矩阵理论在其他数学学科中的应用

第27卷第4期

2005年12月

湘潭师范学院学报(自然科学版)

Journal of Xiangtan Normal U niversity(N atural Science Edition)

Vol.27N o.4D ec.2005

矩阵理论在其他数学学科中的应用

邢永丽,陈维兵,阎真真

(中国地质大学信息工程学院,北京100083)

摘要:讨论矩阵理论在其他数学学科如最优化理论、图论等中的应用,给出若干用阵理论解题的例子,并给出与常规方法相比较的相应评价。

关键词:矩阵理论;矩阵的秩;矩阵的特征值

中图分类号:O1-1 文献标识码:A 文章编号:1671-0231(2005)04-0014-03

数学是科学之母,是众多学科的共同基础。随着计算机的飞速发展和信息时代的到来,在大多研究领域中,人们对定量研究越来越重视。可以说任何一个学科的发展都与定量分析和研究密不可分,而数学在定量研究中起着至关重要的作用。就数学本身而言,作为大学数学的老三高之一的高等代数是理工科专业特别是数学专业最重要的基础课之一。而矩阵理论是高等代数中的核心内容,矩阵理论中的许多思想和方法极大地丰富了数学的代数理论。

随着人们对科学研究的深入,矩阵理论的应用愈来愈广。它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用,如数学分析中多元函数的一阶近似、隐函数存在定理与矩阵理论密切相关;常微分方程中的一阶线性方程组和高阶线性方程理论的建立及其求解方法完全要建立在矩阵理论的基础上;解析几何上对于二次曲线、二次曲面的分类和研究,也必须用到矩阵理论;还有计算方法的许多理论,以及最优化理论中许多问题的提出和求解,图论上对图的定量研究都离不开了矩阵理论。总之,矩阵理论在其它数学学科和研究领域中应用的实例不胜枚举。因此我们不应该独立地学习它,应将其应用到其他的数学课程并同它们有机地结合起来,从而加深对高等代数的理解。而把矩阵理论应用到这些数学学科如最优化、图论等中时,与常规方法相比,往往会有独特的效果,使很多问题变得简单明了。就矩阵理论在最优化理论和图论中的应用举例说明。

1 最优化中的应用

最优化理论与算法是一门重要的数学分支,它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。而矩阵理论在其中扮演重要角色,特别是最优化中线形规划的单纯形方法是完全基于矩阵理论的。这一节我们仅用矩阵理论来解决一个线性规划问题。1.1 设s ={x |A x \b },其中A 是m @n 矩阵(m >n),A 的秩为n,

证明:x (0)是极点的充要条件是:A 和b 可作以下分解: A =

1A 2

, b =

b 1b 2

其中A 1有n 行,且A 1的秩为n,b 1是n 维列向量,使得A 1x (0)=b 1,A 2x (0)\b 2。

分析:一般的最优化教材[1]上的证法基本都是把A 中的元素进行调整,将该问题转化成标准的最优

收稿日期:2005-04-06

作者简介:邢永丽(1963-),女,河北邯郸人,副教授,研究方向:计算数学。

化问题,应用基本可行解的相关知识进行证明。由于以上问题是矩阵问题,故我们完全可以把它转化成一个高等代数问题,以下就是应用了矩阵理论的新证法:

证明:(1)必要性:

把A行调换,使得A=A11

A12

,而b随A的调换而调换,b=

b11

b12

。

其中A11是满足A11x(10)=b11的A的行向量的最大线性无关组,秩(A11)=p显然有p[n;

由A12将A11扩充成可逆矩阵A1,显然有A12x(0)>b12;

A的余下行组成A2,则A2x(0)\b2,显然(A2,b2)的任意行都是(A1,b1)的行向量的线性组合;当p=n时,原题得证。

当p

令x1=x(0)+E A-110

共n-1个0,x2=x(0)-E A-11

共n-1个0;

显然有:x(0)=1

x1+

x2(1)

当E取充分小时,显然A1x1=A1(x(0)+E A-110

)\b1,故x1I S。

同理x2I S。而(1)式与x(0)是极点相矛盾,故p=n。

(2)充分性:根据极点定义反证即得。证毕。

可以看出一般的最优化教材[1]上的证明主要是基于最优化的基本概念,利用基本可行解使定理证明虽然思路清晰,但过程比较繁琐。而以上新证法特别是必要性的证明,把该问题完全转化成一个高等代数问题,充分利用了矩阵的性质进行行变换,并用反证法构造出x1,x2,从而推出矛盾,这样使得证明过程相当简单。

2在图论中的应用

在计算机科学蓬勃发展的今天,图论在计算机的众多领域里都占有一席之地,它有着广阔的发展前景,而矩阵理论在图论中的地位是显然的,特别是它在道路,回路,树的各种矩阵中的作用巨大。本节用矩阵理论就图论[2]中树的关联矩阵的两个定理作一下证明。

2.1证明:连通有向图G的关联矩阵B的秩等于n-1

分析:原书[2]的证明是用反证法把B进行调整,假设方程X B=0有除(1,1,,,1)外的非零解,最后推出假设与图G的连通性矛盾,故秩(B)=n-1。由于该问题是矩阵问题,故可以由矩阵理论得到下面一种新证法:

证明:设G是有n个点,m条边的连通有向图。

作方程组B T n@m x=0(1)则x=x1

x n

为(1)的非零解,

对于任意i,j I{1,2,,,n},往证:x i=x j。

事实上G为连通图,G中必有从v i到v j的路P:v1v a

1v a

v a

,v a

v j,由B的定义和性质得:(?x i)+

(mx a

1)=0,即得x i=x a

。

同理可证:x i=x a

1=x a

=x a

,=x a

=x j

故(1)的解为x=1 1 s 1

故R(B)=R(B T)=n-1。证毕。

可以看出原书证明利用了反证法,逻辑严密,而且与图论本身知识紧密结合;而以上新证明是在直接求解后应用了矩阵秩与解的关系,更加突出矩阵的思想,使证明过程简单,明了。我们也可以用矩阵中行线性相关知识证明以下结论:

2.2证明:关联矩阵B的任意n-1行线性无关。

证明:反证法。

令B=b1

b n

,假设存在b i,使得b1b2,b i-1b i+1,b n线性相关,

则存在n-1维非零向量A=(A1A2,A i-1A i+1,A n)使得A B=0,

而(A1A2,A i-1A i A i+1,A n)b1

b n

=0只有零解,

故A1=A2=,=A n=0,故B的任意n-1行线性无关。证毕。

3在其它学科的应用

前面两节我们主要讨论了矩阵理论在最优化理论和图论上的应用,可以看出使用矩阵理论大大简化了解题过程,使我们从另外一个角度把问题看得更透彻,从而加深了我们对矩阵理论的理解;其实它的作用之大可从它对数学其他分支的渗透看出,如:数学分析[3]中就是用黑赛矩阵来判断函数的极值;空间解析几何中二次曲面的分类问题更是和矩阵紧密相关;对于斐波那契数列,假如应用矩阵理论把数列写成矩阵,再对它求特征值使之对角化,就会使问题变得相当简单了。

参考文献:

[1]陈宝林.最优化理论与算法[M].北京:清华大学出版社,1989.

[2]卢开澄.图论及其应用(第二版)[M].北京:清华大学出版社,1995.

[3]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.

高等数学在医学中的应用

数学在医学中的应用众所周知，数学是一门以高度的抽象性、严谨性为特点的学科，但同时数学在其他各门学科也有广泛的应用性，而且随着大型计算机的飞速发展，数学也越来越多的渗透到各个领域中。数学建模可以说是用数学方法解决实际问题的一个重要手段。简单的说，用数学语言来描述实际问题，将它变成一个数学问题，然后用数学工具加以解决，这个过程就称为数学建模。人们通过对所要解决的问题建立数学模型，使许多实际问题得到了完满的解决。如大型水坝的应力计算、中长期天气预报等。建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD(Computer Aided Design)技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。那么数学在医学领域有哪些应用呢？现代的医学为什么要借助数学呢？本研究主要叙述这两个问题。 1现代医学应用数学的必要性现代医学的大趋势是从定性研究走向定量研究，即要能够有效地探索医学科学领域中物质的量与量关系的规律性，推动医学科学突破狭隘经验的束缚，向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，并由此逐渐派生出生物医学工程学、数量遗传学、药代动力学、计量诊断学、计量治疗学、定量生理学等边缘学科，同时预防医学、基础医学和临床医学等传统学科也都在试图建立数学模式和运用数学理论方法来探索出其数量规律。而这些都要用到数学知识。数学模型有助生物学家将某些变量隔离出来、预测未来实验的结果，或推论无法

测量的种种关系，因为在实验中很难将研究的事物抽离出来单独观察。尽管这些数学模型无法极其精确地模仿生命系统的运作机制，却有助于预测将来实验的结果。可以利用数学分析实验数据资料。当实验数据非常多时，传统的方法就不再适用了，只能转而使用数值计算的相关理论，以发现数据中存在的关联和规则。特别地随着当前国际生命科学领域内最重要的基因组计划的发展，产生了前所未有的巨量生物医学数据。为分析利用这些巨量数据而发展起来的生物信息学广泛应用了各种数学工具，从而使得数学方法在现代生物医学研究中的作用日益重要。 2医学上的一些例子医学统计学（Medical Statistics）临床上可用来解释疾病发生与流行的程度和规律；评价新药或新技术的治疗效果；揭示生命指标的正常范围，相互的内在联系或发展规律；运用统计的原理和方法，结合医学的工作实际,研究医学的实验设计和数据处理。医学统计学是基于概率论和数理统计的基本原理和方法，研究医学领域中数据的收集、整理和分析的一门学科。如在疾病的防治工作中，经常要探讨各种现象数量间的联系，寻找与某病关系最密切的因素；要进行多种检查结果的综合评定、探讨疾病的分型分类：计量诊断，选择治疗方案；要对某些疾病进行预测预报、流行病学监督，对药品制造、临床化验工作等作质量控制，以及医学人口学研究等。医学统计学，特别是其中的多变量分析，为解决这些问题提供了必要的方法和手段。以传染病模型为例，了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各

高等数学在医学中的作用的

浅谈高等数学在现代医学中的作用一、高等数学在医学领域的应用数学是一门语言, 它是表达量变和质变最完美的工具; 数学又是一种感觉, 它是科学迅速超越时空的触角。恩格斯曾对数学做过如下定义: 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。数学是基础教育中最受重视的学科之一, 并贯穿于整个基础教育阶段。高等数学教育则几乎覆盖了大学本科阶段所有自然学科领域和部分人文社会学科领域。随着计算机科学技术的不断发展, 数学的社会化程度也日益提高, 数学的思想、观点、方法已广泛地渗透到自然科学和社会科学的各个领域。数学在传统领域的应用, 以及在新领域取得的许多重要进程, 使得数学在医学领域中的作用也不断突出。数学与医学, 特别是生物医学的结合越来越紧密。例如, 可以为生物医学工程学、细胞分子生物学、肿瘤生长动力学、药物动力学等现代生物医学做出定性描述向定量描述的趋变; 常微分方程可以运用到临床医学的定量分析和群体医学的动态分析; 生物统计学、概率论可以为药物使用、人口统计与流行病、公共卫生管理等作出决策; 数学可为医学基础、临床医学、预防医学建立医学数学模型,经过数学处理得到可供人们作出分析、判断、预测和决策的定量结果; 临床治疗和医学科研所使用到的各种高、精、尖端医学仪器都离不开数学和计算机科学的支持, 等等。马克思曾说过:“一门科学只有成功地应用数学时, 才算达

到了完善的地步。”因此可以看出, 数学与现代医学结合程度将决定现代医学的发展程度。中科院在《21 世纪初科学发展趋势》的研究报告中指出, 生命科学“可能发展成为科学革命的中心”, 数学科学则“一直是整个科学技术发展的带动因素”, 加快数学在医学领域的应用和发展是当今医学发展的必然趋势。二、高等数学教育在医学教育中的作用及意义数学的思维方式、计量分析技术有力地推动了现代医学的迅速发展。强调用数学、统计学研究并解决医学问题的思路和方法, 增强对医学问题进行定量分析与处理的能力, 提高医学科研水平, 促进临床工作进一步精确化、科学化早已成为各国高等医学教育所关注的重要内容。目前国内绝大多数的医学院校都在大学一年级开设了《医用高等数学》。笔者认为, 开设这门课程除了可以扩大学生知识面以外, 还有着如下五个方面的作用及意义: 1. 高数教育可以加强医学生的道德教育抽象性是数学的基本特征之一, 具体表现为推理的严谨性、表达的准确性、类别的归纳性、计算的规定性、定义的唯一性等等。学生在学习高数的同时, 也能受到其特性的影响: 教育过程中数学史的讲解可以激发学生的爱国主义热情; 逻辑性的推理可以培养学生严谨的思维模式; 公理、定义、计算规则的唯一性要求可以使学生形成对法律法规、社会公德的内在自我约束; 对问题的归类、分析可以培养学生灵活思考问题、周密总结分析的

矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文

矩阵分析在同步捕获性能研究新应用摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．

高等数学知识在医学中的应用举例

高等数学知识在生物化学工程中的应用举例高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程，数学方法为生物化学的深入研究发展提供了强有力的工具。下面仅举一些用高等数学基础知识解决生物化学工程中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。例1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用化工生产过程中常于密闭管道内输送液体，使液体流动的主要因素有（1）流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）输送机械向流体外作的外功。流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。定态流动时液体的机械能衡量式为 ∑?-=+?+ ?f e p p h W v d p u z g 212 2 （1）该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体，（1）式中?2 p p vdp 项应视过程性质（等温、绝热或多变过程）按热力学原则处理，对不可压缩液体，其比容v 或者密度ρ为常数，故ρ ρ ρp p p dp vdp p p p p ?= -= = ??2 12 2 1 ，代入（1）式有： ∑-=?+?+?f e h W p u z g ρ 22 或 ∑+++=+++f e h p u gz W p u gz ρ ρ22 22121122 （2）（2）式称为柏努利方程式。需要注明的是，22u 为动能，gz 为位能，ρ p 为静态能，e W 为有效能，∑f h 为能量损耗，z ?为高度差。例2 混合气体粘度的计算常温下混合气体的计算式为

∑∑=== n i i i n i i i i m M y M y 1 211 21μμ （3）其中m μ为常温下混合气体的粘合度（Pa.s ）；i y 为纯组分i 的摩尔分率；i μ为混合气体的温度下，纯组分i 的粘度（Pa.s ）；i M 为组分i 的分子量（Kg/kmol ）。例如：空气组分约为01.0,78.0,21.022Ar N O （均为体积积分率），试利用 Ar N O ,,22的粘度数量，计算常温下C 020时空气的粘度？解：常温下空气可视为理想气体，故各组分的体积积分率等于摩尔分率， Ar N O ,,22的分子量分别为32，28及39.9，经查表知道常温下C 020时各组分的粘度为 s Pa Ar s Pa N s Pa O ??????---55252 1009.2107.11003.2 代入（3）式计算空气的粘度，即 s Pa M y M y n i i i n i i i i m ??=?+?+????+???+???= = ----==∑∑52 12 12 12 15 2 152 151 211 21 1078.19 .3901.02878.03221.09 .391009.201.028107.178.0321003.221.0μμ 例3. 在细胞生长计算中的应用随着细胞的生成繁殖，培养基中的营养物质被消耗，一些有害的代谢产物在培养液中累积起来，细胞的生长速度开始下降，最终细胞浓度不再增加，进入静止期，在静止期细胞的浓度达到最大值。如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的，可以通过以下的分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为A ，其浓度为a ，

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数学在医学中的应用众所，数学是一门以高度的抽象性、严谨性为特点的学科，但同时数学在其他各门学科也有广泛的应用性，而且随着大型计算机的飞速发展，数学也越来越多的渗透到各个领域中。可以说是用解决实际问题的一个重要手段。简单的说，用数学语言来描述实际问题，将它变成一个数学问题，然后用数学工具加以解决，这个过程就称为数学建模。人们通过对所要解决的问题建立，使许多实际问题得到了完满的解决。如大型水坝的应力计算、中长期等。建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD(Computer Aided Design)技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统中的现场实验、物理模拟等手段。那么数学在医学领域有哪些应用呢？现代的医学为什么要借助数学呢？本研究主要叙述这两个问题。 1现代医学的必要性现代医学的大趋势是从定性研究走向定量研究，即要能够有效地探索医学科学领域中与量关系的规律性，推动医学科学突破狭隘经验的束缚，向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，并由此逐渐派生出学、数量遗传学、药代、计量、计量治疗学、定量等边缘学科，同时、和等传统学科也都在试图建立数学模式和运用数方法来探索出其数量规律。而这些都要用到数学知识。数学模型有助将某些变量隔离出来、预测未来实验的结果，或推论无法测量的种种关系，因为在实验中很难将研究的事物抽离出来单独观察。尽管这些数学模型无法极其精确地模仿生命系统的运作机制，却有助于预测将来实验的结果。可以利用实验数据资料。当实验数

据非常多时，传统的方法就不再适用了，只能转而使用数值计算的相关理论，以发现数据中存在的关联和规则。特别地随着当前国际生命科学领域内最重要的基因组计划的发展，产生了前所未有的巨量数据。为分析利用这些巨量数据而发展起来的广泛应用了各种数学工具，从而使得数学方法在现代生物医学研究中的作用日益重要。 2医学上的一些例子医学（Medical Statistics）临床上可用来解释疾病发生与流行的程度和规律；评价新药或新技术的治疗效果；揭示生命指标的正常范围，相互的内在联系或发展规律；运用统计的原理和方法，结合医学的工作实际,研究医学的实验设计和。医学统计学是基于和的基本原理和方法，研究医学领域中数据的收集、整理和分析的一门学科。如在疾病的防治工作中，经常要探讨各种现象数量间的联系，寻找与某病关系最密切的因素；要进行多种检查结果的综合评定、探讨疾病的分型分类：计量诊断，选择治疗方案；要对某些疾病进行预测预报、监督，对药品制造、临床化验工作等作，以及医学人口学研究等。医学统计学，特别是其中的多变量分析，为解决这些问题提供了必要的方法和手段。以模型为例，了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。这种模型的建立是在合理假设的前提下，选择了一些相关因素（例如自然因素、人为因素）作为参数，并通过它们之间的关系来描述传染病学的现象。通过这些现象，可以反映出传染病的流行过程及一些规律特征。运用这些规律，人们可以估计不同条件下的相关因素参数、预测疾病的发生发展趋势、设计疾病控制方案及检验假设病因等。比如，通过预测高峰期的时间

数学在现代医学中的应用探究

数学在现代医学中的应用探究 1数学思维方法在中医理论中的应用数学是研究数量、结构、变化以及空间模型的一门学科,由计数、计算、量度和对物体及运动的观察中产生,数学思维是应用想象和推理对所观察的事物脱离其具体形态,进行思考和运算,进而做出判断和结论。中医学是发祥于中国古代的研究人体生命、健康、疾病的科学。其数量表现如阴阳(2个)、五行(5个),结构表现如五行循环图,变化表现如阴阳平衡,无行相生相克,空间模型表现如阴阳鱼,它既有临床诊断后的定量用药治疗方法,也有经过抽象思维建立的中医基础理论。通过对具体数学问题进行不同的解题方法,尝试性进行数学思维方法与中医理论之间的关系分析,可以利用数学为中医学习和研究提供参考,比如古代着名的鸡兔同笼问题、和尚分馒头问题、尺绳测进问题。中医理论中的阴阳五行理论,从宏观角度对人体肺腑之间的关系进行了定性分析,但是没有明确提出在什么条件之下这些量值关系成立以及反之需要什么条件,基础理论给人的感觉是什么条件都可以利用这些关系治病进行中医辨证治病,这也容易得出中医包治百病、无所不能的说法。但是中医的临床经验表明,宏观原则只有在适当容许的治疗方法的前提下才成立,才可以取得较好的治疗效果,通过数学分析,强调要注意中医的内涵与数量机理,即金、木、水、火、土之间的阴阳平衡是什么关系,这些相生相克的关系又是在什么条件下成立。应用数学的研究方式也就是根据疾病机理首先建立五行平衡关系的数学方程,如果方程正确,则一定存在解析解,否则,在此条件下对病人所用的治疗方法是无效的,即方程建立的前提和依据可能错误,必须变换思路重新研究整治方法。纵观古今,人类的健康和对疾病的治疗一直是最重要的内容之一,中医学的建立和发展也成为人们不断与疾病进行抗争的智慧结晶。研究数学理论与中医临床和基础理论之间的关系,尝试采用数学定量方法对中医理论进行研究,对中医临床和中医理论的现代化具有重要的意义。 2数学模型在中药资源可持续发展的应用中药资源包括可再生的野生、栽培的药用动植物资源,也包括不可再生的药用矿物资源。具统计,我国现有的中药资源有近13000种,其中药用植物资源占%,药用动物资源占%,药用矿物资源占%[2,3]。常用的320种植物类药材的总蕴藏量达到850吨以上,因此,中国是世界上药用资源最丰富的国家之一。受各种因素影响我国丰富的中药材资源正在不断衰竭,有的甚至濒临灭绝。野生人参、川贝、冬虫夏草等名贵药材正沿着越贵越挖—越挖越少—越少越贵的恶性循环而走

数理统计在医学中的应用

谈数理统计在医学中的应用摘要：目前数理统计在医学方面的应用越来越广泛。本文首先论述了其研究内容和特点，再通过举例说明，表明数理统计这门学科在疾病的治疗、药物的研究等方面发挥着不可替代的作用，最后是对该学科的展望，数理统计这门学科有广阔的发展空间，并且越来越多地应用到实际生活中。关键词：数理统计医学贝叶斯公式药物疾病第一章概述数理统计是研究现实世界中大量现象的客观规律性的科学。也即从实际资料出发，来研究大量现象的规律性。具体来说，数理统计是研究从被研究对象的总体中抽出的一部分的某些性质，从而推断分析所研究的总体的性质。医用数理统计方法是研究医学随机现象变异规律性的一门科学方法，它运用数理统计的基本知识，研究如何科学地搜集原始数据资料，建立有效的数据处理方法，进行统计分析，通过被研究问题作出估计和检验，从而指出事物变异的统计规律性。在实际生活中，医学随机现象的变异性是普遍存在的，如同一地区内性别、年龄在不同时间段的构成比不同；同一疾病用同一种方法治疗，不同人群会有不同的治疗效果等。医学随机事件直接表现为一；定数量，这些数量的取值不能事先确定，而是受偶然因素的影响而改变的。这种随着偶然因素而改变的变量，称为随机变量。例如治愈数、死亡数、测量身高、体重所产生的误差等。通过数理统计研究使我们对于随机变量的特征及其变化规律获得一个总的认识，即通常所说的统计规律性就是随机变量概率分布特征的规律性。统计学原理中要求抽样调查必须遵循的原则是抽样随机化。随机变量一般分为连续型随机变量和离散型随机变量，连续型随机变量是指随机变量取值充满某一个区间，如人的身高和血压的测定值等，它符合正态分布; 离散型随机变量是指随机变量只能取有限个或可数个值，如同一疾病中的治愈人数等，它符合二项分布。在医疗实践中，数理统计就是对大量随机事件进行科学的搜集整理统计资料并根据概率理论，以样本资料对总体的某些性质作出估计和判断

矩阵变换及应用开题报告

鞍山师范学院数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用学生姓名：李露露专业：数学与应用数学班级：10级1班学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日

一、选题意义 1、理论意义：矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。二、论文综述 1、国内外有关研究的综述：矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价：

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《线性代数与矩阵分析》课程小论文矩阵分解及其应用学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月

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中文摘要将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用

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高等数学在医学中的应用

矩阵分析试题中北大学33

§9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。定理1设,?∈n n n A C （下标表示秩）则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得 =T A R R

高等数学在医学中的作用的论文

浅谈高等数学在现代医学中的作用一、高等数学在医学领域的应用数学是一门语言, 它是表达量变和质变最完美的工具; 数学又是一种感觉, 它是科学迅速超越时空的触角。恩格斯曾对数学做过如下定义: 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。数学是基础教育中最受重视的学科之一, 并贯穿于整个基础教育阶段。高等数学教育则几乎覆盖了大学本科阶段所有自然学科领域和部分人文社会学科领域。随着计算机科学技术的不断发展, 数学的社会化程度也日益提高, 数学的思想、观点、方法已广泛地渗透到自然科学和社会科学的各个领域。数学在传统领域的应用, 以及在新领域取得的许多重要进程, 使得数学在医学领域中的作用也不断突出。数学与医学, 特别是生物医学的结合越来越紧密。例如, 可以为生物医学工程学、细胞分子生物学、肿瘤生长动力学、药物动力学等现代生物医学做出定性描述向定量描述的趋变; 常微分方程可以运用到临床医学的定量分析和群体医学的动态分析; 生物统计学、概率论可以为药物使用、人口统计与流行病、公共卫生管理等作出决策; 数学可为医学基础、临床医学、预防医学建立医学数学模型, 经过数学处理得到可供人们作出分析、判断、预测和决策的定量结果; 临床治疗和医学科研所使用到的各种高、精、尖端医学仪器都离不开数学和计算机科学的支持, 等等。马克思曾说过:“一门科学只有成功地应用数学时, 才算达

到了完善的地步。”因此可以看出, 数学与现代医学结合程度将决定现代医学的发展程度。中科院在《21 世纪初科学发展趋势》的研究报告中指出, 生命科学“可能发展成为科学革命的中心”,数学科学则“一直是整个科学技术发展的带动因素”, 加快数学在医学领域的应用和发展是当今医学发展的必然趋势。二、高等数学教育在医学教育中的作用及意义数学的思维方式、计量分析技术有力地推动了现代医学的迅速发展。强调用数学、统计学研究并解决医学问题的思路和方法, 增强对医学问题进行定量分析与处理的能力, 提高医学科研水平, 促进临床工作进一步精确化、科学化早已成为各国高等医学教育所关注的重要内容。目前国内绝大多数的医学院校都在大学一年级开设了《医用高等数学》。笔者认为, 开设这门课程除了可以扩大学生知识面以外, 还有着如下五个方面的作用及意义: 1. 高数教育可以加强医学生的道德教育抽象性是数学的基本特征之一, 具体表现为推理的严谨性、表达的准确性、类别的归纳性、计算的规定性、定义的唯一性等等。学生在学习高数的同时, 也能受到其特性的影响: 教育过程中数学史的讲解可以激发学生的爱国主义热情; 逻辑性的推理可以培养学生严谨的思维模式; 公理、定义、计算规则的唯一性要求可以使学生形成对法律法规、社会公德的内在自我约束; 对问题的归类、分析可以培养学生灵活思考问题、周密总结分析的

矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案

第二章习题及参考解答注：第27题(2)(3)错(可将“证明”改为证明或否定)，第28题可不布置。第50题（含）以后属于附加内容，没有参考解答。 1.证明子空间判别法:设U是线性空间V的一个非空子集.则U是子空间??对任意λ∈F,α,β∈U,有α+β∈U与λα∈U. 证明：必要性是显然的，下证充分性。设U关于加法“+”与数乘均封闭。则U中加法“+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α=α均自动成立，因为U?V.由于U关于数乘封闭，而0=0α∈U,?α=?1α∈U,因此U是子空间。 2.证明子空间的下述性质。(1)传递性:即若U是V的子空间,W是U的子空间,则W 也是V的子空间; (2)任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且是含于这些子空间的最大子空间; 特别,两个子空间U与W的交U∩W仍是子空间. 证明：（1）由子空间判别法立即可得。（2）由子空间判别法可知任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且若某个子空间含于所有这些子空间，则该子空间必然含于这些子空间的交。 3.(1)设V是线性空间,U与W是V的两个子空间.证明： dim(U+W)=(dim U+dim W)?dim(U∩W). (2)设V是有限维线性空间.证明并解释下面的维数公式: dim V=max{m|0=V0?V1?···?V m?1?V m=V,V i是V i+1的真子空间} 证明：（1）设dim U=s,dim W=t,dim(U∩W)=r.任取U∩W的一组基α1,α2,···,αr.由于U∩W是U与W的公共子空间,故U∩W的基是U与W的线性无关的向量组,因此可以扩充成U或W的基.设 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs(0.0.1) 与 α1,α2,···,αr,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.2) 分别是U与W的基.我们证明 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.3) 是U+W的一组基.为此需要证明该向量组线性无关,且U+W的任何向量均可由这些向量线性表示. 设 k1α1+k2α2+···+k rαr+b r+1βr+1+···+b sβs+c r+1γr+1+···+c tγt=0.(0.0.4) 12

数学在医学中的应用

数学在医学中的应用数学在一些中有着很重要的作用，对于统计、计算以及下最佳决策都有着不可忽视的作用。有了数学，可以以最客观的数字直揭真相，也可以为我们省下不少的财力。 1、癌症检测为阳性，却不一定为癌症其实，数学在医学中也有不少应用，也许大家都会忽视一些比较基本却十分让人迷惑的问题，现在我来为大家指点一下迷津。在医院里检测癌症，检测出来阴性或阳性，一只黑白，有人欢喜有人忧。实际上，没必要这么担心，因为检测也是有误差的。机器的误差很小，误差率假如是0.5%，习惯上认为是板上钉钉的，可是别忘了，癌症的发病率也是很小的，为294/10万左右。假如说，有100万个人，如果按卫生局公布的癌症发病率来算，实际发病人数约为： 1000000×100000294 =2940 而假定的机器误差率为0.5%，则其余真正阴性而判断出阳性人数约为： 997060×0.5%≈4985 真正癌症的人全被检测为阳性，则阳性人数为 4985+2940=7925，而正确率为 2940/7925≈37.1%，而误判的几率为62.9% 所以若是被检测出来是阳性，也不必惊慌失措，要保持良好的心态，相信自己能挺过难关，而平时也要加强体质，健康度过一生！ 2、疾病的普查方法对于疾病的普查，有时候会至关重要，当然平时学校、单位里搞的一些体检活动也需要进行小范围内的疾病普查，所以对于普查的方法也要十分讲究。一个好的普查方法可以省下不少人力物力，而一个差的方法会花去大量的财力、时间。以金华为例，金华有460万人口，如果要进行流行肝炎疾病普查，而这种肝炎的发病率为0.1%，验一次血要花10元钱。方案一：一个一个验，花费4600万元，显然是不科学的

矩阵论在电路中的应用

矩阵论在电路分析中的应用随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课。对于电路与系统专业的研究生，矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业研究生的必修课《电网络分析与综合》为例，讲解矩阵论的重要作用。在电路分析中，对于一个有n个节点，b条支路的电路图，每条支路的电压和电流均为未知，共有2b个未知量。根据KCL 我们可以列出（b-1）个独立的方程，根据KVL我们也可以列出（b-n+1）个独立的方程，根据每条支路所满足的欧姆定律，我们还可以可以列出b个方程；总共2b个方程要解出b个支路电流变量和b个支路电压变量。当b的数值比较大时，传统的解数学方程组的方法已经不再适用了，因此我们需要引入矩阵来帮助我们求解电路。一. 电网络中最基本的三个矩阵图 1 1.关联矩阵

在电路图中，节点和支路的关联性质可以用关联矩阵][ij a A =来表示。选取一个节点为参考节点后，矩阵A 的元素为： ?????-+=个节点无关联条支路与第第方向指向节点个节点相关联，且支路条支路与第第方向离开节点个节点相关联，且支路条支路与第第i j i i j i i j a ij 0 1 1 图1中电路图的关联矩阵为 ????????????= 0 1- 0 1- 1- 0 0 1- 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1- 1-0 0 1- 1 0 0 1 A 2. 基本回路矩阵在电路图中，基本回路和支路的关联性质可以用基本回路矩阵][ij f b B =来表示。当选定电路图中的一个树，额外再增加一个连枝的时候，就会形成一个基本回路。选取基本回路的方向与它所关联的连枝方向一致，矩阵f B 的元素为： ?? ???-+=个回路无关联条支路与第第反方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第同方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第i j i j i j b ij 0 1 1 图1中电路图的基本回路矩阵为 ???? ??????=1 0 0 1- 1 0 0 0 1 0 1- 1 1- 1 0 0 1 0 1- 1 1-f B 3. 基本割集矩阵在电路图中，基本割集和支路的关联性质可以用基本割集矩阵][ij f q Q =来表示。当选

高等数学在医学中的应用

高等数学在医学中的应用 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

数学在医学中的应用众所，数学是一门以高度的抽象性、严谨性为特点的学科，但同时数学在其他各门学科也有广泛的应用性，而且随着大型计算机的飞速发展，数学也越来越多的渗透到各个领域中。可以说是用解决实际问题的一个重要手段。简单的说，用数学语言来描述实际问题，将它变成一个数学问题，然后用数学工具加以解决，这个过程就称为数学建模。人们通过对所要解决的问题建立，使许多实际问题得到了完满的解决。如大型水坝的应力计算、中长期等。建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD(Computer Aided Design)技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统中的现场实验、物理模拟等手段。那么数学在医学领域有哪些应用呢现代的医学为什么要借助数学呢本研究主要叙述这两个问题。 1现代医学的必要性现代医学的大趋势是从定性研究走向定量研究，即要能够有效地探索医学科学领域中与量关系的规律性，推动医学科学突破狭隘经验的束缚，向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，并由此逐渐派生出学、数量遗传学、药代、计量、计量治疗学、定量等边缘学科，同时、和等传统学科也都在试图建立数学模式和运用数方法来探索出其数量规律。而这些都要用到数学知识。数学模型有助将某些变量隔离出来、预测未来实验的结果，或推论无法测量的种种关系，因为在实验中很难将研究的事物抽离出来单独观察。尽管这些数学模型无法极其精确

地模仿生命系统的运作机制，却有助于预测将来实验的结果。可以利用实验数据资料。当实验数据非常多时，传统的方法就不再适用了，只能转而使用数值计算的相关理论，以发现数据中存在的关联和规则。特别地随着当前国际生命科学领域内最重要的基因组计划的发展，产生了前所未有的巨量数据。为分析利用这些巨量数据而发展起来的广泛应用了各种数学工具，从而使得数学方法在现代生物医学研究中的作用日益重要。 2医学上的一些例子医学（Medical Statistics）临床上可用来解释疾病发生与流行的程度和规律；评价新药或新技术的治疗效果；揭示生命指标的正常范围，相互的内在联系或发展规律；运用统计的原理和方法，结合医学的工作实际,研究医学的实验设计和。医学统计学是基于和的基本原理和方法，研究医学领域中数据的收集、整理和分析的一门学科。如在疾病的防治工作中，经常要探讨各种现象数量间的联系，寻找与某病关系最密切的因素；要进行多种检查结果的综合评定、探讨疾病的分型分类：计量诊断，选择治疗方案；要对某些疾病进行预测预报、监督，对药品制造、临床化验工作等作，以及医学人口学研究等。医学统计学，特别是其中的多变量分析，为解决这些问题提供了必要的方法和手段。以模型为例，了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。这种模型的建立是在合理假设的前提下，选择了一些相关因素（例如自然因素、人为因素）作为参数，并通过它们之间的关系来描述传染病学的现象。通过这些现象，可以反映出传染病

701高等数学

中国农业科学院 2017年硕士研究生招生考试自命题科目考试大纲科目代码： 701 考试科目：高等数学一、考查目标要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，具备一定的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象力和综合运用所学知识分析问题和解决实际问题的能力。二、考试形式和试卷结构 1．试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 2．答题方式闭卷、笔试。 3．试卷内容结构考试内容包括微积分、线性代数和概率论与数理统计三部分。其中微积分的分值约占60%左右，线性代数和概率论与数理统计各占20%。题型包括单项选择、填空、解答题等。三、考试大纲《微积分》部分（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立。数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限： 0sin 1lim 1,lim(1)x x x x e x x →→∞=+= 函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念。