数学竞赛专题讲座七年级第讲计算工具与算法的变迁含答案
第五讲 计算——工具与算法的变迁
研究数学、学习数学总离不开计算,随着时代的变迁,计算工具在不断地改变,从中国古老的算盘、
纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算.
初中代数中运算贯穿于始终,运算能力是运算技能与逻辑能力的结合,它体现在对算理算律的理解与使用,综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上,这要求我们要善于观察问题的结构特点,灵活选用算法和技巧,有理数的计算常用的方法与技巧有: 1.巧用运算律; 2.用字母代数; 3.分解相约; 4.裂项相消; 5.利用公式; 6.加强估算等.
“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类,科学计算已经与理论研究、科学实验一起,成为第三种科学方法.——威尔逊
注:威尔逊,著名计算物理学家,20世纪80年代诺贝尔奖获得者.
【例1】 现有四个有理数3,4,6-,l0,将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算,使其结果等于24,其三种本质不同的运算式有:
(1) ;(2) ;(3) . (浙江省杭州市中考题) 思路点拨 从24最简单的不同表达式人手,逆推,拼凑.
链接: 今天,计算机泛应用于社会生活各个方面,计算机技术在数学上的应用,不但使许多繁难计算
变得简单程序化,而且还日益改变着我们的观念与思维. 著名的计算机专家沃斯说过:“程序=算法十数据结构”. 有理数的计算与算术的计算有很大的不同,主要体现在: (1)有理数的计算每一步要确定符号; (2)有理数计算常常是符号演算;
(3)运算的观念得以改变,如两个有理数相加,其和不一定大于任一加数;两个有理数相减,其差不一定小于被减数.
程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形,能清晰地展现算法的逻辑结构,常见的逻辑结构有:顺序结构、条件结构和循环结构.
【例2】 如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ,那么,q p n m +++等于( ).
A .10
B .2l
C .24
D .26
E .28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式. 【例3】 计算: (1)100
321132112111+++++++++++
; (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)19492
—19502
+19512
—19522
+…+19972
—19982
+19992
(北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002
.
思路点拨 对于(1),首先计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形人手;(2)式使人易联想到平方差公式,对于(3),由于相邻的后一项与前一项的比都是5,可从用字母表示和式着手.
链接:裂项常用到以下关系式: (1)
b
a a
b b a 1
1+=+; (2)
11
1)1(1+-=+a a a a ;
(3)
b
a a
b a a b +-=+1
1)(.
运用某些公式,能使计算获得巧解,常用的公式有: (1)))((2
2
b a b a b a -+=-; (2)2
)
1(321+=
++++n n n . 错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧.
【例4】(1)若按奇偶分类,则22004+32004+72004+92004
是 数;
(2)设553=a ,444=b ,33
5=c ,则c b a 、、的大小关系是 (用“>”号连接); (3)求证:32002
+42002
是5的倍数.
思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算,解与乘方运算相关问题常用到以下知识:①乘方意义;②乘方法则;③02≥n
a
;④n a 与a 的奇偶性相同;⑤在r k n +4中(k ,r 为非负整
数,0≠n ,0≤r <4),当r =0时,r
k n +4的个位数字与n 4
的个位数字相同;当0≠r 时,?
r k n +4的个位数字与r n 的个位数字相同.
【例5】有人编了一个程序:从1开始,交替地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法),每次加法,将上次运算结果加2或加3;每次乘法,将上次运算结果乘2或乘3,例如,30可以这样得到:
(1)证明:可以得到22; (2)证明;可以得到222
97100
-+.
思路点拨 (1)试值可以得到22,从计算中观察得数的规律性,为(2)做准备;(2)连续地运用同一种运算以获得高次,在进行适当的变换可以求解.
【例6】(1)已知a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数,0 200520042003)()(e d c ab -+--的值为__________. (第19届江苏省竞赛题) (2)已知2006200512 2006 220052)1(164834121-++-++-+-= + k k k S ,则小于S 的最大整数是______. (第11届“华杯赛“试题) 思路点拨 对于(1)从倒数、相反数的概念入手;(2)通过对数式的分组,估算S 的值的范围. 【例7】按下面的程序计算,若开始输入的值x为正数,最后输出的结果为656,则满足条件的x的不同值最多有(). A.2个 B.3个 C.4个 D.5个(义乌市中考题) 思路点拨看懂程序图,循环运算是解本题的关键. 【例8】如图所示是一3 3?的幻方,当空格填上适当的数后,每行、每列及对角线上的和都是相等的,求k的值.(两岸四地少年数学邀请赛试题) 思路点拨为充分利用条件,需增设字母,运用关系式求出k的值. 基础训练 一、基础夯实 1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________; (2)若a= -2004 2003 ,b=- 2003 2002 ,c=- 2002 2001 ,则a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号 连接〉. 2.计算:(1)0.7×14 9 +2 3 4 ×(-15)+0.7× 5 9 + 1 4 ×(-15)=________; (第15届江苏省竞赛题) (2) 191919 767676 - 7676 1919 =________. (第12届“希望杯”邀请赛试题) (3) 1 35 ? + 1 57 ? +…+ 1 19971999 ? =________; (天津市竞赛题) (4)(13.672×125+136.72×12.25-1367.2×1.875)÷17.09=________. (第14届“五羊杯”竞赛题) 3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),?使得等式成立:6□3□2□12=2 4. (第17届江苏省竞赛题) 4.1999加上它的1 2 得到一个数,再加上所得的数的 1 3 又得到一个数,再加上这次得数的 1 4 又得到一个数,……,依此类推,一直加到上一次得数的 1 1999 ,那么最后得到的数是 _________. 5.根据图所示的程序计算,若输入的x值为3 2 ,则输出的结果为( ). A.7 2 B. 9 4 C. 1 2 D. 9 2 (2002年北京市海淀区中考题 ) 输出结果 y=-x+21 y=x 2 -1 y=x+2-2≤x ≤-1 输出y 值 输入x 值 6.已知a=- 199919991999199819981998 ?-?+,b=- 200020002000199919991999 ?-?+,c=- 200120012001200020002000 ?-?+,则 abc=( ). A.-1 B.3 C.-3 D.1 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 7.如果有理数a 、b 、c 满足关系a 23 bc ac ab c -的值( ). A.必为正数 B.必为负数 C.可正可负 D.可能为0 8.将322、414、910、810由大到小的排序是( ). A.322、910、810、414 B.322、910、414、810 C.910、810、414、322 D.322、414、910、810 (美国犹他州竞赛题) 9.阅读下列一段话,并解决后面的问题: 观察下面一列数:1,2,4,8,…,我们发现,这一列数从第2项起,?每一项与它前一项的比都等于2. 一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,?这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比. (1)等比数列5,-15,45,…的第4项是________; (2)如果一列数a 1,a 2,a 3,a 4,…是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有 ? 21a a =q, 32a a =q, 43 a a =q,…, 所以a 2=a 1q,a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2,a 4=a 3q=a 1q 3,…,a n =_______(用a 1与q 的代数式表示). (3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. (2003年广西省中考题) 10.(1)已知a 、b 、c 都不等于零,且||a a +||b b +||c c +||abc abc 的最大值是m,最小值为n,求m n mn 的值. (2)求证:5353-3333是10的倍数. 二、能力拓展 11.计算:(1) 22003400420032002400820032004 22003300520032003200520053005 -?+?-?-?-?+?=_________. (第15届“希望杯”邀请赛试题) (2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=___________; (3) 1233695101571421 13539155152572135??+??+??+????+??+??+??=_______________. (4)98+998+9998+…+509 9998???个=_________.(2003年“信利杯”竞赛题) 12.(1)32001×72002×132003所得积的末位数字是________;(第17届江苏省竞赛题) 13.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数(a 为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较n n+1与(n+1)n 的大小(n 是自然数),然后,我们从分析n=1,n=2,n=3,……中发现规律,经归纳、猜想得出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“)”、“=”、?“〈”号〉. ①12_____21; ②23______32; ③34______43; ④45______54; ⑤56_____65;…… (2)从第(1)题的结果经过归纳,可以猜想出n n+1和(n+1)n 的大小关系是_______. (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,试比较下列两个数的大小20012002___20022001. (江苏省常州市中考题) 15.如果 11||t t +22||t t +33||t t =1,则123123 ||t t t t t t 的值为( ). A.-1 B.1 C.±1 D.不确定 (2003河北省竞赛题) 16.如果ac<0,那么下面的不等式 a c <0,a c 2<0,a 2c<0,c 3a<0,ca 3<0中必定成立的有( ? ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.设S=213?+2235?+3257?+…4929799?,T=13+25+2 27 +…48299,则S-T=( ). A.49299 B.1-49299 C.49299-1 D.49 299 +1 (第14届“五羊杯”竞赛题) 18.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”,则这10个有理数的和为( ). A. 12 B. 1118 C. 76 D. 5 9 (第11届江苏省竞赛题) 19.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数: 14,1 2 ,1,2,4,8,?16,?32,64填 入方格中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x 的值. (上海市竞赛题) 64x 32 20.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形式,又可分别表示为0, a b ,b的 形式,求a2002+b2001的值. 三、综合创新 21.(1)三个2,不用运算符号,写出尽可能大的数; (2)三个4,不用运算符号,写出尽可能大的数. (3)用相同的3个数字(1~9),不用运算符号,写出最大的数. 22.如图,是一个计算装置示意图,J1、J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质: (1)若J1、J=2分别输入1,则输出结果为1; (2)若J=1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2; (3)若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍. 试问:(1)若J1输入1,J2输入自然数n,输出结果为多少? (2)若J2输入1,J1输入自然数m,输出结果为多少? (3)若J1输入自然数m,J2输入自然数n,输出的结果为多少? (2002年扬州中学招生试题) C n m j2 j1 答案: 1.(1)154000,(2)a>b>c. 2.(1)-4 3.6;(2)-334;(3) 9985997 ; (4)?48,?注意13672=?8?×1709. 3.略 4.1999000 提示:原式=1999×(1+ 12)(1+13)×…×(1+11999 ) 5.C 6.A 7.B 8.A 9.(1)-135;(2)a n =a 1q n-1;(3)a 1=5,a 4=40. 10.(1)-16 提示: || x x =±1,m=4,n=-4;(2)5353与3333的个位数字相同. 11.(1) 667668 ;(2)6 提示:2n+1-2n =2n ;(3) 2 5 ; (4) 111000491 ???个 12.(1)9;(2)115200 13.-12 14.(1)略;(2)当n<3时,n n+1<(n+1)n ;当n ≥3时,n n+1>(n+1)n ;(3)>. 15.A 16.C 17.B 提示: 1111()(2) 22 n n n n = -++ 18.A 19.这9个数的积为 14×1 2 ×1×2×4×8×16×32×64=643, 所以,每行、每列、每条对角线上三个数字积为64, 得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f 分别为 14,1 2 , 2,4中的某个数,推得x=8. f e d c b a 64 x 32 20.2 提示:这两个三数组在适当的顺序下对应相等, 于是可以断定,a+b 与a?中有一个为0, b a 与b 中有一个为1,再讨论得a=-1,b=1. 21.(1)222;(2)444=4256>444; (3)设所用数字为a,可得下面4种写法: ①当a=1时,111最大;②当a=2时,222最大;③当a=3时,333最大;④当a ≥4时,a 最大. 22.由题意设输出数, 设C(m,n)为k,则C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,?1)?=2C(m-1,1). (1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2=…= C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1 (2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=…=2m-1C(1,1)=2m-1. (3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=…=C(m-1)+2(n-1) =22C(m-2,1)+2(n-1)=…=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2. 提高训练 1.若1+=m m ,则2004 ) 14(+m =______. (“希望杯”邀请赛试题) 2.符号“f ”表示一种运算,他对一些数的运算结果是: (1)0)1(=f ,1)2(=f ,2)3(=f ,3)4(=f ,… (2)2)21 (=f ,3)31(=f ,4)41(=f ,5)5 1(=f ,… 利用以上规律计算:=-)2008()2008 1 (f f ______. (贵阳市中考题) 3.3028864215144321-+-+-+-+-+-+- 等于( ). A .41 B .41- C .21 D .2 1 - (“希望杯”邀请赛试题) 4.20032004 )2(3) 2(-?+- 的值为( ). A .20032- B .20032 C .20042- D .20042 (江苏省竞赛题) 5.自然数d c b a 、、、满足 111112222=+++d c b a ,则6 5431 111d c b a + ++等于( ). A .81 B .163 C .327 D .64 15 (北京市竞赛题) 6.d c b a 、、、是互不相等的正整数,且441=abcd ,那么d c b a +++的值是( ). A .30 B .32 C .34 D .36 (“希望杯”邀请赛试题) 7.已知55)(2 +=+++b b b a ,且012=--b a .求ab 的值.(北京市迎春杯竞赛题) 8.已知a 、b 、c 都不等于0,且 abc abc c c b b a a +++的最大值为m ,最小值为n ,则=+2005)(n m ______. (重庆市竞赛题) 9.从下面每组数中各取一个数,将它们相乘,那么所有这样的乘积的总和是______. 第一组:5-,31 3 ,4.25,5.75; 第二组:312-,15 1 ; 第三组:2.25,12 5 ,4-. (“华杯赛”试题) 10.计算:2006 6423 100864231006642310046423+++++ +++++++++++++++ 的值是( ). A . 10033 B .10043 C .3341 D .1000 1 (第18届五羊杯竞赛题) 11.已知有理数x 、y 、z 两两不相等,则 z y y x --,x z z y --,y x x z --中负数的个数是( ). A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 (重庆市竞赛题) 12.若有理数x 、y 使得y x +、y x -、xy 、y x 这四个数中的三个数相等,则x y -的值是( ). A .21- B .0 C .21 D .2 3 (天津市竞赛题) 13.已知05 43 2 A .0 B .04 2 1(m m A +- +-+-= ,)1 1)(11()311)(311)(211)(211(n n B +-+-+-= . 证明:(1)m m A 21+=,n n B 21 +=; (2)若26 1 =-B A ,求m 和n 的值. (华杯赛试题) E D A 2017七年级下册数学期末模拟试卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.) 1、下面四个图形中,∠1与∠2为对顶角的图形是() A、B、C、D、 2、调查下面问题,应该进行抽样调查的是() A、调查我省中小学生的视力近视情况 B、调查某校七(2)班同学的体重情况 C、调查某校七(5)班同学期中考试数学成绩情况 D、调查某中学全体教师家庭的收入情况 3、点3 (- P,)2位于() A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4、如图是某机器零件的设计图纸, 在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸, 正确的是( ) A、 B、 C、 D、 5、下列命题中,是假命题的是() A、同旁内角互补 B、对顶角相等 C、直角的补角仍然是直角 D、两点之间,线段最短 6、下列各式是二元一次方程的是() A.0 3= + -z y x B. 0 3= + -x y xy C. 0 3 2 2 1 = -y x D. 0 1 2 = - +y x 7、某班共有学生49人.一天,该班某男生因事请假,当天的男生人数恰为女生人数的一半. 若设该班男生人数为x,女生人数为y,则下列方程组中,能正确计算出x,y的是(). A、 ? ? ?x–y= 49 y=2(x+1)B、?? ?x+y= 49 y=2(x+1)C、?? ?x–y= 49 y=2(x–1)D、?? ?x+y= 49 y=2(x–1) 8、某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分.小明得分要超过120分,他至少要答对多 少道题?如果设小明答对x道题,则他答错或不答的题数为20-x. 根据题意得:() A、10x-5(20-x)≥120 B、10x-5(20-x)≤120 C、10x-5(20-x)> 120 D、10x-5(20-x)<120 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)请把下列各题的正确答案填写在答案卷上. 9、电影票上“6排3号”,记作(6,3),则8排6号记作__________ . 10、 ? ? ? = - = + = 9 6 2 _________ y x y ax a时,方程组 ? ? ? - = = 1 8 y x 的解为. 11、如图,直线a、b被直线c所截,若要a∥b,需增加条件(填一个即可). 12、为了了解某所初级中学学生对2008年6月1日起实施的“限塑令”是否知道,从该校全体学生1200 名中,随机抽查了80名学生,结果显示有2名学生“不知道”.由此,估计该校全体学生中对“限塑令”约 有名学生“不知道”. 13、甲地离学校4km,乙地离学校1km,记甲乙两地之间的距离为km d,则d的取值范围为. 三、解答题(本大题共5小题,每小题7分,共35分) 14、解方程组 1 528 y x x y =- ? ? += ? . 15、解不等式 1 32 2 x x - ≥+,并把它的解集在数轴上表示出来. 16、将一副直角三角尺如图放置,已知∠EAD=∠E=450,∠C=300, AE BC ∥,求AFD ∠的度数. 17、已知等腰三角形的周长是14cm.若其中一边长为4cm,求另外两边长. 9.9 10.1 9.9 10.1 L=10±0.1 初一数学竞赛选拔考试题 班级___________________姓名__________________得分_________ 一、填空题:(4分×15=60分) 1、某人上山速度是4,下山速度是6,那么全程的平均速度是________. 2、()()_______________154 1957.0154329417.0=-?+?+-?+?. 3、甲、乙两同学从400 m 环形跑道上的某一点背向出发,分别以每秒2 m 和每秒3 m 的速度慢跑.6 s 后,一只小狗从甲处以每秒6 m 的速度向乙跑,遇到乙后,又从乙处以每秒6 m 的速度向甲跑,如此往返直至甲、乙第一次相遇.那么小狗共跑了 m . 4、定义a *b =ab+a+b,若3*x =27,则x 的值是 . 5、三个相邻偶数,其乘积是六位数,该六位数的首位是8,个位是2,这三个偶数分别是_______. 6、三艘客轮4月1日从上海港开出,它们在上海与目的地之间往返航行,每往返一趟各需要2天、3天、 5天.三艘客轮下一次汇聚上海港是_____月_____日. 7、设m 和n 为大于0的整数,且3m +2n =225,如果m 和n 的最大公约数为15,m+n =_____. 8、a 与b 互为相反数,且|a -b |=54,那么1 2+++-ab a b ab a = . 9、已知3,2,a b b c -=-=则2()313a c a c -++-=___________. 10、若正整数x ,y 满足2004x =105y ,则x+y 的最小值是___________. 11、数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列规律:前两个数是1,从第3个数开始,每一个 数都是它前两个数的和,这个数列叫做斐波那契数列,在斐波那契数列中,前2010个数中共有___________个偶数. 12、若200420032002,,200320022001 a b c =-=-=-,则,,a b c 的大小关系是___________. 13、任意改变7175624的末四位数字顺序得到的所有七位数中,能被3整除的数的有____个. 14、有一个两位数,被9除余7,被7除余5,被3除余1,这个两位数是 . 15、在自然数1,2,3,…,100中,能被2整除但不能被3整除的数有_______个. 二、解答题:(8分×5=40分) 1、计算:1111 (24466820042006) ++++???? 2、甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行,两人相遇在距离A 地10千米处.相遇后,两人继续前 进,分别到达B 、A 后,立即返回,又在距离B 地3千米处相遇,求A 、B 两地的距离. 3、设 3 个互不相等的有理数,既可以表示成为1,a+b,a 的形式,又可以表示为0, ,a b b 的形式,求 第六章《实数》计算题 1.计算: (1)||+|﹣1|﹣|3|(2)﹣++. |2.计算:﹣|2﹣﹣.2+)=+.(2)(x﹣13.()计算:1 234.计算:﹣3+|.|+﹣.﹣|++|.计算53﹣ 2015.6.计算:(﹣1)|++|﹣2+2015)1.计算:(﹣7+.+|1﹣|﹣32=9.)(x﹣1 (2)4 (1)5x =﹣40 .解方程823﹣8=0.﹣1)②27(x9.求下列各式中x的值:①4x=25 23=﹣27).2)(2x+10 4x 10.求下列各式中的x (1)(=81;233x)(2 (1)(x+1)﹣3=0;11.求下列各式中x的值+4=﹣20. 2)()+12.计算(1﹣||+﹣(21)+ .计算题:13..﹣(﹣+|(;﹣+)(14.计算 1 2)1|+1) ..1516.计算: 2|﹣﹣)﹣﹣|+6(﹣1() |.2﹣|+|﹣﹣|+|1)2(|2﹣16=0 3)+)(34(x3.8﹣=)3﹣x (27)4(.,,﹣1.732,,,﹣3,0,0.3,17.把下列各数分别填在相应的括 号内:,,,0.1010010001…,||,整数{}; 分数;{}; 正数{}; 负数{}; 有理数{}; 无理数{}. 18.将下列各数填入相应的集合内. ,,,π,0.1010010001…,,0﹣7,0.32,①有理数集合 {…} …}②无理数集合{ }③负实数集合 {…..把下列各数按要求填入相应的大括号 里:192 0,﹣(﹣,﹣2π,,2.10010001…,3)44.510﹣,,﹣,};{整数集合:{分数集合:};;}{自然数集合: {正有理数集合:}.20.把下列各数分别填入相应的大括号12,﹣,﹣+,0.1010010001…,1.5,30%,3.140,||,﹣5﹣,﹣,﹣6﹣(﹣){正有理数集合:}… 非正整数集合:{…} 负分数集合:{…} 无理数集合:{…}. 21.将下列各数填入相应的集合中. 22,﹣2.55555…,3.01,+9,﹣,4.020020002…,+10%,﹣2π.﹣7,0 ,无理数集合:{ }; 武康中学七(下)第一次数学基础知识竞赛 班级 姓名 学号 一、选一选(每小题 4 分,共 32 分) 1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( ) (A ) x (a - b ) = ax - bx (B ) ax + bx + c = x (a + b ) + c (C ) x 2 - 2x +1 = (x -1)2 (D ) x 2 -1+ y 2 = (x -1)(x +1) + y 2 2. 已知某种植物花粉的直径为 0.00035 米,用科学记数法表示 该种花粉的直径是( ) (A )3.5×10 4 米 (B )3.5×10 -4 米 (C )3.5×10 -5 米 (D )3.5×10 -6 米 3. 如图,由△ABC 平移得到的三角形有几个 ( ) (A )3 (B )5 (C )7 (D )15 4.小马虎在下面的计算中做对的题目是( ) (A ) a 7 + a 6 = a 13 (B ) a 7 ? a 6 = a 42 (C ) (a 7 )6 = a 42 (D ) a 7 ÷ a 6 = 7 6 5. 下列图形中,∠1 与∠2 不是同位角的是( ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 1 7.方程组? 6. 下列多项式中,不能运用平方差公式因式分解的是( ) (A ) -m 2 + 4 (B ) -x 2 - y 2 ( C ) x 2 y 2 -1 (D ) (m - a )2 - (m + a ) 2 ?2x - y = 3 ? 4x + 3y = 1 的解是( ) (A ) ??x = 1 (B ) ??x = -1 (C ) ??x = 2 (D ) ?x = -2 ? y = -7 ? y = -1 ? y = -1 ? y = 1 8. 古代有这样一个寓言故事:驴子和骡子一同走,它们驮着不 同袋数的货物,每袋货物都是一样重的。驴子抱怨负担太重, 骡子说:“你抱怨干嘛,如果你给我一袋,那我所负担的就是你的两倍;如果我给你一袋,我们才恰好驮的一样多!” 那么驴子原来所驮货物的袋数是( ) (A )5 (B )6 (C )7 (D )8 二、填一填(每小题 4 分,共 28 分) 9. 当 x = 时,分式 3x - 9 的值为零. x - 2 10. 如图,请添一个使 EB//AC 的条件 。 11.分解因式:16a 2 - 9b 2 = . 12.计算: (- 1)0 ? 3-2 = . 3 13. 如图,直线 AB ,CD 被 EF 所截,且 AB ∥ CD , 如 果 ∠ 1=125° , 那 么 ∠ 2= . 14. 若 非 零 实 数 a , b 满 足 2 a 2 - ab + 1 b 2 = 0 , 则 b 4 a = 第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过:数学是锻炼思维的体操,体操能使你身体健康,动作敏捷;数学能使你的思想正确敏捷,有了正确的思想,你们才有可能爬上科学的大山.” _______华罗庚。 华罗庚,我国现代有世界声誉的数学家,初中毕业后,靠自学成才,在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献. 纵观历史,数学的发展创造了数学符号,新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展.历史是这样一步一步走过来的,并将这样一步一步地继续走下去,数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生.在文明和科学的发展过程中,人类创造用符号代替语言、文字的方法,这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性.“算术”可以理解为“计算的方法”,而“代数”可以理解为“以符号替代数字”,即“数学符号化”.著名数学教育家玻利亚曾说:“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言.” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事,是由算术跨越到代数的桥梁,是人类发展史上的一个飞跃,也是代数与算术的最显著的区别. 字母表示数使得数学具有简洁的语言,能更普遍地说明数量关系,在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用. 例题讲解 【例1】观察下列等式9—l=8,16—4=12,25—9=16,36—16=20,…… 这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来: .(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,发现一般规律.链接:从个别事物中发现一般性规律.这种研究问题的方法叫“归纳法”,是由特殊到一般的思维过程,是发明创造的基础. 【例2】某商品2002年比2001年涨价5%,2003年又比2002年涨价10%,2004年比2003年降价12%,则2004年比2001年( ). A.涨价3%B.涨价1.64%C涨价1.2%D.降价1.2% 思路点拨设此商品2001年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断. 2015年七年级上学期 数学竞赛试题 一、填空题(每小题4分,共40分) 1. 甲、乙、丙、丁四个数之和等于-90,甲数减-4,乙数加-4,丙数乘-4,丁数除-4 彼比相等,则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大__ 2.计算(-21 24+ 7 113÷ 24 113- 3 8)÷1 5 12=___。 3. 已知与是同类项,则=__。 4. 有理数在数轴上的位置如图1所示,化简 5.某班学生去参加义务劳动,其中一组到一果园去摘梨子,第一个进园的学生摘了1个梨子,第二个学生摘了2个,第三个学生摘了3个,……以此类推,后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子,这样恰好平均每个学生摘了6个梨子,请问这组学生的人数为____. 6. 小明骑车自甲地经乙地,先上坡后下坡,到达乙地后立即返回甲地,共用34分钟,已知上坡速度是400米/分,下坡速度是450米/分,则甲地到乙地的路程是__米。 7. 学校开运动会,班长想分批买汽水给全班50名师生喝,喝完的空瓶根据商店规定每5个 空瓶又可换一瓶汽水,则至少要买瓶汽水,才能保证每人喝上一瓶汽水. 8. 有这样一个衡量体重是否正常的简单算法。一个男生的标准体重(以公斤为单位)是其 身高(以厘米为单位)减去110。正常体重在标准体重减标准体重的10%和加标准体重的10之间。已知甲同学身高161厘米,体重为W,如果他的体重正常,则W的公斤数的取值范围是_____. 9. m、n、l都是二位的正整楼,已知它们的最小公倍数是385,则m+n+l的最大值是__。 10. 已知x =5时,代数式ax 3+bx -5的值是10,当x =-5时,代数式ax 3+bx +5=__。 二、选择题(每小题5分,共30分) 1.-|-3|的相反数的负倒数是( ) (A )-13 (B )13 (C )-3 (D )3 2. 如图2所示,在矩形ABCD 中,AE =B =BF =21AD =3 1AB =2, E 、H 、G 在同一条直线上,则阴影部分的面积等于( ) (A)8. (B)12. (C)16. (D)20. 3. 十月一日亲朋聚会,小明统计大家的平均年龄恰是38岁,老爷爷说,两年前的十月一日 也是这些人相聚,那么两年前相聚时大家的平均年龄是( )岁。 (A )38 (B )37 (C )36 (D )35 4.探险队要达到目的地需要坐船逆流而上,途中不小心把地图掉入水中,当有人发现后, 船立即掉头追这张地图,已知,船从掉头到追上地图共用了5分钟,那么,这个人发现地图掉到水中是 ( ). (A )4分钟后 (B )5分钟后 (C )6分钟后 (D )7分钟后 5. 秋季运动会上,七年级(1)班的萌萌、路佳、王玉三人一起进行百米赛跑(假定三人 均为匀速直线运动).如果当萌萌到达终点时,路佳距终点还有10米,王玉距终点还有20 米.那么当路佳到达终点时,王玉距终点还有( ) A.10米 B.889米 C.1119 米 D.无法确定 6.已知a ≤2,b ≥-3,c ≤5,且a -b +c =10,则a +b +c 的值等于( )。 (A )10 (B )8 (C )6 (D )4 三、解答题(每小题10分,共30分) ⑴ (2x -1)(4x 2+1)(2x +1); ⑵ (2a -b +3)(2a -3+b ); ⑶ 4(a +2)2-7(a +3)(a -3)+3(a -1)2. 把下列各式因式分解: ⑴ -36x 2+12xy -y 2; ⑵ 9(2a +3b )2-4(3a -2b )2; ⑶ (x 2-2x )2+2(x 2-2x )+1; 先化简,再求值: 2(x -y )2-(y -x )2-(x +y )(y -x ),其中x =3,y =-2. (1)66)34(375.0-? (2)2)2 1()3(20-÷-+-- (3))12)(12(-++-b a b a (4))31)(91)(31(22y x y x y x -++ 化简并求值(要看清楚哦!). 22)())((2)(m n n m n m n m -++--+,其中2,2005-==n m 已知6)(,18)(22=-=+y x y x ,求的值。及xy y x 22+ (1)102322334)()()(2a a a a a +?+ (2)0422101010)10 1(??+-- (3)4x (x -1)2+x (2x +5)(5-2x ) (4)(a +3b -2c )(a -3b -2c ) 20.因式分解:(1)9)(6)(2++++b a b a (2)222y x xy --- (3)42222)2(2)2(y xy x y xy x +-+- (2a -b)(a+2b) (1)()3 2(1+-03)-π+322-2-)()(+-(2)23)3(a -3a ?+(-4a)?2 7a ?+(-5a 3)3 (3)(m+1)(m+2)(m-1)(m-2) (4)xy y x y x 2)3()3(22-+-- . 因式分解 (1)22323642y x y x x +- (2)2732-a (3)22)2()2(z y x z y x +---+ (4)48422-+-ax x a 初中数学竞赛辅导资料(14)经验归纳法 甲内容提要 1.通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归 纳法,也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( - 1)2= 1 ,(- 1 )3=- 1 ,(- 1 )4= 1 ,……, 归纳出- 1 的奇次幂是- 1,而- 1 的偶次幂是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个( 9 × 10 ), 三位数从 100 到 999 共900个(9×102), 四位数有9×103=9000个(9×103), ………… 归纳出n 位数共有9×10n-1 (个) ③由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42…… 推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明 朗化,必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或 否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归 纳法证明) 乙例题 例1 平面内n条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点? 解:两条直线只有一个交点, 1 2 第3条直线和前两条直线都相交,增加了2个交点,得1+2 3 第4条直线和前3条直线都相交,增加了3个交点,得1+2+3 第5条直线和前4条直线都相交,增加了4个交点,得1+2+3+4 ……… 第n条直线和前n-1条直线都相交,增加了n-1个交点 由此断定n 条直线两两相交,最多有交点1+2+3+……n-1(个), 这里n≥2,其和可表示为[1+(n+1)]× 21 + n , 即 2)1 (- n n 个交点。2017七年级,下册数学期末试卷
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