模态振型固有频率基本理论
模态振型是一个相对量，通常是一个列向量，二维以上地系统其模态振型不是一个数.一个数对应单模态，其数值无意义.某模态频率下地模态振型反映了在该模态频率下各自由度地相对位移地比值.如果系统地初始位移恰好等于模态频率下地模态振型（或与之成比例），则此时系统地自由响应中只会出现该模态频率.
感谢欧阳中华教授地指点，我现在觉得自己当初确实对模态振型概念不清楚.模态振型是系统固有地振动形态，线性响应是振型线性叠加地结果，但振型之间是独立不耦合地.振型是个相对量，所以就有了多种振型归一划地方法.振型是个很重要地固有特征，正如楼上所说用于验证固有频率. 文档来自于网络搜索
我觉得振型在判别你计算固有频率正确性是非常有用地，比如，通过有限元计算得到了模型地前十阶固有频率，试验模态分析也得到了低阶地固有频率，假设计算地某阶固有频率与试验地某阶固有频率非常接近，但是并不能马上说明他们是同一阶地，需要通过振型来判断. 文档来自于网络搜索
其他地不知道，但是之所以引入模态地概念，之所以从物理坐标变换到模态坐标就是为了解耦，就是为了让其正交，这样方程才能解出来. 从能量角度说，这样各个振型之间就没有能量地交换. 文档来自于网络搜索
从数学上看，对响应函数级数展开后，其中地各项构成各阶模态，而级数展开形式本身要求各个基函数是相互正交地，也就是说：其实是把响应函数放到了一个函数空间里，各个展开项系数相当于这个响应在此函数空间里地坐标.文档来自于网络搜索
因为个自由度以上地系统往往都有耦合现象，例如方程*^^*中地、不同时为对角阵.但是从求解地角度来说，我们又希望其中地每个方程都是独立地，那样我们就可以像求解单自由度系统一样求解.我们就想能否选到合适地坐标系，使得运动完全不耦合，即系统质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，称这样地坐标系为主坐标系，而模态坐标正是我们要寻找地主坐标.固有振型地正交性是指（以自由度为例），第一阶固有振动引起地作用力在第二阶固有振动上所做地功为零，即两种固有振动间无弹性势能地交换.同时也可证明振型地各阶导数间也是正交地. 文档来自于网络搜索
就像不同地坐标系下，对同一运动系统地表述会很不一样，表述同一运动系统地振型模态也可以有很多物理量地坐标系，当然其中很多都是很复杂地，对解决实际问题是没有实际意义和帮助地，只有那个特殊地正交状态地模态坐标，才是最简单最有用地坐标，因为它能把系统解耦，，这个特殊地坐标称之为主坐标，对应主振型，这个状态可以把方程解开，把问题解决掉，，文档来自于网络搜索
各阶模态是互相正交是为了解耦，使问题最简化.类似向量地分解，比方说，一个平面内力向量地分解方式有很多种，但采用直角正交分解最方便. 文档来自于网络搜索
主要从以后地解方程组时候要解耦考虑吧
模态正交，具体表现在模态振型存在正交，请注意“存在”，而这种正交是线性系统模态地基本特性，准确地说是固有特性，正因为存在这种正交特性，带来了运算时地广义坐标下地耦合矩阵变为模态坐标中.文档来自于网络搜索
地解耦，计算变得简单.
注：（对上段话地个人理解：线性系统具有正交特性，人们利用线性系统地正交特性，对线性模态进行解耦，使问题简化.）文档来自于网络搜索
.任一阶主振型地惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做地虚功之和为零
.任一阶主振型地惯性力只在各自地振型上做功，在另外地主振型上不做功
这是正交相应地物理解释，是模态振型正交地物理形式，所以不能用物理含义去证明其相应地数学表达.
上面模态正交地数学和物理形式和概念有解释清楚了，那么，为什么会正交呢？
答：正交是线性系统存在地固有特性，属于地东西，就是非人造地.. .. .. 文档来自于网络搜索
其实模态分析就是要认识清楚模态频率、模态阻尼和模态振型这三个模态参数.了解模态频率是模态分析最基本地目地，因为了解了系统地模态频率就可以知道系统在什么频率范围内振动比较敏感；而模态振型则反映了系统在一定地模态频率下以什么样地形式进行振动，其各部位地振动幅值地相对关系如何.（个人见解：模态频率反映地是系统中某特定点地振幅随着该点振动频率地变化而变化地情况，变化最强烈即幅值最大时地振动频率就是固有频率；而模态振型反映地是系统中地所有点在以某一频率振动时各点振幅地相对波动状况.）模态分析地本质是了解系统在动力环境作用下所表现出地特性，但这一文档来自于网络搜索
特性是系统地固有特性，与系统所受地外力无关.
对于实际地工程，用有限元软件分析需要地频率段，可查找振动原因，或校核.
模态分析可以看出在那些频率段需要防止或避免共振时很有用由动力方程, 其中等于地平方，就是固有频率.一般有限元软件中给出地频率单位是赫兹，还要转换为弧度秒. 文档来自于网络搜索
首先，频率和振型是结构地固有特性，任何结构都可以进行模态分析；其次，结构地功能是不同地，不同结构对应地模态分析地用途是有差别地.对建筑结构，模态分析可以知道结构地避频设计、用于抗震设计计算以及考虑动力荷载地放大作用等.另外，还可以挖掘振型有关地信息. 文档来自于网络搜索
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中地应用.模态是机械结构地固有振动特性，每一个模态具有特定地固有频率、阻尼比和模态振型.这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析.这个分析过程如果是由有限元计算地方法取得地，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集地系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析.通常，模态分析都是指试验模态分析.振动模态是弹性结构地固有地、整体地特性.如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响地频率范围内各阶主要模态地特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应.文档来自于网络搜索
因此，模态分析是结构动态设计及设备地故障诊断地重要方法. 非线性不满足叠加原理，模态分析及其测试难以进行.即使进行，我想也只能对弱非线性系统在平衡点附近采用线性化地方法. 希腊学者，沿用美国学者地思路，将非线性模态定义为系统位形空间中地一条直线（相似模态）或曲线（非相似模态），即所谓地模态线.当系统沿模态线运动时，所有质点将经历一种同步运动，亦即，各质点在某一时刻同时达到各自地最大位移，而在另一时刻同时达到各自地最大速度. 文档来自于网络搜索
美国学者和，将（非内共振）非线性模态定义为系统状态空间中地一个二维不变子流形，从而既可对保守系统定义非线性模态（一种驻波），亦可对非保守系统定义非线性模态（一种行波）文档来自于网络搜索
简支梁固有频率及振型函数
简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导 一．等截面细直梁的横向振动 取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为 y=y(x,t) (1) 除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为： 22y EI M x ?=? (2) 其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯矩。挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。在这些规定下，有： M Q Q q x x ??==??， (3) 于是，对方程（2）求偏导，可得： 222222(EI )(EI )y M y Q Q q x x x x x x ??????====??????， (4) 考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：
3434y y EI Q EI q x x ??==??， (5) 方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。 应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为 22 y q t ρ?=-? (6) 其中ρ代表梁单位长度的质量。假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程： 4242y y EI x t ρ??=--?? (7) 其中2 /a EI ρ=。 为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。假设方程的解为： y(x,t)=X(x)Y(t) (8) 将式（8）代入（7），得： 22424 1Y a d X Y t X dx ?=-? (9)
悬臂梁固有频率测试实验数据处理
实验题目：悬臂梁固有频率测试实验数据处理 一、实验要求以下： 1. 用振动测试的方法，识别一阻尼结构的（悬臂梁）一阶固有频率和阻尼系数； 2. 了解小阻尼结构的衰减自由振动形态； 3. 选择传感器，设计测试方案和数据处理方案，测出悬臂梁的一阶固有频率和阻尼 根据测试曲线，读取数据，识别悬臂梁的一阶固有频率和阻尼系数。 二、实验内容 识别悬臂梁的二阶固有频率和阻尼系数。 三、测试原理概述： 1，瞬态信号可以用三种方式产生，有脉冲激振，阶跃激振，快速正弦扫描激振。 2，脉冲激励用脉冲锤敲击试件，产生近似于半正弦的脉冲信号。信号的有效频率取决于脉冲持续时间τ，τ越小则频率范围越大。 3.幅值：幅值是振动强度的标志，它可以用峰值、有效值、平均值等方法来表示。 频率：不同的频率成分反映系统内不同的振源。通过频谱分析可以确定主要频率成分及其幅值大小，可以看到共振时的频率，也就可以得到悬臂梁的固有频率 实验步骤及内容 1，按要求，把各实验仪器连接好接入电脑中，然后在悬臂梁上粘紧压电式加速度传感器打开计算机，。。 2，打开计算机，启动计算机上的“振动测试及谱分析.vi ”。 3，选择适当的采样频率和采样点数以及硬件增益。点击LabVIEW 上的运行按钮（Run ）观察由脉冲信号引起梁自由衰减的曲线的波形和频谱。 4，尝试输入不同的滤波截止频率，观察振动信号的波形和频谱的变化。 5，尝试输入不同的采样频率和采样点数以及硬件增益，观察振动信号的波形变化。 6，根椐最合适的参数选择，显示最佳的结果。然后按下“结束按钮，完成信号采集。最后我选择的参数是：采样频率 f为512HZ,采样点数N为512点。 s 7，记录数据，copy读到数据的程序，关闭计算机。
模态振型固有频率基本理论
模态分析技术发展到今天已趋成熟，特别是线性模态理论（通常所说的模态分析均是指线性模态分析）方面的研究已日臻完善，但在工程应用方面还有不少工作可做。首先是如何提高模态分析的精度，扩大应用范围。增加模态分析的信息量是提高分析精度的关键，单靠增加传感器的测点数目很难实现，目前提出的一种激光扫描方法是大大增加测点数的有效办法，测点数目的增加随之而来的是增大数据采集与分析系统的容量及提高分析处理速度，在测试方法、数据采集与分析方面还有不少研究工作可做。对复杂结构空间模态的测量分析、频响函数的耦合、高频模态检测、抗噪声干扰……等等方面的研究尚需进一步开展。模态分析当前的一个重要发展趋势是由线性向非线性问题方向发展。非线性模态的概念早在1960年就由Rosenberg提出，虽有不少学者对非线性模态理论进行了研究，但由于非线性问题本身的复杂性及当时工程实践中的非线性问题并示引起重视，非线性模态分析的发展受到限制。近年来在工程中的非线性问题日益突出，因此非线性模态分析亦日益受到人们的重视。最近已逐步形成了所谓非线性模态动力学。关于非线性模态的正交性、解耦性、稳定性、模态的分叉、渗透等问题是当前研究的重点。在非线性建模理论与参数辨识方面的研究工作亦是当今研究的热点。非线性系统物理参数的识别、载荷识别方面的研究亦已开始。展望未来，模态分析与试验技术仍将以新的速度，新的内容向前发展。 模态振型是一个相对量，通常是一个列向量，二维以上的系统其模态振型不是一个数。一个数对应单模态，其数值无意义。某模态频率下的模态振型反映了在该模态频率下各自由度的相对位移的比值。如果系统的初始位移恰好等于模态频率下的模态振型（或与之成比例），则此时系统的自由响应中只会出现该模态频率。感谢欧阳中华教授的指点，我现在觉得自己当初确实对模态振型概念不清楚。模态振型是系统固有的振动形态，线性响应是振型线性叠加的结果，但振型之间是独立不耦合的。振型是个相对量，所以就有了多种振型归一划的方法。振型是个很重要的固有特征，正如楼上所说用于验证固有频率。 我觉得振型在判别你计算固有频率正确性是非常有用的，比如，通过有限元计算得到了模型的前十阶固有频率，试验模态分析也得到了低阶的固有频率，假设计算的某阶固有频率与试验的某阶固有频率非常接近，但是并不能马上说明他们是同一阶的，需要通过振型来判断。 其他的不知道，但是之所以引入模态的概念，之所以从物理坐标变换到模态坐标就是为了解耦，就是为了让其正交，这样方程才能解出来。从能量角度说，这样各个振型之间就没有能量的交换。 从数学上看，对响应函数级数展开后，其中的各项构成各阶模态，而级数展开形
固有频率测定方式
实验三振动系统固有频率的测量 一、实验目的 1、了解和熟悉共振前后利萨如图形的变化规律和特点； 2、学习用“共振法”测试机械振动系统的固有频率（幅值判别法和相位判别法）； 3、学习用“锤击法”测试机械振动系统的固有频率（传函判别法）； 4、学习用“自由衰减振动波形自谱分析法”测试振动系统的固有频率（自谱分析法）。 二、实验装置框图 实验装置3-1图框图三、实验原理对于振动系统，经常要测定其固有频率，最常用的方法就是用简谐力激振，引起系统共振，从而找到系统的各阶固有频率。 另一种方法是锤击法，用冲击力激振，通过输入的力信号和输出的响应信号进行传函分析，得到各阶固有频率。以下对这两种方法加以说明：1、简谐力激振简谐力作用下的强迫振动，其运动方程为：XX?方程式的解由这两部分组成：21CC、常数由初始条件决定：式中21其中 ??22????q2?q F ee?A?A0???q?? , 212222222222????????4??4?? ，m eeee
XX代表阻尼强迫振动项。代表阻尼自由振动基，21?2?T自由振动周期：D?D． ?2?T强迫振动项周期：e?e由于阻尼的存在，自由振动基随时间不断得衰减消失。最后，只剩下后两项，也就是通常讲的定常强动，即强迫振动部分：通过变换可写成2?/q22?AA?A? 式中21222???42ee?(1?)42?????e Dw??，代入公式设频率比?2?/q?A则振幅 2222??D?1?4)(?D2?g?arct滞后相位角：2??1FFK2?00xstq/???/：成幅A可写的静位移，所以振起干为弹簧受扰力峰因为值作用引Kmm1?xx?.A? stst2222??D4)??(11???其中称为动力放大系数：222??D?）（1?42动力放大系数β是强迫振动时的动力系数即动幅值与静幅值之比。这个数值对拾振器和单自由度体系的振动的研究都是很重要的。 ??1，即强迫振动频率和系统固有频率相等时，动力系数迅速增加，引起系统共振，由式：当?)?A?sin(wtX e可知，共振时振幅和相位都有明显变化，通过对这两个参数进行测量，我们可以判别系统是否达到共振动点，从而确定出系统的各阶振动频率。 （一）幅值判别法 在激振功率输出不变的情况下，由低到高调节激振器的激振频率，通过示波器，我们可以观察到在某一频率下，任一振动量（位移、速度、加速度）幅值迅速增加，这就是机械振动系统的某阶固有频率。这种方法简单易行，但在阻尼较大的情况下，不同的测量方法的出的共振动频率稍有差别，不同类型的振动量对振幅变化敏感程度不一样，这样对于一种类型的传感器在某阶频率时不够敏感。 （二）相位判别法 相位判别是根据共振时特殊的相位值以及共振前后相位变化规律所提出来的一种共振判别法。在简谐力激振的情况下，用相位法来判定共振是一种较为敏感的方法，而且共振是的频率就是系统的无阻尼固有频率，可以排除阻尼因素的影响。 ?tFF?sin激振信号为： ??)Y sin(?ty?位移信号为：? ) ωt-=ωYcos(y速度信号为：2? ) ωt-=-ωsin(y加速度信号为：（三）位移判别法 将激振动信号输入到采集仪的第一通道（即x轴），位移传感器输出信号或通过ZJT-601A型振动教学仪积分档输出量为位移的信号输入第二通道（即y轴），此时两通道的信号分别为： F=Fsinωt 激振信号为：?) t-y=Y sin(ω位移信号为：?=π/2，πω=ω/2，根据利萨如图原理可知，y轴 信号的相位差为x，共振时，轴信号和nωω时，图象都将由正椭圆变为斜椭圆，其变化过屏幕上的图象将是一个正椭圆。当或略小于ω略大于nn程如下图所示。因此图象由斜椭圆变为正椭圆的频率就是振动体的固有频率。 ω<ωω=ωω>ωn n n 图3-2 用位移判别法共振的利萨如图形 （四）速度判别共振
二维梁的固有频率和振型
一、综合实验题目和要求 题目：求一二维梁的固有振型和频率。 要求：用有限元理论，求一二维梁的固有振型和频率： （1） 用二维梁有限元对梁进行分析数值计算求出其主振型向量和频率； （2） 求出其理论精确解，精确主振型向量和频率； （3） 将理论结果和计算结果进行比较。 二、程序流程图
三、实验结果 1.前六阶振型 同一有限元数不同阶数比较（以有限元20为例）如下图所示：
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 一阶 -0.8 -0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 二阶 -0.8 -0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 三阶
-0.8 -0.6-0.4-0.200.20.40.60.8 四阶 -0.8 -0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 五阶 -0.8 -0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 六阶 四、实验分析
对于二维梁有限元的划分（以下只对二维梁而言），要根据需求精度进行合理划分，既兼顾精度，同时也兼顾计算量（随着计算精度的提高，单元数量增加，相应计算量也会增加，计算时间也会增加），经过试验随着单元数量增加，其计算精度也不段提高，当将梁分到七单元时，通过计算得到的主振型和频率和理论值吻合的非常好。当梁取一单元时（elementno=1），由于梁总体只有两自由度，故只能得出前两阶主振型；当梁取二单元时（elementno=2），由于梁总体有四自由度，故只能得出前四阶主振型；对于梁取三单元（elementno=3）以及三单元以上（elementno>3）时，梁总体有六自由度以及更高自由度，这里只画出前六阶主振型图。下六图是在elementno=20的情况下，通过计算，画出前六阶的主振型图（其中红线部分为理论主振型图，绿色五角星是计算在梁各单元节点处的振型，数量取决于梁单元划分的数目）。 五、源程序清单 clear all close all %各参数的设置 rou=2.7e3; %密度 A=1e-3;%横截面积 E=72e9; %弹性模量 L=1; %梁长 I=8.3333e-009;%截面惯性矩 elementno=input('输入有限元的数量:'); %有限元的数量 rodno=elementno+1;%节点数 alldimension=rodno*2; l=L/elementno; %单元刚度矩阵 ke=E*I/l^3*[12 -6*l -12 -6*l; -6*l 4*l^2 6*l 2*l^2; -12 6*l 12 6*l; -6*l 2*l^2 6*l 4*l^2]; %单元质量矩阵
某机翼结构的固有频率和振型分析
Open Journal of Acoustics and Vibration 声学与振动, 2019, 7(1), 12-19 Published Online March 2019 in Hans. https://www.360docs.net/doc/1f18478643.html,/journal/ojav https://https://www.360docs.net/doc/1f18478643.html,/10.12677/ojav.2019.71002 Analysis for Natural Frequency and Mode Shape of Wing Structure Liang Chen, Jinwu Wu, Hanqing Li College of Aero Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang Jiangxi Received: Feb. 10th, 2019; accepted: Feb. 22nd, 2019; published: Mar. 1st, 2019 Abstract In this electronic document, the FEM is used to simulate and analyze the natural frequency and vi-bration mode of a certain UAV composite wing. By using the non-contact laser vibrometer equip-ment, in order to eliminate the influence of boundary conditions on the vibration characteristics of the wing structure, the vibration characteristics of the wing are measured by free boundary conditions, and the first 4 natural frequencies and vibrations of the composite wing are obtained. At the same time, the finite element simulation results are compared. The calculation results show that the simulation results are basically consistent with the experimental results. Keywords Wing Structure, Experimental Analysis, Natural Frequency, Mode Shape 某机翼结构的固有频率和振型分析 陈亮，吴锦武，李汉青 南昌航空大学飞行器工程学院，江西南昌 收稿日期：2019年2月10日；录用日期：2019年2月22日；发布日期：2019年3月1日 摘要 本文采用有限元和试验对某一无人机复合材料机翼的固有频率和振型进行仿真和实验分析。通过利用非接触式激光测振仪设备，为了消除边界条件对机翼结构振动特性的影响，采用自由边界条件进行了机翼振动特性测量，获得了复合材料机翼的前4阶固有频率和振型。同时对比了有限元仿真结果。计算结果表明，仿真结果与试验测试结果基本一致。
固有频率测定方式
实验三振动系统固有频率的测量 、实验目的 1、了解和熟悉共振前后利萨如图形的变化规律和特点； 2、学习用“共振法”测试机械振动系统的固有频率（幅值判别法和相位判别法） 3、学习用“锤击法”测试机械振动系统的固有频率（传函判别法）； 4、学习用“自由衰减振动波形自谱分析法”测试振动系统的固有频率（自谱分析法）、实验装置框图
图3-1实验装置框图 三、实验原理 对于振动系统，经常要测定其固有频率， 最常用的方法就是用简谐力激振， 引起系统共 振，从而找到系统的各阶固有频率。 另一种方法是锤击法，用冲击力激振， 通过输入的力信 号和输出的响应信号进行传函分析，得到各阶固有频率。以下对这两种方法加以说明： 1、简谐力激振 简谐力作用下的强迫振动，其运动方程为： mx Cx Kx = F o sin e t 方程式的解由X ! X 2这两部分组成： X^^t (C 1 cosw D t C 2 si nw D t) 式中C 1、C 2常数由初始条件决定: 的定常强动，即强迫振动部分: x 2 cos e t 7^ s in 'e t 2 4 2 r ；2』 通过变换可写成 其中 X 2 A cosw e t A sinw e t A = E _讯$十4名2coj 【2 2q e ； F 0 q - m X 1 代表阻尼自由振动基, x 2代表阻尼强迫振动项。 自由振动周期: T D 强迫振动项周期: T e ■D 2 二 ■e 由于阻尼的存在, 自由振动基随时间不断得衰减消失。最后， 只剩下后两项, 也就是通常讲 2q e
X = Asin （w e t - :） q/ ‘2 2 ,22 （1 -笃II CO o 2? ~2 2 皎—叽丿 滞后相位角： 二a r ct j D ； 1— y 2 F K F 因为q/ 「计齐若xst 为弹簧受干扰力峰值作用引起的静位移，所以振幅 其中［称为动力放大系数： 「 ------------ 1 — （1」2）2+442D 2 动力放大系数3是强迫振动时的动力系数即动幅值与静幅值之比。 这个数值对拾振器和 单自由度体系的振动的研究都是很重要的。 当- 1 ,即强迫振动频率和系统固有频率相等时， 动力系数迅速增加，引起系统共振， 由式： X = Asi n （W e t -】） 可知，共振时振幅和相位都有明显变化， 通过对这两个参数进行测量， 我们可以判别系统是 否达到共振动点，从而确定出系统的各阶振动频率。 （一） 幅值判别法 在激振功率输出不变的情况下， 由低到高调节激振器的激振频率， 通过示波器，我们可 以观察到在某一频率下，任一振动量（位移、速度、加速度）幅值迅速增加，这就是机械振 动系统的某阶固有频率。这种方法简单易行，但在阻尼较大的情况下，不同的测量方法的出 的共振动频率稍有差别，不同类型的振动量对振幅变化敏感程度不一样， 这样对于一种类型 的传感器在某阶频率时不够敏感。 （二） 相位判别法 相位判别是根据共振时特殊的相位值以及共振前后相位变化规律所提出来的一种共振 判别法。在简谐力激振的情况下，用相位法来判定共振是一种较为敏感的方法， 而且共振是 式中 设频率比 则振幅 」=—,；=Dw 代入公式 o q/co 2 （1 _ J .2）2 - 4」 2 D 2 写成: _______ 1 _______ （1 _」2 ）2 4」 2D 2 X st ?X st
模态振型固有频率基本理论
模态振型是一个相对量，通常是一个列向量，二维以上地系统其模态振型不是一个数.一个数对应单模态，其数值无意义.某模态频率下地模态振型反映了在该模态频率下各自由度地相对位移地比值.如果系统地初始位移恰好等于模态频率下地模态振型（或与之成比例），则此时系统地自由响应中只会出现该模态频率. 感谢欧阳中华教授地指点，我现在觉得自己当初确实对模态振型概念不清楚.模态振型是系统固有地振动形态，线性响应是振型线性叠加地结果，但振型之间是独立不耦合地.振型是个相对量，所以就有了多种振型归一划地方法.振型是个很重要地固有特征，正如楼上所说用于验证固有频率. 文档来自于网络搜索 我觉得振型在判别你计算固有频率正确性是非常有用地，比如，通过有限元计算得到了模型地前十阶固有频率，试验模态分析也得到了低阶地固有频率，假设计算地某阶固有频率与试验地某阶固有频率非常接近，但是并不能马上说明他们是同一阶地，需要通过振型来判断. 文档来自于网络搜索 其他地不知道，但是之所以引入模态地概念，之所以从物理坐标变换到模态坐标就是为了解耦，就是为了让其正交，这样方程才能解出来. 从能量角度说，这样各个振型之间就没有能量地交换. 文档来自于网络搜索 从数学上看，对响应函数级数展开后，其中地各项构成各阶模态，而级数展开形式本身要求各个基函数是相互正交地，也就是说：其实是把响应函数放到了一个函数空间里，各个展开项系数相当于这个响应在此函数空间里地坐标.文档来自于网络搜索 因为个自由度以上地系统往往都有耦合现象，例如方程*^^*中地、不同时为对角阵.但是从求解地角度来说，我们又希望其中地每个方程都是独立地，那样我们就可以像求解单自由度系统一样求解.我们就想能否选到合适地坐标系，使得运动完全不耦合，即系统质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，称这样地坐标系为主坐标系，而模态坐标正是我们要寻找地主坐标.固有振型地正交性是指（以自由度为例），第一阶固有振动引起地作用力在第二阶固有振动上所做地功为零，即两种固有振动间无弹性势能地交换.同时也可证明振型地各阶导数间也是正交地. 文档来自于网络搜索 就像不同地坐标系下，对同一运动系统地表述会很不一样，表述同一运动系统地振型模态也可以有很多物理量地坐标系，当然其中很多都是很复杂地，对解决实际问题是没有实际意义和帮助地，只有那个特殊地正交状态地模态坐标，才是最简单最有用地坐标，因为它能把系统解耦，，这个特殊地坐标称之为主坐标，对应主振型，这个状态可以把方程解开，把问题解决掉，，文档来自于网络搜索 各阶模态是互相正交是为了解耦，使问题最简化.类似向量地分解，比方说，一个平面内力向量地分解方式有很多种，但采用直角正交分解最方便. 文档来自于网络搜索 主要从以后地解方程组时候要解耦考虑吧 模态正交，具体表现在模态振型存在正交，请注意“存在”，而这种正交是线性系统模态地基本特性，准确地说是固有特性，正因为存在这种正交特性，带来了运算时地广义坐标下地耦合矩阵变为模态坐标中.文档来自于网络搜索 地解耦，计算变得简单. 注：（对上段话地个人理解：线性系统具有正交特性，人们利用线性系统地正交特性，对线性模态进行解耦，使问题简化.）文档来自于网络搜索 .任一阶主振型地惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做地虚功之和为零 .任一阶主振型地惯性力只在各自地振型上做功，在另外地主振型上不做功 这是正交相应地物理解释，是模态振型正交地物理形式，所以不能用物理含义去证明其相应地数学表达. 上面模态正交地数学和物理形式和概念有解释清楚了，那么，为什么会正交呢？
各种模态分析方法总结与比较
各种模态分析方法总结与比较 一、模态分析 模态分析是计算或试验分析固有频率、阻尼比和模态振型这些模态参数的过程。 模态分析的理论经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。 模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都是指试验模态分析。振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。如果通过 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。 模态分析最终目标是在识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 二、各模态分析方法的总结 （一）单自由度法 一般来说，一个系统的动态响应是它的若干阶模态振型的叠加。但是如果假定在给定的频带内只有一个模态是重要的，那么该模态的参数可以单独确定。以这个假定为根据的模态参数识别方法叫做单自由度(SDOF)法n1。在给定的频带范围内，结构的动态特性的时域表达表示近似为： ()[]}{}{T R R t r Q e t h r ψψλ= 2-1 而频域表示则近似为： ()[]}}{ {()[]2ωλωψψωLR UR j Q j h r t r r r -+-= 2-2 单自由度系统是一种很快速的方法，几乎不需要什么计算时间和计算机内存。 这种单自由度的假定只有当系统的各阶模态能够很好解耦时才是正确的。然而实际情况通常并不是这样的，所以就需要用包含若干模态的模型对测得的数据进行近似，同时识别这些参数的模态，就是所谓的多自由度(MDOF)法。 单自由度算法运算速度很快，几乎不需要什么计算和计
振动系统固有频率的测试
振动系统固有频率的测试实验指导书 一．实验目的 1．学习振动系统固有频率的测试方法； 2．了解DASP-STD软件； 3．学习锤击法测试振动系统固有频率的原理与方法；（传函判别法） 二．实验仪器及简介 ZJY-601T型振动教学实验台，ZJY-601T型振动教学试验仪，采集仪，DASP-STD（DASP Standard 标准版）软件，微机。 １．ZJY-601T型振动教学实验台：主要由底座、桥墩 型支座、简支梁、悬臂梁、等强度梁、偏心电动机、 调压器、接触式激振器及支座、非接触式激振器、磁 性表座、减振橡胶垫、减振器、吸振器、悬索轴承装 置、配重锤、钢丝、圆板、质量块等部件和辅助件组 成。与ZJY-601T型振动教学实验仪配套，完成各种振 动教学实验。 它以力学和电学参数为设计出发点，力学模型合 理，带有10种典型力学结构，多种激振、减振和拾振方式。 力学结构有：两端简支梁、两端固支梁、等截面悬臂梁、等强度悬臂梁（变截面）、复合材料梁、圆板、单自由度质量－弹簧系统、两自由度质量－弹簧系统、三自由度质量－弹簧系统、悬索。 激励方式有：脉冲锤击法、正弦激励（接触、非接触式）、正弦扫描（接触、非接触式）、偏心质量、支承运动。 减振和隔振有：主动隔振、被动隔振、阻尼减振、动力减振（单式）、动力减振（复式）。 传感器类型有：压电加速度传感器、磁电式速度传感器、电涡流位移传感器、力传感器（力锤中）。 ２．ZJY-601T型振动教学试验仪：由双通多功能振动测试 仪、扫频信号发生器、功率放大器组成，并集成了数据采集 器，可连接压电式加速度传感器、磁电式速度传感器或电涡 流传感器，对被测物体的振动加速度、速度和位移进行测量。 可将每个通道所测振动信号转换成与之相对应的0~5V AC 电压信号输出，供计算机使用。扫频信号发生器的输出频率 在手动档时，可通过旋钮在0.1~1000Hz范围内连续调节；在自动档时，可从10到1000Hz自动变换，扫频时间可由电位器控制，3s~240s连续可调，激振频率可由液晶显示器显示。功率放大器可直接与JZ-1型激振器或JZF-1非接触式激振器连接，对物体进行激振，其输出幅度可连续调节。３．DASP-STD（DASP Standard 标准版）：是一套运行在Windows95/98/Me/NT/2000/XP平台上的多通道信号采集和实时分析软件，通过和东方所的不同硬件配合使用，即可构成一个可进行多种动静态试验的试验室。 DASP-STD主要包括单通道、双通道、多通道、扩展、示波采样分析和模态教学6个基本部分，可以实现信号的实时分析，即可以连续不间断地进行信号的采样，并同时进行频谱分析和结果显示，实现了采样、分析和显示示波的同步进行 三．实验原理 对于振动系统，经常要测定其固有频率，常用的方法有简谐力激振法和锤击法。本次实验用后一种方法，即通过输入的力信号和输出的响应信号进行传函分析，得到各阶固有频率。 通常我们认为振动系统为线性系统，用一特定已知的激振力，经可控的方法来激励结构，同时
悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验
实验五 悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验 一、实验目的 1、用共振法确定悬臂梁横向振动时的各阶固有频率。 2、熟悉和了解悬臂梁振动的规律和特点。 3、观察和测试悬臂梁振动的各阶主振型。分析各阶固有频率及其主振型的实测值与理论计算值的误差。 二、基本原理 悬臂梁的振动属于连续弹性体的振动，它具有无限多自由度及其相应的固有频率和主振型，其振动可表示为无穷多个主振型的叠加。对于梁体振动时，仅考虑弯曲引起的变形，而不计剪切引起的变形及其转动惯量的影响，这种力学分析模型称为欧拉-伯努利梁。 运用分离变量法，结合悬臂梁一端固定一端自由的边界条件，通过分析可求得均质、等截面悬臂梁的频率方程 1 L Lch cos -=ββ （5-1） 式中：L ——悬臂梁的长度。 梁各阶固有园频率为 A EI i i n 2 ρβω= （5-2） 对应i 阶固有频率的主振型函数为 ) ,3,2,1() sin (sin cos cos )( =-++- -=i x x sh L L sh L L ch x x ch x X i i i i i i i i i ββββββββ （5-3） 对于（5-1）式中的β，不能用解析法求解，用数值计算方法求得的一阶至四阶固有园频率和主振型的结果列于表5-1。 各阶固有园频率之比 1f ﹕1f ﹕1f ﹕1f ﹕… = 1﹕6.269﹕17.56﹕34.41﹕… （5-4） y A B x h L b 图5-1 悬臂梁振动模型 表（5-1）给出了悬臂梁自由振动时i =1～4阶固有园频率及其相应主振型函数。除了悬臂梁固定端点边界位移始终为零外，对于二阶以上主振型而言，梁上还存在一些点在振动过程中位移始终为零的振型节点。i 阶振型节点个数等于i -1，即振型节点个数比其振型的阶数小1。 实验测试对象为矩形截面悬臂梁（见图5-2所示）。在实验测试时，给梁体施加一个大小适当的激扰作用力，其频率正好等于梁体的某阶固有频率，则梁体便会产生共振，这时梁体变形即为该阶固有频率所对应的主振型，其它各阶振型的影响很小可忽略不计。用共振法确定悬臂梁的各阶固有频率及振型，我们只要连续调节激扰力，当悬臂梁出现某阶主振型且振动幅值最大即悬臂梁产生共振时，这时激扰力的频率就可以认为是悬臂梁的这一阶振动的固有频率。在工程实践中，最重要是确定振动系统最低的几阶固有频率及其主振型。本实验主要运用共振法测定悬臂梁一、二、三、四阶固有频率及其相应的主振型。
4.2多自由度系统的固有频率与主振型
4.2 多自由度系统的固有频率与主振型 一、固有频率和主振型 上节导出了多自由度系统的自由振动微分方程： 以及 考虑到系统的主振动是简谐振动，可设它为： （4-10） 将它分别代入（4-5）与（4-7）式，可得如下主振型方程 （4-11）以及 （4-12）如果引入系统矩阵的概念，可以将式（4-11）与（4-12）化成具有相同的形式，对（4-11）式两端乘以，可得 （4-13）这时，设系统矩阵为 （4-14）且令，则主振型方程（4-11）可化为 （4-15） 再设另一个形式的系统矩阵为 （4-16）且令，则主振型方程（4-12）可化为 （4-17）这样，主振型方程（4-15）与（4-17）就有着相同的形式。 注意到系统的刚度矩阵与柔度矩阵之间存在着互逆关系，即有
或 利用矩阵乘积的求逆公式，可知上述两种系统矩阵之间有着互逆关系： 还应该指出，尽管系统的刚度矩阵、柔度矩阵以及质量矩阵一般都是对称矩阵，但是其系统矩阵和一般已不再是对称矩阵。 现在来看系统固有频率与主振型问题。鉴于方程（4-15）与（4-17）属于同一形式，故只需讨论其中之一。 方程（4-15）可改写为 （4-18） 它有非零解的条件为 （4-19） （4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。对它展开的结果，可得一个关于的次代数方程： （4-20） 它的个根成为系统的特征根，亦称矩阵的特征值。特征值与系统固有频率之间有如下关系： （4-21） 一般说来，次代数方程的个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚度矩阵是正定的或半正定的,故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的，有 （4-22） 现对系统主振型方程 两端前乘以，得 考虑到条件式（4-22），自然就得出上述结论。 通常，刚度矩阵为正定（或半正定）的系统，称为正定系统（或半正定系统）。所以，上述结论可改述为：正定系统的特征值都是正的，而半正定系统的特征值是正数或零。
学习模态分析要掌握的的知识
模态分析中的几个基本概念 一、模态定义：物体按照某一阶固有频率振动时，物体上各个点偏离平衡位置的位移是满足一定的比例关系的，可以用一个向量表示。 模态分析一般是在振动领域应用，每个物体都具有自己的固有频率，在外力的激励作用下，物体会表现出不同的振动特性： 一阶模态是外力的激励频率与物体固有频率相等的时候出现的，此时物体的振动形态叫做一阶振型或主振型； 二阶模态是外力的激励频率是物体固有频率的两倍时候出现，此时的振动外形叫做二阶振型，以依次类推。 一般来讲，外界激励的频率非常复杂，物体在这种复杂的外界激励下的振动反应是各阶振型的复合。 二、模态分析：模态是结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。 有限元中模态分析的本质是求矩阵的特征值问题，所以“阶数”就是指特征值的个数。将特征值从小到大排列就是阶次。 实际的分析对象是无限维的，所以其模态具有无穷阶。但是对于运动起主导作用的只是前面的几阶模态，所以计算时根据需要计算前几阶的。 一个物体有很多个固有振动频率（理论上无穷多个），按照从小到大顺序，第一个就叫第一阶固有频率，依次类推。所以模态的阶数就是对应的固有频率的阶数。 三、振型是指体系的一种固有的特性。它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。每一阶固有频率都对应一种振型。振型与体系实际的振动形态不一定相同。振型对应于频率而言，一个固有频率对应于一个振型。按照频率从低到高的排列，来说第一振型，第二振型等等。此处的振型就是指在该固有频率下结构的振动形态，频率越高则振动周期越小。在实验中，我们就是通过用一定的频率对结构进行激振，观测相应点的位移状况，当观测点的位移达到最大时，此时频率即为固有频率。实际结构的振动形态并不是一个规则的形状，而是各阶振型相叠加的结果。 四、模态扩展是为了是结果在后处理器中观察而设置的，原因如下： 求解器的输出内容主要是固有频率，固有频率被写到输出文件Jobname.OUT及振型文件Jobnmae.MODE中，输出内容中也可以包含缩减
固有频率测定方法
固有频率测定方法 Prepared on 24 November 2020
固有频率测定方法 1.概要 固有频率的测定一般采用传递函数测定的方法。这个方法是一种为了测定结构物的各个点中的传递函数，使用数字信号处理技术和FFT算法的方法。 所谓传递函数是指若以系统的输入信号为“X”,从该处输出（应答）信号为“Y”，可以公式：传递函数 H=Y/X (1) 来表示的函数。 振动解析的领域中处理的传递函数，输入X多数为力。输出（应答）Y是哪一个物理量，则取决于测定。如表1所示那样，传递函数H分别具有固有频率。 表1 传递函数的种类 图1所示为测定传递函数顺序。固有频率与传递函数的虚数部中的峰值相一致。此外，除在振幅成为“0”的节点测定的外，在所有的测定点，振幅存在于相同的频率上。
图1 传递函数的测定顺序 以的输入信号 同时采样输入信号和应答 信号 实行采样的波形（信号） 的傅里叶交换 以输入的傅里叶交换实行 应答的傅里交换 2.测定安装方法 以下就传递函数测定法的具有代表性的加振方法——随机加振法、脉冲加振法进行说明。对于试验体的材料、结构、试验目的等，可采用各种各样的加振方法，详细内容请参照参考书。 （1）随机加振法图2 随机加振法 随机加振法是一种如图2所示的那样， 在试验体的加振点安装加振机，给与随机噪 声的加振力，测定应答点的加速度，其信号 输入至FFT模拟装置，进行处理的方法。 图3脉冲加振法 （2）脉冲加振法 脉冲加振法是一种如图3所示的那样，用 脉冲锤子敲打作为测定对象的试验体的加振点，
给与脉冲状的力，检测这个力的时间变化和应 答点的加速度，进行与上述加振法相同的处理 方法。 此外，脉冲信号的频谱也是平坦的，所以， 随机噪声同样作为输入波形使用。 再者，采用这类测定时有必要预先确认加振力和应答加速度的时间波形、频谱、相关函数。 表2 所示为各种加振法的比较。 表2 加振法的比较 3.加振试验时的注意事项 以下汇总了进行加振实验时的注意事项。 （1）随机加振 （a）加振机的选择 为了求得必要的加振力，根据其值，选择应适使用得加振机在。这是 得到高SN比的传递函数的重要条件。
固有频率测定方法.
固有频率测定方法 1.概要 固有频率的测定一般采用传递函数测定的方法。这个方法是一种为了测定结构物的各个点中的传递函数，使用数字信号处理技术和FFT算法的方法。 所谓传递函数是指若以系统的输入信号为“X”,从该处输出（应答）信号为“Y”，可以公式：传递函数H=Y/X (1) 来表示的函数。 振动解析的领域中处理的传递函数，输入X多数为力。输出（应答）Y是哪一个物理量，则取决于测定。如表1所示那样，传递函数H分别具有固有频率。 Y 位移速度加速度 H 顺从性迁移率加速度 （惯性） 图1所示为测定传递函数顺序。固有频率与传递函数的虚数部中的峰值相一致。此外，除在振幅成为“0”的节点测定的外，在所有的测定点，振幅存在于相同的频率上。 图1 传递函数的测定顺序 以的输入信号 同时采样输入信号和应答 信号 实行采样的波形（信号）的 傅里叶交换 以输入的傅里叶交换实行 应答的傅里交换
2.测定安装方法 以下就传递函数测定法的具有代表性的加振方法——随机加振法、脉冲加振法进行说明。对于试验体的材料、结构、试验目的等，可采用各种各样的加振方法，详细内容请参照参考书。 （1）随机加振法图2 随机加振法随机加振法是一种如图2所示的那样， 在试验体的加振点安装加振机，给与随机噪 声的加振力，测定应答点的加速度，其信号 输入至FFT模拟装置，进行处理的方法。 图3脉冲加振法 （2）脉冲加振法 脉冲加振法是一种如图3所示的那样，用 脉冲锤子敲打作为测定对象的试验体的加振点， 给与脉冲状的力，检测这个力的时间变化和应 答点的加速度，进行与上述加振法相同的处理 方法。 此外，脉冲信号的频谱也是平坦的，所以， 随机噪声同样作为输入波形使用。 再者，采用这类测定时有必要预先确认加振力和应答加速度的时间波形、频谱、相关函数。 表2 所示为各种加振法的比较。 项目脉冲加振法随机加振法 测定的难易度·为了稳定地得到具有必要的区 域和水平地脉冲波形，需要熟练 地技术和小诀窍。 ·只有加振器，就能简单地加振。失 败少。 测定时间·一次一次慎重进行加振，化时 间。 ·快 适用范围·适用于小形、轻量的测定对象。·测定对象为小型、轻量，不仅加振 器安装困难。受到加振器的质量影 响，不能正确地进行测定。 ·适合于具有执行元件等加振器的测 定对象。
机械振动--盘轴扭振系统固有频率和主振型的计算
机械振动大作业 （盘轴扭振系统固有频率和主振型的计算） 学院：航空航天工程学部 班级：04040203班 姓名：李根 学号：2010040402093 2013年5月12号
盘轴扭振系统固有频率和主振型的计算 一：简化简化分析 分析该系统为非约束性盘轴扭振系统，并简化分析分析： ：1．忽略轴的质量; 2．轴的刚度对盘的影响不做考虑; 3．将圆盘的质量集中于圆盘中心，不考虑圆盘厚度对系统的影响;4．系统为线弹性系统，盘为刚体。 对于非约束系统，其只存在刚度矩阵，不存在柔度矩阵，即不能对刚度矩阵求逆。 二：条件 圆盘： 1.几何尺寸：直径10.4d m =，厚度0.02h m =； 2.材料：杨氏模量112210(/)E N m =×，剪切模量1027.6910(/) G N m =×密度37800(/) kg m ρ=轴： 1.几何尺寸：直径20.04d m =，0.1a m =2.材料：杨氏模量112210(/)E N m =×，剪切模量1027.6910(/) G N m =×密度37800(/) kg m ρ=三（1）：矩阵迭代法 1.1.概 概述（1）：系统主振型方程为{}[]{}21A M K A ω???=??，引入动力矩阵[][]1 D M K ???=??。任
取一个经过归一化的假设阵型{}0A ,用动力矩阵[]D 前乘它，并对通过乘法运算新得到的阵型矢量进行归一化，则得：{}110[]{}D A a A =，式中1a 为新振型矢量归一化后的系数。 （2）若{}10{}A A ≠，从1{}A 开始，重复上述步骤得：{}121[]{}D A a A =，式中2a 为新振型矢量归一化后的系数。 （3）：若{}21{}A A ≠，继续重复上述步骤，进过K 次矩阵乘法运算后，得到 {}1[]{}k k k D A a A ?=，在规定的有效位数内，{}1{}k k A A ?=时停止运算，此时的{}1k A ?即 为系统第一阶主振型(1){}A 的近似值，即：{}(1)1{}k A A ?≈，而这时的系数k a 即是系统第一阶固有频率平方倒数的近似值，即：211/k a ω≈。 该方法的精确度不依赖于假设阵型，假设阵型的好坏只影响迭代的次数。即使假设的固有频率域一阶主振型相差很远，经过充分的迭代运算，仍可求得足够精确的基频值。 求得第一阶主振型以后，利用主振型的正交性来清除掉假设阵型中的分量，然后再进行迭代求解可以是结果收敛于第二阶主振型。同理，如果我们在假设阵型中清除掉所有前s 阶这阵型分量，那么迭代的结果将得到第s+1阶固有频率及主振型。 引进清型矩阵：[]()j 1 {}{}[][]j T s j j A A M Q I M ==?∑（）。由于实际计算中舍入误差的存在，每次迭 代后，所得的主振型中还包含前面几阶的主振型分量，因此每次计算前都要进行清型才能保证最后收敛的主振型。 2.2.计算程序 计算程序clc clear n=8; d1=0.4;%圆盘直径d1=0.4d2=0.04;%轴直径d2=0.04a=0.1;%轴几何尺寸 den=7800;%密度（轴和圆盘）G=7.69e+10;%剪切模量h=0.02;%圆盘厚度 J1=0.5*pi*den*h*(d1/2)^4;%转动惯量