矩阵分析在通信领域的应用论文

矩阵分析在通信领域的应用学院：电气与电子工程学院

学号：____201606001____

姓名：___江诚____

矩阵分析在通信领域的应用

【摘要】矩阵是数学的基本概念之一，也是线性代数的核心内容。矩阵广泛运用于各个领域，如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等，解决了大量的实际问题。本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用，如：在保密通信中，应用逆矩阵对通信的信息进行加密；在信息论中，利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等；在信息论的信道编码中，利用监督矩阵，生成矩阵，对信道中的信息进行编码，利用错误图样对信道传输的信息进行纠正；此外，矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用，基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。关键词：矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO

1、引言

随着科技快速稳健的发展，通信技术也得到了飞速的发展，人们对通信的要求也不断提高，不仅要求通信的实时性、有效性，还要求通信的保密性。而现实环境中，由于噪声的影响，常常使通信出现异常，这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。此外，在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用

的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的

技术，该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识，本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合，通过建立一些简单的分析模型，利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。

2、矩阵在通信领域中的应用

2.1 矩阵在保密通信中的应用[2]

保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵[3][4]所传递的明文消息进行加密(即密文消息)，然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。

保密通信的加密原理：信息发送端首先根据密钥矩阵A的阶数（||A||=n）,将明文转换为n维数向量X,然后将X与A相乘得到密文Y,既Y=AX,再将Y发送,信息端接受到Y后,则利用密钥矩阵A-1（其中A与A-1互为可逆矩阵）与Y相乘,则会得到明文X,既:A-1Y =A- 1AX=X。

2.2 矩阵在信息论中的应用

在信息论中，将信源概率P(X)、信道转移概率P(Y|X)、信宿概率P(Y)写成矩阵的形式，从而将信源到信宿之间复杂的对应关系变得更简洁，写成矩阵关系即为：P(Y)=P(X)P[Y|X]。

此外，当将信息论中的关于信源熵H(X)、信道噪声熵H(Y|X)、平均互信息I(X;Y)、信道容量C等的繁琐的计算写成矩阵形式时，便可以用计算机来进行处理，这样便大大提高了计算速率。

2.3 矩阵在信道编码中的应用

在信道编码和保密通信中，利用矩阵实现对信道中传输信息和信源信息的编码，既降低了无线通信的误码率，也实现了通信的保密性。

在对信道传输的信息进行信道编码时，为了实现检错和纠错的能力，往往需要在原来经过编码的信源信息中添加部分冗余，而这些添加的冗余便作为监督位对每一组编码进行监督。含有监督码元的编码矩阵就构成监督矩阵H。在信道编码中，比较典型的便是汉明码（能够纠正一位错误，最小码距为3的编码效率高的线性分组码），下面简单介绍信道编码中的汉明码的编码步骤。

①构造满秩的(n-k)×n校验矩阵H。

S i=r i H T i=1,2,3, (2)

其中，r i是第i个接收码字，1×n向量；s i是第i个接收码字的误码标志，1×(n-k)向量；2n-k≥n+1;当r i=c i,取S i=r i H T= c i H T=0; c i是第i个发送码字，1×n向量。

②设满秩的k×n生成矩阵G。

G=[I k×k G’k×(n-k)]

c i=x i G i=1,2,3, (2)

其中，x i 是第i 个发送消息，1×k 向量；由生成矩阵G 与校验矩阵H 之间GH T =0求出G 即可编码。可知，利用矩阵之后，编码变得简洁明了。

2.4 矩阵在MIMO 中的应用

无线信道的一个重要特性就是存在衰落。MIMO [5]是多输入多输出系统，它能够将传统通信系统中存在的多径因素变成对用户通信性能有利的因素,提高系统抗衰落性能。从而极大增加系统容量，提高频谱利用率，改善无线链路的质量，成倍地提高业务传输速率。通信信道容量是信道进行无失真传输速率的上界，因此研究MIMO 的信道容量[6]具有巨大的指导意义。矩阵理论在通信的难点在于信道的处理，因此，矩阵理论与无线信道的研究是一个很好的切入点。在MIMO 技术的研究中，对于MIMO 信道的容量的研究具有着重大的意义。目前，MIMO 技术的信道容量和空时编码，空时复用等技术都离不开矩阵理论的应用。

为了描述MIMO 信道[7]，令发射天线数目为Nt ，接受天线数目为Nr 。当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的，这样在某特定时刻m ，发射的符号构成一个N t ×1的矢量X[t]，接受的符号构成一个N r ×1的矢量Y[t]，和一个信道矩阵H ，三者的关系为：

t t t +Y[]=HX[]N[] (1)

其中，

12[,,,]t T N n n n =N(t) (2)

表示高斯白噪声，方差为；H 为N r ×N t 信道矩阵，即

1111t r r t N N N N h h h h ????=????????H (3)

其中，表示从发射天线i 到接受天线j 的信道系数。这样，式（1）可写为

1t N t t t

j

ji i j i y h x n ==+∑ (4)

式中，上标t 表示在t 时刻。

根据奇异值分解（SVD ）理论，

r t N N ?信道矩阵可以进行分解，得到

??????H H E 0H =U V =UDV

00 (5)

12(,,,)m diag λλλ=E (6)

(1,2,,)i i m λ= 为矩阵H 的全部非零奇异值。U 和V 分别是r r N N ?和t t N N ?的酉矩阵，满足r H N =UU I ，t H N =VV I ，其中r N I 和t N I 分别是r r N N ?和t t N N ?的单位阵。这样，式（1）变为

H t t t +Y[]=UDV X[]N[] (7)

对式（7）进行变换，有

H H H t t t +U Y[]=DV X[]U N[] (8)

取[]H t t '=Y U Y[]，[]H t t '=X V X[]，

[]H t t '=N U N[]，则有 t t t '''+Y []=DX []N [] (9)

于是我们得到一个与MIMO 信道等效的表达形式，在这个等效的表达形式中，D 为信道矩阵，原来的MIMO 信道就等效地转化为m 个平行的信道，每个信道的系数则为i λ[1]。

下面应用矩阵理论对MIMO 信道容量进行推导和计算。我们假设信道矩阵H 在接收端已经完全已知，但是它是随机的，因此我们可以得到瞬时信道容量为： ()()()max ,X x C H I x y ?= （10）

其中，是在已知信道H 的情况下输入x 与输出y 之间的互信息量，有：

()()(),|I x y H y H y x =- （11）

其中，是y 的信息熵（微分熵），定义：2()()log ()H y p y p y =-∑，其中()

p y 是y 的概率（概率密度）。H （y ）是y 的差分嫡，(|)H y x 是给定x 条件下y 的差分嫡，由于发送信号与噪声之间是独立的，因此有(|)()H y x H n =[1]，所以上式可以重新写为：

()()(),I x y H y H n =- （12）

由于噪声概率密度函数确定，所以()H n 为定值，当信道为加性高斯信道时，信源x 服从高斯分布时此时接收信号y 也服从高斯分布，根据信息论理论，此时(,)I x y 取最大，即为信道容量。此时y 和n 的信息熵分别为： {}212

()log det yy bit H y eR π????= （13） {}2212()log det R n bit H n e I πσ????= （14）

所以我们可以得到信道瞬时交互信息(,)I x y ，也即信息容量为： {}

222222221()log det /det 2

1log det ()/det 21log det 2R R R R R yy n H xx n n n H xx n C H eR e I HR H e I I e I HR H I bit ππσπσπσσσ????=????????????=+??????????????????=+?????????? （15）

工程中一般定义信道容量为单位时间内平均互信息的最大值，故定义MIMO 的信道容量： ()1C C H T = （16）

其中T 为一个符号周期，根据采样定理，(1/)2T B ≥，其中B 为信号带宽，取(1/)2T B =，代入（16）式，得： 22log det /R H xx n HR H C B I bit s σ??????=+?????????? （17） 这便是MIMO 的信道容量一般公式。

在得到MIMO 信道容量一般公式后便是利用奇异值分解计算MIMO 信道容量：对于MIMO 无线信道，信道是极其复杂的，因此原始的信道矩阵也就显得复杂，不便于分析，而且一般矩阵不经过处理计算行列式很困难。这就自然想到在信源端对发射信号做某种预处理，使得经过预处理的信号经过的信道变得简单易分析，而且具体实现也变得简单。对于信道矩阵来说，对角矩阵是最简单的，所以自然

就想到把信道矩阵分解，利用矩阵理论中的奇异值分解可以达到这种目的。

由矩阵理论的相关知识易知，每个接收天线收到的信号矢量可以表示如下：

H y UDV x n =+ （18） 利用矩阵奇异值分解和相关的信息论知识易求得MIMO 链路信道容量的计算公式为： 221log (1)/r i T i T P C B bit s n λσ==+

∑ （19）

由上式可以看出,MIMO 链路的信道容量很大程度上取决于H 的秩r 。矩阵的秩越大，容量也越大。所以，MIMO 正是利用无线信道的多径效应使相距超过半个波长的天线尽量不相关，从而使信道矩阵秩越大，进而在不增加带宽和发射功率的情况下增加系统容量。

3、分析总结

通过这次小论文，我发现矩阵分析这门数学课在本专业的很多领域中有很重要的应用。通过应用矩阵的相关知识，将保密通信、信息论、信道编码、MIMO 链路中的许多繁琐而复杂的计算简化，并使其易于用计算机实现。在应用矩阵理论的相关知识解决通信中的问题时，首先应该搞清楚问题的背景，通过分析提出面临的问题，根据问题建立形象的几种模型；然后对比选择合适的模型进行研究；然后在提出解决方案，算法的计算，仿真，总结。

参考文献

1熊小兵,可逆矩阵在保密通信中的应用[J].大学数学,2007,23(3):108～111 2张新发.初等矩阵的关系及可逆矩阵的分解[J]．大学数学,2003,19(2):82～85 3 欧海文,戴宗铎.一个无重复生成所有可逆矩阵的算法[J]．数学杂志，1999，19(3):270～276

4 康桂华，无线MIMO 信道的模型、容量、估计和算法研究：博士论文，浙江大学，2004

5周华,杨大成,马敏. MIMO 衰落信道的多用户分集性能分析[J]. 北京邮电大学学报,2004, 27(4):64268.