第三章 流体的运动习题解答分析

第三章 流体的运动习题解答

2-1 有人认为从连续性方程来看管子愈粗流速愈慢，而从泊肃叶定律来看管子愈粗流速愈快，两者似有矛盾，你认为如何？为什么？

解：对于一定的管子，在流量一定的情况下，管子愈粗流速愈慢；在管子两端压强差一定的情况下，管子愈粗流速愈快。 2-2水在粗细不均匀的水平管中作稳定流动。已知截面S 1处的压强为110P a ，流速为0.2m /s ，截面S2处的压强为5P a ，求S 2处的流速（内摩擦不计）。

解：由伯努利方程在水平管中的应用 P 1+

=P 2+ 代入数据 110+0.5×1.0×103×0.22=5+0.5×1.0×103×

得 =0.5 m /s

2-3 水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为管的最细处的3倍。若出口处的流速为2m /s ，问最细处的压强为多少？若在此最细处开一小孔，水会不会流出来？

解：由连续性方程S 1v 1=S 2v 2，得最细处的流速v 2=6m /s ，再

由伯努利方程在水平管中的应用P 1+ =P 2+

代入数据 1.01×105+0.5×1.0×103×62=P 2+0.5×1.0×103×62

得: 管的最细处的压强为 P 2=0.85×105 P a

可见管最细处的压强0.85×105P a ，小于大气压强 1.01×105P a ，

所以水不会流出来。

2-4在水平管的某一点，水的流速为2m /s ，高出大气压的计示压

强为104P a ，

管的另一点高度比第一点降低了1m ，如果在第二点处的横截面

积是第一点的

半，求第二点的计示压强。

解：由连续性方程S 1v 1=S 2v 2，得第二点处的流速v 2=4m /s ，再由

伯努利方程求得第二点的计示压强为 P 2-P 0= P 1-P 0-

+

ρgh 代入数据得P 2-P 0=1.38×104（P a ）

第二点的计示压强为 1.38×104P a

2-5一直立圆形容器，高0.2m ，直径为0.1m ，顶部开启，低部有一面积为10-4m2的小孔。若水以每秒 1.4 ×10-4m3的流量自上面放入容器中，求容器内水面可上升的最大高度。若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽所需的时间。 解：（1）设容器内水面可上升的高度为H ，此时放入容器的水流量和从小孔流出的水流量相等，Q= S 2v 2=1.4×10-4m 3/s 。由连

续性方程S 1v 1=S 2v 2，因为S 1? S 2，所以可将容器中水面处流速v 1

近似为零。运用伯努利方程有 =ρg H

计算得到小孔处水流速

v 2= 再由Q = S 2v 2= S 2 得

H = 代入数据得 H=0.1m

（2）设容器内水流尽需要的时间为

T 。在t 时刻容器内水

的高度为h ，小孔处流速为v 2= ，液面下降dh 高度从小孔

流出的水体积为dV =-S 1·d h ，需要的时间d t 为D v /Q ，代入计算

结果得

则 代入数据得 ：T=11.2s

2-6试根据汾丘里流量计的测量原理，设计一种测气体流量的装置。（提示：在本章第三节图2-4中，把水平圆管上宽、狭两处的竖直管连接成U形管，设法测出宽、狭两处的压强差，根据假设的其他已知量，求出管中气体的流量）。

解：设宽处的截面半径为r1，狭处截面半径为r2，水平管中气

体的密度为ρ，压强计中的液体密度为ρ，，U形管的两液面高度差为h，由连续性方程可知宽狭两处流速之比为

可得

由压强计得

将上两式代入伯努利方程

有

计算可得最后计算得到流量

2-7将皮托管插入流水中测水流速度，设两管中的水柱高度分别为5×10-3m和 5.4×10-2m，求水流速度。

解：由皮托管原理

=0.98（m/s）

2-8一条半径为3m m的小动脉血管被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为2mm，血流平均速度为0.5m/s。设血液的密度为1.05×103Kg/m3，粘滞系数为3×10-3P a.·s，试求：

（1）未变窄处血流平均速度；

（2）会不会发生湍流；

（3）狭窄处血流动压强。

解：（1）由S1v1=S2v2，得л×0.0032×v1=л×0.0022×0.5

=0.22（m/s）

v

1

（2）<1000 不会发生湍流

=0.5×1.05×103×0.52=131.25(Pa)

2-9 20℃的水在半径为1×10-2m/s的水平管中流动，如果在管轴处的流速为0.1m/s，则由于粘滞性，水沿管子流动10m后，压强降落了多少？

解：流体在水平细圆管中稳定流动时，流速随半径的变化关系为

管轴处（r=0）流速

所以，压强降落=40（P a）

2-10设某人的心输出量为0.83×10-4m3/s，体循环的总压强差为12.0kP a，试求此人体循环的总流阻（即总外周阻力）。

解：

2-11粘滞系数为0.18P a·s的橄榄油，流过管长为0.5m、半径为1c m的管子时，两端压强差为2×104N/m2,求其体积流量。

解：由泊肃叶公式=8.72×10-4

(m3/s)

2-12假设排尿时，尿从计示压强为40m mH g的膀胱经过尿道口排出，已知尿道长为4c m，体积流量为21×10-6m3/s,尿的粘滞系数为 6.9×10-4Pa·s,求尿道的有效直径。

解：由得代入数据得R=0.72m m

D=2R=1.44m m

2-13设血液的粘滞系数为水的5倍，密度为 1.05×103kg/m3，如以0.72m/s的平均流速通过主动脉，试用临界雷诺数为1000来计算其产生湍流时的半径。（水的粘滞系数为 6.9×10-4P a·s）

解：=4.6×10-3（m）=4.6(m m)

2-14一个红细胞可以近似看作是半径为 2.0×10-6m、密度是1.09×103Kg/m3的小球。试计算它在重力作用下在37℃的血液中沉淀1c m所需的时间。假设血浆的粘滞系数为 1.2×10-3P a·s，密度为 1.04×103K g/m3。如果利用一台加速度（ω2r）为105g 的超速离心机，问沉淀同样距离所需的时间又是多少？

解：=0.363×10-6（m/s）

=2.8×104(s)

若利用一台加速度ω2r为105g的超速离心机时

第三章振动

1、简谐振动的速度与加速度的表达式中都有个负号，这是否意味着速度和加速

度总是负值？是否意味着两者总是同方向？

答：这不意味着两者总是负值，也不意味着两者方向总是相同，要比较的话，应将它们都化成同一余弦函数形式，即 s=Acos(ωt+

)

)= Aωcos[ (ωt+)+]

v=-Aωsin(ωt+

a=-Aω2 cos(ωt+ )= Aω2cos[ (ωt+ )+ ]

由此看出速度的相位比位移超前，而加速度的相位比位移相位差π，即恒反向。

2、一沿x轴作简谐振动的物体，振幅为5.0×10-2m，频率2.0Hz，在时间t=0时，振动物体经平衡位置处向x轴正方向运动，求振动方程。如该物体在t=0时，经平衡位置处向x轴负方向运动，求振动方程。

解：此题为已知个量求方程。先求出描述简谐振动的三个特征量，A、ω、

；

然后将特征量代入振动方程的标准形式，化简得所求的振动方程。

特征量：A=5.0×10-2m；ω=2πγ=4π；向x轴正方向运动时， =；向x 轴负方向运动时， =。代入方程标准形式得

S=5.0×10-2cos(4πt+ )m

S=5.0×10-2cos(4πt+ )m

3、一个运动物体的位移与时间的关系为S=0. 10cos(2.5πt+ )m，试求：（1）

周期、角频率、频率、振幅和初相位；（2）t=2s时物体的位移、速度和加速度。解：（1）此题为已知振动方程求个量。解题的基本方法是将已知的振动方程与标准方程相比较，直接写出特征量。由方程S=0. 10cos(2.5πt+ )m

=2.5π；周期T= =0.80s；频率γ=1/T=1.25Hz；

振幅A=0.10 m；角频率

初相位=

（2）t=2s时：S=0. 10cos(2.5πt+ )m=-5×10-2m

v=-0.1×2.5πsin(5π+ )=0.68m/s

a=-0.1×(2.5π)2cos(5π+ )=3.1m/s

4、两个同方向、同频率的简谐振动方程为S1=4cos(3πt+ )和S2=3cos(3π

t- )，试求它们的合振动方程。

解：先用公式求出合振动的振幅、初项，代入标准方程可得到合振动方程

ψ=

合振动方程为 S=5cos(3πt+ )

5、设两个频率相近、振幅相等，初相位相同和振动方向相同的简谐振动，运动方程分别为s1=Acos(ω1t+ )；s2=Acos(ω2t+ )。求合振动方程，并说明合振幅的变化情况。

解：利用三角函数的和差化积，求出它们合成的结果是

s= s

1+ s

2

= Acos(ω

1

t+ )+ Acos(ω

2

t+ )=

其中合振幅为

=2Acos

由于振幅是个正值，即 =2A│cos│

合振幅随时间作缓慢的周期性变化，这种合振动显然不再是简谐振动。因为余弦

函数绝对值的周期等于π，因此，振幅变化的周期T为即

合振幅变化的频率，是两个振动频率之差。在两个简

谐振动频率相近的情况下，合振动的振幅将随时间缓慢地时大时小周期性变化，这种现象称为拍。把合振动变化的频率称为拍频。

第七章第七节液体的表面现象习题解答

8、吹一个直径为10cm的肥皂泡，设肥皂液的表面张力系数α=40×10-3N/m。试求吹此肥皂泡所做的功，以及泡内外的压强差。

解：Δs=2×4πr2(两个表面)

ΔW=α·Δs=8π×10-4（J）

9 、一U形玻璃管的两竖直管的直径分别为1mm和3mm。试求两管内水面的高度差。（水的表面张力系数α=73×10-3N/m）

解：设U形管的两竖直管的半径分别为r1，r2。

在水中靠近两管弯曲液面处的压强分别为，，且有

。由上面三式可得 =19.86×10-3 (m)≈2(cm)

10、在内半径r=0.30mm的毛细管中注入水，在管的下端形成一半径R=3.0mm的水滴，求管中水柱的高度。

解：在毛细管中靠近弯曲液面处的水中一点压强为，在管的下端的

水滴中一点的压强为，且有。由上面三式可得

≈5(cm)

第十四章几何光学

一、本章内容提要

本章共分五节主要介绍了如下内容

1．单球面折射折射公式公式成立的条件及相应的符号规定第一、二焦距的计算

2．在共轴球面系统成像法中，先求出第一折射面的像I

1

，

以I

1作为第二折射面的物，求出第二折射面的像I

2

，这样依次

类推可求出多个单球面组成的共轴球面系统最后所成的像I。

3．薄透镜：⑴成像公式：

⑵焦距公式：

4．厚透镜的三对基点及其特性和它的作图法。

5．眼球的结构特点和光学性质；简约眼模型的光学结构和描述参数；远点、近点和明视距离的概念；近视眼、远视眼、散光眼的光学特点以及矫正方法。

6．放大镜成像特点；放大镜的角放大率公式。

7．显微镜的光学结构

8．显微镜放大率：M=αm；

（注：S—镜筒长度；—物镜焦距；—目镜的焦距。）

9．瑞利判断

10．显微镜的分辨能力，物镜的孔径数N·A；显微镜分辨

的最短距离：；提高显微镜分本领的方法。

11．特殊医用显微镜：⑴偏光显微镜；⑵相差显微镜；⑶电子显微镜；⑷激光扫描共焦显微镜。

二、解题指导—典型例题

例11-1 眼睛瞳孔深度为 3.54mm，眼球的平均折射为 1.33，平均曲率半径为7.8mm。求瞳孔的视深。

解：由题意可知，物点是被观察的瞳孔。入射光由瞳孔发出，入射光第一次经过媒质的折射率n=1.33，第二次经过的媒质是

=1.0。若将眼睛当成简约眼，曲率中心与入射光空气，折射率n

同在一侧，显然是虚像。由于物距u=3.54m m，根据单球面折射公式有：

代入相应数据

解得=－2.99m m

答：眼球瞳孔的深度为－2.99mm。

例11-2 一个焦距为10c m的凸透镜与一个焦距为10c m的凹透镜相隔5c m。一物体最后成像于凸透镜前15c m处。求⑴此物体放在凸透镜前位置；⑵像的大小和性质。

三、思考题和习题解答

11-1 直径为8c m的玻璃棒（n’=1.5）长20c m，两端是半径为4c m的半球面。若一束近轴平行光线沿棒轴方向入射，求像的位置。

解：设：第一折射面的物距为u

1，像距为v

1

；第二折射面的

物距为u

2，像距为v

2

。折射面的曲率半径r=4c m，空气的折射率

n=1.0，玻璃的折射率n’=1.5，则

解得=12

对于第二折射面：u

2

=20-12=8cm，r=-4cm，则

解得=-16cm

答：最后成像在棒内距离棒左端16cm处。

11-2 一圆球形透明体能将无穷远处射来的近轴平行光线

会聚于第二折射面的顶点。求此透明体的折射率。

解：设圆球形透明体的半径为R、折射率为n、空气的折射

率n

=1.0由题意可知，第一折射面的物距u=∞，v=2R，则

解得n=2

答：圆球形透明体的折射率为2。

11-3 折射率为 1.5的平凸透镜，在空气中的焦距为50cm。求凸面的曲率半径。

解：已知透镜的折射率n=1.5，空气的折射率为n

=1.0，透

镜的焦距f=50cm。设透镜的曲率半径分别为r

1和r

2

。

由公式：

由于r

2

=∞，则

解得r

1

=25c m

答：透镜凸球面的曲率半径为25cm。

11-4 折射率为 1.6的薄透镜，凸面和凹面的曲率半径分别为0.7c m和0.5c m，求在空气中的焦距。

解：透镜的折射率n=1.6，空气的折射率为 1.0，透镜凸面

的曲率半径r

1=0.7m，透镜凹面的曲率半径r

2

=0.5m。设透镜在空

气中的焦距为f。则

解得f=-2.92m 答：透镜在空气中的焦距为-2.92m

11-5 把焦距为20c m得凸透镜与焦距为40c m的凹透镜紧密贴合，求贴合后的焦度。

解：设凸透镜的焦距为f 1=20c m ，凹透镜的焦距为f 2=-40cm 。

则贴合后的焦度：

答：贴合后的焦度为 2.5D 。

11-6 折射率为 1.5的透镜，一面是平面，另一面是半径为0.20m 的凹面，将此透镜水平放置，凹面一方充满水。求整个系统的焦距。

解：设玻璃透镜的折射率n 1=1.5，玻璃透镜在空气中的焦距

为f 1，水的折射率

，水形成的透镜的焦距为f 2，空气的折

射率n 0=1.0，透镜凹面的曲率半径r=0.20m ，平面的曲率半径r 0=∞。

玻璃透镜在空气中的焦距：

水形成的透镜在空气中的焦距：

整个组合系统的焦距：

答：整个组合系统的焦距为-1.2m 。

11-7 折射率为 1.5的玻璃薄透镜焦度为5D，将它浸入某种液体中焦度变为-1D。求此液体的折射率。

解：设玻璃薄透镜折射率n

1

=1.0；在空气中的焦距

，在某种液体中的焦距f

2=-1m；空气的折射率n

=1.0;

液体的折射率n

2；玻璃薄透镜两球面的曲率半径分别为r

1

和r

2

。

将上述两式相除得

解之得=1.7

答：此液体的折射率为 1.7。

11-8 一近视眼患者的远点为2m，它看远处物体时应配戴多少度何种眼镜？

解：近视眼患者配戴眼镜看无穷远（u=∞）的物体时，必须将此物体成像在眼前2米处，即v=-2m，才能看清楚，则眼镜的焦度：

度

答：近视眼患者应配戴50度的凹透镜。

11-9 远视眼戴2D的眼镜看书时须把书拿到眼前40cm处，此人应配戴何种眼镜才合适？

解：透镜的焦距，物距u

1=0.4m，则像距v

1

为

解之得=-2m

在正常情况下，书本应放在眼前0.25m处，但必须成像在远视眼前2m处才能看得清楚，这时透镜焦距：

答：此人应配戴350度凸透镜的眼镜。

11-10 显微镜目镜的焦距为 2.5m，物镜的焦距为 1.6 c m，物镜和目镜距22.1c m，最后成像于无穷远处。问：

⑴标本应放在物镜前什么地方？

⑵物镜的线放大率是多少？

⑶显微镜的总放大倍数是多少？

解：物镜的焦距f

1=1.6c m，物镜的物距和像距分别为u

1

和

v

1；目镜的焦距f

2

=2.5cm，目镜的物距和像距分别为u

2

和v

2

，且

v

2=∞；则目镜的物距u

2

=2.5 c m。

⑴物镜的像距v

1

=22.1-2.5=19.6cm，物镜的物距

解得u

1

=1.74cm

⑵

（倍）

⑶

（倍）

答：⑴标本应放在物镜前 1.74c m处；

⑵物镜的线放大率为11倍；

⑶显微镜的总放大倍数是110倍。

11-11 用孔径数为0.75的显微镜去观察0.3μm的细节能否看清？若改用孔径数为 1.2的物镜去观察又如何？设所用光波波长为600n m。

解：N·A

1=0.75，N·A

2

=1.2，λ=600n m，Z=0.3μm

由于Z

1

>Z=0.3

所以用孔径数N·A

1

=0.75的物镜不能分辨0.3的细节。

Z

=Z=0.3

=1.2的物镜刚好能分辨0.3 的细节。

则用孔径数N·A

答：用孔径数N·A

=0.75的物镜看不清楚0.3的细节；

=1.2的物镜刚好能分辨0.3 的细节。

用孔径数N·A

11-12 人眼可分辨的最短距离为0.1mm，欲观察0.25的

细节，对显微镜的要求什么？（所用光波的波长为600nm，N·A1.5，400倍）

解：显微镜的放大倍数：

（倍）

∵

∴

答：若要观察清楚0.25

的细节，显微镜的放大倍数为400

倍，物镜的孔径数为 1.5。

四、自我评估题

11-1 一直径为200nm的玻璃球，，折射率为 1.5，球内有一小气泡从最近的方向看好像在球表面和中心的中间。此气泡的实际位置：（D）

A在球心前方50n m； B 在球心前方100n m；

C在球心后方50n m； D 离球面60nm。

11-2 一位近视眼患者站在视力表规定的5m距离时，对最上面一行E字看不清，当它走到距离视力表2m处的地方才能看清最上面一行E字，此患者的视力为：（C）

A0.01；B0.02；C0.04； D 0.1

11-3 提高显微镜的分辨本领，应：（C）

A增大显微镜的孔径和入射光波长；

B增大显微镜的放大倍数；

C增大显微镜的孔径数和减小入射光波长；

D减小入射光波长和显微镜的孔径数。

11-4折射率为 1.5的月牙形透镜，凸面的曲率半径为15cm，凹面的曲率半径为30cm，如果用平行光束沿光轴对着凹面入射。⑴求空气中的折射光线的相交点；⑵如果将此透镜放在水中，问折射的交点又在何处？（60c m，240c m）

11-5 眼睛的光学结构可简化为一折射单球面，共轴球面的曲率半径为 5.55mm，内部平均折射率为4/3，计算两个焦距。若月球在眼睛节点所张的角度为1°，问视网膜上月球的像有多大？眼节点到视网膜的距离取15mm（1.665c m，2.22cm，0.26mm）

11-6一显微镜，已知其N·A=1.32，物镜的焦距f0==1.91m m，目镜焦距f e=50m m。求⑴显微镜的最小分辨距离；⑵有效放大率；⑶显微镜的光学筒长度。（取光波波长为550n m）（208.3n m，476倍，23.2c m）

第十三章波动光学习题解答

1、在杨氏实验中，如果光源S到两狭缝S1和S2的距离不等，例如S S1>S S2，则对实验结果有什么影响？

答：如果光源S到两狭缝S1和S2的距离不等，S1、S2虽然不再同相位，但仍然是相干光源，仍然能产生干涉，只是由于初相的改变使干涉加强和减弱的条件有所变化，干涉条纹的分布也随之发生相应的变化。

2、为什么挡住光线容易，而挡住声音难？

答：因为光波的波长比声波的波长短得多，一般障碍物的线度比起光波的波长大得多，光波不容易产生衍射，而声波容易产生衍射，所以挡住光线容易，挡住声音难。

3、在观察单缝衍射时：（1）如果单缝垂直于它后面的透镜的光轴向上或向下移动，屏上衍射图样是否改变？为什么？（2）若将光源S垂直于光轴向上或向下移动，屏上的衍射图样是否改变？为什么？

答：（1）因为在单缝衍射中凡是衍射角θ相同的平行光都会聚在屏幕上相同的点，因此单缝衍射图样在屏上的位置与狭缝在垂直于光轴方向上的位置无关。所以，如果单缝垂直于它后面的透镜的光轴向上或向下移动时，屏上衍射图样的位置不会改变。

（2）因为在单缝衍射中，中央明纹的中心就是几何光学中透镜所形成的缝的像的位置。所以，若将光源垂直于光轴向上或向下移动，屏上衍射图样的位置将向相反的方向移动。

4、在杨氏实验中，两狭缝相距0.2m m，屏与缝相距1m，第3明条纹距中央明条纹7.5m m，求光波波长。

解：由公式得

5、在杨氏实验中，两缝相距0.3mm，要使波长为600n m的光通过后在屏上产生间隔为1m m的干涉条纹，问屏距缝应有多远？

解：根据题意，由公式得

6、波长500nm的光波垂直入射一层厚度e=1u m的薄膜。膜的折射率为 1.375。问：（a）光在膜中的波长是多少？（b）在膜内2e距离含多少波长？（c）若膜两侧都是空气，在膜面上反射的光波与经膜底面反射后重出膜面的光波的相位差为多少？

解：（a）光波在膜内的波长为

（b）在膜内2e距离含的波长数为

（c）膜面上反射的光波与经膜底面反射后重出膜面的光波的相位差为

若半波损失为，则=12

7、用一层透明物质涂在玻璃上，使波长520n m的光反射最少。若玻璃的折射率为 1.50，透明物质折射率为 1.30，求涂层的最小厚度。

解：由于两次反射都有半波损失，两次反射光波互相

消弱的条件是，所以涂层的最小厚度应为

8、一玻璃劈尖，折射率n=1.52，波长λ=589.3nm的钠光垂直入射，测得相邻条纹间距L=5.0m m，求劈尖夹角。

解：由公式，根据题意可得

=（2.06265）

∵

=7.98”≈8”

∴

9、用单色光观察牛顿环，测得某一明环的直径为 3.00m m，它外面第5个明环直径为 4.60mm，平凸透镜的半径为 1.03m，求此单色光的波长。

解：根据题意，，

R=1.03m，由公式得