东南大学2009年研究生入学试题 数学分析

东 南 大 学 二〇〇九年攻读硕士学位研究生入学考试试题

试题编号：601 试题名称：数学分析

一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）.

1.[,]a b 上每个单调函数至多有可列个间断点.

2.在有界闭区间[,]a b 上黎曼可积的函数必在[,]a b 上有原函数.

3.若n a 非负、单调递减,且lim 0n n na →∞=,则级数1

n n a ∞=∑收敛. 4.曲线221x y +=上每一点的某邻域内可确定隐函数()y y x =.

二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）.

5.求极限21lim[ln(1)]x x x x

→∞+-. 6.求极限2222212lim (1)(1)(1)n n n n n n

→∞+++ . 7.求幂级数143n

n x n ∞

=-∑的和函数(0)x ≥. 8.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)-处的切线方程.

9.计算曲线积分22C ydx xdy I x y -=+?

,其中C 为曲线33cos ,sin (0)2x t y t t π==≤≤的一段.

10.计算曲面积分22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy ∑-+-??,其中∑是由曲线

(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转所成的旋转曲面,取外侧.

三．解答题（本题共8小题,前6小题每题10分,后2小题每题9分,满分78分）.

11.给定实数0x 及b ,01b <<,令1sin ,1,2,n n x a b x n -=+= ,证明：

（1）极限lim n n x →∞

存在,记为ξ； （2）ξ是开普勒方程sin x a b x =+的唯一解.

12.一个函数f ：

[,]a b → 称作上半连续的,假如对给定的[,]x a b ∈及0ε>,存在一个0δ>,使得若[,],y a b y x δ∈-<,则()()f y f x ε<+.

证明：[,]a b 上的上半连续函数是上有界的,且在某个点[,]c a b ∈处达到最大值.

13.设()f x 在开区间(,)I a =+∞内可导,且lim '()x f x →+∞=∞,证明()f x 在I 内必定是非一致连续的.

若(,)I a b =是有限开区间,且lim '()x b

f x -→=∞,问()f x 在I 内也必定是非一致连续的？

14.设1

111n n

n I x dx +=+?,求证：

（1）0,n I n →→∞；

（2）极限lim n n nI →∞

存在,并求出此极限值. 15.设()f x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内有二阶导数,且

1

0(0)(1)0,''()0,()0f f f x f x dx ?>>=?. 证明：

（1）函数()f x 在(0,1)内恰有两个零点；

（2）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得0'()()f f x dx ξ

ξ=?. 16.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶连续导数,且0()lim 0x f x x →=.证明：级数11()n n f n

∞=∑绝对收敛. 17.设2222sin(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),

x y xy x y f x y x y x y ?+≠?=+??=?讨论f 在原点的连续性、可微性以及两个一阶偏导数在原点的连续性.

18.证明反常积分20sin 1x px x +∞+?关于[,)p a ∈+∞一致收敛,其中0a >为常数.