含参数不等式的解法

高中数学知识专项系列讲座

含参数不等式的解法

一、含参数不等式存在解的问题

如果不等式()0f x >（或()0f x <）的解集是D ，x 的某个取值范围是E ，且D E ≠?，

则称不等式在E 内存在解（或称有解，有意义）.

例1.（1）不等式13x x a +--<的解集非空，求a 的取值范围；

（2）不等式13x x a ++-<的解集为空集，求a 的取值范围.

（分析：解集非空即指有解，有意义，解集为?即指无解（恒不成立），否定之后为恒成立，本题实质上是成立与恒成立问题）

解：（1）设41()13221343x f x x x x x x -<-??

=+--=--??>?

≤≤，

易求得()[4,4]f x ∈-，

()f x a <有解min ()f x a ?<，

∴4a >-为所求

（2）设22

1()134

13223x x g x x x x x x -+<-??

=++-=-??->?

≤≤， 易求得()[4,)g x ∈∞，

()g x a <无解()g x a ?≥恒成立min ()g x a ?≥ ∴4a ≤为所求

（注：①13x x +±-可理解为数轴上点x 到两定点1-和3的距离之和（或差），由几何意义，易得()f x 与()g x 的值域；

②不等式()a f x >有解（有意义或成立）min ()a f x ?>；不等式()a f x <成立（有

解或有意义）max ()a f x ?<；）

例2.关于x 的不等式组22202(25)50

x x x k x k ?-->?+++

值范围.

解：易知不等式220x x -->的解集(,1)(2,)A =-∞-+∞，

设不等式2

2(25)50()(25)0x k x k x k x +++

∵2B -∈，∴(2)(45)0k -+-+<，∴2k ->-25->),2

5

(k B --=∴

要使{|,}{2}x x A B x Z ∈∈=-如图， 易知3k -≤，∴3k -≥ 又2k ->-，得2k < ∴[3,2)k ∈-为所求

-52

例3.已知不等式1)lg()520lg(2+->-x a x 的整数解有且只有一个，求a 的取值范围. 解：

20lg(记()f x ∴f f f ??

???

∴a ∈另解：易求得()0f x =两根为1211x x ?=??=+??（∵0?>，∴52a <）

则12x x x a x <?

只有一个整数解1x =

∴有1a x a ?≥≥，解得2a ≥ 此时有1202x x x <<<<符合条件，∴5

[2,)2

a ∈

例4.若不等式

lg(2)

1lg()

ax a x <+总存在解(1,2]x ∈，求实数a 的取值范围.

解：易知0a >，∴1a x x +>>，∴lg()0a x +>

故

lg(2)

1lg(2)lg()2lg()

ax ax a x ax a x a x ∈） 即不等式(21)a x a -<在(1,2]内有解

1°当1

2a =时，不等式显然成立；

2°当102a <<时，不等式max (21){}21a

a x a x a --

得2211

02a a a ?>??-??<

3°若12a >，则不等式min (21){}21

a

a x a x a -

得1211

2

a a a ???，∴112a <<

综上所述，(0,1)a ∈为所求

二、含参数不等式的求解问题

探求含参数不等式的解集，要以分类讨论的思想为主线，以不等式的基本性质为基础，进行综合演算，有时还需用到换元法、图象法等基本方法.

例5.解关于x 的不等式110x a -+->

解：原不等式11011x a x a -+->?->-

1°若1a >，则10a -<，故原不等式恒成立，∴x ∈R

2°若1a ≤，则10a -≥，原不等式的解为x a <或2x a >- 综上所述，若1a >时，原不等式的解集为R ；

若1a ≤时，原不等式的解集为{|x x a <或2}x a >-.

例6.

x （0a >）的解集为[,]m n ，且2n m a -=，求a 的值.

解法一：

00x x x a

0x x a x a x ??

+??+?

≥≥≥

解得：0a x -<≤

或102x +≤≤

，即12

a x +-≤≤

即有12

m a n =-?

??=??

∵2n m a -=

，∴122

0a a a ?++=?

??>?

，解得2a = 解法二：

t =，则2

x t a =-且0t ≥

原不等式化为22

0t t a t t a -?--≥≤

∴0

t ≤

∴a x -≤≤以下同解法一

解法三：

分别作出2

1y =x =易知欲使1y ≥以下同解法一

（注：①无理不等式常见的类型有

1

()0()()0f x f x g x

()0()()

f x

g x g x f x ??

???

≥≥≥；

2

2()0()()0()()f x f x g x g x f x ??

????

≥≥≤；

②对根式进行换元转化成有理不等式是处理根式的常见方法； ③数形结合解不等式简洁明了.）

2a x >-（0a <），答案：3

{|}4

x x a >

例7.解不等式1

log ()1a x x ->

解：当1a >时，11

log ()1a x x a x x

->?->

2(12200x x x ax x x

---?>?>

解得02a x <<

或2

a x >

当01a <<时，11

log ()10a x x a x x

->?<-<

(1)(1)0(220

x x x

x x x -+?

>??

????

101022

x x a a x x -<<>?

???<

<

易证得当(0,1)a ∈

，有12

a --<

∴1x -<<

或1x <<综上所述，当1a >

时，不等式的解集为{|

02a x x <<或}2a x +>； 当01a <<

时，不等式的解集为{|1x x -<<

1x <<

（注：有理不等式通常使用“标根法”（或称穿线法），原则是“奇穿偶切”）

例8.解关于x 的不等式24log (1)log [(2)1]x a x ->-+（1a >）. 解：原不等式可化为]1)2([log )1(log 222+->-x a x

故原不等式210(2)10(1)(2)1x a x x a x ->?

?

?-+>??->-+?

由1a >可将上述不等式组化为12()(2)0

x a

x a x ?

>-?

??-->? 易知21(1)(2)0a a a a ----=

<，∴1

2a a

-< 1°若2a >，则122a a -<<，∴不等式组的解为1

22x x a a

-<<>或

2°若2a =，则不等式组解为3

(,2)(2,)2

x ∈+∞

3°若12a <<，则122a a -<<，∴不等式组解为1

22x a x a

-<<>或

综上所述，当12a <<时，原不等式的解为1

(2,)(2,)x a a ∈-+∞；

当2a ≥时，原不等式的解为1

(2,2)(,)x a a

∈-+∞.

（注：解不等式要注意等价性，对数不等式特别注意真数大于零，本题充分体现了分类讨论思想.）

三、含参数不等式恒成立的问题

近年来在各地的模拟试题以及高考试题中屡屡出现含参数的不等式恒成立的问题，解决这类问题的基本方法是分离法、二次函数法、导数法、数形结合法，有时还运用单调性、判别式、均值定理等辅助手段进行综合解题.

例9.若不等式log sin 2a x x >对任意(0,]4

x π

∈都成立，求a 的取值范围.

解：分别作出1sin 2y x =与2log a y x =的图象如下

当(0,

]4

x π

∈

易知有0A y a ??

a π

<<

例10.()f x 恒成立，求实数a 解：依题可得+a

即??

???+

--=++≥-+≤49)21(sin sin cos 1sin 322

22x x a a x a 恒成立 令()3sin u x x =+，易知min ()2u x =

再令219()(sin )24v x x =--+，∴max 9

()4

v x =

故有22

2

94

a a a ??

?-??≤≥

，解得12a ≤ ∴所求a

的取值范围是[

例11.设函数()ln()f x x x m =-+其中m 为参数，求()0f x ≥恒成立时，m 的取值范围. 解法一：

易知()f x 在定义域(

-由()0f x '=，得1x =-当(,1)x m m ∈--时，f 当(1,)x m ∈-+∞时，f ∴()f x 在定义域(,m -∵()0f x ≥恒成立，∴解法二：

若()0f x ≥，则x ≥易知()f x 定义域为(m -如图作出1x

y e =与2y =易知截距1m ≤故所求m 的取值范围是

立min ()a f x ?<或a f >min ()0f x ?>或()0f x <恒成立max ()0f x ?<；②图象法：将不等式化为()()f x g x >，

作出1()y f x =与2()y g x =的图象，结合参数的几何意义，找出使12y y >在定义域内成立的条件.）

例12.设2()f x ax bx c =++，若7

(1)2

f =

，问是否存在,,a b c R ∈，使得不等式2213

()2222

x f x x x +++≤≤对一切实数x 都成立，证明你的结论.

解：由7(1)2f =，得7

2a b c ++=……①

再令22

132222

x x x +=++，可得1x =-

在2

213()2222x f x x x +

++≤≤中，令1x =-，得3(1)2

f -= ∴3

2

a b c -+=……②

由①②知1b =，5

2c a =-

∴2

5()2f x ax x a =++-

由2

1()2

f x x +≥恒成立，得2(1)20a x x a -++-≥恒成立

∴1014(1)(2)0a a a ->???=---?≤，得2

10(23)0a a ->??-?

≤，∴32a = ∴2

3()12f x x x =++

易验证22

3312222

x x x x ++++≤对x R ∈恒成立

∴存在实数3

2

a =，1

b =，1

c =满足条件

例13.设函数()x f x a =满足条件：当(,0)x ∈-∞时，()1f x >；当(0,1]x ∈时，不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围. 解：由0x <时，()1f x >知01a <<，∴()f x 是R 上的减函数

∴2

(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+

22

31112mx mx x mx x m ?-<+-??+-<+?对(0,1]x ∈恒成立 22

22(1)1mx x m x x ?<-??-<+?由(0,1]x ∈知，不等式组可化为 22

221

1x m x

x m x ?-?-?

对(0,1)x ∈恒成立，且1x =时，有12m <①

令2212()()22x u x x x x -==-在(0,1)上是减函数，∴1

()2u x > 令212()(1)211x v x x x x +==-++--，设1t x =-，则(1,0)t ∈-， 22

2)()(++=+=t t t g x v 22

()1g t t

'=-在(1,0)-上有()0g t '<，∴()g t 是减函数，∴()3g t <-

∴()1v x <-

∴121

m m ?

???-?≤

≥，∴1[1,]2m ∈-，结合①知1[1,)2m ∈-为所求