动点问题动态几何问题专题详解

动点问题、动态几何问题专题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．

【专题一：建立动点问题的函数解析式】

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1(2000上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P ,PH ⊥OA ,垂足为H ,△OPH 的重心为G .

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).

(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.

解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH =

32NH =2

1

32?OP =2. (2)在Rt △POH 中, 2

2

2

36x PH OP OH -=-=, ∴

2362

121x OH MH -==

. 在Rt △MPH 中,

.

∴y =GP =

32MP =23363

1

x + (0

①GP =PH 时,x x =+233631

,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP =GH 时, 23363

1

2=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.

③PH =GH 时,2=x .

综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式

例2（2006山东）如图2,在△ABC 中,AB =AC =1,点D ,E 在直线BC 上运动.设BD =,x CE =y . (1)如果∠BAC =30°,∠DAE =105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC 中,∵AB =AC ,∠BAC =30°, ∴∠ABC =∠ACB =75°, ∴∠ABD =∠ACE =105°. ∵∠BAC =30°,∠DAE =105°, ∴∠DAB +∠CAE =75°, 又∠DAB +∠ADB =∠ABC =75°, ∴∠CAE =∠ADB ,

∴△ADB ∽△EAC , ∴AC

BD CE AB =,

2

22

2

2

3362

1419x x x MH PH MP +=-+=+=A

E

D

C

B 图2

H

M N

G

P

O

A

B

图1

x y

∴

11x y =, ∴x

y 1=. (2)由于∠DAB +∠CAE =αβ-,又∠DAB +∠ADB =∠ABC =2

90α

-?,且

函数关系式成立, ∴2

90α

-

?=αβ-, 整理得=-

2

α

β?90.

当=-2α

β?90时,函数解析式x

y 1

=成立.

例3(2005上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3. 点

O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D ,交线

段OC 于点E .作EP ⊥ED ,交射线AB 于点P ,交射线CB 于点F .

(1)求证: △ADE ∽△AEP .

(2)设OA =x ,AP =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.

(3)当BF =1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD .

根据题意,得OD ⊥AB ,∴∠ODA =90°,∠ODA =∠DEP .

又由OD =OE ,得∠ODE =∠OED .∴∠ADE =∠AEP , ∴△ADE ∽△AEP .

(2)∵∠ABC =90°,AB =4,BC =3, ∴AC =5. ∵∠ABC =∠ADO =90°, ∴OD ∥BC , ∴53x OD =,5

4x

AD =, ∴OD =

x 53,AD =x 54. ∴AE =x x 53+=x 5

8

. ∵△ADE ∽△AEP , ∴AE AD AP AE =, ∴x x y

x 5

854

58=. ∴x y 516

= (8250≤

①若EP 交线段CB 的延长线于点F ,如图3(1)，则CF =4.

∵∠ADE =∠AEP , ∴∠PDE =∠PEC . ∵∠FBP =∠DEP =90°, ∠FPB =∠DPE , ∴∠F =∠PDE , ∴∠F =∠FEC , ∴CF =CE . ∴5-

x 58=4,得8

5

=x .可求得2=y ,即AP =2. ②若EP 交线段CB 于点F ,如图3(2), 则CF =2. 类似①,可得CF =CE .

A

3(2)

3(1)

∴5-

x 58=2,得8

15=x . 可求得6=y ,即AP =6.

综上所述, 当BF =1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（2004上海）如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO =x ,△AOC 的面积为y .

(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O ,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.

解:(1)过点A 作AH ⊥BC ,垂足为H . ∵∠BAC =90°,AB =AC =22, ∴BC =4,AH =2

1

BC =2. ∴OC =4-x . ∵AH OC S AOC ?=

?2

1

, ∴4+-=x y (40<

在Rt △AOH 中,OA =1+x ,OH =x -2, ∴2

2

2

)2(2)1(x x -+=+. 解得6

7=x . 此时,△AOC 的面积y =6

17

674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,

在Rt △AOH 中,OA =1-x ,OH =2-x , ∴2

2

2

)2(2)1(-+=-x x . 解得2

7=x . 此时,△AOC 的面积y =2

1274=-

. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为6

17或21. 【专题二：动态几何型压轴题】

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动：

A

B

C

O

图8

H

C

1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，

求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的

长．

[题型背景和区分度测量点]

本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的

位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法]

1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d =r 建立方程．

2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d =R ±r (r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.

解：（1） 证明CDF ?∽EBD ?∴BE

CD

BD CF =

，代入数据得8=CF ，∴AF =2 （2） 设BE =x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法x

CF 32

=，

相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，x

x 32

1010+-=，24=x ；

内切，x

x 32

1010-

-=，17210±=x ．100<

20=

BE ． 类题 ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、

⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题． （二）线动：

A

B

C

D

E O

l

A ′

A

B

C

D

E

O l

F 在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E .(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝

4

1

AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S .①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； ②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-

x 4

3

长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点]

本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿

AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的

位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法]

1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．

2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d =r 建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. (1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝

2

1AC ∵AB ＝A ’B ，AB ＝3∴AC ＝6 33=BC

(2)①92

+=x AC ，9412+=x AO ，)9(12

12

+=x AF ，x x AE 492+=

∴AF 2

1

?=?AE S AEF

x x 96)9(22+=

，x x x S 96)9(322+-= x

x x S 9681

27024-+-= (333<

②若圆A 与直线l 相切，则941432+=-x x ，01=x (舍去)，582=x ∵35

82<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切． （三）面动：

如图，在ABC ?中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的