哈工大小波实验报告

小波理论实验报告

院（系）

专业

学生

学号

日期

2015年12月

实验报告一

一、 实验目的

1. 运用傅立叶变换知识对常用的基本函数做基本变换。

2. 加深对因果滤波器的理解，并会判断因果滤波器的类型。

3. 运用卷积公式对基本信号做滤波处理并分析，以加深理解。

4. 熟悉Matlab 中相关函数的用法。

二、 实验原理

1.运用傅立叶正、反变换的基本公式：

(

)?()() ()(),1

1?()(),22i x i t i t

i t i t f f x e dx f t e dt f t e f t f

e d

f t e ωωωωωωωωπ

π

∞∞---∞

-∞

∞

--∞

====

=??

?

及其性质，对所要处理信号做相应的傅里叶变换和逆变换。 2.运用卷积的定义式：

1212()()()()+∞

-∞

*=-?

f t f t f f t d τττ

对所求信号做滤波处理。

三、 实验步骤与内容

1.实验题目：

Butterworth 滤波器，其冲击响应函数为

,0

()0,

0若若α-?≥=?

ω 2. 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？ 3. 对于信号

()(sin 22sin 40.4sin 2sin 40)，-=++t f t e t t t t 0π≤

≤t ,画出图形()f t

4. 画出滤波后图形()*f h t ，比较滤波前后图形，你会发现什么，这里取

10α==A 5. 取

()(sin5sin3sin sin40)，-=+++t f t e t t t t 采用不同的变量值α=A (初始设

定A=α=10) 画出原信号图形与滤波后图形，比较滤波效果。

2.实验步骤及分析过程：

1.求 ()h

ω 由傅里叶变换的定义式可得：

()0

?α?α?ωαω

+∞+∞-----∞

=?=?=+??

t i t t i t A

h Ae e dt Ae e dt i （1） 故该滤波器的幅频特性为：()

ω=

=

H ，转折频率

τα=；假定1,2A

α==，绘制该滤波器的幅频特性曲线如下：

图1.1滤波器的幅频特性曲线

2. 判断是否因果；是低通、高通、带通还是带阻？

（1）观察滤波器响应函数可知，只有在输入信号到达后，该滤波器才会有输出

响应，此外实际应用的滤波器均是因果滤波器，所以，题中滤波器是因果滤波器。

（2）由图1可知，该滤波器为低通滤波器。 3. 对于信号

3()(sin22sin40.4sin2sin40)t f t e t t t t -=++0t π≤≤，画出图形()f t

编写matlab 程序：

t=linspace(0,pi,80000);

f=exp(-t/3).*(sin(2*t)+2*sin(4*t)+0.4*sin(2*t).*sin(40*t)); plot(t,f); xlabel('时间/t');

ylabel('信号值/f(t)'); grid on

绘制信号的图形如下：

图1.2f(t)波形图

4. 画出滤波后图形()f h t *，比较滤波前后图形，你会发现什么，这里取10A α==。 对f(t)进行卷积运算，编写MATLAB 程序，如下： A=10;a=10;

t=linspace(0,pi,80000);

f=exp(-t/3).*(sin(2*t)+2*sin(4*t)+0.4*sin(2*t).*sin(40*t)); h=A*exp(-a*t); F=conv(f,h); plot(F); xlabel('时间/t');

ylabel('滤波后信号值/f(t)'); grid on

运行程序，得到的图形如下：

图1.3 滤波后的f(t)

比较图1.2和图1.3中，可以看出：经滤波处理后，信号f （t ）的幅值变大，高频成分得到了有效的抑制，信号的曲线特征变得平滑，而且持续分布相位并未失真，信号的基本信息得到无损传递。 5. 取

()(sin5sin3sin sin40)t f t e t t t t -=+++采用不同的变量值A α=(初始设定A=

α

=10) 画出原信号图形与滤波后图形，比较滤波效果。

对A 和a 分别取A=a=2，5，10，15，25，并将几个图形放在一起比较，MATLAB 程序如下：

A=25;a=25; %A==a,a=2,5,10,15,25% t=linspace(0,pi,80000);

f=exp(-t/3).*(sin(2*t)+2*sin(4*t)+0.4*sin(2*t).*sin(40*t)); h=A*exp(-a*t); F=conv(f,h); hold on ; plot(F); xlabel('ê±??/t');

ylabel('??2¨D?o??μ/f(t)'); grid on

可以得到如下图形：

图1.4取不同A和a值后的f(t)

比较以上图形中的曲线：可以看出随着A、a值逐渐增大，波形幅值增大，滤波后信号毛刺（高频波动信号）也随着增多，即对高频信号的抑制效果变差，同时也可以看出滤波器输出信号中的低频成分也呈增大趋势。由此可知，滤波器在A、a值较小时对高频的抑制效果最好，但这种情况下低频信号也受到一定的削弱，滤波效果并不一定是最好，因此，需要根据实际使用需求设定参数。

实验报告二

一、 实验目的

1．学习Haar 小波的定义及性质，掌握Haar 小波分解与重构的原理。 2．通过例子学习小波分析在一维信号奇异性检测中的应用； 3．学习并掌握信号处理的相关步骤。 4．熟悉Matlab 中相关函数的用法

二、实验原理

一般来说，噪声信号多包含在具有较高频率细节中，在对信号进行了小波分解之后，再利用门限阈值等形式对所分解的小波系数进行权重处理，然后对小信号再进行重构即可达到信号去噪的目的。具体步骤为：

a.一维信号的小波分解，选择一个小波并确定分解的层次，然后进行分解计算。

b.小波分解高频系数的阈值量化，对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行软阈值量化处理。

C ．一维小波重构，根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行一维小波的重构。

利用小波分析检测信号突变点的一般方法是：对信号进行多尺度分析，在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模极大值，因而可以通过对模极大值点的检测来确定故障发生的时间点。

通常情况下，信号的奇异性分两种情况，一种是信号在某一个时刻内其幅值发生突变，引起信号的非连续，幅值的突变处是第一种类型的间断点。另一种是信号外观上很光滑，幅值没有突变，但是，信号的一阶微分有突变发生，且一阶微分是不连续的，成为第二种类型的间断点。

三、实验步骤与内容

实验题目：

1. 设信号()()()()()2

4

sin 32cos 50.2sin cos 55

-=++x f e

x x x x 将区间[0,1]实行256等分并得到信号在这些节点上的离散值 （1）利用Haar 小波对离散后的信号进行分解；

（2）画出1,8,7,...,1-=j V j 中的分量并与原信号j f 进行比较；

（3）进行压缩比为80%的压缩，画出压缩后的图像与原图像比较； （4）选择合适的参数去噪，画出去噪后的图像与原图像比较； 2.定义区间[0,1]上存在间断点的信号：

21,8/91

()0,08/9

?-≤≤=?

≤

实验步骤及分析过程： 1.第一题

（1）利用Haar 小波对离散后的信号进行分解； 先画出原信号的波形，程序如下：

x=linspace(0,1,256);

f=exp(-x.^2/4).*(sin(3*x)+2*cos(5*x)+0.2*sin(x).*cos(55*x)).*(x>=0&x<=1); plot(x,f)； 得到图形如下：

图2.1原信号波形

下面运用Haar 小波对已知函数进行分解，程序如下所示： x=linspace(0,1,256); j7=linspace(0,1,128);

f=exp(-x.^2/4).*(sin(3*x)+2*cos(5*x)+0.2*sin(x).*cos(55*x)).*(x>=0&x<=1); [a,b]=dwt(f,'haar'); subplot(2,1,1); plot(j7,a); xlabel('尺度空间'); grid on subplot(2,1,2); plot(j7,b); xlabel('小波空间'); grid on

得到的波形如下：

图2.2 haar 小波对函数进行分解

（2）画出1,8,7,...,1-=j V j 中的分量并与原信号j f 进行比较； MATLAB 程序如下：

x=linspace(0,1,256);

f=exp(-x.^2/4).*(sin(3*x)+2*cos(5*x)+0.2*sin(x).*cos(55*x)).*(x>=0&x<=1);

[C,L]=wavedec(f,8,'Haar');

v0=wrcoef('a',C,L,'Haar',8);subplot(2,4,1);plot(x,v0);title('V0');grid on

v1=wrcoef('a',C,L,'Haar',7);subplot(2,4,2);plot(x,v1);title('V1');grid on

v2=wrcoef('a',C,L,'Haar',6);subplot(2,4,3);plot(x,v2);title('V2');grid on

v3=wrcoef('a',C,L,'Haar',5);subplot(2,4,4);plot(x,v3);title('V3');grid on

v4=wrcoef('a',C,L,'Haar',4);subplot(2,4,5);plot(x,v4);title('V4');grid on

v5=wrcoef('a',C,L,'Haar',3);subplot(2,4,6);plot(x,v5);title('V5');grid on

v6=wrcoef('a',C,L,'Haar',2);subplot(2,4,7);plot(x,v6);title('V6');grid on

v7=wrcoef('a',C,L,'Haar',1);subplot(2,4,8);plot(x,v7);title('V7');grid on

画出的波形如下：

图2.3v中的各个分量

将图2.3跟图2.1作比较可知，随着j的增大，得到的图形越接近原函数波形。（3）进行压缩比为80%的压缩，画出压缩后的图像与原图像比较；MATLAB程序如下：

F= waverec(C,L,'Haar');

subplot(1,2,1);

plot(x,F);

title('原函数');

grid on

[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('gbl',f,'Haar',8,0.8,'h',1) ;

subplot(1,2,2);

plot(x,XC);

title('压缩比为80%的图形');

grid on

得到的波形如下：

图2.4压缩后的图像与原图像比较

（4）选择合适的参数去噪，画出去噪后的图像与原图像比较；

为了去除噪声，我们选择去除高频分量W7，MATLAB程序如下：F= waverec(C,L,'Haar');

subplot(1,3,2);

plot(x,F);

title('原信号');

grid on

w7=wrcoef('d',C,L,'Haar',1);

subplot(1,3,1);

plot(x,w7);

title('W7');

grid on

Fl=f-w7;

subplot(1,3,3);

plot(x,Fl);

title('滤波后的信号');

grid on

得到的波形如下：

图2.5 去噪后的图像与原图像比较

可以看出，去噪后的图形与原图基本相同。毛刺变少，信号更加平滑。

第二题

MATLAB程序如下：

x=linspace(0,1,128);

s=0.*(x<8/9)+(1-x.*x).*(8/9<=x&x<=1);

ls = length(s);

[c,l] = wavedec(s,6,'db5');

subplot(4,2,1);

plot(s);

title('用db5分解6层：s=a6+d6+d5+d4+d3+d2+d1');

ylabel('s');

a6 = wrcoef('a',c,l,'db5',6);

subplot(4,2,2);

plot(a6);

ylabel('a6');

for i = 1 : 6

decmp = wrcoef('d',c,l,'db5',7-i);

subplot(4,2,i+2);

plot(decmp);

ylabel(['d',num2str(7-i)]);

end

得到的图形如下：

图2.6 用db5小波分解6层

从图中可以看出，对于信号的小波分解的第一层高频系数d1和第二层高频系数d2，可观察到信号的不连续点，在d1图中估测，为x=114/128=0.891，在d2图中估测，为x=112/128=0.875，而实际值为x=8/9=0.889，用db1小波要比db2小波好。

实验报告三

一、实验目的

1. 掌握双线性插值方法的基本思想，通过实验了解其优缺点。

2. 掌握二维多分辨分析的知识和思想，通过对数字图片进行分解与重构操作，加深对理论知识的理解。

3. 掌握图片处理的基本方法，并熟悉Matlab中相关函数的应用。

二、实验原理

根据插值处理和小波变换的特点，运用一种基于小波分解和双线性插值相结合的图像超分辨率处理方法。首先将原图像进行小波分解，并把原图像作为低通部分，然后对小波分解后的相应高频子带进行双线性插值以近似高频的更多细节，通过小波逆变换获取比原图像分辨率更高的图像。

设一幅图像f (x,y)经过一次小波分解后，被分成了四个部分，如图1所示。MH 1为水平方向上的高频细节信息，MV1为垂直方向上的高频细节信息，MD1为对角线方向上的高频细节信息。也就是说，小波分解的过程就是将信号不断“剥落”的过程，随着逼近越来越粗，丢掉的信息越来越多，而被抛弃掉的信息可用小波的线性组合来表示。重建的过程就是将丢掉的细节加起来作为原始信号的近似表示，只要采用足够多的相同步骤，这种近似表示就可以达到足够精确。

图3.1

三、实验步骤与内容

实验题目；

要求：任意选择一张数字图片，利用二次线性插值将图片放大4倍，同时采用二

维小波对原始图片进行分解与重构，实现对图片的超分辨率处理。

MATLAB程序如下：

I1=imread('C:\Users\Administrator\Desktop\HIT.jpg');

figure(1);

imshow(I1),title('原始图像');

[Y1,map1]=imresize(I1,2,'bilinear');

[c,s]=wavedec2(Y1,1,'db3');

Xa11=appcoef2(c,s,'db3',1);

Xh11=detcoef2('h',c,s,1);

Xv11=detcoef2('v',c,s,1);

Xd11=detcoef2('d',c,s,1);

Y=idwt2(Xa11,Xh11,Xv11,Xd11,'db3');

figure(2);

imshow(uint8(Y));title('获得超分辨率图像');

得到的图形如下：

图3.2 原始图像

图3.3 获得的超分辨率图像

利用haar小波分解，MATLAB程序如下：

clear all;

close all;

I1=imread('C:\Users\Administrator\Desktop\HIT.jpg');

figure(1);

imshow(I1),title('原始图像');

%用双线性插值方法获得插值图像Y1

[Y1,map1]=imresize(I1,2,'bilinear');

[c,s]=wavedec2(Y1,1,'haar');

Xa11=appcoef2(c,s,'haar',1);

Xh11=detcoef2('h',c,s,1);

Xv11=detcoef2('v',c,s,1);

Xd11=detcoef2('d',c,s,1);

Y=idwt2(Xa11,Xh11,Xv11,Xd11,'haar');

figure(2);

imshow(uint8(Y));title('获得的超分辨率图像');

得到的图形如下：

图3.4原始图像

3.5 haar小波变换后的超分辨率图像

基于小波变换的插值方法与原图像进行比较，图片更加清晰，高频信息更丰富，边缘细节特性更好，将图像放大会更清楚地看到这一特点。因此，基于小波变换的插值处理能够提高图像的分辨率，从而提高照片的质量。