弹簧10大模型

弹簧”模型 10 大问题

太原市第十二中学 姚维明

模型建构 :

在我们的日常生活中，弹簧虽然形态各异 , 大小不同 , 但是从弹簧秤 , 机动车的减震装置 , 各种复 位按钮和机械钟表内的动力装置等 , 弹簧处处在为我们服务 .因为弹簧本身的特性，如弹簧弹力的方 向与弹簧所处的伸缩状态有关、弹力的大小与弹簧形变量大小有关；而且，弹簧在伸缩过程中涉及 的物理过程较复杂，物理概念和规律较多，如力和加速度、功和能、冲量和动量等，因此，弹簧类 试题多年来深受物理命题专家的青睐。

【模型】弹簧

【特点】：（ 1）一般问题中的轻弹簧是一种理想模型，不计质量。（ 2） 弹簧弹力不能突变，弹

力变化需要形变量变化，需要时间的积累。

（3）弹力变化： F = kx 或△ F =k △x ，其中 F 为弹力（△

F 为弹力变化）， k 为劲度系数， x 为形变量（△ x 为形变变化量）。（ 4 ）弹簧可以贮存能量，弹 力做功和弹性势

能的关系为： W =－△ E P 其中 W 为弹簧弹力做功，

△ E P 为弹性势能变化。另外， 弹性势能计算公式暂不做要求。

、轻弹簧的弹力与弹簧秤的读数问题

【典案 1】如图 1，四个完全相同的轻弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力 F

作用，而左端的情况则各不相同：

⑴ 弹簧的左端固定在墙上

⑵ 弹簧的左端受到大小也为 F 的拉力作用

以 l 1、l 2、 l 3、 l 4 依次表示四条弹簧的伸长量，则有

A 、

l

1 l

2

B 、 l

4

l

3

C 、 l

1 l

3

D 、 l

2

=l

4 〖解析〗因轻弹簧自身质量不计，则轻弹簧的伸长量与轻弹簧上的弹力大小成正

比，因为四种 状态中轻弹簧的弹力均为 F ，故四种状态轻弹簧的伸长量相同；选 D

【体验 1】如图 2，四个完全相同的弹簧秤都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力 F

作用，而左端的情况则各不相同：

⑴弹簧秤的左端固定在墙上

⑵ 弹簧秤的左端受到大小也为 F 作用 ⑶ 弹簧秤的左端拴一小物块 块在光滑的水平面上滑动

⑷ 弹簧秤的左端拴一个小物块 m 1，物块在粗糙的水平面上滑动

⑶ 弹簧的左端拴一小物块 m ，物块在光滑的

水平面上滑动

图1

⑷ 弹簧的左端拴一个小物块

m ，物块在粗糙的水平面上滑动

的拉力

m 1，物

图2

以 l 1、l 2、l 3、 l 4依次表示四条弹簧的伸长量，则有

A 、 l 1 =l 2

B 、 l 4 =l 3

C 、 l 1 l 3

D 、 l 2 =l

4

〖解析〗弹簧秤的读数取决于弹簧的伸长量，而弹簧秤自身有质量，前两种情况弹簧秤处于平衡 状态，则弹簧的伸长量相同，则读数相同；后两种情况弹簧秤处于加速状态，则弹簧上的弹力不等 于 F ，则读数不同。对⑶设弹簧秤自身质量也为

m 2，则有弹簧秤的读数为 F' m 1a

m 1F

对

m 1 m 2

⑷设物块所受的滑动摩擦力为 F ，弹簧秤自身质量为 m 2, 弹簧秤的拉力为 F ', 物块与弹簧秤的共同

F f

Fm 1 fm 2

加速度为 a ，则弹簧秤的读数为 F' m 1a f 1 2

, 因此，应选 A 、C m 1 m 2 m 1 m 2

点评】 轻弹簧的伸长量或弹簧秤的读数只与弹簧上的弹力大小成正比， 时，弹簧秤的读数与作用在弹簧秤钮上的力没有直关系。

二、弹簧与绳子约束问题的区别

【典案 2】（ 1）如图 3 所示，物体的质量为 m ，L 2为质量不计的轻弹簧，一端悬挂在天花板上， 与竖直方向夹角为

，L 1 为一水平绳，现将 L 1 剪断，求剪断瞬间物体的加速度与弹簧的弹力。

〖解析〗 设 L 1 的拉力为 T 1，弹簧的拉力为 T 2，重力为 mg ，物体在三个力的作用下保持平衡， 沿着水平竖直方向建立直角坐标系。则：

T 2 cos mg ，T 2 sin T 1

T 1 mgtan

剪断线的瞬间， T 1 消失，而弹簧的长度 L 2未及发生变化， T 2 的大小和方向都不变，物体即在 T 1反方向获得加速度。

因为 mgtan ma 所以瞬时物体加速度：

a gtan

，方向水平向右。 瞬时弹簧的弹力： T 2 mg 方向沿弹簧向上。

cos

【点评】 弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为 零或由零突变为某一值。

而当弹簧秤自身有质量

图4

mg

2）如果把案例2 中的弹簧换成细绳子，其它条件不变，将

L1 剪断，求剪断瞬间物体的加速

度和绳子的张力。

〖解析〗设L1 的拉力为T1，弹簧的拉力为T2，重力为mg 剪断绳子时，由于绳子

要发生突变，因此小球将做单摆运动，小球受力如图。

沿着径向和切向建立直角坐标系。则：

mgsin ma

T2 mgcos

解得瞬时物体的加速度：a gsin 方向为切向。

瞬时绳子的张力：T2 mgcos 方向沿绳子向上。

点评】弹簧发生渐变，所以瞬时弹簧弹力“来不及变化”。绳子发生突变，瞬时张力“突然发生

变化”，它们有质的变化。因此要具体问题，具体处理。比较上面的两典案可以发现：弹簧与绳子的

加速度、拉力大小方向都发生了变化。

【体验2】A、B 两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k 的弹簧相连，一长为l 1的细线与m1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO/上，如图7 所示，当m1与m2均以角速度ω绕OO/做匀速圆周运动时，弹簧长度为l 2。求：

（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？〖解析〗（1）m2 只受弹簧弹力，设弹簧伸长Δl，满足2

kΔl=m2ω2（l1＋l2）∴弹簧伸长量Δl=m2ω2（l1＋l2）/k 对m1 ，受绳拉力T 和弹簧弹力F 做匀速圆周运动，满足：T－F = m1ω2l1 绳子拉力T=m1ω2l1＋m2ω2（l1＋l2）

（2）线烧断瞬间

2

A 球加速度a1=F/m1=m2ω2（l1＋l2）/m1

2

B 球加速度a2=F/m2=ω2（l1＋l2）

三、静态平衡下的弹簧问题

【典案3】一个重为G 的小圆环套在一个竖直放置的半径为R 的光滑圆环上,小圆环由一根劲度

系数为k,自然长度为L（L<2R）的轻弹簧系着,轻弹簧的另一端固定在大圆环的最高点,如图8 所示,当小

圆环静止时,轻弹簧与竖直方向的夹角为多少?

〖解析〗选小环为研究对象,它受到重力G，弹簧拉力T 和大环支持力N，

由于小环处于平衡状态，所以T、N、G 组成一个封闭的三角

图8

它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离

A ．

m 1g

B.

m 2g

k

1

k

2

形，根据数学知识可以看出三角形 AOB 跟力三角形 TNG 相似，得 GR

T 2Rcos T kx k(2Rc os L)

轻弹簧与竖直方向的夹角为 cso 1 kL

2(KR G)

点评】这类问题一般形式比较单一，通常用胡克定律 F=kx 和数学知识求解

【体验 3】如图 9 所示 S 1和 S 2表示劲度系数分别为 k 1和 k 2的两根弹簧， k 1>k 2。a 和 b 表示质 量分别为 m a 和

m b 的两个物块， m a >m b ，将弹簧与物块按如图所示方式悬挂起来。现要求两根弹簧

的总长度最大，则应使： ( )

A ． S 1在上， a 在上

B ．S 1在上， b 在上

C ． S 2在上， a 在上

D ． S 2在上， b 在上

［解析 ］上面弹簧弹力是确定的，等于 ab 两物体的重力 要使上面的伸长量大，应使劲度系数小的在上，即 S 2 在上面

要使下面伸长量大，应让质量大的物体在下面，即 a 物体在下面

正确答案 D

【点评】 本题是根据胡克定律解题的， 由 F=kx 知要使形变量 x 最大，则必有

F 最大或 k 最小。

四、动态平衡涉及到的弹簧问题

【典案 4】如图 10 所示，劲度系数为 k 1的轻质弹簧两端分别与质量为 m 1 、m 2 的物块 1、2 拴 接，劲度系数为 k 2

的轻质弹簧上端与物块 2 拴接，下端压在桌面上 (不拴接)，整个系统处于平衡状 态。现施力将物块 1 缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在此 过程中物块 2 的重力势能增加了多少？物块 1 的重力势能增加了多少？

〖解析〗 本题中有两个关键性词语应予重视， “轻质” 弹簧——即不计弹簧质量； “缓慢地”竖直上提，系统动能无变化，且上提过程中，系统受合力始终为零。

原先，系统平衡时， k 1 压缩 x 1 = m 1 g/ k 1

k 2 压缩 x 2=(m 1 + m 2 )g/k 2

后来， k 2 下端刚脱离地面时， k 2 没形变，此时 k 1 弹簧伸长 x 1′= m 2 g/ k 1

故物块 2 的重力势能增加 E p2 = m 2 g x 2=(m 1 + m 2 )m 2 g 2

/k 2

2

物块 1 的重力势能增加 E p1= m 1 g (x 1 +x 2 + x 1

′)

= m (1 m

1 + m

2 )

g

(

1/k

1+1/k 2 )

〖体验 4〗如图 11 所示，两个木块质量分别为 m 1和 m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为 k 1 和 k 2， 上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接) ，整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到

m 1

k 1 m 2

K 2

cos

kL 2kR 2G

图 10

k 2

解析： 对弹簧 2分析：△ F=m 2g ， 所以△ x= F

=

m 2g

，故选 D KK

【点评】 因“缓慢”上提木块，故整个装置在上提过程中是处于一种动态平衡过程中， 一样，涉及到的知识是胡克定律，一般用

F=kx 或△F=k?△x 来求解。

五、变速运动中的弹簧问题 弹簧连续形变其弹力为变力，在弹簧作用下的运动一般是加速度变化的变速运动，简谐运动只 是其中的一种。如果连接弹簧的物体做匀变速，必有变化的外力作用，要注意变化的外力存在极值 问题。

【典案 5】如图 12 所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空 中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中

A ．升降机的速度不断减小

B ．升降机的加速度不断变大

C ．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功

D ．到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值

〖解析〗在一般的习题集中，本题常见形式是一个球从高处下落到一支竖在地面上的弹簧的顶 端（图 12）。升降机下落到弹簧下端触地后，就相当于球下落到直立的弹簧上，弄清图 9 中的小球

下落情况，也就明白了图 12 中升降机的运动情况，为了说明图

13 中小球接触弹簧后的运动，我们

把球接触弹簧后的运动划分成三个点和三个点之间的两个阶段来研究，这三个点就是接触点、平衡 点和最低点。从接触点到平衡点，小球所受的重力大于弹力，加速度逐渐减小，速度逐渐增大，重 力的功大于弹力的功，动能逐渐增大，重力势能逐减少，弹性势能逐渐增大；从平衡点到最低点， 小球所受的弹力大于重力，加速度逐渐增大，速度逐渐减小，重力的功小于弹力的负功，动能逐渐 减少，重力势能逐渐减少，弹性势能逐渐增大。在本例中，对于选项（

D ），可以用弹簧振子的一个

知识点来分析，把小球接触弹簧后的运动看作简谐运动，那么最低点是简谐运动的一个端点，而接 触点不是端点，接触点位置有速度，由于简谐运动过程中速度小处加速度大，接触点处的加速度为 g ，所以最低点处（端点）的加速度就大于 g 。

【点评】运用对称性解决简谐运动问题，是最有效的方法。要特别注意简谐运动回 复力、加速度、

位移的对称性。

【体验 5】如图 14 所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端 各与小球相连，另一端分别用销钉

M 、 N 固定与杆上，小球处于平衡状态，设拔除销钉

C.

m 1g D.

m 2g

同静态平衡

图 12

接触点 平衡点 最低点

图 13

图 14

M 的瞬间，小球加速度的大小为 2 m/s ）

A ． 22 m/s 2, 方向竖直向上 C ．2 m/s 2

, 方向竖直向上 12m/s 2，

若不拔除销钉 M 而拔除销钉 N 瞬间，小球的加速度可能是 （g=10

2 ． 22 m/s 2, 方向竖直向下 ． 2 m/s 2

, 方向竖直向下 自身的重力、弹簧

簧 2 的拉力（或推力） ，这三个力的合力为零。拔去销钉 M ，弹簧 1 的一端失去了“依靠” 〖解析〗拔去销钉之前，小球受到三个力的作用 1 的拉力（或推力） 、弹 ，另一端 F M 也就“使不出力”了，即弹簧 1 对小球的作用力消失，弹簧 2 的作用力暂时 F N

不变。拔去销钉 M 的瞬间，小球的加速度为 12m/s 2

，其方向有两种可能， 一种是方向向上，另一种是方向向下。 （1） 若方向向上，则拔去 M 之前，球的受力如图甲所示，若拔去 销钉 N ，则 F 合 =F M +mg=ma 1 ，a 1 =22 m/s 2

，方向向下。 （2） 若方向向下，则拔去 M 之前，球的受力如图乙所示， 若拔去

销钉 N ，则 F 合 =F M －mg= ma 2 ， a 2=2m/s 2

，方向向上。 【点评】 弹簧所处的状态不同如拉伸、 压缩时，弹力的方向也不相同 题要明白弹簧可能所处的不同的状态就容易得出答案： B 、 C mg F M 15 mg F N

乙 六、瞬时作用涉及到的弹簧问题 【典案 6】质量相同的 A 、B 两球，由弹簧连接后，挂在天花板 上，如图 16 所示， a A 、 a B 分别表示 A 、 B 两球的加速度，则（ ） A. 在 c 处剪断瞬间 a A 2g,a B 0 B. 在 c 处剪断瞬间 a A a B g

图 16 17

C. 在 d 处剪断瞬间 a A 0,a B g

D. 在 d 处剪断瞬间

a A

g,a B g

〖解析〗 剪断前， A 、B 两球的受力情况如图

在 c 处剪断的瞬间， T 1 变为零，由于 A 、 B 间弹簧的弹力不能发生突变，仍保持原来的大小、 方向不变，由牛顿第二定律的瞬时性特征知，

a B =0， a A =2g

在 d 处剪断的瞬间，同理可得 T 1不变， T 2变为零，故 a B =g a A =-g 故选 AD 项。 因弹簧（尤其是软质弹

簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。 因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小和方向不变，即弹簧的弹力瞬间不突变。 〖体验 6〗如图 18 所示，木块 A 与 B 用一轻弹簧相连，竖直放在木块 C 上， A 、B 、C 的质量之比是 1∶2∶ 3．设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出 木块 C 的瞬时，木块 A 和 B 的加速度分别是 a A = ， a B = ______________________________________________________ A 、 B 、C 的质量分别为 抽出木块 C 前，木块 A 受到重力和弹力一对平衡力， A 受到重力和弹力的大小和方向均没变，故木块 A 的 17 所示 图 18

三者静置于地面， 〖解析〗 由题意可设 以木块 A 为研究对象， 抽出木块 C 的瞬时，木块 瞬时加速度为 0 以木块 AB 为研究对象，由平衡条件可知， 木块 C 对木块 B 的作用力 F cB =3mg 以木块 B 为研究对象，木块 B 受到重力、弹力和 F cB 三力平衡，抽出木块 C 的瞬时， 木块 B 受到重力和弹力的大小和方向均没变， F cB 瞬时变为 0，故木块 C 的瞬时合外力为竖 直向下的 3mg 。瞬时加速度为 1.5g 说明 区别不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变 m 、2m 、3m

七、临界状态中涉及到的弹簧问题 典案 7】如图 19 所示， A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块 A 、B 质量分别为 0.42 kg

和 0.40 kg ，弹簧的劲度系数 k=100 N/m ，若在木块 A 上作用一个竖直向上的力 F ， 使 A 由静

止开始以 0.5 m/s 2 的加速度竖直向上做匀加速运动( g=10 m/s 2

) ( 1)使木块 A 竖直做匀加速运动的过程中，力 F 的最大值 ( 2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到 A 、B 分离的过程中，弹簧的弹 性势能减少了 0.248 J ，求这一过程 F 对木块做的功 〖解析〗 此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物 体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0 时 ,恰好分离 . 当 F=0(即不加竖直向上 F 力时)，设 A 、 B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为 x ，有 即 =(m A +m B )g ① kx=(m A +m B )g 即 x = ①

k

对 A 施加 F 力，分析 A 、 B 受力如右图所示 对

A F+N-m A g=m A a ②

对 B kx '

-N-m B g=m B a 可知，当 N ≠ 0 时， AB 有共同加速度 a=a ′，由②式知欲使 A 匀加速运动，随 N 减小 F 增大 . 当 N=0 时， F 取得了最大值 F m , 即

F m

=m A (g+a)=4.41 N

又当 N=0 时， A 、 B 开始分离，由③式知， 此时，弹簧压缩量 kx'=m B (a+g)

x'=

m B (a+g)

④

k

2

AB 共同速度

v 2 =2 a(x -x ') ⑤

由题知，此过程弹性势能减少了 W P =E P =0.248 J

设 F 力功 W F ，对这一过程应用功能原理

12

W F = 2( m A +m B )v 2+(m A +m B )g(x-x')-E p

⑥ 联立①④⑤⑥，且注意到 E P =0.248 J 可知， W F =9.64× 10-2

J 体验 7】一根劲度系数为 k,质量不计的轻弹簧，上端固定 ,下端系一质量为 m 的物体 ,有一水平

板将物体托住 ,并使弹簧处于自然长度。如图 21 所示。现让木板由静止开始以加速度 a(a < g)匀加速

向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。 〖解析〗 设物体与平板一起向下运动的距离为 x 时，物体受重力 mg ，弹簧的弹 力 F=kx 和平板的支持力 N 作用。据牛顿第二定律有： mg-kx-N=ma 得 N=mg-kx-ma m(g a) 当 N=0 时，物体与平板分离，所以此时 x

k

因为 x 12

at 2

，所以 t

2m(g a) ka

a

图 21

点评】相互接触的物体间可能存在弹力的相互作用，对于面接触的物体，在接触面间弹力变 为零时，它们将要分

离。

八、简谐运动涉及到的弹簧问题

典案 8】两块质量分别为 m 1 和 m 2 的木块，用一根劲度系数为 k 的轻弹簧连在一起，现在 m 1

上施加压力 F ，如图 22 所示．为了使撤去 F 后 m 1跳起时能带起 m 2，则所加压 力 F 应多大？

〖解析〗 m 2 恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长 x 2，且 kx 2=m 2g 和

m 1 速度为零．

根据简谐振动的对称性求解 ： m 2不离开地面， m 1做简谐振动， 则振幅： A

x 1 x 0 x 2 x 0

x1

x2 2x0

m 2g

2m 1g

kk 加压力

F 时

F m 1g kx 1

所以人 F kx 1 m 1g (m 1 m 2)g

点评】物体与弹簧组成的系统做简谐运动时，具有明显的对称性，这类题一般用对称性求解， 会简单的多。 【体验 8】如图 23 所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中， 升降机吊索在空中断裂， 忽略摩擦力， 则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的 一段运动过程中： ( )

A. 升降机的速度不断减小

B. 升降机的加速度不断变大

C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的 正功

D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值

〖解析〗升降机从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动可以转化为熟悉的弹簧振子，其平衡 位置是重力与弹力相平衡的时刻。升降机的弹簧从触地到平衡位置之前，加速度是在不断减小，速 度不断增大，故选项 A 、 B 不正确。

弹簧下端触地后，升降机先加速后减速，加速度先减小后增大。 达到平衡位置之前，重力大于弹力，所以重力做正功大于弹力做的负功； 过了平衡位置，弹力大于重力，所以重力做正功小于弹力做的负功。 选项 C 正确。 对于选项 D ，可以设想有一轻弹簧竖直在水平地面上，将一小球无初速度放于弹簧上，可以证 明小球的运动为简谐运动。由简谐运动的对称性知小球在最低点加速度的值等于在最高点的值。若 小球以一定速度落在弹簧上，在最低点加速度的值必大于重力加速度的值。

故选项 D 正确。 答案： CD

〖点评〗简谐运动的对称性在弹簧问题的运动上有广泛的应用，因此在解决有关于位移、速度、 加速度及力的变化时，经常用到。

图 22

九、弹簧做功与动量、能量的综合问题

典案9】如图24 中，轻弹簧的一端固定，另一端与

滑块B相连，B静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B

相同滑块A，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离L1

时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A、B 紧贴在一起运动，但互不粘

连。已知最后 A 恰好返

回出发点P并停止。滑块A 和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ ，运动过

程中弹簧最大形变量为L2，求A 从P 出发时的初速度υ 0。

解析〗设A、B质量均为m，A 刚接触B时速度为v1

碰前)，由功能关系，有

1 mv

2 1 mv12mgL1

22

A、B 碰撞过程中动量守恒，设碰后A、B 共同运动的速度为v2.有

mv1 2mv2 ②

碰后A、B先一起向左运动，接着A、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B 的共同速

度为v3 ，在这过程中，弹簧弹性势能始末两态都为零，利用功能关系，有

1 2 1 2

(2m)v22(2m)v32(2m)g(2L2 ) ③

22

此后A、B开始分离，A 单独向右滑到P 点停下，由功能关系有

12

mv3 mgL1 ④

2

由以上各式，解得v0g(10L116L2) ⑤

【点评】弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系。它有机地将动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化结合在一起，能力要求较高，分析这类问题时，要耐心细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。

弹力做功是一个“变力”做功的问题，在中学物理中，“变力”做功应用动能定理来解答，弹性势能在中学物理中没有定义式，在求其值的时候，必须应用能量守恒的原理来求，对于较综合的题型，

虽然先后涉及到几个较复杂的过程，但往往会出现先后二个状态弹簧的形变情况一样，这就意味着

先后二个状态弹簧的弹性势能一样，对此必须引起足够的重视。

【体验9】如图25 所示，质量为m1 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质

量为m2 的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k，A、B 都处于静止状态。一条不可伸长的

轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连

一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂

一质量为m3 的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能

图25

使B 离开地面但不继续上升。若将C 换成另一质量为（m1+ m3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。

〖解析〗先后两个状态都讲到B 刚要离开地面，即弹簧的弹力都等于m2g，即先后讲到的B 要

离开地面的两个状态对应的弹簧

弹性势能相等，由于初态的弹性势能一样，可见弹性势能的改变量E 相等。初态：弹簧的压缩量x1 = m1 g/ k

B 刚要离开地面时弹簧的伸长量x2= m2g/k2

第一过程E= m3g（x1 +x2）－m1 g（x1 +x2）

第二过程E=（m1+ m3）g（x1 +x2）－m1 g（x1 +x2）－（m1+ m3）v －m1v

2m1（m1 m2 ）g2

解得：v

2m1 m2 k

【点评】弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量。弹簧的弹力做功是变力做功，求解一般可以用以下四种方法：

1、因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算

2、利用F－x 图线所包围的面积大小求解

3、用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和

4、据动能定理和能量转化和守恒定律求解由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。特别是涉及到两个物理过程中的弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消，或替代求解。

十、电磁学中弹簧问题

【案例10】如图26 所示，挡板P 固定在足够高的水平桌面上，小物块A 和B 大小可忽略，它们分别带为+Q A 和+Q B 的电荷量，质量分别为m A 和mＢ。两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B 连接，另一端连接轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左

的匀强电场中，A、B 开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B 间的库仑力，A、

B 所带电荷量保持不变，B 不会碰到滑轮。

（1）若在小钩上挂质量为M 的物块C 并由静止释放，

可使物块A 对挡板P 的压力恰为零，但不会离开P，求物块C

下降的最大距离ｈ

（2）若C 的质量为2M，则当A 刚离开挡板P 时，B 的

速度多大？

解析〗通过物理过程的分析可知：当A刚离开挡板P时，弹力恰好与A 所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次改变物块Ｃ质量，在第２问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹

性势能的改变相同，可以替代求解。 设开始时弹簧压缩量为 x 1 由平衡条件： kx 1 EQ B 可得 x 1

EQ B

①

k

设当 A 刚离开档板时弹簧的伸长量为 x 2

由： kx 2 EQ A 可得 x 2

EQ A

k

故 C 下降的最大距离为： h x 1 x 2 由①—③式可解得 h

E

(Q B Q A )

k

(2)由能量转化守恒定律可知： C 下落 h 过程中， 弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和

当 C 的质量为 M 时： mgh Q B E h

E 弹

当 C 的质量为 2M 时，设 A 刚离开挡板时 B 的速度为 v 12

2Mgh Q B Eh E 弹 (2M m B )v 2

⑥

由④—⑥式可解得 A 刚离开 P 时 B 的速度为：

v

2M g(QE A Q B ) k(2M m B )

说明】 研究对象的选择、物理过程的分析、临界条件的应用、能量转化守恒的结合往往在

些题目中需要综合使用。

【体验 10】一劲度系数为 k 的轻质弹簧，下端挂有一匝数为 N 的矩形 线框 abcd ， bc 边长为 L 。线框的下半部处在匀强磁场中，磁感强度大小为 B ，方向与线框平面垂直，在图 27 中垂直于纸面向里。线框中通以电流

I ，

方向如图所示。开始时线框处于平衡状态，令磁场反向，磁感强度的大小 仍为 B ，线框达到新的平衡。 在此过程中线框位移的大小 Δx= __________________________________________ ，方 向 ___________ 。

〖解析〗令线框质量为 m 。开始时，线框受向下的重力、向上的弹力 和安培力，三力平衡，

有 mg=NBIL+kx 1 ① 磁场反向后，安培力由向上改为向下，其它力情况不变，有： mg+NBIL=kx 2

②

电流反向后，弹簧的伸长是 x 2> x 1，

Δx=x 2

－

x

1

③

由①②③解得：

方向向下

点评〗本题为静力学与安培力综合，把安培力看成静力学中按性质来命名的一个力进行受

C 重力势能的减少量等于 B 电势能的增量和 图 27

力分析，是本题解答的基本思路。

体验 11】如图 28，固定的水平金属导轨，间距为 L ，左端接有阻值为 R 的电阻，处在方向竖 直、磁感应强度为

B 的匀强磁场中，质量为 m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体 棒的电阻均可忽略，初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度 往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。

（ 1）求初始时刻导体棒受到的安培力

（ 2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，

弹簧的弹性势能为

E P ，则这一过程中安培力所做的功

W 1 和电阻上产生的焦耳热 Q 1分别为

多少？

（ 3）导体棒往复运动， 最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到 最终静止的过程中，电阻 R 上产生的焦耳热 Q 为多少？

〖解析〗导体棒以初速度 v 0 运动而产生感应电动势，回路中的感应电流使导体棒受到安培力的 作用。安培力做功使系统的机械能减少，最终将机械能全部转化为电阻 R 上的焦耳热。由平衡条件

知，棒最终静止时，弹簧的弹力为零，即此时弹簧处于初始的原长状态。

（ 1）初始时刻棒中感应电动势： E=BLv 0

耳热，即 1

mv 02

Q 1 E p

所以电阻 R 上产生的焦耳热 Q 1 21 mv 02

E p

由功和能的关系知

Q 1=-W 安，所以安培力做功 W 1 E p 1

2 mv 02

3）当棒静止时，安培力为零，导轨光滑，所以棒会静止在弹簧原长处，即棒最终静止于初始

位置。

此时弹性势能为零，

根据能量守恒知在整个的运动过程中系统最初的动能最后全部转化成焦耳

热。即 Q 1

mv 02

20

点评】 本题考查了单杆切割问题及功能关系，本题最大特点在于它突出了力电磁等主要知识

的综合，考查了学生的综合分析能力。同学们要充分掌握高中物理的两大基本观点：力的观点和能 量观点，这是解决此类问题的基本途径。

另外，有关弹簧的串、并联和弹性势能的公式，高考中不作定量要求，这里不再说明。

总之，轻弹簧类问题是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考 查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及动量守恒定律和能的转化与守恒定律，是每年高考的 一个必考的知识点，因此，在高三复习过程中一定要加强这方面的练习，要能够举一反三，做到稳 妥得分。

棒中感应电流： I E

作用于棒上的安培力

R

F BIL

联立得 F

22

B 2 L 2v 0

方向：水平向左

2）导体棒从初始时刻到速度第一次为零过程中，

棒最初的动能转化成了弹簧的弹性势能和焦

v 0。在沿导轨