , I2: 3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与丨1,丨2都相交, 并且I 1与I 2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24,求圆心M的轨迹方程。 设动圆的圆心为M（x,y）,半径为r,点M到直线1* 2的距离分别为d1和dz 由弦心距、半径、半弦长间的关系得， 热点专题8动点几何问题 考向1图形的运动与最值 1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是． 【解析】如图， 过点P作PE⊙BD交AB的延长线于E， ⊙⊙AEP＝⊙ABD，⊙APE⊙⊙ATB， ⊙， ⊙AB＝4， ⊙AE＝AB+BE＝4+BE， ⊙， ⊙BE最大时，最大， ⊙四边形ABCD是矩形， ⊙BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， 过点C作CH⊙BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，⊙BD是⊙C的切线， ⊙⊙GME＝90°， 在Rt⊙BCD中，BD＝＝5， ⊙⊙BHC＝⊙BCD＝90°，⊙CBH＝⊙DBC， ⊙⊙BHC⊙⊙BCD， ⊙， ⊙， ⊙BH＝，CH＝， ⊙⊙BHG＝⊙BAD＝90°，⊙GBH＝⊙DBA， ⊙⊙BHG⊙⊙BAD， ⊙＝， ⊙， ⊙HG＝，BG＝， 在Rt⊙GME中，GM＝EG?sin⊙AEP＝EG×＝EG， 而BE＝GE﹣BG＝GE﹣， ⊙GE最大时，BE最大， ⊙GM最大时，BE最大， ⊙GM＝HG+HM＝+HM， 即：HM最大时，BE最大， 延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，⊙GP'＝HP'+HG＝， 过点P'作P'F⊙BD交AB的延长线于F， ⊙BE最大时，点E落在点F处， 即：BE 最大＝BF ， 在Rt⊙GP 'F 中，FG ＝＝＝＝， ⊙BF ＝FG ﹣BG ＝8， ⊙ 最大值为1+＝3， 故答案为：3． 2. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC ?中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ?面积的最大值为 ． 【解析】过D 作DG ⊙BC 于G ，过A 作AN ⊙BC 于N ，过E 作EH ⊙HG 于H ，延长ED 交BC 于M ． 探究平面几何的入门教学 七年级学生，第一学期就开始学习几何。俗话说：“万事开头难” 初学者学习起来有时会不适应，觉得很难，甚至中学高部有的学生也觉得学好几何比学好代数难，究其原因在于几何研究的对象、过程、思维方式、语言的表达与代数有较大的区别，并且几何的语言是人们从长期的实践中抽象提炼而成的，具有概括 性、抽象性、逻辑性较强等特点。因此，在教学中，教师要把好学生几何的“入门”关。下面结合自己的探索实践，谈几点自己粗略的见解和体会。 一、正确理解和掌握好基本概念。 几何概念，文字语言精炼、严密，教学中，要引导学生养成“咬文嚼字”的良好习惯，有的概念的教学方法可以用学语法和划分句子成分的方法，找出语句中的主干，抓住概念的关键词，可以加深对概念的理解。如教“两点间的距离”这个概念时，不少学生会理解成“连接两点间的线段”。但如果划分这个概念的句子成分：（连接两点的）（线段的）长度叫做（两点间的）距离，句子的主干为“长度”叫做“距离”，这样浅而易见：“两点间的距离”是“长度”，是一个正数，而不是线段这个图形。这样教学，就能使学生正确理解这个概念了。还有的概念的教学方法可以运用反例对比，正确理解概念的本质。如图（1）, 则正确表达了/ 1与/2是对顶角，图（2）的三个图表示/ 1与/2 不是对顶角。 对于一些相近的概念，教学时可以采用对比分析的方法，要分清它们之间的联系和区别，如教学直线、射线、线段的概念时，这三个概念既有联系又有区 别，教学时可用对比方法找出它们的共同点，更 重要的是找出它们的不同点，这样就可以排除共同因素的干扰，从而使概念更清晰，理解更深刻。 二、强化“文字语言”、“图形语言”、“符号语言”的互化。 几何中常用的“语言”有三种，即“文字语言”，如定义、定理、公理等用“文字”的表达方式；“图形语言”是根据“文字语言”画出图形；“符号语图 （1） 中考数学几何图形中的动点问题专题训练 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1． 如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝13S 矩 形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为( D ) A.29 B.34 C.5 2 D. 41 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，得12×5h ＝13×5×3， 解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时P A ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为52＋42＝41，选D. 2．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经过 的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的函数 关系的图象是 ( D ) 【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 当 图6－1－2 2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝???x 2＋a 2（0≤x ≤2a ）， x 2－6ax ＋13a 2（2a 中考几何证明题 1、如图：A 是⊙O 外一点，B 是⊙O 上一点，AO 的延长线交⊙O 于C ，连结BC ，∠C ＝22.50，∠BAC ＝450。 第 1 题图 C 2. 如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD . ⑴求证：AD 是⊙O 的切线； ⑵如果AB =2，AD =4，EG =2，求⊙O 的半径． . 3．，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内．要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的3 1 ，扇形的圆心角应为多少度？说明你的结论。 4、如图：已知在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AC ＝13，AB ＝5，O 是AB 上的点，以O 为圆心，0B 为半径作⊙O 。 （1）当OB ＝2.5时，⊙O 交AC 于点D ，求CD 的长。 （2）当OB ＝2.4 时，AC 与⊙O 的位置关系如何？试证明你的结论。 第 4 题图 C B D E 第3 题图 第2题 ⌒ 5、如图：已知A 、D 两点分别是正三角形DEF 、正三角形ABC 的中心，连结GH 、AD ，延长AD 交BC 于M ，延长DA 交EF 于N ，G 是FD 与AB 的交点，H 是ED 与AC 的交点。 （1）写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）； （2）问FE 、GH 、BC 有何位置关系？试证明你的结论。 第 5 C M B D H G A E N F 6．如图（a ），已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ． 求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ． （2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O 相切时，其他条件不变． ①请你在图（b ）中画出变化后的图形，并对照图（a ），标记字母； ②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 7． 如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，⊙O 过点A ，且和BC 切于D ，和AB 、AC 分别交于E 、F 。 设EF 交AD 于G ，连结DF 。 （1） 求证：EF ∥BC ； （2） 已知：DF =2 ，AG =3 ，求 EB AE 的值。 8、 已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，且BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p 。 求证：q p h ?=2 ，c p a ?=2 8 题 · B D C F E A G O 图(a) B O A F D C G E l · B O A 图(b) 第6题· 最新初中数学动态几何探究题汇总大全 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角 函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解 决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、 覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含 的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综 合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题. 类型1 操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D 作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC； (2)若∠DAF＝∠DBA. ①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由； ②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF. 解决几何入门难，应从哪些方面入手？ 正确的识图和画图，是几何入门教学的重要组成部分，由于学生过去没有认识点与线、线与线之间的数量关系和位置关系，更没有从距离和角度这两个方面来研究图形的大小、形状和位置、因此，教学中要有步骤的进行识图和画图的训练。 一、重视实践操作，让学生在观察、操作、思考、交流等活动中发展空间观念。 与其他数学内容相比，几何内容的教学更容易激发学生的学习兴趣与良好的情感体验，基于这样认识，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流机会，引导他们在“做数学”活动中，在自主探索过程中获得知识与技能，掌握基本数学思想方法，设置“观察、思考、操作”等栏目，以及数学活动，通过探索一些常见几何题展开图，观察思考生活中的现象，鼓励学生敢于动手操作、勤于观察思考、善于合作交流。比如让他们通过生活中的电冰箱、水泥管、棕子、乒乓球等，体会到它们的几何特征。 二、充分利用实物原型进行教学，重视学生基本识图、作图能力的训练。 充分利用现实世界大量丰富的物体让学生通过观察，加强对图形的直观认识和感受，从中发现几何图形归纳常见几何体的基本特征，以及立体图形与平面图形的联系。比如同学们常见的易 拉罐，剪开侧面是一个长方形，上下底是两个圆形。 三、重视几何语言的训练和培养。 首先引入大量实物模型，让学生从中抽象出几何图形。其后，重视图形语言的作用，在处理用文字与符号描述研究对象时，都是紧密联系图形进行的，使得抽象与直观得到有机结合。例如，线段的比较、线段的和与差、线段的中点、角的比较、角的平分线等，都是先给出直观图形，再联系数量，给出文字描述，最后再给出符号表示，使几种语言优势互补，以期收到更好的效果。 四、注重概念间的联系，通过对比加强概念教学。 对一些相近的概念，如直线、射线、线段，联接两点的线段与两点间的距离，互补与互余等，可以利用对比方法帮助学生发现它们的本质区别，加深对它们的认识和理解。如电筒发出的光是射线，人的身段是线段。 五、切实把握教学要求。 教学时要强调在实际背景中理解图形的概念与性质，经历探索图形性质的过程。例如“多彩的几何图形”中体、面、线、点以及多面体、旋转体等，都是要求学生装在实际背景中认识、理解这些概念的。 六、重视现代信息技术的应用。 我们可以利用信息技术工具，展现丰富多彩的图形世界；通过图形的动态演示，认识立体图形与平面图形的关系，帮助建立空间观念。 A B C D E F 《动态几何---圆》综合练习 姓名： 1.如图，射线OA ⊥射线OB ，半径r =2cm 的动圆M 与OB 相切于点Q （圆M 与OA ?没有公共点），P 是OA 上的动点，且PM=3cm ，设OP=xcm ，OQ=ycm ． （1）求x 、y 所满足的关系式，并写出x 的取值范围． （2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的x 的值． 2.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4 ．⊙A 与⊙B 外切于点D ，并分别与BC 、A C 边交于点E 、F ． （1）设EC ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）如果⊙C 与⊙A 、⊙B 都相切，求AD ：BD ． 3.在平行四边形ABCD 中，AB =2，∠A =60o，以AB 为直径的⊙O 过点D ，点M 是BC 边上一点（点M 不与B 、C 重合），过点M 作BC 的垂线MN ，交CD 边于点N ．以CN 为直径作⊙P ，设x BM =，⊙P 的半径为y ． ①求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当BM 为何值时，⊙P 与⊙O 相切． 4.已知菱形ABCD 的顶点B A ,在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上， ?=∠60BAD ，点A 的坐标为)0,2(-，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，按照A B C D A →→→→的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动的时间为t 秒，求t 为何值时，以P 点为圆心，1为半径的圆与对角线AC 相切？ N M P O D C B N M O D C B A 初中数学动态几何问题 发表时间：2011-01-14T17:29:06.670Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2011年第2期供稿作者：郭兴淑 [导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线 摘要：本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。 关键词：二次函数；动点；动线；动态 作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中。 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论是动点、动线、单动点还是双动点，我们都要注意到如何在动中求静，在静中求解，找到相应的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析，供读者参考。 一、以二次函数为背景的动态问题 1.单动点与二次函数 例l，(2009年深圳)已知：Rt△ABC的斜边长为5。斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合(其中OA 立体几何中的动态问题 立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等；求解方法一般根据圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量的坐标运算求轨迹的长度等． 一、常见题目类型 (优质试题·金华十校高考模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点 M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包 括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3 ，则点P 的轨迹是( ) A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．双曲线的一部分 【解析】 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为 θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角， 即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3 ，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分， 因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)， 所以点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选B. 【答案】 B (优质试题·浙江名校协作体高三联考)已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB ＝1，AD ＝CD ＝2.ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为( ) A.43 B.163 C.49π D.83 π 【解析】 根据题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，如图1所示，则B (2，1，0)，C (0，2，0)，设M (x ，0，z )，易知直线MB ，MC 与平面ADEF 所成的角分别为∠AMB ，∠DMC ，均为锐角，且∠AMB ＝∠DMC ，所 以sin ∠AMB ＝sin ∠DMC ?AB MB ＝CD MC ，即2MB ＝MC ，因此2（2－x ）2＋12＋z 2＝x 2＋22＋z 2， 圆的相关定理及其几何证明 典题探究 例1：如图，圆是的外接圆，过点C 作圆的切线交的延长线于点.若 O ABC ?O BA D ，，则线段的长是 ；圆的半径是 . CD =2AB AC ==AD O 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂 足为F ．若6AB =，5CF CB × =，则AE = 例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若, PA O A OC OP ⊥AC PO B 1OC =，则 ， ． 2OP =PA ==PB 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知， O P O PA PBC 30BPA ∠=?，, 则 ,圆的半径等于 11BC =1PB =PA =O 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O 的21PF PD =+=半径为 ； . EFD ∠=A B C O P D C B P A O C B A 5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点 ABC AC O AB D 作⊙的切线，交边于点.则 . D O BC E =BC BE 6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。则下面结论中，错误的结论是( ) A ．∠ECA = 90o B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA C ．AM 2 = AD·AE D ．AD·D E = AB·BC 7．如图，切圆O 于点,为圆O 的直径，交圆O 于点，为的中点，AB A AC BC D E CD 且则__________；__________. 5,6,BD AC ==CD =AE = 浅谈初中几何入门教学 学生学习几何学得好与否,与教师对几何入门的教学有着最直接的联系。我们教师在教学的过程中倘若稍有不注意，就会导致学生的成绩两极分化，以致使学生丧失学习几何的兴趣和信心。相反，如果教师处理得当，不仅会引起学生学习数学的浓厚兴趣，还可以培养学生解决 和分析问题的能力。适应不了初中几何题目对抽象思维能力的要求，但是几何证明、计算题 在升学考试中又占有相当高的比重，这就需要学生真正领会与掌握。往往在不同的已知条件、图形的情况下，有截然不同的解法，也需要学生具备敏锐的观察能力和一定的逻辑推理能力。以下是我从学生在课堂、作业以及测试中表现出来的问题进行了分析归纳，发现学生学习几 何存在的几个困难之处： 1.逻辑推理过程有一定的难度。学生对数学定义、定理、公理、判定、性质、法则等理解肤浅，全凭感性认识，思维不严谨，推理不严密，不会灵活运用它来解决或证明一些数学问题，以至于无法形成较好的逻辑推理能力。 2.语言表述方面的困难。几何讲究思维严密性，往往过分专业而严密的叙述要求使学生无法 逾越语言表述的障碍，仿佛就像一座无法逾越的“城墙”。 3.证明过程及分析条理的困难。面对几何证明题无从下手，不知道哪些步骤该写，哪些步骤 可以省略，最终导致关键步骤缺失。 4.解图能力的困难。针对于一些复杂的图形看成是由一些简单图形组合而来的。不会由有关 图形联想到相关的数量关系，挖掘隐含条件。 5.结合实际生活的能力。几何来源于生活，在生活中几何无处不在，学生学习时不善于与周 围实际生活联系起来展开丰富想象。 教师对入门教学的成败,对学生学习几何知识,起着特殊作用。因此几何入门的教学在几何教 学中占有很重要的地位,值得我们教师认真去探索。针对学生学习几何的以上困难，我认为， 教师在几何“入门”教学时应转变教学思路，把严密的逻辑推理和合情推理有机的结合起来， 通过猜想、观察、归纳等合情推理，让学生消除对几何学习的恐惧心理。要在数学活动中来 学习几何，即“做数学”。还要加强学生探究性学习，结合图形理解运用。读图、识图要遵循 由简到繁的规律，先从简单的图形开始，逐步向复杂的图形过渡。作辅助线要根据已知条件 以及与其有关的定理作辅助线或者进行逆向思维，从结论出发，结合已知条件缺什么补什么。教师是学生学习过程中的引导者，至此在教学过程中我认为要始终坚持做到以下几点： 一、教师本身熟透教学目标和教学重点。 如果不精通教材,对教学目的要求把握不好,那么,在教学过程出现盲目性,这样,教学效果肯定不理想,更谈不上达到什么教学目的,所以,教者应该知道每一部分内容应该教给学生什么知识。学生对这部分内容的知识应该掌握到什么程度才算是达到教学目的。如在讲同位角、内 错角、同旁内角的概念时，可以从这些角产生的过程入手，根据‘三线八角’并对其具有的特 殊位置关系的角加以命名。在教学中不必给出严格的定义，重在会认。 二、注意培养学生学习几何的兴趣 初中数学从研究数式到研究图形，从数式计算到逻辑推理，是一个大的飞跃。所以初学平面 几何的学生会遇到各种障碍。激发学生学习几何的兴趣，是几何入门教学的一个重要环节。 为此在刚开始几何教学中，我常常拿一些实物教具，如：三角板、圆规等进行线、角教学， 消除学生对几何的陌生感、恐惧感，然后精心设计一些实例，说明几何知识及图形在实际生 活中的应用。如：飞机螺旋桨的外端连接是什么？为什么利用勾股定理可以计算一些边长等等？。这样充分利用几何本身的趣味性和实用性，改变几何教学枯燥无味的现象，形成积极 的学习态度，形成良好的学习循环，同时也培养了学生的直觉思维能力。与圆有关的轨迹方程
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