椭圆标准方程焦点三角形面积公式高三复习
椭圆标准方程焦点三角
形面积公式高三复习 Last revised by LE LE in 2021
椭圆焦点三角形面积公式的应用
性质1(选填题课直接用，大题需论证):
在椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一
点，θ=∠21PF F ，则2
tan
2
21θ
b S PF F =?.
证明：记2211||,||r PF r PF ==
在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212
22
1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ 由任意三角形的面积公式得：
2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ?=?=+?==
?b b b r r S PF F .
同理可证，在椭圆122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.
典型例题
例1 若P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.
例2 已知P 是椭圆
19252
2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2
1
|
|||2121=
?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.
3
3
例3（04湖北）已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）
A. 59
B. 779
C. 49
D.
4
9
或779
答案：
例1 若P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.
解法一：在椭圆
1641002
2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，
∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212
221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r
.144340021=-∴r r 从而.3
256
21=
r r 解法二：在椭圆
164
1002
2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
例2 已知P 是椭圆
19252
2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2
1
|
|||2121=
?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.
3
3
解：设θ=∠21PF F ，则2
1
|
|||cos 2121=
?=PF PF θ，.60?=∴θ 故选答案A.
例3（04湖北）已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）
A. 59
B. 779
C. 49
D.
4
9
或779
解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4
9
2=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92
tan
221=?==?θ
b S PF F ，又
,7)2(2
1
21h h c S PF F =??=
? 97=∴h ，.7
7
9=
h 故答案选D. 金指点睛
1(略). 椭圆
124
492
2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）
A. 20
B. 22
C. 28
D.
24
2. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF ?的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6
3. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF ?的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 2-
4．已知椭圆1222
=+y a
x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且
?=∠6021PF F ，则||||21PF PF ?的值为（ ） A ．1
B ．3
1
C ．
3
4 D ．
3
2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线
1PF 与2PF 倾斜角的差为?90，△21PF F 的面积是20，离心率为3
5
，求椭圆的标准方程.
6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且
21
|
|||212
1-=?PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.
答案
1. 解：24,90221=?==∠b PF F θ，∴2445tan 242
tan
221=?==?θ
b S PF F .
故答案选D.
2. 解：设θ=∠21PF F ， 12
tan
2
tan
221===?θ
θ
b S PF F ，∴
?=?=90,452
θθ
，
021=?PF PF .
故答案选A.
3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2
tan
2
tan
221θ
θ
==?b S PF F ，
∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，?=120θ，
∴2120cos cos ||||2
2121-=?=?=?a PF PF PF PF θ.
故答案选D.
4． 解：?==∠6021θPF F ，1=b ，3
3
30tan 2
tan
221=
?==?θ
b S PF F ，
又 ||||4
3sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ?=?=
?θ， ∴
33||||4321=?PF PF ，从而3
4
||||21=?PF PF . 故答案选C.
5. 解：设θ=∠21PF F ，则?=90θ. 2045tan 2
tan
22221==?==?b b b S PF F θ
，
又 3
5
22=-=
=a b a a
c e ， ∴95122=-a b ，即95
2012=-a
.
解得：452=a .
∴所求椭圆的标准方程为
1204522=+y x 或120
452
2=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴?=-==
120,21
cos 212
1θθ.
3360tan 2
tan
22221==?==?b b b S PF F θ
，∴1=b .
又 3342=c a ，即33
333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或3
3
=
c . 当3=c 时，22
2
=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422
=+y x ； 当33=c 时，3
322
2=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13
422=+y x ； 但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，?=60θ，不合题意.
故所求的椭圆的标准方程为14
22
=+y x . 性质二：有关角的问题
已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，
若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
问题1. 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。
问题2：椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。
变式
1.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） （09江西）
A ．(0,1)
B ．1
(0,]2
C ．2(0,
)2 D ．2[,1)2 问题1. 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。
方法1：设
，则当
时，点的轨迹方程为，由此
可得的横坐标为
方法2：
利用性质一2
tan
221θ
b S PF F =?
方法3：【分析】令|F 1P|=m 、|PF 2|=6-m ，
RtΔF 1PF 2中，由勾股定理可得m 2+(6-m)2=20
问题2：椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。
问题分解：
方法1：设
，则当时，点的轨迹方程为，
由此可得的横坐标为
，所以点P 横坐标的取值范围是
方法2：利用性质一2
tan
221θ
b S PF F =?
问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系
解题的关键在于点动，发现21PF F ∠的大小与点P 的位置有关， 究竟有何联系，成了大家探索的焦点。 变式
1.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ） （09江西）
A ．(0,1)
B ．1
(0,]2
C ．(0,
2 D ．[2
椭圆焦点三角形面积
椭圆焦点三角形面积公式的应用 多年来，椭圆、双曲线相关的焦点?21F PF ,(为曲线上的任意一点P 21F F 与为曲线的焦点）中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是 高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势.现列举部分典型试题说明其应用类型. 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 2 21θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 164 1002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF ==
焦点三角形面积公式
椭圆焦点三角形面积公式的应用 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任 意一点，θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 若P 是椭圆 164 10022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 1641002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r .144340021=-∴r r 从而.3 256 21= r r .3 36423325621sin 212121=??== ?θr r S PF F 解法二：在椭圆 1641002 2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ .3 3 6430tan 642 tan 221= ?==∴?θ b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！ 例 2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 解：设θ=∠21PF F ，则2 1 | |||cos 2121= ?= PF PF θ，.60?=∴θ .3330tan 92 tan 221=?==∴?θ b S PF F 故选答案A. 例3（04湖北）已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或7 79 解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长 4 9 2=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92 tan 2 21=?==?θ b S PF F ，又,7)2(2 1 21h h c S PF F =??= ?
(完整版)圆锥曲线焦点三角形推导
椭圆焦点三角形 1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导 （1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12 PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导 解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得 2 2 2 1212 12 cos 2PF PF F F PF PF α+-= ?222 1212 (2)2r r c r r +-= ? 22121212()242r r r r c r r +--=22 1212(2)242a r r c r r --= 2212124()22a c r r r r --=212 122b rr r r -= ∴21212cos 2r r b r r α=- 即2 1221cos b r r α =+， ∴12 212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα?==??+2sin 1cos b αα=+=2tan 2 b α． 例1．焦点为12,F F 的椭圆22 14924x y +=上有一点M ，若120MF MF ?=u u u u r u u u u r ，求12 MF F ?的面积． 解：∵120MF MF ?=u u u u r u u u u r ， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ?=290tan 24tan 242 2 b α ? ==． 例2．在椭圆的22 221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的 一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠． 证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ， 图1 F 1 x y O P F 2
椭圆标准方程焦点三角形面积公式高三复习
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椭圆焦点三角形面积公式的应 用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任 意一点，θ=∠21PF F ，则2 tan 22 1 θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF == .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.
例2 已知P 是椭圆19 252 2=+ y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若 2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3（04湖北）已知椭圆19 162 2=+ y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 4 9 D. 4 9 或 7 7 9 答案： 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 164 1002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
焦点三角形面积公式
椭圆焦点三角形面积公式的应用 2 2 2 2(a -C ) 2b 1 COST 1 COST 由任意三角形的面积公式得: 2 e S ,F 1PF 2 = b tan 2 典题妙解 △ F i PF 2的面积. y 1 中，a =10,b =8,c =6,而 J - 60 .记 | PR 几，| PF 2 |二 r 2. 64 点P 在椭圆上, -由椭圆的第一定义得：r 1 r 2 =2a=20. 例1 若P 是椭圆 100 F 2是其焦点，且—FfF ? =60，求 2 S..R PF 2 - 2 r 1r 2 Sin 71 - b 1 COST e e 2sin COS — 2 2 二 b 2 2COS 2 - 2 e tan —. 2 同理可证，在椭圆 2 2 y- —1( b a > b >0) 中，公式仍然成立. 解法一：在椭圆 100 即 4a 2 -2r 1r 2(1 COST ) = 4c 2. 2 2 定理 在椭圆 写?爲二1 ( a > b > 0)中，焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆上任
,, 2 2 2 在厶F |PF 2中，由余弦定理得：r i r 2 -2r i r 2cos v - （2c ）. 配方，得：（n 亠 r 2 ）2 —3「订2 =144. 256 .400 一3叩2 =144.从而 吋2二已 3 .Sr 1PF^b 2tan 64tanBO 、6^ 2 3 | PF i | | PF 2 | A. 3 3 7 ,贝y cos 二二 PF1 PF2. | PF 1 | ■〔 PF 2 | 2 9 S.^PF ? - b tan 2 故选 答案A. = 9tan30' -3.3. 点 P 到 x 轴的距离为 h ,则 S.F I PF 2 二 b 2tan 寸=9tan45 =9 ,又 S FPF2 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了, 两个解法的优劣立现! 例2 已知P 2 2 是椭圆—1上 25 9 的点， F 1、 F 2分别是椭圆的左、右焦点，若 PF 1 PF 2 则厶F 1PF 2的面积为（ 2 2 例3（ 04湖北）已知椭圆 —?厶=1的左、右焦点分别是 16 9 F i 、 F 2 ,点P 在椭圆上.若P 、F 1、 F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到x 轴的距离为（ 9 A.— 5 9? 7 B. 7 C. 解：若已或F 2是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长 b 2 若P 是直角顶点，设 1 S.F |PF 2 二 2「1r 2 Sin 71 64.3 x 2 解法二：在椭圆 一 100 2 計中，b 2=64，而—a B. 2 3 解：设-F 1PF 2 (2c) h = 7h, 2
双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
双曲线焦点三角形面积公式的应用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意 一点，θ=∠21PF F ，则2 cot 2 21θ ?=?b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得 .4)(,2||222121a r r a r r =-∴=- 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ、 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2 sin 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=-?== ?b b b r r S PF F . .2 cot 221θ ?=∴?b S PF F 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B. 2 5 C. 2 D. 5 /
解：,145cot 2 cot 221=?=?=?θ b S PF F ∴选A. 例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ?的值是___________. 解: ,12 cot 2 cot 221==?=?θ θ b S PF F ?=∴ 452 θ ,即.90?=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=?PF 例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2 cot 2221=?=?=?b b S PF F θ 得：.122=b 又,2122 =+=a b e .41212 =+ ∴a 从而.42 =a ∴所求的双曲线的标准方程为 112422=-y x ，或112 42 2=-x y . 金指点睛 ` 1. 已知双曲线14 22 =-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ?的值为( ) A. 2 B. 3 C. 2- D. 3- 2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且 2||||,2121=?⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422 =-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线12 2 2 =-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=?MF ，
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程 一、椭圆中的焦点三角形面积公式 1、公式：)2 tan(221αb S F PF =?． 2、推导过程： 设椭圆的标准方程为：）（0122 22>>=+b a b y a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则 在21F PF ?中，依椭圆的定义及余弦定理，有 ???????-+=+==+=α cos 222212 22 12 212222121PF PF PF PF F F c b a a PF PF c F F ? )cos 1(2)(212 21221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（? α α cos 12cos 1(222 221+=+-=b c a PF PF ） ) 2tan() 2(cos 22 cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221 sin 2122222 2121α α α ααα α αα b b b b PF PF S F PF =?=+?=?+?==? 即)2tan(221α b S F PF =?．
二、双曲线中的焦点三角形面积公式 1、公式：1-2)2 tan(21αb S F PF =?． 2、推导过程： 设双曲线的标准方程为：），（001-22 22>>=b a b y a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则 在21F PF ?中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ???????-+=+===α cos 22-2212 2212 212 222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF c F F ? )cos 1(2)(212 21221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（? α α cos 12cos 1(222 221-=--=b a c PF PF ） 1 22222 21)2 (tan ) 2(sin 22 cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-?=?=-?=?-?==ααα ααα α αα b b b b PF PF S F PF 即1 -2)2tan(21αb S F PF =?．
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复 习) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一 点，θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）
焦点三角形面积公式
焦点三角形面积公式 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
椭圆焦点三角形面积公式的应用 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任 意一点，θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF == 在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θ θ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 164 1002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212 221c r r r r =-+θ
双曲线焦点三角形面积公式的应用
双曲线焦点三角形面积公式的应用 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ?=?b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得 .4)(,2||222121a r r a r r =-∴=- 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θθθθ?=?=-?==?b b b r r S PF F . .2cot 221θ?=∴?b S PF F 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B. 25 C. 2 D. 5 解：,145cot 2cot 221=?=?=?θb S PF F ∴选A.
例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ?的值是___________. 解: ,12cot 2cot 221==?=?θ θb S PF F ?=∴452θ ,即.90?=θ ∴21PF ⊥，从而.021=?PF 例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=?=?=?b b S PF F θ得：.122=b 又,2122 =+=a b e .41212=+∴a 从而.42=a ∴所求的双曲线的标准方程为112422=-y x ，或112 42 2=-x y . 金指点睛 1. 已知双曲线14 22 =-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ?的值为( ) A. 2 B. 3 C. 2- D. 3- 2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121=?⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12 322=-y x C. 1422=-y x D. 142 2=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线122 2 =-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=?MF MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A. 34 B. 35 C. 332 D. 3
最新椭圆焦点三角形面积公式备课讲稿
求解 运用公式 设P为椭圆上的任意一点， 角F1F2P=α ，F2F1P=β，F1PF2=θ， 则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)， 焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。 证明方法一 设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n， 由射影定理得2c=mcosβ+ncosα， e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)， 由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。 证明方法二 对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n 则m+n=2a 在△F1PF2中,由余弦定理: (F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ 即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2 所以mn=2b^2/(1+cosθ) 例题 F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值 【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1| △QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。
设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。 【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2 假设A在x上方，B在下方直线过(1,0) 设直线是x-1=m(y-0)x=my+1 代入 2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3) △F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即|y1|+|y2|最小[1]） ∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3) →→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3) 令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数) ∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3 此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3 在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．
双曲线焦点三角形面积公式的应用
双曲线焦点三角形面积公式的应用 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ?=?b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θθθθ?=?=-?==?b b b r r S PF F . 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B. 25 C. 2 D. 5 解：,145cot 2cot 221=?=?=?θb S PF F ∴选A. 例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ?的值是___________. 解: ,12cot 2cot 221==?=?θ θb S PF F ?=∴452θ ,即.90?=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=?PF
椭圆焦点三角形面积公式在高考中的妙用
椭圆焦点三角形面积公式在高考中的妙用 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 1641002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ P y F 1 O F 2 x P
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式
椭圆焦点三角形面积公式的应用 性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点， θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题 例1 若P 是椭圆 164 10022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例 2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 2121= ，则△21PF F 的面积为（ ）
A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3（04湖北）已知椭圆19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 4 9或77 9 答案： 例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆 1641002 2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60?=θ记.||,||2211r PF r PF == Θ点P 在椭圆上， ∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(212 21=-+r r r r .144340021=-∴r r 从而.3 256 21= r r .3 36423325621sin 212121=??== ?θr r S PF F 解法二：在椭圆 1641002 2=+y x 中，642=b ，而.60?=θ .3 3 6430tan 642 tan 221= ?==∴?θ b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
双曲线焦点三角形面积公式的应用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ?=?b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得 .4)(,2||222121a r r a r r =-∴=- 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θθθθ?=?=-?==?b b b r r S PF F . .2cot 221θ?=∴?b S PF F 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B. 25 C. 2 D. 5 解：,145cot 2cot 221=?=?=?θb S PF F ∴选A.
例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ?的值是___________. 解: ,12cot 2cot 221==?=?θ θb S PF F ?=∴452θ ,即.90?=θ ∴21PF ⊥，从而.021=?PF 例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=?=?=?b b S PF F θ得：.122=b 又,2122 =+=a b e .41212=+∴a 从而.42=a ∴所求的双曲线的标准方程为112422=-y x ，或112 42 2=-x y . 金指点睛 1. 已知双曲线14 22 =-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ?的值为( ) A. 2 B. 3 C. 2- D. 3- 2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121=?⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12 322=-y x C. 1422=-y x D. 142 2=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线122 2 =-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=?MF MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A. 34 B. 35 C. 332 D. 3