浅谈抽屉原理问题解题技巧

浅谈抽屉原理问题解题技巧

令狐采学

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果[是“至少两个苹果”吧？]。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素[这个定义是有问题的。苹果的问题还可以认为抽屉不能空，“多于N+1个元素在n个集合中必定有两个元素的集合”无论集合空不空肯定是不对的。应该也是“至少两个元素”]。它是组合数学中一个重要的原理[这一段应该是百度百科里的内容。但是注意百科左边的图片里也是“至少有2个苹果”，下面的解析里的狄利克雷原则也是正确定义的。希望老师在引用的时候仔细分辨。]。抽屉原理看似简单，但它是近年来公考行测广大考生很容易丢分的部分。考生不能有效得分的主要原因：一是考生只是去背诵抽屉原理相关定理与公式；二是考生不能透彻理解应用“最不利原则”的思维角度。

目前，处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原则”，构造“最不利”“点最背”的情形。下面利用几道例题对抽屉原理问题的解法进行一下探讨。

一．基础题型

【例1】从一副完整的扑克牌中至少抽出（）张牌才能保证至少6张牌的花色相同？

A.21

B.22

C.23

D.24

解析：题目要求保证：6张牌的花色相同.考虑最不利情形：每种花色取5张，一共20张，然后抽出大小王共2张，总共22张，再抽取任意一张都能保证6张花色相同，共23张.因此，答案选C.

【例2】一副无“王”的扑克牌，至少抽取几张，方能使其中至少有两张牌具有相同的点数？（）

A.10

B.11

C.13

D.14

解析：题目要求：两张牌具有相同的点数.考虑最不利情形：从中任取一种花色的牌13张，每张牌点数都不同，再抽取任何一张点数都会重复，总共抽取14张。因此，答案选D.

【例3】调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查试卷，其中80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码.那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？（）

A.101

B.175

C.188

D.200

解析：题目要求保证：两个手机号码后两位相同.手机号码后两位共有种不同组合.考虑最不利情形：先抽中了份没有填写手机号码的问卷，再抽中了100份手机号码后两位各不相同的问卷，再任意抽取任何一份问卷，手机号码后两位都会重复，总共抽取188份.因此，答案选C.

【例4】某区要从10位候选人中投票选举人大代表，现规定每位选举人必须从这10位中任选两位投票.问至少要有多少位选举人参加投票，才能保证有不少于10位选举人投了相同的两位候选人的票？

A.382

B.406

C.451

D.516

解析：题目要求保证：不少于10位选举人投了相同的两位候选人.根据题意，不同的选票有种.考虑最不利情形：45种选票方式都被投了9次，再有一位选举人，就会有10位选举人投了相同的两位候选人的票，一共投票次，所以至少要有406人选举人.因此，答案选B.

可以看出,题目中出现“至少……,才能保证……”的问法时，首先考虑抽屉原理，找到“最不利”情形，迅速得到答案.

二．应用题型[不知道老师是否真正地知晓“抽屉原理”的含义，抽屉原理不等于最不利原则，无论是从数学上还是从行测上都不等于。抽屉原理不能解决文章这一部分多集合重复题目，因为抽屉原理证明的是n+k个元素在n个集合中的存在性，而非集合重复情况的讨论。抽屉原理的推论和应用是确定

且可证明的，但是多集合重复的答案是逆向思维的情形构造，不可用抽屉原理证明。]

【例1】共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，1～5题分别有80人，92人，86人，78人和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试？

A.30

B.55

C.70

D.74

解析：想要“通过考试的人员尽量少”，就要让“未通过考试的人员尽量多”.1～5题答错的总数为.考虑最不利情形：恰好每人答错3道题，这样未能通过考试的人数会最多，即30人,则至少有70人通过考试.因此,答案选C.

【例2】某班40名同学在期末考试中，语文，数学，英语三门课成绩优秀的分别有32人，35人，33人，三门课都优秀的人数至少是（）？

A.32

B.28

C.24

D.20

解析：想要“三门课都优秀的人尽量少”，就要让“至少一门课不优秀的人尽量多”.各门分别有8人，5人，7人未达到优秀，共人次.考虑最不利情形：这20人次分配给20个不同的人，就能保证三门课不都优秀的人数最多，即20人,则至少有人三门课都优秀.因此，答案选D.

【例3】有10个学生，其中任意5个人的平均身高都不小于1.6米，那么其中身高小于1.6米的学生最多有多少人？（）

A.3

B.4

C.5

D.6

解析：题目要求：身高小于1.6米的学生最多.考虑最不利情形：1次把最矮的5个学生全部选中，且这5个人的平均身高都不小于1.6米，这就意味着最多会有4个人身高低于1.6米，而另外1个人的身高高于1.6米,即身高小于1.6米的学生最多4人.因此，答案选B.

可以看出,题目中出现“3个或者3个以上的满足不同条件的集合时”，而问题中出现“……都满足的至少有多少个”的问法时，也要首先考虑抽屉原理，找到反向“最不利”情形，进而迅速得到答案.

抽屉原理题型是数量关系中的难点，需要从根本上掌握基本方法，熟悉基本题型，才能进一步加以应用。希望大家通过上面几道例题的讲解，可以举一反三。遇到问题时，能迅速定位是抽屉原理问题，构造“最不利”情形，从而快速的解答题目。

点评：

1.文章在选主题、选真题方面都做得很好，解析也很到位，没有废话且总结有针对性。

2.文章的最大问题，在于概念和原理的混淆。“最不利原则”是行测数量关系中抽屉原理的应用，公式为：“最不利情形下的个数+1=答案”（见模块宝典）。但是文中很大一部分题目不属于这一类题目的深化和变形，而是逆向思维和多集合重复构造的考察。究其原因，是老师把“最不利原则”等同于了“最不利情形”，而这两者是有区别的。