(word完整版)小升初奥数—排列组合问题

小升初奥数—排列组合问题

一、 排列组合的应用

【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。

【解析】 （1）775040P =（种）。

（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.

（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6

6P =1440(种)．

（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ?= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ?=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.

（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。

【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，

那么确保打开保险柜至少要试几次？

【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，

3；2，2，2，3六种。 第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；

第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312?=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．

综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．

【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个

数字都不相同的时刻一共有多少个?

【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不

同的数字，所以有2

6P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有2

7P 种选法，所以共有2

6P ×27P =1260种选法。

从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。

【例 4】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：

⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端；

⑷男女相间．

【解析】⑴先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随

意排，也就是8个元素全排列的问题，有8

88765432140320

P=???????=(种)选择．由乘法原理，共有640320241920

?=(种)排法．

⑵甲、乙先排，有2

2212

P=?=(种)排法；剩下的7个人随意排，有

7 776543215040

P=??????=(种)排法．由乘法原理，共有2504010080

?=(种)排法．

⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有2

2212

P=?=(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有

4 4432124

P=???=(种)和5

554321120

P=????=(种)排法．由乘法原理，共有2241205760

??=(种)排法．

⑷先排4名男生，有4

4432124

P=???=(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有

5 554321120

P=????=(种)排法．由乘法原理，一共有241202880

?=(种)排法。

【例 5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：

⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】⑴先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有

7 77!76543215040

P==??????=(种)方法．第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节

目全排列的问题，有4

44!432124

P==???=(种)方法．

根据乘法原理，一共有504024120960

?=(种)方法．

⑵首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有

6 66!654321720

P==?????=(种)方法．

×□×□×□×□×□×□×

第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当

于从7个“×”中选4个来排，一共有4

77654840

P=???=(种)方法．

根据乘法原理，一共有720840604800

?=(种)方法。

【例 6】⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）

⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？

⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？

⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？

⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？

⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？

【解析】⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有3

8

P种．

⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有3

8

P种．

⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一

种号码即对应一种坐法，有3

8

P种．

⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有3

8

P种．

⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有3

8

P种．

⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有3

8

P种。

【例 7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？

【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛2

665

15 21

C

?

==

?

场，共8个小组，有2

43

?

组，有6424?=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛。

【例 8】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮

必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？

【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留

给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇． 小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑

只满足第一、三个条件的站法总数为：321237

2423P P P 3360C C ????=（种） 同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：3

222262322P P P P 960C ????=（种）

因此同时满足三个条件的站法总数为：33609602400-=（种）。

【例 9】 某池塘中有A B C 、、三只游船，A 船可乘坐3人，B 船可乘坐2人，C 船可乘坐1人，今有3个成

人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？

【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C 船．

⑴若这5人都不乘坐C 船，则恰好坐满A B 、两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在A 船上，此

时A 船上还必须有1个成人，有1

3

3C =种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在A B 、两船上，则B 船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有12

2C =种选择，1个成人有1

33C =种选择，所以有236?=种方法．故5人都不乘坐C 船有369+=种安全方法；

⑵若这5人中有1人乘坐C 船，这个人必定是个成人，有1

3

3C =种选择．其余的2个成人与2个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在A 船上，此时A 船上还必须有1个成人，有1

2

2C =种方法，所以此时有326?=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么B 船上有1个儿童和1个成人，此时1个

儿童和1个成人均有1

2

2C =种选择，所以此种情况下有32212??=种方法；故5人中有1人乘坐C 船有61218+=种安全方法．所以，共有91827+=种安全乘法．

【例 10】 从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？

⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选； ⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。

【解析】 ⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为35

810

14112C C ?=种； ⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：

8871

181010843758C C C C --?=；

⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有4

141001C =种； ⑷从所有的选法818C 种中减去这4个人同时入选的4

14C 种： 84181443758100142757C C -=-=．

⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：

817261441441434749C C C C C +?+?=。

【例 11】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音

响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？

【解析】 按具有双项技术的学生分类：

⑴ 两人都不选派，有3

5543

10321

C ??=

=??(种)选派方法；

若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有2554

1021

C ?==?(种)选法，而另外会安装音响设备的3人全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10110?=(种)选法；

若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有2332

321

C ?==?(种)选法，

需从5人中选3人安装电脑，有3

554310321

C ??==??(种)选法．由乘法原理，有31030?=(种)选法．

根据加法原理，有103040+=(种)选法； 综上所述，一共有24080?=(种)选派方法． ⑶ 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：

①两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备，有515?=(种)选派方案； ②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有22535432

602121

C C ???=

?=??(种)选派方案； ③两人全安装音响设备，有3

5543

3330321

C ???=?

=??(种)选派方案．

根据加法原理，共有5603095++=(种)选派方案．

综合以上所述，符合条件的方案一共有108095185++=(种)．

【例 12】 有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从

中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？

【解析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类：

⑴ 多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有41

55

5C C ==种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有515?=种选择．

⑵ 多面手中有一人入选，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：

如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，有3

5543

10321

C ??=

=??种选择，需从4名

日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有210120??=种选择；

如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有41

55

5C C ==种选择，需从4名日语翻译员中再选出3名，有31

4

44C C ==种选择．由乘法原理，有25440??=种选择．根据加法原理，多面手中有一人入选，有204060+=种选择．

⑶ 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况： ①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．

情况①中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有2554

1021

C ?=

=?种选择．需从4名日语翻译员中选4人，1种选择．由乘法原理，有110110??=种选择． 情况②中，需从5名英语翻译员中选出4人，有41

55

5C C ==种选择．还需从4名日语翻译员中选出2人，有2

443

621

C ?=

=?种选择．根据乘法原理，共有15630??=种选择． 情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择．剩下的需从5名英语翻译员中选出3人，

有3

554310321

C ??=

=??种选择，需从4名日语翻译员中选出3人，有31

4

44C C ==种选择．由乘法原理，有1210480???=种选择．

综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出560120185++=张．

二、 几何计数

【例 13】 下图中共有____个正方形。

【解析】 每个44?正方形中有：边长为1的正方形有2

4个；边长为2的正方形有23个； 边长为3的正方形

有22个；边长为4的正方形有21个；总共有2222432130+++=(个)正方形．现有5个44?的正方形，它们重叠部分是4个22?的正方形．因此，图中正方形的个数是30554130?-?=。

【例 14】 在图中(单位：厘米)：

①一共有几个长方形?

②所有这些长方形面积的和是多少?

3

7

4218125

【解析】 ①一共有(4321)(4321)100+++?+++=(个)长方形；

②所求的和是

[][]

51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++?

+++++++++++++++++++

1448612384=?=(平方厘米)。

【例 15】 由20个边长为1的小正方形拼成一个45?长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形

(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。 (第六届走美决赛试题)

【解析】 含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种) 含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)

所以总共长方形有6848?=个，面积总和为(12233445)(122334)360+++++++?+++++=。

【巩固】 图中共有多少个三角形？

【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类

（1）最大的三角形1个(即△ABC)，

（2）第二大的三角形有3个

（3）第三大的三角形有6个

（4）第四大的三角形有10个

（5）第五大的三角形有15个

（6）最小的三角形有24个

所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）

图中共有三角形2×59=118（个）。

【例 16】一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?

【解析】我们采用递推的方法．

I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．

Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个

点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这

时有可能的连法。

Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：

①A1所在三角形的一个边所对的弧上；

②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．

在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．

如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；

如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．

共有12种连法．

Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：

①9个点都在同一段弧上：

②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；

③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．

共有12×3+3×6+1＝55种．

所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。

课后练习：

练习1. 如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、

2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和。

【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四

边形）mn 个，所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+ 18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664。

练习2. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？ 【解析】 初看本题似乎觉得很好入手，比如可以按天数进行分类枚举：

1天吃完的有1种方法，这天吃10块；2天吃完的有9种方法，10=1+9=2+8=……=9+1；

当枚举到3天吃完的时，情况就有点错综复杂了，叫人无所适从……所以我们必须换一种角度来思考．

不妨从具体的例子入手来分析，比如这10块糖分4天吃完：

第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．

我们可以将10个“○”代表10粒糖，把10个“○”排成一排，“○”之间共有9个空位，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线(如下图)．

○○|○○○|○|○○○○

比如上图就表示“第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．” 这样一来，每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个‘|’的方法”，要求有多少

个不同的吃法，就是要求在这9个空位中插入若干个“|”的方法数。 由于每个空位都有画‘|’与“不画‘|’两种可能：

根据乘法原理，在这9个空位中画若干个“|”的方法数有：9

9

22222512???==L 1442443，这也就说明

吃完10颗糖共有512种不同的吃法。

每个空位都有画“|”与不画“|”两种可能

练习3.用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?

【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：

最上一层只用了3根火柴；

从上向下数第二层用了3×2=6根；

从上向下数第二层用了3×3=9根；

……

从上向下数第二层用了3×20=60根；所以总共要用火柴3×（1+2+3+……+20）=630。

练习4. 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?

【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根

共需1996×4+1997×3=13975根。

练习5. 编号为1、2、3、4的四把椅子，摆成一个圆圈。现有甲、乙、丙、丁四人去坐，规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？（长沙市奥林匹克代表队集训试题）

解析：如右图，四把椅子排成一个圆圈。

当甲坐在①号位时，乙只能坐在②或④号位上，则共有4种排法；同理，当甲分别坐在②、③、④号位上时，各有4种排法。

所以，一共有16种排列法。

练习6. 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈中，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出______种不同的挑法来。（挑出的数字相同，而排列次序不同的都只算一种）（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

解析：在1至9这九个自然数中，奇数有1、3、5、7、9五个，偶数有2、4、6、8四个。要使排列之后，每相邻两个数字之和为质数，则必须奇数与偶数间隔排列，也就是每次取3个奇数和3个偶数。

从五个奇数中，取3个数共有10种方法；

从四个偶数中，取3个数共有4种方法。

但并不是每一种3个奇数和3个偶数都可以排成符合要求的排列。经检验，共有26种排法。