固体物理 第三章思考题--参考 不作要求
第三章 晶格振动与晶体热学性质习题课
1. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答]
(1) 方便于求解原子运动方程.
由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.
(2) 与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
2. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答]
为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .
3. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? [解答]
长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 4. 讨论晶体中声子数目与温度的关系 [解答]
频率为i ω的格波的(平均) 声子数为
11
)(/-=
T k i B i e n ωω ,
即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为
ωνπωωωωωωωd 2311d )()('0
3
22
/0
?
?????
????? ??-==D
B i D p
c
T k V e D n N .
作变量代换
T k x B ω =
，
Diamond
?
Θ-=
T
x p
B c D e x x T k V N /0
23323
31d 23'νπ .
其中D Θ是德拜温度. 高温时, x e x
+≈1
T
k V N p D
B c 3322
343'νπΘ =,
即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时, ∞→)/(T D Θ,
3
13332310
2332330
23323
3)2(23)d (231d 23'T n k V x e x T k V e x x T
k V N n p B c n nx p B c x p
B c ∑∑??∞=∞=∞-∞
==-=
νπνπνπ ,
即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.
5. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? [解答]
频率为ω的格波的(平均) 声子数为
11
)(/-=T
k B
e n ωω .
因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T
k B O e ω )大于(1/-T
k B A e ω ), 所以在温度
一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
6. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? [解答]
设温度T H >T L , 由于(1/-H
B T k e
ω )小于(1/-L
B T
k e
ω ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.
7. 高温时, 频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系? [解答]
温度很高时, 1/-≈ωω T
k B e
, 频率为ω的格波的(平均) 声子数为
11)(/-=T k B
e n ωω ω T
k B ≈.
可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.
8. 从图所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波? [解答]
从图所示实验曲线可以看出, 在波矢空间内, 光学纵波振动谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大, 声学纵波对应的波矢空间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大. 而模式密度是单位频率区间内的格波数目, 因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度. 9. 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？
Raman 散射：入射光与晶格振动的光学波相
互作用所引起的频率改变的非弹性散射光，称为Raman 散射：
*频率减小ω2=ω1－ω?的散射：Stokes 散射； *频率增加ω2=ω1+ω?的散射：anti －Stokes 散射。
Brillouin 散射：晶格振动的声学波使晶体的折射率n 发生周期性变化，从而使入射光发生非弹性散射，称为Brillouin 散射。
[解答]
晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量q 不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢k 与散射波矢'k 要大, 散射角θ也要大. k 与'k 大要求波长小, 散射角θ大要求q 大(图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射.
10. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ [解答]
实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.
11. 对于光学横波, 0→T ω对应什么物理图象?
00()
(2)q a ωωω'=±-(2)b '=±+- h
k k q G 能量守恒：
动量守恒:
[解答]
格波的频率ω与β成正比. 0→T ω说明该光学横波对应的恢复力系数0→β. 0=β时, 恢复力消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场. 12. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么? [解答]
按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013
, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
13. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? [解答]
在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符. 14. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗? [解答]
频率为i ω的格波的振动能为
i
i i n ωε ??
? ??
+=21,
其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能, (2/i ω )是零点振动能, 声子数
11
/-=T
k i B i e n ω .
绝对零度时, i n =0. 频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能. 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.
固体物理课后答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；
固体物理习题解答
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
固体物理答案第3章
3．1 已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移nj μ为： sin() nj j j j j a t naq μωδ=++ j δ为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为B k T 。具体计算每 个原子的平方平均位移。 解：（１）根据2011 sin ()2 T j j j t naq dt T ωδ?++= 其中2j T π ω= 为振动周期， 所以222 21 sin ()2 nj j j j j j a t naq a μωδ=++= （２） 第j 个格波的平均动能 （３） 经典的简谐运动有： 每个格波的平均动能＝平均势能＝1 2格波平均能量＝12 B k T 振幅222B j j k T a Nm ω= ， 所以 2 22 12B nj j j k T a Nm μω==。 而每个原子的平方平均位移为：222221 ()2 B n nj nj j j j j j j k T a Nm μμμω====∑∑∑∑ 。 ３．２讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其２N 个格波的解。当m M =时与一维单原子链一一对应。 解：（１）一维双原子链： 22q a a π π - ≤< 声学波：1 222 2 411sin ()m M mM aq mM m M ωβ-????+??=--????+???? ?? 当m M =时，有 2 224(1cos )sin 2 aq aq m m ββω-= -= 。
光学波：1 222 2 411sin ()m M mM aq mM m M ωβ+????+??=+-????+???? ?? 当m M =时，有 2 2 24(1cos )cos 2 aq aq m m ββω+= += 。 （２）一维双原子链在m M =时的解 22224sin 2422cos 2aq m q aq a a m βωπ π βω-+?=??- ≤< ? ?=?? 与一维单原子链的解 224sin 2 aq q m a a βπ π ω=- ≤< 是一一对应的。 3．5已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为： 其中马德隆常数 1.75,9a n ==,平衡离子间距0 2.82r =?。 （１） 试求离子在平衡位置附近的振动频率。 （２） 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl 红外吸收频率的测量只值 61μ进行比较。 解：（1）处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏差0r r δ=-的二次方项。 224 00002 00 ()()1()()()2U r U r U r U r O δδδδδδδδδδ==?+?++=+?+?+?? （1） 其中 00 () 0U r δδδ=?+=? 为平衡条件。 由0r 已知可确定β： 2 10n q r n αβ-= 。 （2） 根据（1）式，离子偏离平衡位置δ所受的恢复力为： 2' 002 ()()U r U r F δδδδβδδδ=?+?+=-=-?=-?? （3）
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
固体物理 第三章思考题--参考 不作要求
第三章 晶格振动与晶体热学性质习题课 1. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答] (1) 方便于求解原子运动方程. 由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难. (2) 与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 2. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N . 3. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 4. 讨论晶体中声子数目与温度的关系 [解答] 频率为i ω的格波的(平均) 声子数为 11 )(/-= T k i B i e n ωω , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为 ωνπωωωωωωωd 2311d )()('0 3 22 /0 ? ????? ????? ??-==D B i D p c T k V e D n N . 作变量代换 T k x B ω = ，
固体物理思考题
绪论 1.二十世纪物理学的三大前沿领域是什么？ [解答]微观领域（把包括分子、原子和各种基本粒子（一般线度小于亿分之一米）的粒子称为微观粒子，而微观粒子和它们现象的总称就是微观世界或微观领域。）、宇宙起源（许多科学家认为，宇宙是由大约137亿年前发生的一次大爆炸形成的）和演化复杂性问题（研究重点是探索宏观领域的复杂性及其演化问题）。 2.还原论的思维特点是什么？他对人们思想有何影响？ [解答] 将复杂还原为简单，然后从简单再建复杂。它对人们认识客观世界有重要的积极的意义，并取得许多重要的成果，但这种思维特点不能强调过分，因为层展论也是认识客观世界的一种重要思维方法。 3.固体物理学的范式是什么？结合所学内容谈谈你是怎样理解这种范式的。 [解答]是周期性结构中波的传播。不同类型的波,不管是德布罗意波还是经典波, 弹性波还是电磁波,横波还是纵波,在波的传播问题上具有共性。固体物理学主要是探讨具有周期结构特征的晶态物质的结构与性能的关系。弹性波或晶格波在周期结构中的传播导致了点阵动力学,它主要由Born 及其合作者建立起来的;短波 长电磁波在周期结构中的传播导致了晶体中X 射线衍射问题,其动力学理论系由Ewald 与Laue 所表述的;德布罗意波(电子) 在周期结构中的传播导致了固体电子结构的能带理论,它是由Bloch 、A. C. Wilson ,Brillouin 等所表述的。这些理论有其共同的特征:为了借助于平移对称(周期性) 引入的简化,都采用Bloch 的 表示方式,也都强调了波矢(或倒) 空间(即实空间的富利叶变换) 的重要性。随后对这些领域进行加固并开发应用成为固体物理学家的主要任务。值得注意,即使 时至今日,这一范式还存在生机,到80 年代末及以后关于光子能带与声子能带的 研究又为它注入新的活力。 4.层展论的思维方法是什么？怎样理解实验发现、理论洞见和实际应用三者之 间的关系。 层展论的思维特点是从简单到复杂，每个层次都有自己独特的研究对象、研究内容、研究方法和客观规律；实验发现、理论洞见和实际应用三者间关系非常复杂，在固体物理研究中，有时是实验发现在前，有时是实际应用在前，也有时是理论洞见在先，尽管这种情况较少。 第一章 1.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大.因为面间距大的晶面族的指数低,所以解理面是面指数
黄昆固体物理习题-第三章 晶体的热性质
第三章习题参考解答
3.1已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引 起的位移μnj 为： δj 为任意位相因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT ，具体计算每个原子的平方平均位移。 ) sin(j j j j nj naq t δωαμ++=2 1 )(sin 1 2 = ++? dt q n t T j j j T δαω根据 =2nj μ 2 2 22 1)(sin j j j j j q n t αδαωα=++解：其中T =2π/ωj 为振动周期，所以：
格波的平均动能： ∑?=n nj m E 2 2 1 μN m j j 224 1ωα=一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有： )(cos 212 22j j j j n j q n t m δαωωα++=∑平均动能=平均势能= 格波平均能量=kT 2 1 21其中：M =ρL
其中振幅 2 22j j Nm kT ωα=得： kT N m E j j 2 14122= =ωα所以有：2 2221j j nj Nm kT ωαμ ==所以，每个原子的平方平均位移： ∑∑∑===2 22 1 21j j nj n Nm kT ωαμμ其中：M =ρL
3.2 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应。 解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……。 质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……。
牛顿运动方程 体系有N个原胞，有2N个独立的方程方程的解： A,B有 非零解
固体物理思考题答案固体物理课后思考题答案
固体物理思考题答案固体物理课后思考题答案第一章晶体的结构 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶胞的边长为 , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为 为 ; 面心立方晶胞的边长为 , 晶胞的体积为 , 单位体积晶体中的原子数为 , 晶胞的体积为 ,单位体积晶体中的原子数 , 一个晶胞包含四个 . 因此, 同体 原子, 一个原子占的体积为 1 积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 =0.272. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面,为什么, [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 基矢为 , , 的晶体为何种结构? 若 + , 又为何种结构? 为什么?
[解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 . 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 , , . 对应体心立方结构. 根据14题可以验证, , 若 , 的晶体为体心立方结构. 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为 + 则晶体的原胞的体积 2 , , 该晶体仍为体心立方结构. 4. 若 构证明之. [解答] 若 可知 , =h +k +l =(k+l) (l+h)
, (h+k) =p , =p(l1 +l2 +l3 与 平行, 一定是 的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式 与 平行, 是否是 的整数倍? 以体心立方和面心立方结 3 ), 其中p是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公约(整)数. 对于面心立方结构, 由(1.3)式可知, , =h +k +l =(-h+k+l) +(h-k+l) +l3 ), , +(h+k-l) =p’ , = p’(l1
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《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°
黄昆固体物理课后习题答案6
第六章 自由电子论和电子的输运性质 思 考 题 1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率 [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+=-T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11)(/)(+=-T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量 [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11/-=T k i B i e n ω . 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的 [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化 [解答] 费密能级 3 /222 0)3(2πn m E F =, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低 [解答]
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《固体物理学》习题参考 第一章 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = a 那么， Rf Rb =3 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表 示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，正方 a=b 六方 a=b 矩形 a ≠b 带心矩形 a=b 平行四边形
a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133) 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为 （1）简立方：6π （2 （3 4 ）六方密堆积： 6 （5 ）金刚石：16。 答：令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有： 边长为a 的立方晶胞中堆积比率为 假设硬球的半径都为r ，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意
(完整版)固体物理第3章晶格振动参考答案2011
第三章 晶格振动 参考答案 2011 3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21ββ>。 试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频 支，其格波频率为? ? ??????????????+-±+=212 21221212 )2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明： 第2n 个原子所受的力 1 21122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ 第2n+1个原子所受的力 n n n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++ 这两个原子的运动方程：
n n n n n n n n u u u u m u u u u m 221211221121 211222212)()(ββββββββ+++-=+++-=+++-+&&&& 方程的解 ? ???? ? +-+? ???? ? -==q a n t i n q a n t i n Be u Ae u 2)12(122)2(2ωω 代入到运动方程，可以得到 B A e e B m A B e e A m q a i q a i q a i q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-??? ? ??+=-+-??? ? ??+=--- 经整理，有 0)(0)(22122212221221=-+-??? ? ?? +=??? ? ??+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q a i q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足 ,.,2 212 22 12 22 1221=-+++-+--ω ββββββωββm e e e e m q a i q a i q a i q a i 根据上式，有 ? ? ??????????????+-±+=212 2122 1212)2(sin 411M ）（ββββββωqa
(完整版)固体物理胡安第三章课后答案
3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21 ββ>。 试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为 ?? ??????????????+-±+=212 21221212 )2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明： 第2n 个原子所受的力 1 21122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ 第2n+1个原子所受的力 n n n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++ 这两个原子的运动方程： 2122221121 21122112222()()n n n n n n n n mu u u u mu u u u ββββββββ+-+++=-+++=-+++&&&& 方程的解 ????? ? +-+? ???? ? -==q a n t i n q a n t i n Be u Ae u 2)12(122)2(2ωω 代入到运动方程，可以得到
B A e e B m A B e e A m q a i q a i q a i q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-??? ? ??+=-+-??? ? ??+=--- 经整理，有 0)(0)(22122212221221=-+-??? ? ?? +=??? ? ??+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q a i q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足 222 12 122 2 21212,0,a a i q i q a a i q i q m e e e e m ββωββββββω--+-+=++- 根据上式，有 ? ? ??????????????+-±+=212 21221212 )2(sin 411M ）（ββββββωqa 3.3 (a) 设单原子链长度L=Na 波矢取值2q h Na π =? 每个波矢的宽度2q Na π=，状态密度 2Na π dq 间隔内的状态数2Na dq π ，对应±q ，ω取相同值 因此()22Na dq dq ρωπ =? 一维单原子链色散关系，2aq ω?? = ??? 令 00sin 2aq ωωω?? = = ???
固体物理第三章晶格振动与晶体的热力学函数
第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
固体物理答案第3章(20200511192744)
1 3 . 1已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移nj 为： nj a j sin( j t naq j j ) （2）第j 个格波的平均动能 （3） 经典的简谐运动有: 1 -格波平均能量= 2 4ma2 2N 3.2讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 时与一维单原子链 --- 对应。^m a 2 j 2cos 2 ( j t 2 n j naq j j ) lma 2 2N 4 振幅a 2 吧，所以 Nm j 2 nj 1 2aj k B T_ 2。 j Nm 而每个原子的平方平均位移为: (nj )2 j 2 nj 1 2 2aj j Nm j j 为任意相位因子。 并已知在较高温度下每个格波的平均能量为 k p T 。具体计算每个原子 的平方平均位移。 1 根据丄 T 解：（1） T ? 2 / . o sin ( j t naq j j )dt 其中T —为振动周期, j 所以2j a^sin 2( j t naq j 每个格波的平均动能=平均势能= a ），其2 N 个格波的解。当m M 解：（1） 一维双原子链: 2a q 2a 声学波： 2 m M mM 4mM .2 2sin aq (m M)2 当m M 时, 2 j m cosaq) m Jin 2 凹。 2 光学波： 2 7 1 mM 4mM (m M)2 2 sin aq
「0 3. 5已知NaCI 晶体平均每对离子的相互作用能为: u(r) 其中马德隆常数 a 1.75,n 9 ,平衡离子间距r 0 2.82?。 (1) 试求离子在平衡位置附近的振动频率。 (2) 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与 比较。 解：(1)处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏 r r °的二次方项。 U(r 。 )U(r 。) U(r 。 1 2U(r 。 2 2 2 0( 4) 其中 U(r 。 2 q n r 。 n 根据 0为平衡条件。 由r 0已知可确定 (1)式，离子偏离平衡位置 所受的恢复力为: U(r 。 2U(r o 2 故恢复力常数为 2 U(r) 2 r n 3 r ° (1) (2) (3) ⑷ 当m M 时，有 cosaq) ?cos 2oq m 2 (2) —维双原子链在 m M 时的解 2 ^sin 20q m 2 2 4 2 aq 2a 2a cos - m 2 与一维单原子链的解 是 --- 对应的。 2 4 sin 2 凹 m 2 NaCl 红外吸收频率的测量只值 61进行
固体物理第三章
班级 成绩 学号 Chapter 3 晶格振动与晶体的热学性质 姓名 (lattice vibration and its heat characteristics) 一、简要回答下列问题(answer the following questions): 1、在晶格常数为a 的一维单原子晶格中，波长λ=8a 和波长λ=8a/5的格波所对应的原子 振动状态有无不同? 试画图加以说明。 ［答］对于一维单原子链，由q=2π／λ知，λ＝8a 时，q ＝π／4a ，λ＝8a ／5时，q ＝5π ／4a ，二者的aq 相差π，不是2π的整数倍，因此，两个格波所对应的原子振动状态不同。 如上图，当两个格波的位相差为2π的整数倍时，则它们所对应的原子的振动状态相同。 2、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ ［答］在简谐振动下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的 振动，每一个谐振子的振动模式称为简正振动模式。格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性叠加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是是一回事，其数目等于晶体中所有原子的自由度之和，即等于3N 。 3、晶体中声子数目是否守恒？在极低温下，晶体中的声子数与温度T 之间有什么样的关 系？ ［答］频率为ωi 的格波的平均声子数为 ： 1 1)(/-= T k i B e n ωω 即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守恒，它随温度的改变而改变。 以德拜模型为例。晶体中的声子数目为
ωωωωd g n N D )()('0 ? = 其中 令 T k x B ω = 则 123'2/0 3 3233 -= ? x T B e dx x C T k V N D θπ 在极低温度下，θD ／T →∞，于是 3 3 133233 20 3 3233 )2(23123'T n C T Vk e dx x C T k V N n B x B ∑ ? ∞=∞ =-= ππ 即在温度极低时，晶体中的声子数目与T 3 成正比。 4、爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？而在极低温度下，德拜模型为 什么与实验相符？ ［答］爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013 Hz ，属于光学支频率。而光学格波在低温时对 热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学波。所以爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是没有考虑声学波对热容的贡献。 在极低温度下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波因为未能被激发，得到的激发只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，温度越低，德拜模型与实验结果符合得越好。 5、格波与弹性波有何不同？ ［答］格波与弹性波相比都具有波的形式,但两者又有不同之处: (1) 对于一维单原子链格波解为: ) (naq t i n Ae u -=ω 弹性波的解为: ) (qx t i n Ae u -=ω 在弹性波的解中, x 表示空间任意一点,而在格波解中只能取na 格点的位置. (2) 弹性波的色散关系是线性的，ω＝cq, c 是弹性波的波速; 而格波的色散关系:|2 1 sin |2 aq m β ω= 所表示的是周期函数:)()2(q a q ωπ ω=+ , 且ω 有极大值m m βω2= 。 但当q 很小时，一维单原子链的色散关系与连续弹性介质波的色散关系趋于一致: cq q m a =≈β ω 而且c 就是把原子链看成弹性链时,弹性波的波速. ωωπωωd C V d g 2 3 223 )(=
《固体物理学》房晓勇-思考题01第一章 晶体的结构
第一章 晶体的结构 思考题 1.1 为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？ 解答： 在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距d 较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定，因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容易在晶体生长过程中显露在外表面，所以面指数简单的晶面往往暴露在外表面。 1.2 任何晶面族中最靠近原点的那个晶面必定通过一个或多个基矢的末端吗？ 解答： 根据《固体物理学》式（1-10a ） ()()( ) ()111222333cos ,cos ,110cos ,a a n h d a a n h d a a a n h d ?=?? =-?? ?=? 1.3 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 1.4在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方？ 解答：参考陈金富P33页，徐至中1-13 1）图（a ）代表向c 轴俯视所观察到的体心四方的格点分布。格点②距离由格点①组成的晶面的C/2处。如C=a ，则点阵为bcc;如图所示，为已经伸长的bcc ，c ≠a ，它是体心四方点阵。如 图（b ）与图（a ）代表同样的点阵，只是观察的角度不同，图中①构成四方面心格点， 面心格点间的距离a '= ，如2a C '= =，则点阵为fcc ；对于一般的C 值，图（b ） 是沿c 轴伸长后的点阵，因此相同的点阵从（a ）是体心点阵，从（b ）看是面心点阵，本质上相同，都称为体心四方点阵。 2）类似的底心四方和简单四方是同一种点阵。 3）底心立方不再具有立方对称性。所以不存在。 1.5 许多金属既可以形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积
固体物理(刘恩科) 第3章习题解答
晶格振动部分习题参考解答 9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为β和10β，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q= a π 处的ω(q).并定性画出色散曲线。 m β m 10β m β m →← →← 2 2 a a 解：已知 21 )cos 2(12122212 12 qa m m A ββββββω++- += (1) 21 )cos 2(12122212 12 0a m m ββββββω++- += (2) 由题意 β2＝10β1＝10β 代入（1）式 得 21 )cos 20100(111222 qa m m A ββββω++-= =21 )cos 20101(11qa m m +-ββ = []2 1)cos 20101(11qa m +-β 当q=0时 0)1111(0 2 =-==m q A β ω 当q= a π时 m m a q A β β ωπ2)911(2 = -= = 把 β2=10β1=10β代入（2）式 得 []2 1)cos 20101(112 0qa m ++β ω＝ 当q=0时 m q βω220 2 == 时a q π±= m a q β ωπ 202 0= = 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)=ω0－Aq 2（A >0），求证光学波频 率分布函数(格波密度函数)为：g(ω)= ∑ -=) 1(31 s i 24πV 2 3 2 1 )(0A i ωω- i ω≤ω0 g(ω)=0 i ω>ω0 证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为
g (i ω)d i ω= q d d V i i i τπωωω ?+3 )2( 在长波极限下等频率面为球面 则 g(i ω)d i ω= dq q V 23 4) 2(ππ 当i ω0ω≤时 因为 q 2＝ A q i ) (0ωω－ A q q i ) (0ωω-= dq=－ [] 2 1 2 1)(2)(0q A q d i i ωωω- 所以 g(i ω)=2 121) (21 4)2(003i i A A V ωωωωππ--?-??=－2321 204)(A V i πωω- 由模式密度的物理意义，取其绝对值 而当i ω>0ω时 因为i ω＝0ω－Aq 2 所以Aq 2=0ω－i ω 又因为 A >0 q 2>0 (因为q 本身为实数) 所以 上式右边必满足0ω>i ω 即不存在i ω>0ω的格波则 则 g(i ω)=0 又因为 三维晶体中共要有3（S －1）支光学格波 所以 光学波频率分布函数为： g 2 32 1 2 03 31 4)()(A V i S i πωωω-= ∑ -= i ω≤0ω g(ω)=0 ω> 0ω 11．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。 解： (1)设一维单原子链长L ＝Na ，a 为原子间距，N 为原子数，在a π－