高斯定理

简析高斯定理在电场中的应用

高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为

01

()

1/n

i i S E ds q φε==?=∑?? （1）

高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种:

1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;

2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面

3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。

根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是:

○

1 待求场强的场点必须在高斯面上;○

2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○

3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○

4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。

步骤：

1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；

2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过

该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量n 与E 平行或垂直，n

与E 平行时，

E 的大小要求处处相等，使得E

能提到积分号外面；

3．计算电通量???S d E

和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。

应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。

利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。

典型例题：

例题1、设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强.

解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3)

带电面右半空间

的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的.

为了计算右方一点A 的场强，在左取它的对称点B ，以AB 为轴线作一圆柱，如图所示. 对圆柱表面用高斯定理，

?∑=

+=?=s

e e e q ds E 0

εφφφ两个底面

侧面 (1) 0=侧e φ (2)

ES e 2=两个底面φ (3)

圆柱内的电荷量为

∑=S q σ (4)

把(2)、(3)、(4)代入(1)得

02εσ

=E =12810

85.82103.9--???V/m=5.25×103 V/m

例题2、设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为λ=5.0×10-9C/m ，放置在真空中，求空间距直线1m 处任一点的场强.

解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂直于柱面(如图).

根据场强的分布，我们以直线为轴作长为l ，半径为r 的圆柱体.把圆柱体的表面作为高斯面，对圆柱表面用高斯定理：

?∑=

+=?=s

e e e q ds E 0

εφφφ两个底面侧面 (1)

r l E E S e πφ2==侧侧 (2)

0=两个底面e φ (3)

圆柱内的电荷量为

∑=l q λ (4)

把(2)、(3)、(4)代入(1)得

r E 02πελ

==1

1085.814.32100.512

9?????--V/m=89.96 V/m 例题3、设有一半径为R 的均匀带正电球面，电荷为q ，放置在真空中，

求空间任一点的场强.

解：由于电荷均匀分布在球面上,因此,空间任一点P 的的场强具有对称性,方向由球心O 到P 的径矢方向(如果带负电荷，电场方向相反)，在与带电球面同心的球面上各点E 的大小相等.

根据场强的分布，我们取一半径为r 且与带电球面同系同心的球面为为高斯面，如图所示.

若R r <，高斯面2S 在球壳内，对球面2S 用高斯定理得 ?∑=

?=?=s

e q r

E ds E 0

2

4επφ球内 因为球壳内无电荷，∑=0q ，所以

0=球内E

若R r >，高斯面1S 在球壳外，对球面1S 用高斯定理得∑=q q ，故有

24επq

E R =

2

04r

q E πε=

由此可知，均匀带电球面内的场强为零，球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷所产生的场

强相同.

例题4、均匀带电球壳的场强。

设有一半径为R 、均匀带电为Q 的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。

解：因为球壳很薄，其厚度可忽略不计，电荷Q 近似认为均匀分布在球面上。由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为

E r dS E S d E S

S

e 2 4π=?=?=Φ????

根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷

εq

e =

Φ

当场点在球壳外时 Q q = 电场强度为 2

04r Q E πε＝

当场点在球壳内时 0=q

电场强度为 0＝E

例题5、均匀带电球体的场强。

设有一半径为R 、均匀带电为Q 的球体。求球体内部和外部任意点的电场强度。

解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为

E r dS E S d E S

S

e 2 4π=?=?=Φ????

根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷

εq

e =

Φ

当场点在球体外时 Q q = 电场强度为 2

04r Q E πε＝

当场点在球体内时 3333343

4R

Qr r R Q q ==

ππ 电场强度为 3

04R Qr E πε＝

例题6、无限长均匀带电直线的场强。

设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为λ，求距离直线为r 处的电场强度。

解：由于带电直线无限长，且电荷均匀分布，所以电场的场强沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离的各点的场强的大小相等，即电场分布是柱对称的。以该直线为轴线作一圆柱面为高斯面，长为h ，半径为r 。由于场强与上下底面的法线垂直，所以通过圆柱的上下两个底面的电通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为rh E π2。又此高斯面所包围的电量为h λ，所以根据高斯定理有 0/2ελπh rh E = 由此可知，电场强度为 r

E 02πελ

=

例题7、无限长均匀带电平面的场强。

设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电荷面密度为σ，求距离平板为r 处的电场强度。

解：由于带电平板无限长，且电荷均匀分布，所以带电平板两侧电场的分布具有对称性，所以场强沿垂直于该平面，而且在距平面等距离的各点的场强的大小相等。作圆柱面为高斯面，此圆柱面穿过带电平面，且对带电平面是对称的。其侧面的法线方向与场强垂直，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为零；由于场强与两个底面垂直，所以通过圆柱的两个底面的电通量为ES 。又此高斯面所包围的电量为σS ，所以根据高斯定理有 0/2εσS ES = 由此可知，电场强度为 0

2εσ=

E 即无限大均匀带电平面的场强与场点到平面的距离无关，而且场强的方向与带电平面垂直。无限大带电平面的电场是匀强电场。

小结：高斯定理在电场中的一般应用步骤:

（1）根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。

（2）在待求区域选取合适的封闭积分曲面（称为高斯面）。要求：

曲面必须通过待求场强的点，曲面要简单易计算面积； 面上或某部分曲面上各点的场强大小相等；

且面上或某部分曲面上各点的法线与该处的E

方向一致或垂直或是成恒定角度，以便于计

算。

（3）应用高斯定理求解出E

的大小。(?∑=?=s

s e q ds E 0

)(εφ内).

（4）说明E

的方向。