几何图形中的综合探究问题

专题四几何图形综合探究问题

命题规律：纵观青海近五年中考，每年必考，而且此类题总是出现在试卷第27题，中考常与函数结合在一起考出现在压轴题，从考查的类型看主要包括从实际操作中探究、从特殊到一般的探究，存在性探究、动态探究，难度中偏上．

命题预测：预计2017年青海(西宁)中考仍会考查此类内容，复习时应加强各种类型的强化训练．

从特殊到一般的探究性问题

【例1】(2015临沂中考)如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.

(1)请判断：AF与BE的数量关系是________，位置关系是________；

(2)如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA＝ED＝FD ＝FC”，第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；

(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，第(1)问中的结论能成立吗？请直接写出你的判断．

【解析】根据正方形和等边三角形的性质，可以判定AF、BE所在的两个钝角三角形全等，利用全等三角形的性质可得AF和BE的数量关系和位置关系；

(2)问的思路同(1)相似，只是增加了证明向外做的这两个等腰三角形全等的过程；

(3)问思路同(2)问一样．

【学生解答】解：(1)AF＝BE，AF⊥BE；(2)第(1)问中的判断仍然成立，证明：由EA＝ED＝FD＝FC和AD ＝CD，可知△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝∠DAE＋90°，∠ADF＝∠ADC＋∠CDF＝∠CDF＋90°，∴∠BAE＝∠ADF.在△BAE和△ADF中，AB＝AD，AE＝DF，∠BAE＝∠ADF，∴△BAE≌△ADF，∴AF＝BE，由于△BAE≌△ADF，∴∠FAD＝∠EBA，又∵∠FAD＋∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠EBA＋∠BAF＝90°，∴AF⊥BE；

(3)第(1)问中结论都成立．如图所示，∵AE＝DF，ED＝FC，AD＝CD.∴△ADE≌△DCF，其余证明和(2)一样．

【点拨】这类稍微改变条件，问同一结论是否仍然成立的问题，几个问题之间的思路往往一脉相承，其中体现了从特殊到一般的思维方法．

1．(2016青海中考)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，完成所提出的问题．

,) ,图1)

,图2) ,图3)

(1)探究1：小强看到图后，很快发现AE ＝EF ，这需要证明AE 和EF 所在的两个三角形全等，但△ABE 和△ECF 显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E 是边BC 的中点，因此可以选取AB 的中点M ，连接EM 后尝试着去证△AEM ≌△EFC 就行了，随着小强写出了如下的证明过程：

证明：如图1，取AB 的中点M ，连接EM.∵∠AEF ＝90°，∴∠FEC ＋∠AEB ＝90°，又∵∠EAM ＋∠AEB ＝90°，∴∠EAM ＝∠FEC ，点E 、M 分别是正方形BC 和AB 的中点，∴AM ＝EC ，又∵△BME 为等腰Rt △，∴∠AME ＝135°，又∵CF 是正方形外角的平分线，∴∠ECF ＝135°，∴△AEM ≌△EFC(ASA )，∴AE ＝EF.

(2)探究2：小强继续探索：如图2，若把条件“点E 是BC 的中点”改为“点E 是BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE ＝EF 仍然成立，请你证明这一结论．

(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 的延长线上的一点”其余条件仍不变，那么结论AE ＝EF 是否成立吗？若成立，请你完成证明过程给小强看，若不成立，请你说明理由．

证明：(2)在AB 上截取AM ＝EC ，连接ME ，∵AB ＝BC ，∴BM ＝BE ，∴∠BME ＝45°，∴∠AME ＝∠ECF ＝135°，∵∠AEF ＝90°，∴∠FEC ＋∠AEB ＝90°，又∵∠EAM ＋∠AEB ＝90°，∴∠EAM ＝∠FEC ，∴△AEM ≌EFC(ASA )，∴AE ＝EF ；(3)成立．证明：延长BA 到M ，使AM ＝CE ，连接ME.∴BM ＝BE ，∴∠BME ＝45°，∴∠BME ＝∠ECF ，又∵AD ∥BE ，∴∠DAE ＝∠BEA ，又∵∠MAD ＝∠AEF ＝90°，∴∠DAE ＋∠MAD ＝∠BEA ＋∠AEF ，即∠MAE ＝∠CEF ，∴△MAE ≌△CEF(ASA )，∴AE ＝EF.

实践操作型综合探究问题

【例2】在图①至图③中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1＝∠2＝45°.

(1)如图①，若AO ＝OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；

(2)将图①中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图②，其中AO ＝OB.求证：AC ＝BD ，AC ⊥BD ；

(3)将图②中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图③，求BD AC

的值． 【学生解答】解：(1)AO ＝BD ，AO ⊥BD ；(2)如解图①，过点B 作BE ∥CA 交DO 于点E ，∴∠ACO ＝∠BEO.又∵AO ＝OB ，∠AOC ＝∠BOE ，∴△AOC ≌△BOE ，∴AC ＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO ＝∠BEO ＝135°.∴∠DEB ＝45°，∵∠2＝45°，∴BE ＝BD ，∠EBD ＝90°.∴AC ＝BD.延长AC 交BD 的延长线于点F ，如解图①，∵BE ∥AC ，∴∠AFD ＝90°，∴AC ⊥BD ；

(3)如解图②，过点B 作BE ∥CA 交DO 于点E ，∴∠BEO ＝∠ACO.又∵∠BOE ＝∠AOC ，∴△BOE ∽△

AOC.∴BE AC ＝BO AO .又∵OB ＝kAO ，由(2)的方法易得BE ＝BD ，∴BD AC

＝k. 【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解．

(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若

垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．

2．(2015河南中考)如图1，在Rt △ABC 中，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，

将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)问题发现： ①当α＝0°时，AE BD

＝________； ②当α＝180°时，AE BD

＝________； (2)拓展探究：

试判断：当0≤α＜360°时，AE BD

的大小有无变化，请仅就图2的情况给出证明； (3)问题解决：

当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直线写出线段BD 的长．

解：(1)52；52；(2)无变化．∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴△EDC ∽△ABC.∴CE CA ＝CD CB

.又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α，∴△CEA ∽△CDB.∴AE BD ＝AC BC .在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋82＝45，∴AC BC ＝458＝52.∴AE BD ＝52，即AE BD 的大小不变；(3)45或1255

.

几何图形的动态问题

【例3】(2015青岛中考)已知：如图1，在?ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，AC ⊥AB.△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速动，速度为1 cm /s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止运动．如图2，设运动时间为t(s )(0＜t ＜4)，解答下列问题：

(1)当t 为何值时，PQ ∥MN?

(2)设△QMC 的面积为y cm 2，求y 与t 之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t ，使S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

(4)是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)当PQ ∥MN 时，PQ ∥AB ，利用平行线分线段成比例表示线段CP 、AC 、CQ 、CB 的比例关系，进而得出t 值；

(2)分别过点A ，P 作AE ⊥BC ，PD ⊥BC 分别于点E ，D ，利用相似三角形的性质得到PD 的长，从而表示出S △QPC ，再根据平行线间的距离处处相等得S △QMC ＝S △QPC ，从而求出的函数关系式；

(3)在(2)的基础上，用含t 的式子表示S △QMC 和S

四边形ABQP 的式子，假设题中关系式成立，可得关于t 的方

程，t 有解则存在；若t 无解，则不存在； (4)假设PQ ⊥MQ ，则易证△MQP ∽△PDQ ，利用相似三角形的对应线段成比例，进而计算得出t 的存在性．

【学生解答】(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝BC 2－AB 2＝4.由平移性质可得MN ∥AB.∵PQ ∥MN ，

∴PQ ∥AB.∴CP CA ＝CQ CB ，即4－t 4＝t 5，解得t ＝209；(2)作PD ⊥BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E.由S △ABC ＝12AB ×AC ＝12

AE ×BC 可得AE ＝125.则由勾股定理易求CE ＝165.∵PD ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥PD.∴△CPD ∽△CAE.∴CP CA

＝CD CE ＝PD AE ，即4－t 4＝CD 165＝PD 125

.∴PD ＝12－3t 5，CD ＝16－4t 5.∵PM ∥BC ，∴M 到BC 的距离h ＝PD ＝12－3t 5

.∴△QCM 是面积y ＝12CQ ×h ＝12×t ×12－3t 5＝－310t 2＋65

t ；(3)∵PM ∥BC ，∴S △PQC ＝S △MQC .若S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4，则S △QMC ∶S △ABC ＝1∶5，∴－310t 2＋65t ＝15

×6，整理得t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2.即当t ＝2时，S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4；(4)若

PQ ⊥MQ ，则∠MQP ＝∠PDQ ＝90°.∵MP ∥BC ，∴∠MPQ ＝∠PQD.∴△MQP ∽△PDQ.∴PM PQ ＝PQ DQ .∴PQ 2＝PM·DQ.即PD 2＋DQ 2＝PM·DQ ，由CD ＝16－4t 5

，∴DQ ＝CD －CQ ＝16－9t 5.∴(12－3t 5)2＋(16－9t 5)2＝5×16－9t 5，整理得2t 2－3t ＝0.解得t 1＝0(舍)，t 2＝32.即当t ＝32

时，PQ ⊥MQ. 【点拨】图形的运动变换主要是图形的平移、旋转和翻折这几种基本变换，每一种变换都涉及三角形的全等，而在平移问题中，由平行也可以得到的相似三角形，而全等和相似的性质就是解决这些问题的关键所在．

3．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD ＝4 cm ，DC ＝5 cm ，AB ＝8 cm .如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1 cm /s .当P 点到达C 点时，两点同时停止运动．连接PQ ，设运动时间为t s ．解答下列问题：

(1)当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？

(2)设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；

(3)当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．

解：(1)过C 作CE ⊥AB 于点E ，易得：BC ＝5，当t ＝5时，P 、Q 同时停止运动；(2)作PF ⊥AB 于点F ，根

据题意，得AQ ＝t ，BQ ＝8－t ，BP ＝t.∵△BPF ∽△BCE ，∴PF CE ＝BP BC ，∴PF ＝45t.∴S △PQB ＝12BQ ·PF ＝－25

(t －4)2＋325.∴当t ＝4时，△PQB 的面积最大，且S △max ＝325

cm 2；(3)①若BP ＝BQ ，则t ＝8－t ，∴t ＝4 s ；②若QP ＝QB ，则12t 8－t ＝35

，t ＝4811 s ；③若PQ ＝PB ，则12（8－t ）t ＝35，t ＝4011 s ．综上，当t 等于4 s ，4811 s ，4011 s 时，△PQB 为等腰三角形．

4．已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点Q 是线段AC 上一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB(如图1)或线段AB 的延长线(如图2)于点P.

(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△APQ ∽△ACB ；

(2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．

解：(1)在△APQ 与△ACB 中，∵∠ABC ＝90°，PQ ⊥AC ，∴∠AQP ＝∠ABC ，∵∠PAQ ＝∠CAB ，∴△

APQ ∽△ACB ；(2)AP ＝53

或6.