组合数学 课程论文

第二类stirling 数S(n ，n-7)的一个公式

数学与应用数学（师范）2班 李霞 200902114078

一、定义与符号

定义1 从n 个不同事物中取出m 个的组合数,记作m n C .

定义2 把含有n 个元素的一个集合分成恰好有k 个非空子集合的分拆数目就叫

做第二类stirling 数,并记作(,)S n k ,对于0n k ==时,定义(0,0)S =0;当(,)0n k S n k <=时,.

对于集合A,我们用|A|表示A 的基数.关于第二类stirling 数的性质与计算方法,我们给出以下几个引理. 引理 []11

1

1

1

2

11(,1)1,(,2)21,(,3)(3

1)2

,

2

,n n n n n S n S n S n S n S n n S n n ---≥==-=

+-当时，（,0)=0,（,-1)=C （,)=1.

引理 []

12

1(,)(1,1)(1,).k n S n k S n k kS n k ≤≤=--+-当时,

为了方便下面定理1的证明，根据引理1和引理2，我们可以算出以下几个第二类stirling 数：

8

99

1(9,2)21255;(10,3)(31)29330;(11,4)145750;

2

S S S =-==

+-==(12,5)1379400.S =

定理 [][][][]

2345A

344,(,2)3n

n

n S n n C C ≥-=+当时4566(,3)1015;n

n

n

S n n C C C ≥-=++;当n 时,

5

6

7

8

8(,4)25105105;

n n n n n S n n C C C C ≥-=+++当时,

6

7

8

9

10

10(,5)564901260945;

n n n n n n S n n C C C C C ≥-=++++当时,

7

8

9

10

11

12

12(,6)119191894501732510395.n n n n n n n S n n C C C C C C ≥-=+++++当时,

二、 主要结果及其证明

定理 1 当14n ≥时，

8

9

10

11

12

13

14

(,7)246682556980190575270270135135.n n n n n n n S n n C C C C C C C -=++++++

证明: 设X 是含有n 个元素的集合, 当14n ≥时, 按照(,7)n n -S 的定义,我们有下面7种不同情况的分拆方法. 情况1

7

1

1287(17)(,1,7)

(2)...18.

n i

i

i

j i n n X A A i n A A i j i j n A A A A -=--=

≤≤-?=?≠≤≤-===== 设,这里满足（1）

且

我们从X 的n 个元素中取出8个元素放在7n A -中的方法共有8n C 种, 因此, 在情况1中,我们有8n C 种分拆方法. 情况2

7

1

1298787(17)(,1,7)

(2)...12,2,9.

n i

i

i

j i n n n n n X B B i n B B i j i j n B B B B B B B -=-----=

≤≤-?=?≠≤≤-====≥≥?= 设,这里满足（1）

且并且

我们从X 中取出9个元素的方法有9n C 种, 而9个元素分成两个非空集合的分拆数为(9,2)S .若将9个元素分成两部分, 一部分有1个元素而另一部分有8个元素, 共有19C 种方法, 因此, 将9个元素分成两部分, 使每部分至少有2个

元素的方法共有1918

9

(9,2)(21)9210246S C --=--=-=种.因此在情况2中,我们共有2469n C 种分拆方法. 情况3

7

1

1210987987(17)(,1,7)

(2)...12,2,2,10.

n i

i

i

j i n n n n n n n X C C i n C C i j i j n C C C C C C C C C -=-------=

≤≤-?=?≠≤≤-====≥≥≥??= 设,这里满足（1）

且并且 我们从X 中取出10个元素的方法有10

n C 种,将10个元素分成3个非空子集

987,,n n n C C C ---的方法共有(10,3)S 种.而其中有一个子集含一个元素,而另外两

个子集至少含有2个的元素的分拆方法有1

10

2462460C ?=种;其中有两个子集各含有1个元素,即有一个子集含有8个元素的方法有28

10

1045C C ==种.所以把10

个元素分为3个非空子集且每个子集至少包含2个元素的方法共有

(10,3)(246045)933025056825S -+=-=种.因此,在情况

3中,我们有10

6825n C 种

分拆的方法.

情况4

7

1

12111098710987(17)(,1,7)

(2)...12,22,2,11.

n i

i

i

j i n n n n n n n n n X D D i n D D i j i j n D D D D D D D D D D D -=---------=

≤≤-?=?≠≤≤-====≥≥≥≥???= 设,这里满足（1）

且，并且

我们从X 中取出11个元素的方法有11

n C 种, 将11个元素分成4个非空子集

10n D -,9n D -,8n D -,7n D -的方法共有(11,4)S 种. 若有一个子集中含1个元素,

而另外三个子集中至少含有2个元素的分拆方法有1

11

682575075C ?=种; 若有两个子集各含有1个元素, 其它两个子集至少含有2个元素的分拆方法有

2

1124613530C ?=种; 若有三个子集各含有

1个元素,即有一个子集含有8个元素

的方法有38

11

11165C C ==种. 所以把11个元素分为4个非空子集且每个子集至少包含2个元素的方法共有(11,4)(7507513530165)1457508877056980

S -++=-=种. 因此,在情况4中, 我们有11

56980n C 种分拆的方法.

情况5

7

1

121211109871110987(17)(,1,7)

(2)...12,2,22,2,12.

n i

i

i j i n n n n n n n n n n n X E E

i n E E i j i j n E E E E E E E E E E E E E -=-----------=

≤≤-?=?≠≤≤-====≥≥≥≥≥????= 设,这里满足（1）且，并且 我们从X 中取出12个元素方法有12n C 种, 将12个元素分成5个非空子集

1110987,,,,n n n n n E E E E E -----的方法共有(12,5)

S 种. 若有一个子集含一个元素, 而

另外四个子集都至少含有2个元素的分拆方法有1

12

56980683760C ?=种; 若有两个子集各含有1个元素, 其它三个子集都至少含有2个元素的分拆方法有

2

126825450450C ?=种; 若有三个子集各含有

1个元素, 其它二个子集都至少含

有2个元素的分拆方法有3

12

24654120C ?=种; 若有四个子集各含有1个元素,即有一个子集含有8个元素的方法有48

12

12495C C ==种. 所以把12个元素分为5个

非空子集且每个子集都至少包含2个元素的方法共有(12,5)(683760450450

S-+

=-=种. 因此,在情况5中, 我们有++13794001188330190575

54120495)

12

C种分拆的方法.

190575

n

三、参考文献

[1]陈景润.组合数学简介[M].天津:天津科学技术出版社, 1988.

[2]曹汝成.组合数学[M].广州:华南理工大学出版社,2002.

[3]杜春雨.第二类stirling数的一个恒等式[J].江西师范大学学报(自然科学版),

2004(5): 240-241.

[4]吴跃生.第二类stirling数的又一个恒等式[J].华东交通大学学

报,2007(2):146-147.

[5] 吴跃生.第二类stirling数(,6)

n n-

S的一个公式[J].华东交通大学学

2

报,2008(3):97-99.