华南师范大学大学数学专业历年考研试题高等代数1999-2000;2002-2016年

高等代数部分(75分)

一(15分)令()f x 与()g x 是数域F 上的多项式,a,b,c,d ∈F 且ad-bc ≠0,证明()()()()()()()()

,,af x bg x cf x dg x f x g x ++=二(15分)设非零实1?n 矩阵A=()12,,...n

a a a 1求A A ，及秩(A A ，)

2求A A ，的特征值;

3求A A ，

的特征值对应的特征向量三(15分)设F 是数域,[]()[](){}

|n F x f x F x f x n

=∈?<定义向量空间[]n F x 上的线性变换σ如下()()()()()[]()

'n f x xf x f x f x F x σ=-?∈1求子空间Ker σ=()[]()(){}|n f x F x f x σ∈=,[]()()()[]{}|n n

F x f x F x σσ=∈2证明[]n F x =ker σ⊕σ([]n F x )

四

(15分)设A 是正定矩阵,证明1

,1A -,kA,m A (m 是正整数),*A 都是正定矩阵2()1110...,0(0,1,2...)m m m m j g x a x a x a x a a i m --=++++≥=有一个为正,则g(A)正定五(15分)

设V 是n 维欧氏空间,{}1,2,...n ααα是V 的标准正交基,{}12,...,,n βββ是V 中一组向量且()12,...,,n βββ=()1,2,...n αααA,A 为n 阶实方阵.证明{}12,...,,n βββ是V 的标准正交基当且仅当A 是正交矩阵

华南师范大学2005年硕士研究生入学考试试题

考试科目：数学分析与高等代数

适用:课程与教学论基础数学计算数学应用数学运筹学与控制论

数学分析部分(75分)

一计算题(每小题8分)

1,求30cos(sin )cos lim sin x x x

→-2求3sec xdx ?

3求22

(,)(0,0)lim x y x y x y →+4求224L xdy ydx

y x -+?其中L:222(1)y R x +-=,0

二证明题(每小题9分)

1证明:对21,,()2

a b

a b a b R e e e +?∈≤+;2设()12

1lim 0,:lim ......0n n x x a n a a a →∞→∞=+++=证明3设f(x)在(0,1)上连续,()01lim lim x x f x →+→-==-∞,证明()f x 在()0,1内取到最大值

三讨论题(每题8分)

1,讨论级数()1

32323231

1111111......2135246(2)n n -+-+-++-+-的敛散性

2设0,0,αβ>>讨论0sin x dx x

βα+∞

?的敛散性(包含条件收敛和绝对收敛)