高中数学高考重点难点讲解知识点分析解不等式
难点19 解不等式
不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习高等数学的重要工具,所以不等式是高考数学命题的重点,解不等式的应用非常广泛,如求函数的定义域、值域,求参数的取值范围等,高考试题中对于解不等式要求较高,往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系,应重视;从历年高考题目看,关于解不等式的内容年年都有,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式. ●难点磁场
(★★★★)解关于x 的不等式2)
1(--x x a >1(a ≠1).
●案例探究
[例1]已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m 、n ∈[-1,1],m+n ≠0
时n m n f m f ++)
()(>0.
(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数;
(2)解不等式:f(x+21)<f(11
-x );
(3)若f(x)≤t2-2at+1对所有x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,求实数t 的取值范围. 命题意图:本题是一道函数与不等式相结合的题目,考查学生的分析能力与化归能力,属★★★★★级题目.
知识依托:本题主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分解转化,是函数中的热点问题;问题的要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关键作用.
错解分析:(2)问中利用单调性转化为不等式时,x+21∈[-1,1],11
-x ∈[-1,1]必不
可少,这恰好是容易忽略的地方.
技巧与方法:(1)问单调性的证明,利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键,(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.
(1)证明:任取x1<x2,且x1,x2∈[-1,1],则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=2
121)
()(x x x f x f --+·(x1
-x2)
∵-1≤x1<x2≤1,
∴x1+(-x2)≠0,由已知
2
121)
()(x x x f x f --+>0,又 x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在[-1,1]上为增函数. (2)解:∵f(x)在[-1,1]上为增函数,
∴???
?
?
?
???
-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得:{x|-23≤x <-1,x ∈R} (3)解:由(1)可知f(x)在[-1,1]上为增函数,且f(1)=1,故对x ∈[-1,1],恒有f(x)≤1,
所以要f(x)≤t2-2at+1对所有x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,即要t2-2at+1≥1成立,故t2-2at ≥0,记g(a)=t2-2at ,对a ∈[-1,1],g(a)≥0,只需g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于0,g(-1)≥0,g(1)≥0,解得,t ≤-2或t=0或t ≥2.∴t 的取值范围是:{t|t ≤-2或t=0或t ≥2}.
[例2]设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M ,如果M ?[1,4],求实数a 的取值 范围.
命题意图:考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系,属★★★★级题目. 知识依托:本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系,以及分类讨论的数学思想.
错解分析:M=?是符合题设条件的情况之一,出发点是集合之间的关系考虑是否全面,易遗漏;构造关于a 的不等式要全面、合理,易出错.
技巧与方法:该题实质上是二次函数的区间根问题,充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在;数形结合的思想使题目更加明朗.
解:M ?[1,4]有n 种情况:其一是M=?,此时Δ<0;其二是M ≠?,此时Δ>0,分三种情况计算a 的取值范围.
设f(x)=x2 -2ax+a+2,有Δ=(-2a)2-(4a+2)=4(a2-a -2) (1)当Δ<0时,-1<a <2,M=
?[1,4]
(2)当Δ=0时,a=-1或2.当a=-1时M={-1}1,4];当a=2时,m={2}[1,4].
(3)当Δ>0时,a <-1或a >2.设方程f(x)=0的两根x1,x2,且x1<x2,那么M=[x1,x2],
M ?[1,4]?1≤x1<x2≤4
??
?>?≤≤>>?0,410
)4(,0)1(且且a f f 即??????
?>-<>>->+-21007180
3a a a a a 或,解得:2<a <718,
∴M ?[1,4]时,a 的取值范围是(-1,718).
●锦囊妙计
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题:
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.
(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法.
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.
(5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式.
(6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)设函数f(x)=????
???
≥-<<-+-≤+)
1(11
)11(22)1()1(2x x x x x x ,已知f(a)>1,则a 的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪(-21
,+∞)
B.(-21,21)
C.(-∞,-2)∪(-21
,1)
D.(-2,-21
)∪(1,+∞)
二、填空题
2.(★★★★★)已知f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(22a ,2b
),
则f(x)·g(x)>0的解集是__________.
3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin2x+2cosx+a=0有解,则a 的取值范围是__________. 三、解答题
4.(★★★★★)已知适合不等式|x2-4x+p|+|x -3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值;
(2)若f(x)=11+-x
x p p ,解关于x 的不等式f--1(x)>
k x
p +1log (k ∈R+) 5.(★★★★★)设f(x)=ax2+bx+c ,若f(1)=27,问是否存在a 、b 、c ∈R ,使得不等式:x2+21
≤f(x)≤2x2+2x+23
对一切实数x 都成立,证明你的结论.
6.(★★★★★)已知函数f(x)=x2+px+q ,对于任意θ∈R ,有f(sin θ)≤0,且f(sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式; (2)求p 的取值范围;
(3)如果f(sin θ+2)的最大值是14,求p 的值.并求此时f(sin θ)的最小值.
7.(★★★★)解不等式loga(x -x 1
)>1
8.(★★★★★)设函数f(x)=ax 满足条件:当x ∈(-∞,0)时,f(x)>1;当x ∈(0,1]时,不等式f(3mx -1)>f(1+mx -x2)>f(m+2)恒成立,求实数m 的取值范围.
参考答案
难点磁场
解:原不等式可化为:2)
2()1(--+-x a x a >0,
即[(a -1)x+(2-a)](x -2)>0.
当a >1时,原不等式与(x -12
--a a )(x -2)>0同解.
若12--a a ≥2,即0≤a <1时,原不等式无解;若12
--a a <2,即a <0或a >1,于是a >1时原不等式的解为(-∞,12
--a a )∪(2,+∞).
当a <1时,若a <0,解集为(12--a a ,2);若0<a <1,解集为(2,12
--a a )
综上所述:当a >1时解集为(-∞,12--a a )∪(2,+∞);当0<a <1时,解集为(2,12
--a a );当a=0时,解集为?;当a <0时,解集为(12
--a a ,2).
歼灭难点训练
一、1.解析:由f(x)及f(a)>1可得:
???>+-≤1)1(12a a ① 或???>+<<-12211a a ② 或?????>-≥111
1a a ③
解①得a <-2,解②得-21
<a <1,解③得x ∈? ∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪(-21
,1)
答案:C 二、
2.解析:由已知b >a2∵f(x),g(x)均为奇函数,∴f(x)<0的解集是(-b ,-a2),g(x)<0的解集
是(-
2,22a b -).由f(x)·g(x)>0可得: ???
??-
<<--<<-?????<<<??<??>>2222
,0)(0)(0)(0)(2
2
22a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或
∴x ∈(a2,2b )∪(-2b
,-a2) 答案:(a2,2b )∪(-2b
,-a2)
3.解析:原方程可化为cos2x -2cosx -a -1=0,令t=cosx ,得t2-2t -a -1=0,原问题转化为方程t2-2t -a -1=0在[-1,1]上至少有一个实根.令f(t)=t2-2t -a -1,对称轴t=1,画图
象分析可得?
?
?≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈[-2,2].
答案:[-2,2] 三、
4.解:(1)∵适合不等式|x2-4x+p|+|x -3|≤5的x 的最大值为3, ∴x -3≤0,∴|x -3|=3-x.
若|x2-4x+p|=-x2+4x -p ,则原不等式为x2-3x+p+2≥0,其解集不可能为{x|x ≤3}的子集,∴|x2-4x+p|=x2-4x+p.
∴原不等式为x2-4x+p+3-x ≤0,即x2-5x+p -2≤0,令x2-5x+p -2=(x -3)(x -m),可得m=2,p=8.
(2)f(x)=1818+-x
x ,∴f--1(x)=log8x x -+11 (-1<x <1),
∴有log8x x -+11>log8k x
+1,∴log8(1-x)<log8k ,∴1-x <k ,∴x >1-k.
∵-1<x <1,k ∈R+,∴当0<k <2时,原不等式解集为{x|1-k <x <1};当k ≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x <1}.
5.解:由f(1)=27得a+b+c=27,令x2+21=2x2+2x+23x ?=-1,由f(x)≤2x2+2x+23
推得 f(-1)≤23
.
由f(x)≥x2+21推得f(-1)≥23,∴f(-1)=23,∴a -b+c=23
,故 2(a+c)=5,a+c=25且b=1,∴f(x)=ax2+x+(25
-a). 依题意:ax2+x+(25-a)≥x2+21
对一切x ∈R 成立,
∴a ≠1且Δ=1-4(a -1)(2-a)≤0,得(2a -3)2≤0,
∴f(x)=23
x2+x+1
易验证:23x2+x+1≤2x2+2x+23
对x ∈R 都成立.
∴存在实数a=23,b=1,c=1,使得不等式:x2+21≤f(x)≤2x2+2x+23
对一切x ∈R 都成立.
6.解:(1)∵-1≤sin θ≤1,1≤sin θ+2≤3,即当x ∈[-1,1]时,f(x)≤0,当x ∈[1,3]时,f(x)≥0,∴当x=1时f(x)=0.∴1+p+q=0,∴q=-(1+p) (2)f(x)=x2+px -(1+p),
当sin θ=-1时f(-1)≤0,∴1-p -1-p ≤0,∴p ≥0
(3)注意到f(x)在[1,3]上递增,∴x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14,9+3p -1-p=14,∴p=3.
此时,f(x)=x2+3x -4,即求x ∈[-1,1]时f(x)的最小值.又f(x)=(x+23)2-425
,显然此函数
在[-1,1]上递增.
∴当x=-1时f(x)有最小值f(-1)=1-3-4=-6.
7.解:(1)当a >1时,原不等式等价于不等式组?
?????
?>->-a x x 11011
由此得1-a >x 1.因为1-a <0,所以x <0,∴a -11
<x <0.
(2)当0<a <1时,原不等式等价于不等式组:?
?????
?<->-a x x 11011
由 ①得x >1或x <0,由②得0 <x <a -11,∴1<x <a -11
.
综上,当a >1时,不等式的解集是{x|a -11
<x <0},当0<a <1时,不等式的解集为{x|1<x <a -11}.
8.解:由已知得0<a <1,由f(3mx -1)>f(1+mx -x2)>f(m+2),x ∈(0,1]恒成立.
①
②
?????+<-+-+<-?211132
2
m x mx x mx mx 在x ∈(0,1]恒成立.
整理,当x ∈(0,1)时,?????+<--<1)1(122
2x x m x x 恒成立,即当x ∈(0,1]时,???
????-+>-<112122
x x m x
x m 恒成立,且x=1时,?????+<--<1)1(1222
x x m x mx 恒成立,
∵
2121212-=-x x x 在x ∈(0,1]上为减函数,∴x x 212-<-1, ∴m <x x 212
-恒成立?m <0.
又∵2112
)1(112+-+-=-+x x x x ,在x ∈(0,1
]
∴11
2-+x x <-1.
∴m >112-+x x 恒成立?m >-1当x ∈(0,1)时,???
????-+>-<11
212
2x x m x x m 恒成立?m ∈(-1,0)① 当x=1时,?????+<--<1)1(1222
x x m x mx ,即是???<<100m ∴m <0
②
∴①、②两式求交集m ∈(-1,0),使x ∈(0,1]时,f(3mx -1)>f(1+mx -x2)>f(m+2)恒成立,m 的取值范围是(-1,0)
(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B ) a b <1 (C )lg(a-b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B )a 1 +a ≥2 (a ≠0) (C ) a 1<b 1 (a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 第三章不等式 定义:用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性:如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y; ②传递性:如果x>y,y>z;那么x>z; ③加法性质;如果x>y,而z为任意实数,那么x+z>y +z; ④乘法性质:如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(符号法则) 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。 ②如果不等式F (x ) < G (x )的定义域被解析式H ( x )的定义域所包含,那么不等式 F (x )<G (x )与不等式F (x )+H (x )<G (x )+H (x )同解。 ③如果不等式F (x )<G (x ) 的定义域被解析式H (x )的定义域所包含,并且H (x )>0,那么不等式F(x)<G (x )与不等式H (x )F (x )<H ( x )G (x ) 同解;如果H (x )<0,那么不等式F (x )<G (x )与不等式H (x)F (x )>H (x )G (x )同解。 ④不等式F (x )G (x )>0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数: )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数: n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数: n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数: n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +,当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ,有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 1、设恒成立的c的取值范围是 A.B.C.D. 2、设,且(其中),则M的取值范围是A.B.C.D. 3、若实数、满足,则的取值范围是 A.B.C.D. 4、已知,,,则的最小值是() (A)(B)4(C)(D) 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是() A.B.C.D. 7、已知正实数满足,则的最小值为。 8、如图,目标函数可行域为四边形(含边界),若是该目标函数的最优解,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 的最大值与最小值之和为 9、函数,当时,恒成立,则 D. 10、已知正数满足,则的最小值为 A.3B.C.4D. 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。(1)证明:;(2)证明:; (3)若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件,若目标函数的最大值为10,则的最小值为. 13、已知对任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负,且a 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 (一) 知识容 1.含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式. 一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表(以0a >为例): 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决.其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解. 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈,且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一:解一元二次不等式 解不等式 (二)主要方法 1.解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式,然后求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于0时两根之外,小于0时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)典例分析: 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 . 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为( ) A .{|31}x x x -或≥≤ B .{|13}x x -≤≤ C .{|31}x x -≤≤ D .{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是( ) A .132? ?-??? ? , B .132??-????, C .(]11132??????U ,, D .(]11132?? -???? U ,, 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ,则不等式 220.011 n n -<+的解集为( ) A .{}|199n n n *∈N ≥, B .{}|200n n n *∈N ≥, C .{}|201n n n *∈N ≥, D .{}|202n n n *∈N ≥, 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为( ) A .{}{}|01|1x x x x <<>U B .{}|01x x << C .{}|10x x -<< D .{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值围是 _. 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________. 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123,,,则b 的取值围为 . 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解,则实数a 的取值围是( ) A .4a <- B .4a >- C .12a >- D .12a <- 【变式】 ⑴已知0a <,则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同,则a b -=______. 2019年高二第一学期数学教学计划教学进 度表 第1周 数学必修2:立体几何 1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图(1)(2) 第2周 1.2空间几何体的三视图和直观图(1)(2) 第3周 1.3表面积体积空间几何体的复习(1)(2) 第4周 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(1)(2)(3)(4)(单元检测) 第5周 2.2直线、平面平行的判定及其性质(1)(2)(3)(4) 第6周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)(2)(3)(4)(单元检测) 第7周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质(4) 空间点、线、面复习(月考) 第8周 选修2-1:空间向量 第三章3.1空间向量及其运算 第9周 空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法 第10周 期中考试 第11周 空间向量复习(单元检测) 第12周 第一章常用逻辑用语: 1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件 第13周 1.3简单的逻辑连结词1.4全称量词与存在量词 第14周 常用逻辑用语复习(2课时)2.1椭圆(3课时) 第15周 2.1椭圆(3课时)2.2双曲线(2课时) 第16周 2.2双曲线(2课时)2.3抛物线(3课时) 第17周 2.3抛物线(1课时)2.4直线与圆锥曲线的位置关系(3课时) 第18周 曲线与方程(2课时)复习(单元检测) 第19周 总复习 第20周 要练说,先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯:有的结巴重复,面红耳赤;有的声音极低,自讲自听;有的低头不语,扯衣服,扭身子。总之,说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键,面向全体,偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时,我总是笑脸相迎,声音亲切,动作亲昵,消除幼儿畏惧心理,让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中,改变过去老师讲学生听的传统的教学模式,取消了先举手后发言的约束,多采取自由讨论和谈话的形式,给每个幼儿较多的当众说话的机会,培养幼儿爱说话敢说话的兴趣,对一些说话有困难的幼儿,我总是认真地耐心地听,热情地帮助和鼓励他把话说完、说好,增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求,在说话训练中不断提高,我要求每个幼儿在说话时要仪态大方,口齿清楚,声音响亮,学会用眼神。对说得好的幼儿,即使是某一方面,我都抓住教育,提出表扬,并要其他幼儿模仿。长期坚持,不断训练,幼儿说话胆量也在不断提高。期末考试 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1.222a b a b +≥,其中,a b R ∈,当且仅当a b =时等号成立。 2.2a b a b +≥,其中[),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 3.常考不等式: 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ,其中(),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1:基本不等式与最值 解题思路: (1)积定和最小:若a b 是定值,那么当且仅当a b =时,()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ (2)和定积最大:若a b +是定值,那么当且仅当a b =时,()2 m a x 2a b a b +??= ??? ,其中,a b R ∈。 例题1:若实数,a b 满足221a b +=,则a b +的最大值是 . 解析:很明显,和为定,根据和定积最大法则可得:2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ,当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式:函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点在直线1m x n y +=上,则m n 的最大值为______。 解析:由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ,将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=,明显,和为 定,根据和定积最大法则可得:2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ,当且仅当12m n ==时取等号。 例题2:已知函数()2 122 x x f x +=+ ,则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________. 解析:很明显,积为定,根据积定和最小法则可得:2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =,当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式:已知2x >-,则12 x x + +的最小值为 。 解析:由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +,明显,积为定,根据和定积最大法则可得: ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++,当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号,此时可得 第三章 不等式 一、选择题 1.已知x ≥2 5 ,则f (x )=4-25+4-2x x x 有( ). A .最大值45 B .最小值4 5 C .最大值1 D .最小值1 2.若x >0,y >0,则221+)(y x +221 +)(x y 的最小值是( ). A .3 B . 2 7 C .4 D . 2 9 3.设a >0,b >0 则下列不等式中不成立的是( ). A .a +b + ab 1≥22 B .(a +b )( a 1+b 1 )≥4 C 22 ≥a +b D . b a ab +2≥ab 4.已知奇函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (1)=0,则不等式x x f x f ) ()(--<0 的解集为( ). A .(-1,0)∪(1,+∞) B .(-∞,-1)∪(0,1) C .(-∞,-1)∪(1,+∞) D .(-1,0)∪(0,1) 5.当0<x <2 π时,函数f (x )=x x x 2sin sin 8+2cos +12的最小值为( ). A .2 B .32 C .4 D .34 6.若实数a ,b 满足a +b =2,则3a +3b 的最小值是( ). A .18 B .6 C .23 D .243 7.若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ++,所表示的平面区域被直线y =k x +34分为面积相等的两部分,则k 的值是( ). A . 7 3 B . 37 C . 43 D . 34 8.直线x +2y +3=0上的点P 在x -y =1的上方,且P 到直线2x +y -6=0的距离为 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 教学计划高中数学 教学计划(课程计划)是课程设置的整体规划,以下是整理的关于教学计划高中数学,欢迎阅读参考。 我以前一直是在教文科班的数学,这学期对于我来说,面临着挑战,因为本学期我接手了两个理科班。以前我带的始终是文科班,对于文科班的学生的情况比较理解,但对于理科班来说,我不知道他们对学习会有怎样的想法与做法。针对这种情况,我制定了如下的高中数学教学计划: 一、指导思想 在学校、数学组的领导下,严格执行学校的各项教育教学制度和要求,认真完成各项任务,严格执行“三规”、“五严”。利用有限的时间,使学生在获得所必须的基本数学知识和技能的同时,在数学能力方面能有所提高,为学生今后的发展打下坚实的数学基础。 二、教学措施 1、以能力为中心,以基础为依托,调整学生的学习习惯,调动学生学习的积极性,让学生多动手、多动脑,培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。精讲多练,一般地,每一节课让学生练习20分钟左右,充分发挥学生的主体作用。 2、坚持每一个教学内容集体研究,充分发挥备课组集体的力量,精心备好每一节课,努力提高上课效率。调整教学方法,采用新的教学模式。 3、脚踏实地做好落实工作。当日内容,当日消化,加强每天、每月过关练习的检查与落实。坚持每周一周练,每章一章考。通过周练重点突破一些重点、难点,章考试一章的查漏补缺,章考后对一章的不足之处进行重点讲评。 4、周练与章考,切实把握试题的选取,切实把握高考的脉搏,注重基础知识的考查,注重能力的考查,注意思维的层次性(即解法的多样性),适时推出一些新题,加强应用题考察的力度。每一次考试试题坚持集体研究,努力提高考试的效率。 5.注重对所选例题和练习题的把握: 6.周密计划合理安排,现数学学科特点,注重知识能力的提高,提升综合解题能力,加强解题教学,使学生在解题探究中提高能力. 7.多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际”角度,选择典型的数学联系生活、生产、环境和科技方面的问题,对学生进行有计划、针对性强的训练,多给学生锻炼各种能力的机会,从而达到提升学生数学综合能力之目的.不脱离基础知识来讲学生的能力,基础扎实的学生不一定能力强.教学中不断地将基础知识运用于数学问题的解决中,努力提高学生的学科综合能力. 三、对自己的要求——落实教学的各个环节 1.精心上好每一节课 备课时从实际出发,精心设计每一节课,备课组分工合作,利用集体智慧制作课件,充分应用现代化教育手段为教学服务,提高四十五分钟课堂效率。 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0,解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a;若a<0,解集为?? ? ? ? ? x| x< b a;若a=0,当b≥0时,解集为?,当b<0时,解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集,可归纳为: 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 有两相异实根 x=x1或x=x2 有两相同实根 x=x1=x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx+ c>0(a>0) {x|x 高中数学不等式练习题 一.选择题(共16小题) 1.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是() A.a+<<log2(a+b))B.<log2(a+b)<a+ C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b))<a+< 2.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则() A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 3.若x,y满足,则x+2y的最大值为() A.1 B.3 C.5 D.9 4.设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是()A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9 5.已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是()A.0 B.2 C.5 D.6 6.设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为() A.0 B.1 C.2 D.3 7.设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是()A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3] 8.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最小值为()A.﹣3 B.0 C.D.3 9.若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的最大值为()A.1 B.﹣1 C.﹣ D.﹣3 10.若a,b∈R,且ab>0,则+的最小值是() A.1 B.C.2 D.2 11.已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是() A.c a>c b B.a c<b c C.D.log a c>log b c 12.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则的最小值是() A.2 B.2 C.4 D.2 13.设a>0,b>2,且a+b=3,则的最小值是() A.6 B.C.D. 14.已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2﹣xy的最小值是() A.35 B.105 C.140 D.210 15.设正实数x,y满足x>,y>1,不等式+≥m恒成立,则m的最大值为() A.2 B.4 C.8 D.16 16.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为()A.B.C.D. 二.解答题(共10小题) 17.已知不等式|2x﹣3|<x与不等式x2﹣mx+n<0的解集相同. (Ⅰ)求m﹣n; (Ⅱ)若a、b、c∈(0,1),且ab+bc+ac=m﹣n,求a+b+c的最小值. 18.已知不等式x2﹣2x﹣3<0的解集为A,不等式x2+x﹣6<0的解集为B.(1)求A∩B; 第二讲 解不等式(一) 一、知识梳理 (一)考点目标定位 高考中解不等式主要涉及到一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)、分式不等式(组)、绝对值不等式(组)、指数不等式(组)、对数不等式(组)、三角不等式(组)以及含参数的不等式等。其中尤以一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、三角不等式为热门。 解不等式在高考中的题型主要是在综合题中作为解题的一个步骤有所涉及,在填空题中和集合结合为简单题型。 (二)复习方略指南 熟悉各种不等式的解题方法,特别是要注意分式不等式、对数不等式和三角不等式的定义域情况以及一元二次不等式的判别式情况。 二、知识回顾 1、不等式|2x 2-1|≤1的解集为 {x |-1≤x ≤1} 2、已知全集U R =,集合{}240M x x =-≤,则U M e= {} ()()+∞-∞--<>,22,22 或或x x x 3、不等式09 311421 2≥-x x 的解集为______(,3][2,)-∞-+∞_________ 4、不等式3 2-+x x x )(<0的解集为 ()(),20,3-∞- 5、不等式()210ax ab x b +++>的解集为{}12x x <<,则a b +=___- 23或-3____. 解析:∵ax 2+(ab +1)x +b >0的解集为{x |1<x <2}, ∴???? ?????==+-<.2310a b a ab a ,,解得?????-=-=121b a ,或???-=-=.21b a , ∴a +b =-23或-3. 6、不等式||52||1 x x ->-+的解集是 (1)(1-???,, . 三、典型例题 例1、解不等式:()R a x a ax ∈+<+2 1 解:原不等式化为()112-<-a x a 当1,1+<>a x a 有时; 当11+>-x x 解一:原不等式可化为??????<<-?∈<<-?∈-<-222223022x R x x R x x 高一上教学进度周次节次教学内容(包括复习,测试等安排) 11集合的含义及其表示2子集,全集,补集 1交集,并集 21习题课 1一元二次不等式的解法 1简单高次不等式及分式不等式的解法1简单绝对值不等式的解法 1复习课 32函数的概念和图像1函数的概念和图像2函数的表示方法 42函数的简单性质2函数的简单性质1映射的概念 52函数习题课 1二次函数图像、概念和性质 61二次函数在给定区间上的最值问题2分数指数幂 71指数函数3指数函数1对数 81对数 1对数函数2对数函数1幂函数 92习题课 1简单复合函数的研究2简单复合函数的研究 101二次函数与一元二次方程1用二分法求方程的近似解2函数模型及其应用 1习题课 112复习与期中考试 121任意角 1弧度制 1习题课(角范围的表示) 1任意角的三角函数的概念 1三角函数线(补充简单的三角不等式) 131同角三角函数的基本关系1同角三角函数的基本关系2诱导公式 1习题课 141三角函数的周期性 1正、余弦函数的图象及五点法 1正、余弦函数的性质(补充对称性)1正、余弦函数的性质习题课 1正切函数的图象与性质 151习题课 2函数y=Asin(ωx+φ)的图像2三角函数的应用 161向量的概念及其表示1向量的加法 1向量的减法 2向量的数乘 172习题课 1平面向量的基本定理 1平面向量的座标表示及运算1向量平行的座标表示 181向量的数量的概念 1向量数量积的座标表示1习题课 1复习与小结 191两角和与差的余弦 2两角和与差的正弦 1习题课(补asinx+bcosx的内容) 1两角和与差的正切 201 习题课 2二倍角的三角函数,明确降幂公式1 习题课 1 几个三角恒等式 三角函数的化简、求值和证明 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)( 精品文档 高中数学不等式练习题 一.选择题(共16小题) 1.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是() +ab)<log(a+a+b))B<A.a+.<<log(22<+b))<a()<D.loga+C.a+<log(a+b22xyz,则(=3=5x、y、z为正数,且2)2.设 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 满足,则x+2y的最大值为(x,y)3.若 D.9A.1 B.3 C.5 满足约束条件yx,4的最小值是().设,则z=2x+y A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9 满足约束条件,yx)5.已知,则z=x+2y的最大值是( A.0 B.2 C.5 D.6 满足约束条件,则z=x+y的最大值为(.设x,y)6 A.0 B.1 C.2 D.3 满足约束条件y.设x),7z=x则﹣y的取值范围是( A.[﹣3,0],D .[03] B.[﹣3,2]],[C.02 满足约束条件﹣,则z=xyy.已知变量x,的最小值为()8 .D.0 B.﹣A3 .C3 精品文档. 精品文档 满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的最大值为(9.若变量x,y) .﹣DC.﹣3A.1 B.﹣1 +的最小值是(,且ab>0),则10.若a,b∈R 2..2 BD.CA.1 11.已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是() ccab.D.logc>B.alog<bcA.c >cC ba yx,则lg8,lg2=lg2+12.已知x >0,y>0的最小值是() 2D.2 C.BA.2 .4 ,则的最小值是( +b=3)>0,b>2,且a13.设a ...CDA.6 B 2222﹣xy的最小值是(xy=315,则x+.已知14x,y∈R,xy+y)+ A.35 B.105 C.140 D.210 +≥m1恒成立,则,不等式m的最.设正实数x,y满足x>,y>15)大值为( 16D.2 B..4 C.8 人教版高中数学教学计划:人教版高中数学 进度安排教 人教版高中数学教学计划高中数学教学计划(一): 新学期已经开始,在学校工作总体思路的指导下,现将本学期数学组工作进行规划、设想,力争使本学期的工作扎实有效,为学校的发展做出新的贡献。 一、指导思想以学校工作总体思路为指导,深入学习和贯彻新课程理念,以教育教学工作为重点,优化教学过程,提高课堂教学质量。结合数学组工作实际,用心开展教育教学研究活动,促进教师的专业发展,学生各项素质的提高,提高数学组教研工作水平。 二、工作目标1、加强常规教学工作,优化教学过程,切实提高课堂教学质量。 2、加强校本教研,用心开展教学研究活动,鼓励教师根据教学实际开展教学研究,透过撰写教学反思类文章等促进教师的专业化发展。 3、掌握现代教育技术,用心开展网络教研,拓展教研的深度与广度。 4、组织好学生的数学实践活动,以调动学生学习用心性,丰富学生课余生活,促进其全面发展。 三、主要工作1、备课做好教学准备是上好课的前提,本学期要求每位教师做好教案、教学用具、作业本等准备,以良好的精神状态进入课堂。备课是上好课的基础,本学期数学组仍采用年级组群众备课形式,要求教案尽量做到环节齐全,反思具体,有价值。群众备课时,所有教师务必做好准备,每个单元负责教师要提前安排好资料及备课方式,对于教案中修改或补充的资料要及时地在旁边批注,电子教案的可在旁边用红色批注(发布学校网数学组板块内),使群众备课不流于形式,每节课前都要做到课前的“复备”。 每一位教师在个人研究和群众备课的基础上构成适合自我、实用有效的教案,更好的为课堂教学服务。各年级组每月带给单元备课活动记录,在规定的群众备课时间,教师无特殊原因不得缺席。 提高课后反思的质量,提倡教学以后将课堂上精彩的地方进行实录,以案例形式进行剖析。对于原教案中不合理的及时记录,结合课堂重新修改和设计,同年级教师能够共同反思、共同提高,为以后的教学带给借鉴价值。数学教师每周反思不少于2次,每学期要有1-2篇较高水平的反思或教学案例,及时发布在向学校网上,学校将及时进行评审。 教案检查分平时抽查和定期检查两种形式,“推门课”后教师要及时带给本节课的教案,每月26号为组内统一检查教案时间,每月检查结果将公布在学校网数学组板块中的留言板中。 2、课堂教学课堂是教学的主阵地。教师不但要上好公开课,更要上好每一天的“常规课”。遵守学校教学常规中对课堂教学的要求。 高中数学-不等式的解法 若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0, n € N *, n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。(完整版)高中数学不等式归纳讲解
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