复数域阶乘
复数域阶乘
按阶乘的新定义
对于数n ，所有绝对值小于或等于n 的同余数之积。称之为n 的阶乘，即n!
对于复数应该是指所有模n 小于或等于│n │的同余数之积。。。 对于纯复数我们有
()m
441!i !(k )i !m m n x x n =+=∏
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1i !i !(k )i !m m n x x n =+=∏
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n x x n =+=∏
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221-!i !(k )i !m m n x x n =+=∏
但是对于非纯虚数，我们如何定义它
Z=a+bi
首先我们要认识纯虚数及实数的阶乘特点，就是它们的模是等差数列，每一级相差均为1
如此，虚数z 的实，虚部必须满足模的等差数列
即
k k Z a bi
n k
ib =+=-=+z k 0arcsin !!n
b i
n k Z n e -∑
=
k a =
k k 0
0!!cos arcsin sin arcsin n n
b b Z n i n k n k ππ??????=+ ? ? ?--??????∑∑ 如果
0k a ==则变成了纯虚数阶乘了，如果bk=0,则变成了实数阶乘。。。，如此复数阶乘其实是n 为半径的园内经向点的乘积……
如此如果z 沿径向取阶乘，设与x 轴夹角为α， ()(cos sin )k Z n k i αα=-+
!!(cos sin )!i n
Z n n i n n e ααα=+=
到处复数阶乘基本拓展完毕，当然复数阶乘，也可以不沿直线取阶乘，但是沿曲线取阶乘计算会非常复杂，不沿直线取阶乘就按以下公式计算：
k k 00!!cos arcsin sin arcsin n n b b Z n i n k n k ππ??????=+ ? ? ?--??????∑∑
复变函数与积分变换第五版习题解答
复变函数与积分变换第五版答案 目录 练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24) 练 习 一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）i i i i 524321-- --； 解：i i i i 524321---- = i 2582516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16 Re （2）3 ) 231(i + 解： 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ π π 210Im 1Re 1 ][)3 sin 3(cos 333 2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31-
)35sin 35(cos 2ππi += （2）i i +12 解：i i +12 )4 sin 4(cos 21π π i i +=+= 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1）i i 2332++- 解：i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== （2）4 22i +- 解：4 22i +-4 1 )]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3 =+++=+++=k k i k k i k ππππππ 4．.设 321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位 圆z =1的一个正三角形的项点。 证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周 32z z ++=0 则, 321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又 ,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量
复数域阶乘
复数域阶乘 按阶乘的新定义 对于数n ，所有绝对值小于或等于n 的同余数之积。称之为n 的阶乘，即n! 对于复数应该是指所有模n 小于或等于│n │的同余数之积。。。 对于纯复数我们有 ()m 441!i !(k )i !m m n x x n =+=∏ ()m 1i !i !(k )i !m m n x x n =+=∏ ()m 331-i !i !(k )i !m m n x x n =+=∏ ()m 221-!i !(k )i !m m n x x n =+=∏ 但是对于非纯虚数，我们如何定义它 Z=a+bi 首先我们要认识纯虚数及实数的阶乘特点，就是它们的模是等差数列，每一级相差均为1 如此，虚数z 的实，虚部必须满足模的等差数列 即 k k Z a bi n k ib =+=-=+z k 0arcsin !!n b i n k Z n e -∑ = k a =
k k 0 0!!cos arcsin sin arcsin n n b b Z n i n k n k ππ??????=+ ? ? ?--??????∑∑ 如果 0k a ==则变成了纯虚数阶乘了，如果bk=0,则变成了实数阶乘。。。，如此复数阶乘其实是n 为半径的园内经向点的乘积…… 如此如果z 沿径向取阶乘，设与x 轴夹角为α， ()(cos sin )k Z n k i αα=-+ !!(cos sin )!i n Z n n i n n e ααα=+= 到处复数阶乘基本拓展完毕，当然复数阶乘，也可以不沿直线取阶乘，但是沿曲线取阶乘计算会非常复杂，不沿直线取阶乘就按以下公式计算： k k 00!!cos arcsin sin arcsin n n b b Z n i n k n k ππ??????=+ ? ? ?--??????∑∑
华中科技大学复变函数与积分变换练习册答案
练习 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅 角。 1 2i 2 i 1) 3 4i 5i ； 2i 1 2i 解： 16 4i 5i (1 3i )3 (2) ( 2 ) 1 3i ( 解： )3 = 25 8 i 25 Re z 16 Im z 25 28 5 z 85 (cos 3 isin 3) [e i 3]3 25 Re z Im z z1 Argz arctan 1 2 2k k Argz 2k 2．将下列复数写成三角表示式。 1) 1 3i 解： 1 3i 2i 2(cos 53 i sin 5 ) 3 2) 1 i 2i 解： 2(cos i sin ) 4 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 2 3i 1) 3 2i 2 3i 解： 3 2i cos 2 i sin 2 2) 4 2 2i 4 2 2i 解： 3 8 3 / 4 28 [cos [2 2(cos 3 4 2k ] isin 3 4 k 0,1,2,3 i sin 1 4)]4 /4 2k ] 3 28 [cos 8k 16 3 i sin 16 8k ] 4．.设 z 1 , z 2 , z 3三点适合条件： z 1 z 2 z 3=0， z 1 z 2 1, z 1, z 2 ,z 3 是内接于单位圆 z 3
=1 的一个正三角形的项点 证：因z1 z2 z3 1,所以z1 , z2 , z3都在圆周z z1 1,又因z1 z2 z3 =0则 z1 z2 z3 , z1 z2 z3 1，所以z1 z2 也在圆周z 1上， z1 z2 z1 z2 1,所以以0，z1,z1 z2 为顶点的三角形是正三角形，所以向量z1与z1 2 之间的张角是 3 ，同理z2与z1 z2之间的张角也是3 ，于是z1与z2之间的张角是3 ，同理 2 与z3，z2与z3之间的张角都是3 ，所以z1,z2, z3是一个正三角形的三个顶点。 3 5．解方程z 3 1 0 7．设z z 2cos (z 0,是Z的辐角)，求证z n z n 2cosn 证：z z1 2 cos2 z 2 cos z10 则z cos i sin 当z cos i sin 1 时z cos i sin n z n z(cosn i sin ) [cos(n ) i sin( n )] 2 cos n 故z n z n 2cos n 当z cos i sin 时，同理可证 *8 . 思考题： （1）复数为什么不能比较大小？ 答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点（2）是否任意复数都有辐角？ 答：否，z 0 是模为零，辐角无定义的复数。又z2 z1 解 3 :z1 2k z cos 1 3 3 z1cos i sin i 3322 z2cos i sin1 5513 z3cos i sin 3322 2k i sin 3 k 0,1,2 6．试证：证：1, 当1 时，
华中科技大学复变函数与积分变换练习册问题详解
练 习 一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1） i i i i 524321----； 解： i i i i 524321---- =i 258 2516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π 22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16Re （2）3 ) 231(i + 解： 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ ππ 210Im 1Re 1][)3 sin 3(cos 333 2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31- )35sin 35(cos 2ππi += （2）i i +12 解：i i +12 )4sin 4(cos 21π π i i +=+= 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1）i i 2332++- 解：i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== （2） 4 22i +- 解：4 22i +-4 1 )]43sin 43(cos 22[ππi +=
3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3 =+++=+++=k k i k k i k ππππππ 4．.设 321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆 z =1的一个正三角形的项点。 证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0 则 , 321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又 ,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量2 11z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π ，同理1 z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π ，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。 5．解方程013 =+z i i z i z i i z k k i k z z 2 32135sin 35cos 1sin cos 2 3 213sin 3cos 2 ,1,03 2sin 32cos 1:3213-=+=-=+=+=+==+++=?-=πππππππ πππ解 6．试证：当1,1<=βα时，则1 1=--βαβ α。
复数域在图像处理中应用
摘要 图像分割，正如字面上所理解的，对图像信息进行分块，并取得自己所需要的那一块。图像分割是图像分析处理的重要环节。为了能更好的理解与分析，和处理图像，尤其是自己感兴趣的那一块，我们离不开图像分割。它将原始图像，通过目标识别，匹配，提取，测量参数后，找到处理的根本对象所在。 如何在图像中表现出其是否是均匀的、是粗糙的又或者是细致的？为了区分图像，我们引入图像纹理特征，它是图像的本身属性。在灰度的变化过程中，通过统计变化，空间中，图像的纹理特征也发生相应的改变。由此可知，纹理特征是指图像内所含有的，一定区域内的，按一定规律形成的或者周期排列的，小形状区域块。 傅里叶变换，就如同处理信号，把图像从“空域”变为“频域”。在一幅图像中，其细节以及纹理特征信息在频谱图的高频率部分呈现出；低频部分代表了图像的轮廓信息。若我们将一幅精细的图像通过低通滤波器变换，那么图像经过变换后的结果就剩下了轮廓。这与信号处理的基本思想是相通的。我们就可以用滤波器来恢复噪点恰巧位于图像的某个特定“频率”范围内的图像。 本文主要是对图像进行傅里叶变换分析并对比Gabor变换和脊波变换。 关键词：图像处理，傅里叶变换，复数域，纹理特征
ABSTRACT Image segmentation refers to the image into various characteristics of the region and extract the target of wich we are interest in.The first step to understand and analysis a image is to make a image segment, the need for image object extraction, measurement and it makes the expression of the target feature extraction, parameter measurement of the original image is the foundation of the image analysis and understanding. Texture refers to the shapes that exist within a certain range of the image,usually is very small,semi-periodic or regular arrangement of the pattern. For same phenomenon, texture is used in image interpretation of meticulous and rough.Texture is one of the main features of image processing and pattern recognition.The texture feature is the image gray level changes,such changes and statistics will be concerned.Image texture features reflect the properties of the image itself,contribute to the distinction between images. As one-dimensional signal processed,Fourier transform trans the image from the "airspace" to"frequency".For a picture,high-frequency part represents the image detail and texture information;low-frequency part represents the outline of the image information.For example,a fine image processed with a low pass filter,then filtering the result to the rest of the silhouette.This is the basic idea of the signal processing are interlinked.If the image is subject to a noise just in a specific "frequency" range,it can pass through the filter to restore the original image. This article is mainly for image Fourier transform analysis and process with Matlab. KEY WORDS：Image process, Fourier transform, Complex Unit,texture feature,
复数域和实数域 - 西安电子科技大学个人主页系统 我的西 …
复数域和实数域 在学习复变函数之前，我们接触到的数域最大到实数域，碰到的变量、函数、极限、积分、导数等概念和运算都在实数域范围内。域是数学上的一个概念，简单地说就是有一个数的集合，这个集合对加、减、乘、除（分母不为0）四则运算封闭，即集合中的任意两个元素做四则运算，结果得到的元素仍然在这个集合里。根据这一规则可知，全体自然数、全体整数不构成域，全体有理数构成有理数域，全体实数构成实数域。在学习了复变函数论以后知道，全体复数也构成复数域。那么，实数域和复数域是什么关系呢？ 也许可以认为，复数域是比实数域更大的数域，复数域包含了实数域。这样一种观点不能算是正确的。的确，在复平面内，横轴表示复数的实部，这条轴看起来就表示了全体实数。但是当复数z 在这上面取值的时候，是不是表示z 就是一个实数呢？ 不是的。不管z 在复平面内哪里取值，它都是一个复数，即z x iy =+是由实部和虚部的二元结构表示的数。只是当z 在实轴上取值时，其虚部0y ≡，因此对复数z 进行运算时相当于只对其实部x 做运算，而其虚部将不会对运算结果起任何作用，这就使得此时对复数的运算完全相同于对实数的运算。虽然如此，请记住：此时只是复数z 的虚部等于0，并不等于说此时复数z 变成了实数x ，更不能说复数z 没有虚部。而这一结论能够成立的一个前提条件是：实数对四则运算是封闭的，不会在运算过程中产生复数。这种关系还可以这样理解：实数轴上的全部复数可以和实数域中的全体实数之间建立一个一一映射关系，0x i x +→， 此时对复数的四则运算，包括求积分、求导数等运算，完全相同于对实数的运算。 在整个复平面内，只有实轴对四则运算是封闭的，虚轴对乘法和除法不封闭，不能构成一个数域。而其它任意一条过原点的直线上的点对应的复数也对四则运算不封闭，不能形成一个数域，因此它们看起来都是一条直线，但是却不能和实轴一样，跟全体实数之间建立一个一一映射关系，让复数运算等同于实数运算。 留数定理在实变函数积分中的应用中，就是利用了这种关系。在实轴上的积分，等价于在实轴上取值的复数的积分，从而把运算转化到复数域中。假如实数域对积分（实际上就是乘法和加法）不封闭，那么就无法实现这种转化了。
复域矩阵
①.复数域矩阵A ，其共轭矩阵A A A =有, 对一阶矩阵即数，显然成立。 假设对k 阶A 成立，那么对（k+1）阶矩阵A 而言，其代数余子式为a+bi,则此项的值为（ax-by ）（ay+bx ）i ，对A 而言，同一项的yi x a ij -=，代数余子式为a-bi,此项的值为（ax-by ）-（ay+bx ）i. 显然二者的值共轭，广而推之，所有一项都共轭，那么|A|与A 也共轭，即A A = ②.复数域矩阵A ，其转置矩阵T T A A A =有,. 这一点用行列式的计算公式可知，行列式是不同列不同行元素的乘积的总和，转置后这种关系不变，所以 T A A =. 综上，以证明：酉矩阵的行列式的模等于1. 酉矩阵A ，有 1==?=?E A A E A A T T ()()1 1 1,. ①. ②12222=+=+?=-++====d c A d c di c di c di c A A A A A A A T T 的模即为即有假设得由得，由
证明：与任意n 阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵。（注：数量矩阵是对角线元素相等的对角矩阵，即为aE,a 为任意常数） 设()ij a A =与任意的n 阶方阵可交换，设ij B 是第i 行地j 列为1，其余均为0的方阵。 有 使一个对角矩阵 即当的方阵， 其余列均为列为是第的方阵， 其余行都为行为是第A a j i a a a j AB a a a i A B AB A B ij nj j j ij jn j j ij ij ij ,0,0,,,0,,,2121=≠= 设B （i,j ）是对换i,j 两行的初等矩阵，得B （i,j ）A=AB （i,j ） B （i,j ）A ， j 行i 列为ii a ，i 行j 列为jj a AB （i,j ），i 行j 列为ii a ，j 行i 列为jj a 。 即有jj ii a a =。 综上得到A 是主对角线元素相同的对角矩阵，即aE.
幂函数在实数域与复数域的性质
幂函数在实数域和复数域的性质 一、幂函数的定义 幂函数是我们常见的一类函数，对于幂函数的研究有助于我们对函数更深刻的理解。 定义域D 为实数域R 的子集幂函数的形式可写作： ()(,)k f x x D R k k R =?∈，是常数 定义域P 为复数域C 的子集幂函数的形式可写作： (z)(,k )k f z P C k C =?∈是常数, 无论是实数域的幂函数还是复数域的幂函数，常数k 决定了函数的性质。所以研究幂函数性质的时候，需要根据k 来分类。 二、有理数与无理数 1有理数和无理数的定义 实数分为有理数和无理数，下面给出有理数的关系。 若实数Y 可以写成： = (,0)p Y p q Z q q ∈≠， 那么Y 被称作有理数，否则Y 是无理数。 当p 和q 互质时，称Y 的最简分式形式。显然1/2和2/4的值是相等的，但是在幂函数的常数k 为有理数时，k=1/2和k=2/4意义和性质是不同的，后面会进行说明。 2无理数的极限定义方式： 对于实数采用十进制表示法表示时，实数分为三类：有限小数，循环小数，不循环小数。
那么需要了解这三种表示方式和有理数或者无理数的对应关系。 下面证明几个关系： （1） 有限小数是有理数： 对于任意有限小数r,其表示为： 12+(1)(0.......) ({01},{|09,},n=12,3,......N ) u N n r A a a a u Z a x x x Z =-+∈∈∈≤≤∈∈，，A ，，N Z 其中(1)u -表示符号位，N 表示小数位数，A 是整数部分。 根据十进制定义可知： 12......(1)()10 u N N a a a r A =-+ 其中： 121 (10) N n N i n a a a a Z -=∈∑ 1210 (1) 10N u N N A a a a r +=- 很明显1210......N N A a a a +是整数，10N 也是整数，所以r 是有理数。有限小数是有理数成立。 （2） 循环小数是有理数： 对于任意循环小数r,其表示为： 1212+(1)(0.............)({01},{|09,},n=12,3,...... M Zand M 0) u M M M M N n r A a a a a a a u Z a x x x Z +++=-+∈∈∈≤≤∈∈≥∈，，A ，，，N Z 其中(1)u -表示符号位，N 表示非循环节小数位数，M
数学分析专题研究期末复习指导(文本)
数学分析专题研究期末复习指导（文本） 第一章集合与关系 考核知识点： 集合的概念（集合，元素，包含，子集，相等） 集合的运算（并、交、补、对称差） 笛卡尔积，二元关系，运算 映射，单射，满射，双射 等价关系，商集 序关系，偏序集，有界，极大元，全序集，良序集 基数，等势集，Bernstein定理 考核要求： 1.理解集合的概念，熟练掌握有关的运算。 2.理解笛卡尔积，二元关系，运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，了解有关定理，掌握有关的例题。 3. 理解等价关系及序关系，了解商集的概念，知道良序集；了解有关定理，掌握有关的例题。 4. 了解基数、等势等概念，知道Bernstein定理。 第二章数集 考核知识点： 自然数集 有限集、自然数、加法、乘法 结合律、交换律，乘法对加法的分配律 阿基米德原理，最小数原理，数学归纳法 整数集 整数的定义，整数的运算及算律 有理数集 有理数的运算及算律 有理数的可列性与稠密性 有理数的循环小数表示。 实数集 是无理数 实数的四则运算，算律 实数集的连续性。 复数集 复数的定义与运算 代数基本定理 复数集可排序 复数域不是有序域。 考核要求： 1.了解数系扩充的基本思想，掌握数系扩充的基本方法。 2.理解有限集、自然数、自然数集的定义，熟练掌握自然数的加法、乘法运算及算律。
3.知道从自然数集到整数集的扩充，知道序结构，代数结构，掌握整数的运算及算律，了解整数集的可列性。 4. 知道从整数集到有理数集的扩充，知道序结构，代数结构，掌握有理数的运算及算律，知道有理数的可列性与稠密性，知道有理数的循环小数表示。 5.知道是无理数，会实数的四则运算，算律，理解实数集的连续性。了解无限集（可列集）的概念。 6.了解复数集的序结构，代数结构，知道复数域不是有序域；了解复数集的定义，熟练掌握复数的运算及算律。 第三章函数 考核知识点： 函数的概念 函数的四则运算、复合运算 反函数 函数方程及解法 函数连续的定义，左、右连续 导数与微分的概念 导数与微分的计算 微分的几何意义 微分学基本定理与应用 初等函数的概念 函数的有界性，单调性，奇偶性，周期性。 超越数 超越函数 基本初等函数的超越性 考核要求： 1.理解函数的基本概念，熟练掌握函数的运算（四则、复合），理解反函数的概念，掌握函数方程解法。 2.理解函数的分析性质（函数的连续与可微，连续的定义，左、右连续，导数与微分），了解微分的几何意义，熟练掌握函数导数的计算，熟练掌握微分学基本定理与应用并能运用这些性质研究初等函数。 3.理解基本初等函数的概念及初等性质。 4.理解超越数、超越函数的概念，掌握证明某些数是代数数、某些函数是代数函数的方法。 第四章指数函数与对数函数 考核知识点 指数函数: 指数函数的公理化定义，指数函数的级数表示 对数函数： 对数函数的公理化定义，对数函数的积分定义、级数定义 对数函数与指数函数的相关性质 考核要求： 1.了解对数函数与指数函数的各种定义 2.掌握对数函数与指数函数的相关性质
【CN109948529A】一种fMRI数据空间源相位从实数域到复数域的映射方法【专利】
(19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910205693.0 (22)申请日 2019.03.18 (71)申请人 大连理工大学 地址 116024 辽宁省大连市甘井子区凌工 路2号 (72)发明人 林秋华 张超颖 (74)专利代理机构 大连理工大学专利中心 21200 代理人 梅洪玉 赵玲玲 (51)Int.Cl. G06K 9/00(2006.01) G06T 11/00(2006.01) (54)发明名称一种fMRI数据空间源相位从实数域到复数域的映射方法(57)摘要本发明公开了一种fMRI数据空间源相位从实数域到复数域的映射方法，属于生物医学信号处理领域。首先，对fMRI实数域相位数据进行空间ICA分离，根据感兴趣成分的空间参考网络对ICA得到的源成分做极性校正，选取感兴趣成分；接着，选取感兴趣成分的空间源相位，对其做取正值和空间平滑预处理；然后，估计空间源相位值的分布直方图，生成对称化的数据点，并求取拟合这些数据点的函数；最后，将拟合函数的值域变换到[0,π]得到映射函数，并将其用于空间源相位从实数域到复数域的映射。本发明将复数域空间源相位的消噪优势推广到了实数域，克服了传统阈值消噪法的性能劣势，为fMRI数据分析 的后处理消噪提供了新的手段。权利要求书3页 说明书6页 附图2页CN 109948529 A 2019.06.28 C N 109948529 A
1.一种fMRI数据空间源相位从实数域到复数域的映射方法；其特征在于： 第一步，对fMRI实数域相位数据进行空间ICA分离，根据感兴趣成分的空间参考网络对ICA得到的源成分做极性校正，选取感兴趣成分；包括如下步骤： (一)输入单被试fMRI实数域相位数据其中T表示时间点数，V表示脑内体素数； (二)PCA(principle component analysis)降维；对Z进行PCA降维，记模型阶数为N，N ≤T，得到降维后数据 (三)ICA成分分离、极性校正与感兴趣成分选取；(1)采用实数域ICA经典算法Infomax对 进行分离得到N个SM成分 (2)利用感兴趣成分的空间参考网络s ref 对N个SM成分进行极性校正，使正值对应脑激 活区： 其中，n＝1,…,N，“corr ”表示相关系数运算； (3)按照corr(s n ,s ref )从大到小对s n 排序，s n 为校正后的SM成分；选取前C个作为感兴趣成分的备选，简记为s c ；c＝1,…,C；采用“Qiu Y ,Lin QH ,Kuang LD ,Gong XF ,Cong FY ,Wang YP ,Calhoun VD.Spatial source phase:A new feature for identifying spatial differencesbased on complex -valued resting -state fMRI data.Human Brain Mapping ,1–15,2019” 中的方法识别感兴趣成分如下： 其中，“∩”代表交集，“Vox 0.5”表示幅值大于0.5的体素数目，最终选出的感兴趣成分表示为s c*； 第二步，选取感兴趣成分的空间源相位，对其做取正值和空间平滑预处理；包括如下步骤： (四)best run感兴趣成分空间源相位提取；重复步骤(三)“ICA成分分离、极性校正与感兴趣成分选取”H次，得到H个感兴趣成分s c*,h ,h＝1,…,H；采用“Kuang LD ,Lin QH ,Gong XF ,Cong F ,Sui J ,Calhoun VD.Model order effects on ICA of resting -state complex -valued fMRI data:application to schizophrenia.Journal of Neuroscience Methods 304,24–38,2018”中的方法，从s c*,h 中估计best run，即最好的一次ICA结果，得到感兴趣成分的实数域空间源相位s c*,h*，简记为s； (五)对s取正值，得到s +； (六)空间平滑；对s +采用“Chen Z ,Caprihan A ,Damaraju E ,Rachakonda S ,Calhoun VD.Functional brain connectivity in resting -state fMRI using phase and magnitude data.Journal of Neuroscience Methods 293,299-309,2018”中的空间平滑策略进行如下平滑，得到 权 利 要 求 书1/3页2CN 109948529 A
复变函数与积分变换习题解答
练 习 一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）i i i i 524321-- --； 解：i i i i 524321-- -- = i 258 2516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16 Re （2）3 ) 231(i + 解： 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ ππ 210Im 1Re 1][)3 sin 3(cos 333 2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31- )35sin 35(cos 2ππi += （2）i i +12 解：i i +12 ) 4 sin 4(cos 21π π i i +=+= 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1）i i 2332++- 解：i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== （2）4 22i +-
解：4 22i +-41 )]43sin 43(cos 22[π πi += 3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3 =+++=+++=k k i k k i k ππππππ 4．.设 321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位 圆z =1的一个正三角形的项点。 证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周 32z z ++=0 则, 321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又 ,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量 211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π ，于是21z z 与之间的张角 是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π ，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶 点。 5．解方程013 =+z i i z i z i i z k k i k z z 2 32135sin 35cos 1sin cos 2 3 213sin 3cos 2 ,1,03 2sin 32cos 1:3213-=+=-=+=+=+==+++=?-=πππππππ πππ解 6．试证：当1 ,1<=βα时，则1 1=--βαβ α。
复数的定义
定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充。 在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记 z1=(a,b),z2=(c,d))： z1 + z2=(a+c,b+d) z1 × z2=(ac-bd,bc+ad) 容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0) 令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。 记(0,1)=i,则根据我们定义的运算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。 形如 的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且 （a，b是任意实数）我们将复数中的实数a称为复数z的实部（real part）记作Rez=a 实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作Imz=b. 当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。 复数集是无序集，不能建立大小顺序。 复数的模 将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣. 即对于复数，它的模
共轭复数 释义 对于复数，称复数 =a-b i为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。复数z的共轭复数记作。 性质 根据定义，若 (a，b∈R），则 =a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。 在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源----两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反
第三讲 复数域上的极限与连续
第三讲 复数域上的极限与连续 一．定义距离(两个复数之间的距离) 两个复数11122,z z x iy z x iy =+=+的距离为 1212(,)z z z z ρ=-=. 有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论 1212121212max{,}x x y y z z x x y y --≤-≤-+-(如图2.1). 二．复数序列的极限 复数列1{}n n z ∞=,存在0z ∈ ,使得 0lim n n z z →∞ =?对0,0N ε?>?>,当n N ?>时,有 0n z z ε-<. 图2.1 引理 若000,1,2,,n n n z x iy n z x iy =+==+ ,则 000 lim lim lim n n n n n n x x z z y y →∞→∞→∞=??=??=??. 三．复函数的极限 定义 设:f D → 单值函数()w f z =,000z x iy =+是D 的一个聚点(非孤立点).若对于0ε?>,0δ?>,当00z z δ<-<时,有()f z A ε-<,则称()f z 当 0z z →时以A 为极限,记为 lim ()z z f z A →=. 引理 设000,z x iy z x iy =+=+,()(,)(,),w f z u x y iv x y A a ib ==+=+,则有 00000(,)(,) (,)(,) lim (,)lim ()lim (,)x y x y z z x y x y u x y a f z A v x y b →→→=??=?? =??. 四．复函数的连续
定义 设()w f z =定义在复数集D 上,000z x iy D =+∈是D 的一个聚点,若 0lim ()()z z f z f z →=,则称()f z 在点0z 连续. 注:若点0z 是D 的一个孤立点,则()f z 在点0z 连续. 引理 复函数()w f z =u iv =+在点000z x iy =+连续?函数(,),(,)u x y v x y 在点00(,)x y 连续. 复函数()w f z =在点集D 上的每一点连续,则()f z 是D 上的连续函数. 五．复级数 定义 设复数列1{} k k u ∞ =,复数项级数的前 n 项之和1 n n k k s u ==∑(1,2,)n = , 然而得部分和序列{}n s ,级数和1 lim k n n k u s ∞ →∞ =∑ ,即1 lim k n n k u A s A ∞ →∞ ==?=∑. 引理 复数列1{}k k u ∞=,若k k k u a ib =+,00A a ib =+,有 01 101 k k k k k k a a u A b b ∞ ∞ =∞==?=??=???=??∑∑∑. 绝对收敛:级数 1 k k u ∞ =∑收敛,则称 1k k u ∞ =∑绝对收敛. 级数1 k k u ∞ =∑绝对收敛当且仅当级数 1 k k a ∞=∑和级数 1 k k b ∞ =∑收敛. 六．复函数列1{()}k k u z ∞= 设复函项级数 1 ()k k u z ∞ =∑,在点0 z D ∈,使复数列01 ()k k u z ∞ =∑收敛,则称复函数 列在点0z 收敛,0z 称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.
复变函数与积分变换习题解答
练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）； 解：=（2）解： 2．将下列复数写成三角表示式。 1） 解：（2） 解： 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1） 解： （2） 解： 4．.设三点适合条件：=0，是内接于单位圆=1的一个正三角形的项点。 证：因所以都在圆周又因=0 则，所以也在圆周上，又所以以0 理之间的张角也是，于是之间的张角是，同理与， 三个顶点。 5．解方程 6．试证：当时，则。 证： 7．设是Z的辐角），求证 证：
则 当时 故 当时，同理可证。 *8 .思考题： （1）复数为什么不能比较大小？ 答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。（2）是否任意复数都有辐角？ 答：否，是模为零，辐角无定义的复数。
练习二 1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？（1） 解：设则 则点Z的轨迹为： （2），其中为实数常数； 解：设则： 则： 若：则轨迹为： 若：则 轨迹： 若：则无意义 （3），其中为复数为实常数。 解：由题设可知： 即： 若：，则Z的轨迹为一点-， 若：，则Z的轨迹为圆，圆心在-，半径为 若：，无意义 2．用复参数方程表示曲线，连接与直线段。解： 则 3 连域？并标出区域边界的方向。 （1） 解：由，得 又，得 有界，单连域 （2） 解：令 由 即：
无界，单连域
解：令则： 无界，多连域 4．对于函数，描出当在区域内变化时，的变化范围。 解：令 则 则 的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴 5.试证不存在。 证：= 令则：上述极限为不确定，因而极限不存在。 *6.思考题 （1）怎样理解复变函数？ 答：设就是 即因此，一个复变函数与两个实变函数和相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看 作是平面上的点集到平面上的点集上的映射。 （2）设复变函数当时的极限存在，此极限值与z趋于所采取的方式（取的路径）有无关 系？ 答：没有关系，以任意方式趋于时，极限值都是相同的，反过来说，若令沿两条不同的曲 线趋于时极限值不相等，则说明在没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函 数中，只能从左、右以任何方式趋于，而这里可以从四面八方任意趋于。
双曲函数：复数域中的三角函数
双曲函数：复数域中的三角函数 来自剑河第一帅nakeeb 关于三角函数，理工科的人基本都有印象。同时，工程中也会接触到一类函数：双曲函数，其性质与三角函数颇为相像，从名字就可以看出：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切。这些名字正是从三角函数中借用而来的。 两类函数如此相似，仅仅是巧合吗，其实他们都是三角函数，只不过我们所熟知的三角函数应用于实数域，而双曲函数应用于复数域，也就是标题中所说复数域中的三角函数。 先来看采用实数形式的复数表达式： cos sin ()i p e i θθθ==+第一式 其实部和虚部的“实数”分别为cos sin θθ和 为了从复数中把实部和虚部的“实数”分享出来，构造一个 cos sin i p e i θθθ- -==- 则可以得到以下分离式： cos ()22 ()sin ()22i i i i p p e e ch i p p e e sh i ish i i i i θθ θθθθθθθ----++===--====- 将以上结果代入第一式中得： cos sin ()(()) ()()()p i ch i i ish i ch i sh i θθ θθθθ=+=+?-=+第二式 对照第一式，cos sin i p e i θθθ ==+
其自变量由i θθ变为，θ为“实数”，而i θ为复数；由此可知第二式为复数内的纯表达式，双曲函数为复数域的三角函数。 下面通过一张图来表示一维数到复数的转换： 如上图所示，P 点坐标如在一维数系中为(cos ,sin )P θθ，而在复数域中其坐标可以表示为(ch ,s )P i hi θθ，自变量由i θθ变至，完成实数到复数的转换。由此而得到实数与复数域的联接关系如下： cos sin s sin -s chi i hi i hi θθ θθθθ???或 故复数域三角函数相关性质完全可以由实数域推出： 22222222 2222 (1)cos sin 1 ()1 (2)sin 22sin cos 22s (3)cos2cos sin 2()chi ishi chi shi chi hi chi chi chi ishi chi shi θθθθθθθθθ θθθ θθθθθθθθ+=+-=-====-=--=+ 得出结论：复数域三角函数与实数域三角函数一脉相承！