离散数学第三章消解原理

*第三章消解原理

斯柯伦标准形

内容提要

我们约定，本章只讨论不含自由变元的谓词公式(也称语句,sentences)，所说前束范式均指前束合取范式。

全称量词的消去是简单的。因为约定只讨论语句，所以可将全称量词全部省去，把由此出现于公式中的“自由变元”均约定为全称量化的变元。例如A(x)实指xA(x)。

存在量词的消去要复杂得多。考虑xA(x)。

（1）当A(x)中除x外没有其它自由变元，那么，我们可以像在自然推理系统中所做那样，可引入A(e/x)，其中e为一新的个体常元，称e为斯柯伦（Skolem）常元，用A(e/x)代替xA(x),但这次我们不把A(e/x)看作假设,详见下文。

（2）当A中除x外还有其它自由变元y1,…,y n，那么xA(x, y1,…,y n) 来自于y1…y n xA(x, y1,…,y n)，其中“存在的x”本依赖于y1,…,y n的取值。因此简单地用A(e/x, y1,…,y n)代替xA(x, y1,…,y n) 是不适当的，应当反映出x对y1,…,y n的依赖关系。为此引入函数符号f，以A(f(y1,…,y n)/x, y1,…,y n) 代替xA(x, y1,…,y n)，它表示：对任意给定的y1,…,y n, 均可依对应关系f确定相应的x，使x, y1,…,y n满足A。这里f是一个未知的确定的函数，因而应当用一个推理中尚未使用过的新函数符号，称为斯柯伦函数。

定理（斯柯伦定理）对任意只含自由变元x, y1,…,y n的公式A(x, y1,…,y n)，xA(x, y1,…,y n)可满足，当且仅当A(f(y1,…,y n), y1,…,y n)可满足。这里f为一新函数符号；当n = 0时，f为新常元。

定义设公式A的前束范式为B。C是利用斯柯伦常元和斯柯伦函数消去B中量词（称斯柯伦化）后所得的合取范式，那么称C为A的斯柯伦标准形（Skolem normal form）。

以下我们约定：斯柯伦标准形中，各子句之间没有相同的变元。

定义子句集S称为是可满足的，如果存在一个个体域和一种解释，使S中的每一个子句均为真，或者使得S的每一个子句中至少有一个文字为真。否则, 称子句集S是不可满足的。

习题解答

练习

1、求下列各式的斯柯伦标准形和子句集。

（1）┐(xP(x)→y zQ(y, z))

（2）x(┐E(x, 0)→y(E(y, g(x))∧z(E(z, g(x))→E(y, z))))

（3）┐(xP(x)→y P(y))

（4）（1）∧（2）∧（3）

解（1）┐(xP(x)→y zQ(y, z))┝┥┐xP(x)∧y zQ(y, z)

┝┥x┐P(x)∧y zQ(y, z)

斯柯伦标准形：┐P(e1)∧Q(e2, z)

子句集：{┐P(e1)，Q(e2, z)}

（2）x(┐E(x, 0)→y(E(y, g(x))∧z(E(z, g(x))→E(y, z))))

┝┥x y z (E(x, 0)∨(E(y, g(x))∧(┐E(z, g(x))∨E(y, z))))

┝┥x y z ((E(x, 0)∨E(y, g(x)))∧(E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(y, z)))

斯柯伦标准形：(E(x, 0)∨E(f(x), g(x)))∧(E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(f(x), z))子句集：{ E(x, 0)∨E(f(x), g(x)), E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(f(x), z)}

（3）┐(xP(x)→y P(y))┝┥xP(x)∧┐y P(y)

┝┥xP(x)∧y┐P(y)

┝┥x y (P(x)∧┐P(y))

斯柯伦标准形：P(x)∧┐P(y)

子句集：{P(x),┐P(y) }

（4）（1）∧（2）∧（3）

斯柯伦标准形：┐P(e1)∧Q(e2, z)∧(E(x, 0)∨E(f(x), g(x)))∧(E(u, 0)∨┐E(y, g(u))∨E(f(u), y))∧P(w)∧┐P(v)

子句集：{┐P(e1)，Q(e2, z), E(x, 0)∨E(f(x), g(x)), E(u, 0)∨┐E(y, g(u))∨E(f(u), y), P(w),┐P(v)}

2、设公式A1，A2的子句集分别为S1，S2，如果S1与S2等值（表示对应的斯柯伦标准形有相等的真值），问是否一定有A1与A2等值，为什么

解 不一定有A1与A2等值。例如，个体域为自然数集合，A1为y P(y)，A2为y Q(y)，P(y)表示：y 是偶数，Q(y)表示：y 是负数。y P(y)与y Q(y)不等值，但P(e1)与Q(e2)在解释I 把e1，e2确定为奇数时，却是等值的。

3、假如要利用子句集不可满足性来证明(P →Q)∧(Q →R)→(P →R)永真。试作出待证公式否定的子句集。

解 待证公式否定的子句集为：{ ┐P ∨Q, ┐Q ∨R,P, ┐Q}

4、要利用子句集不可满足性来证明例的推理是正确的。试作出这一推理的否定（┐（前提1∧前提2→结论））的子句集。

解

5. 试简述A(e/x) 或A(f(y 1,…,y n )/x, y 1,…,y n ) 可以在应用消解原理的推理中代替 xA(x) 或 y 1…y n xA(x, y 1,…,y n ) 的原因,以及选择e,f 应注意的事项。

解 A(e/x) 或A(f(y 1,…,y n )/x, y 1,…,y n ) 可以在应用消解原理的推理中代替 xA(x) 或 y 1…y n xA(x, y 1,…,y n ) 的原因是：

（1） （1）用消解原理证明定理A 或证明 ┝A ，是通过确认┐A 和B 1∧∧B n ∧

┐A(B 1,,B n 为中公式)的不可满足性来实现的。

（2） （2）A(e/x) ，A(f(y 1,…,y n )/x, y 1,…,y n )与xA(x) ，y 1…y n xA(x,

y 1,…,y n )的不可满足性是相同的。

选择e,f 应注意选择新常元和新函数符号，即在推理过程中尚未使用过的常元和函数符

号。

命题演算消解原理

内容提要

关于命题演算的消解原理。设C1，C2为两个子句，L1，L2是分别属于C1，C2的互补文字对，用C-L 表示从子句C 中删除文字L 后所得的子句，那么消解原理可表示为

)22()11(2

,1L C L C C C -∨- 其中C1,C2称为消解母式，L1，L2称为消解基，而(C1-L1)∨(C2-L2)称为消解结果。

特别地，当C1，C2都是单文字子句，且互补时，C1，C2的消解结果不含有任何文字，这时我们称其消解结果是“空子句”（nil ），常用符号 □ 表示之, 空子句□是永远无法被满足的。

关于消解原理我们有：

定理 设C 是C1，C2的消解结果，那么C 是C1和C2的逻辑结果。

本定理的证明可仿以上对式（）的证明，请读者自行完成。据本定理知，消解原理作为推理规则是适当的。

作为特别情况，p 与┐p 的消解结果是□，□实质上是p ∧┐p 的另一种表示形式,它们都是不可满足的，因而也满足定理的结论。

定义 设S 为一子句集，称C 是S 的消解结果，如果存在一个子句序列C 1，C 2 ，…,C n （= C ），使C i (i = 1,2, …,n) 或者是S 中子句，或者是C k ，C j (k,j < i) 的消解结果。该序列称为是由S 导出的C 的消解序列。当□是S 的消解结果时，称该序列为S 的一个否证

（refutations ）。

定理 如果子句集S 有一个否证，那么S 是不可满足的。

习题解答

练习

1、 1、完成定理证明。

证 设C1，C2为两个子句，L1，L2是分别属于C1，C2的互补文字对，用C-L 表示从子句C 中删除文字L 后所得的子句，那么消解原理可表示为

)22()11(2

,1L C L C C C -∨- 设C1，C2分别为L1∨C1’，L2∨C2’ ; L1，L2为消解基， 即C1’=C1- L1 ，C2’= C2- L2。

由于L2 = ┐L1，那么

（L1∨C1’）∧（L2∨C2’）┝（L1∨C1’）∧（┐L1∨C2’）

┝ （L1∧C2’）∨（C1’∧┐L1）∨（C1’∧C2’）

┝ C1’∨C2’

于是我们有

(L1∨C1’)∧(L2∨C2’)┝（C1- L1）∨（C2- L2）

即C1∧C2┝（C1- L1）∨（C2- L2）。这就是说，C1与C2的消解结果是C1和C2的 逻辑结果。

2、证明下列子句集是不可满足的。

（1）S = {p ∨q, ┐q ∨r, ┐p ∨q, ┐r}

解（1）p ∨q

（2）┐q ∨r

（3）┐p ∨q

（4）┐r

（5）┐q 由（2）（4）消解得

（6）p 由（1）（5）消解得

（7）┐p 由（3）（5）消解得

（8）□

（2）S = {p ∨q, q ∨r, r ∨w, ┐r ∨┐p, ┐w ∨┐q, ┐q ∨┐r}

解（1）p ∨q

（2）q ∨r

（3）r ∨w

（4）┐r ∨┐p

（5）┐w ∨┐q

（6）┐q ∨┐r

（7）┐r ∨q 由（1）（4）消解得

（8）q 由（2）（7）消解得

（9）┐w 由（5）（8）消解得

（10）┐r 由（6）（8）消解得

（11）r 由（3）（9）消解得

（12）□ 由（10）（11）消解得

3、用消解原理证明下列逻辑蕴涵式。

（1）(p ∨q)→r ┝ (p →r)∧(q →r)

解 S = {┐p ∨r,┐q ∨r, p ∨q , p ∨┐r, q ∨┐r, ┐r}

（1）┐p ∨r

（2）┐q∨r

（3）p∨q

（4）p∨┐r

（5）q∨┐r

（6）┐r

（7）┐p 由（1）（6）消解得

（8）┐q 由（2）（6）消解得

（9）q 由（3）（7）消解得

（10）□由（8）（9）消解得

（2）(p→r)∧(q→r) ┝ (p∨q)→r

解S = {┐p∨r,┐q∨r, p∨q , ┐r}

（1）┐p∨r

（2）┐q∨r

（3）p∨q

（4）┐r

（5）┐p 由（1）（4）消解得

（6）┐q 由（2）（4）消解得

（7）q 由（3）（5）消解得

（8）□由（6）（7）消解得

（3）(p→(┐q∨(r∧s)))∧p∧┐s┝┐q

解S = {┐p∨┐q∨r, ┐p∨┐q∨s, p,┐s, q }

（1）┐p∨┐q∨r

（2）┐p∨┐q∨s

（3）p

（4）┐s

（5）q

（6）┐q∨s 由（2）（3）消解得

（7）s 由（5）（6）消解得

（8）□由（4）（7）消解得

（4）(p∨q)∧(p→r)∧(q→s) ┝ r∨s

解S = { p∨q,┐p∨r, ┐q∨s, ┐r,┐s }

（1）p∨q

（2）┐p∨r

（3）┐q∨s

（4）┐r

（5）┐s

（6）┐q 由（3）（5）消解得

（7）p 由（1）（6）消解得

（8）r 由（2）（7）消解得

（9）□由（4）（8）消解得

4、已知有如下化学反应方程式

MgO+H2→Mg+H2O

C+O2→CO2

CO2+H2O→H2CO3

现假定有物质MgO，H2，O2和C，形式证明可生成H2CO3。（用∧代替方程式中+，用分子式作为命题符号，表示该物质存在，例如MgO表示：“有MgO”，而┐MgO则表示“没有MgO”，从而得到一系列命题演算公式，再用消解原理证明，由它们可推出H2CO3。）

解 S = {MgO, H 2, O 2, C, ┐MgO ∨┐H 2∨Mg, ┐MgO ∨┐H 2∨H 2O, ┐C ∨┐O 2∨CO 2 , ┐CO 2∨┐H 2O ∨H 2CO 3,┐H 2CO 3 }

（1）MgO

（2）H 2

（3）O 2

（4）C

（5）┐MgO ∨┐H 2∨Mg

（6）┐MgO ∨┐H 2∨H 2O

（7）┐C ∨┐O 2∨CO 2

（8）┐CO 2∨┐H 2O ∨H 2CO 3

（9） ┐H 2CO 3

（10）┐H 2∨Mg 由（1）（5）消解得

（11）┐H 2∨H 2O 由（1）（6）消解得

（12）┐O 2∨CO 2 由（4）（7）消解得

（13）Mg 由（2）（10）消解得

（14）H 2O 由（2）（11）消解得

（15）CO 2 由（3）（12）消解得

（16）┐H 2O ∨H 2CO 3 由（8）（15）消解得

（17）H 2CO 3 由（14）（16）消解得

（18）□ 由（9）（17）消解得

谓词演算消解原理

内容提要

定义 形如{t 1/v 1, t 2/v 2, …, t n /v n }的有穷集合称为一个代换（substitution ），其中v 1,…, v n 为任意变元，t 1,…,t n 为任意个体项，但t i ≠v i (i = 1,2, …,n)。当代换为一空集合时，称为空代换。代换用小写希腊字母表示，空代换记为，“对任意公式或项X 作代换”记为X ，其意为对X 中变元v 1,v 2,…, v n 分别作代入t 1,…,t n ，即 X = X{t 1/v 1, t 2/v 2, …, t n /v n }

对于空代换有X = X 。

定义 设={t 1/x 1,…,t n /x n }, ={s 1/y 1,…,s m /y m }是两个代换，与的合成，记为 ? ，指如下所得的代换：

从{ t 1/x 1,…,t n /x n , s 1/y 1,…,s m /y m }中删去

（1）s i /y i ， 当y i 恰为x 1,…,x n 之一

（2）t i /x i ，当t i = x i 。

很显然，由于作了（1），（2）删除， ? 仍为一代换。直觉地，它是指与先作代换、再作代换效果一样的一个代换。 ? = ? 一般不能成立。

定义 代换 称为表达式集合{X 1 ,… , X n }的一致化（unifier ），如果 使 X 1 = … = X n 。

{X 1 ,… , X n }的一致化称为是最一般的（most general unifier ，简记为mgu ），如果对{X 1 ,… , X n }的每一个一致化，均有一代换δ，使 = ?δ 。

{X 1 ,… , X n }有一致化（或称可一致化），则它必定有最一般的一致化mgu 。 考虑谓词公式斯柯伦标准形的子句集中的子句。

设C1，C2为两子句（我们曾约定它们无公共变元），分别含有文字L1和L2，且L1和┐L2（或 ┐L1和L2）可一致化，其mgu 为 。那么，下列推理规则称为一阶谓词演算的消解原理：

)22()11(2

,1θθθθL C L C C C -∨- 这一过程表示：先对C1，C2作代换，使L1与 ┐L2（或 ┐L1和L2）一致化，然后再消解掉L1和L2，其余文字的析取便是C1，C2的消解结果。

如果在一阶谓词演算中引进了等词，那么光靠消解原理来进行推理便不够了。例如，由t1 = t2及P(t1)可推出P(t2)，这一推理无法通过消解来实现，因而在带等词的一阶谓词演算中，还要引进一条规则，它与消解原理联合使用能使问题得到圆满解决，这就是所谓换位原理（paramoduration principle ）。

考虑下列规则：

)()(,2121t P t P t t = 它可以推广为 2122

1121)()(,C C t P C t P C t t ∨∨∨∨= （3-3）

对式（3-3）再作推广便是换位原理。

设子句C 1含有文字L(t)，记为L(t)∨C 1’,子句C 2含有原子公式t 1 = t 2，记为t 1 = t 2∨C 2’,且t 与t 1，（或t 2）有mgu ，那么

σσσσσσσσ'2'11'2'12'2212'11)()()

()

)((C C t L C C t L C t t C C t L C ∨∨∨∨∨=∨或 这里C 1，C 2称为换位母式，L(t)及t 1 = t 2称为换位基，其结果称为换位结果。注意：L(t)

表示文字L 中含项t ，L ( t 2)指：对L 作代换后,将原有项t 改为t 2。

消解原理和换位原理的联合使用，对于带等词的一阶谓词演算的定理证明是完备的，也就是说，只要A 是该系统的定理（永真式），那么必可用消解原理和换位原理导出┐A 的一个否证。

习题解答

练习

1、 1、设代换 = {a/x, f(z)/y, y/z}，δ= {b/x, z/y, g(x)/z}试计算 ○δ和

δ○ 。

解 ○δ= { a/x, f(g(x))/y, g(x)/z }

δ○ = {b/x, g(a)/z , f(z)/y }

2、下列子句对可否一致化若可一致化，试作出它们的mgu 。

（1）{Q(a) , Q(b)}

（2）{P(a,x) , P(a,a)}

（3）{R(a,x,f(x)) , R(a,y,y)}

（4）{S(x,y,z) , S(u,h(u,v),u)}

（5）{T(x,g(x),y,h(x,y ),z,i(x,y,z)) , T(u,v,k(v),w,f(v,w),w’)}

解（1）不可一致化。

（2）可一致化，mgu={a/x}

（3）不可一致化。

（4）可一致化，mgu={u/x, h(u,v)/y,u/z}

（5）可一致化，mgu={x/u, g(x)/v, k(g(x))/y, h(x, k(g(x)))/w, f(g(x), h(x, k(g(x))))/z, i(x, k(g(x)), h(x, k(g(x)))))/ w’}

3、用消解原理判定，下列子句集是否可满足：

（1）{┐P(x) , P(a)∨P(f(x))}

（2）{┐P(x)∨P(f(x)) , P(a)}

（3）{┐P(x) , P(f(x))}

（4）{┐P(x)∨┐P(f(x)) , P(f(x))}

解（1）{┐P(x) , P(a)∨P(f(x))}等价于{┐P(x) , P(a)∨P(f(y))},用代换{a/x}和{f(y)/x}作两次消解即可得到空字句，因此{┐P(x) , P(a)∨P(f(x))}不可满足。

（2）{┐P(x)∨P(f(x)) , P(a)}可满足。

（3）{┐P(x) , P(f(x))}等价于{┐P(x) , P(f(y))}, 用代换{f(y)/x}作消解即可得到空字句，因此{┐P(x) , P(f(x))}不可满足。

（4）{┐P(x)∨┐P(f(x)) , P(f(x))}等价于{┐P(y)∨┐P(f(y)) , P(f(x))} 用代换{y/x}和{f(x)/y}作两次消解即可得到空字句，因此{┐P(x)∨┐P(f(x)) , P(f(x))}不可满足。

4、设子句集S由下列子句组成：

（1）M(a,f(c),f(b))

（2）P(a)

（3）M(x,x,f(x))

（4）┐M(x,y,z)∨M(y,x,z)

（5）┐M(x,y,z)∨D(x,z)

（6）┐P(x)∨┐M(y,z,u)∨┐D(z,u)∨D(x,y)∨D(x,z)

（7）┐D(a,b)

用消解原理证明S不可满足。

解（8）D(x, f(x)) 由（5）{x/y,f(x)/z},（3）消解得（9）┐M(y,z,u)∨┐D(z,u)∨D(a,y)∨D(a,z) 由（6）{a/x},（2）消解得

（10）┐D(x, f(x))∨D(a,x) 由（9）{x/y,x/z, f(x)/u},（3）消解得

（11）D(a, x) 由（8）,（10）消解得

（12）□由（11）{b/x},（7）消解得

5、用消解原理证明：

x(H(x)→A(x))┝x(y(H(y)∧N(x,y))→y(A(y)∧N(x,y))) 证作出子句集，它包括

（1）┐H(x)∨A(x)

（2）H(e2)

（3）N(e1,e2)

（4）┐A(y)∨┐N(e1,y)

进行消解

（5）A(e2) 由（1）{ e2/x},（2）消解得（6）┐A(e2) 由（4）{ e2/y},（3）消解得（7）□由（5）,（6）消解得

6、用消解原理证明例的推理是正确的。

解例的推理可表示为

))

(

)

(

(

) , (

)

(

(

)

(

(

))) ,

(

)

(

(

)

(

(

x

S

x

D

x

y x L

y

S

y

x

P

x

y x L

y

D

y

x

P

x

∧??

?→

?

→?→

?

∧

?

作出子句集，它包括

(1)(1)P(e1)

(2) ┐D(y)∨L(e1,y)

(3) ┐P(x)∨┐S(z)∨┐L(x,z)

(4) D(e2)

(5) S(e2)

进行消解

（6）┐S(z)∨┐L(e1,z) 由（3）{ e1/x},（1）消解得

（7）L(e1, e2) 由（6）{ e2/z},（5）消解得

(8) ┐D(e2) 由（2）{ e2/y},（7）消解得

（9）□ 由（5）,（8）消解得

7、用消解原理证明下列推理是正确的：

)))()(())()((())

()())(),((()))

(()()(()))

(,()()((x C x P x V x P x y E y P x P x y W x y x f C x V x E x x f x W x V x E x ∧∨∧?∧∧→??∨→?∨→? 解 作出子句集，它包括

（1）┐E(x)∨V(x)∨W(x,f(x))

(2) ┐E(x)∨V(x)∨C(f(x))

(3) ┐W(e,y)∨P(y)

(4) P(e)

(5) E(e)

(6) ┐P(x)∨┐V(x)

(7) ┐P(x)∨┐C(x)

进行消解

(8) ┐V(e) 由（6）{ e/x},（4）消解得

(9) ┐C(e) 由（7）{ e/x},（4）消解得

（10）┐E(e)∨V(e)∨P(f(e)) 由（1）{ e/x,f(e)/y},（3）消解得

(11) V(e)∨P(f(e)) 由（5）,（10）消解得

(12) P(f(e)) 由（8）,（11）消解得

(13) V(e)∨C(f(e)) 由（2）{e/x},（5）消解得

(14) C(f(e)) 由（8）（13）消解得

(15)┐C(f(e)) 由（7）{f(e)/x},（12）消解得

（16）□ 由（14）,（15）消解得

8、利用消解原理和换位原理证明下列子句集S 是不可满足的：

（1）S = {┐Q(a)∨┐R(a)∨a=b , Q(a)∨a=b , R(a)∨f(a)≠f(b) , f(x)=f(x)}

（2）S = {┐Q(c)∨c=d , ┐Q(c)∨f(c)≠f(d) , Q(c)∨a=b , Q(c)∨f(a)≠f(b) , f(x)=f(x)}

解 （1）S = {┐Q(a)∨┐R(a)∨a=b , Q(a)∨a=b , R(a)∨f(a)≠f(b) , f(x)=f(x)}

1) 1)┐Q(a)∨┐R(a)∨a=b

2) 2)Q(a)∨a=b

3) 3)R(a)∨f(a)≠f(b)

4) 4)f(x)=f(x)

5) 5)┐R(a)∨a=b 由（1）,（2）消解得

6) 6)f(a)≠f(b)∨a=b 由（3）,（5）消解得

7) 7)□ 由（5）{a/x},（2）换位消

解得

（2）S = {┐Q(c)∨c=d , ┐Q(c)∨f(c)≠f(d) , Q(c)∨a=b , Q(c)∨f(a)≠f(b) , f(x)=f(x)}

1）┐Q(c)∨c=d

2）┐Q(c)∨f(c)≠f(d)

3）Q(c)∨a=b

4）Q(c)∨f(a)≠f(b)

5）f(x)=f(x)

6）┐Q(c)∨f(c)≠f(c) 由1），2）换位得

7）┐Q(c) 由5）{c/x}，6）消解得8）Q(c)∨f(a)≠f(a) 由3），4）换位得

9）Q(c) 由5）{c/x}，8）消解得10）□由（7）,（9）消解得

9、图表示一个消解、换位过程，请依图写出原始子句集及消解、换位的详细步骤。

a=b P(a)∨R(a,b) ┐P(c)∨a≠b a=b a=c a=a P(a)∨R(b,b) ┐R(b,b) ┐P(c) c=a

P(a) ┐P(a)

图

□

解原始子句集S={a=b，P(a)∨R(a,b)，┐P(c)∨a≠b，a=c，a=a，┐R(b,b)}

（1）（1）a=b

（2）（2）a=c

（3）（3）a=a

（4）（4）┐R(b,b)

（5）（5）P(a)∨R(a,b)

（6）（6）┐P(c)∨a≠b

（7）（7）P(a)∨R(b,b) 由（1），（5）换位得（8）（8）┐P(c) 由（1），（6）消解得（9）（9）c=a 由（2），（3）换位得（10）（10）P(a) 由（4），（7）消解得（11）（11）┐P(a) 由（8），（9）换位得（12）（12）□由（10）,（11）消解得